Gli enti geometrici fondamentali. Rita Fazzello

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3 Percorso di studio Presentiamo il nostro percorso di studio per la Geometria: 3

4 Un pò di storia... Perché la geometria? I primi documenti scritti, utili per delineare una breve storia della geometria, sono della civiltà egizia; è certo però che il concetto geometrico di forma appartenga già ai primi uomini, basta osservare i graffiti e i disegni dell uomo del Neolitico per averne una conferma. La geometria, dal greco geo, terra e metria, misura è nata presso gli Egizi come misura della terra, nel senso letterale del termine. Infatti ogni anno le acque del Nilo in piena, cariche del fertile limo, allagavano i territori più bassi. Al loro ritiro, nella valle del fiume si potevano coltivare i cereali, con raccolti abbondanti, ma tutti i confini esistenti dei terreni venivano cancellati. I geometri egizi, chiamati tenditori di corde o agrimensori, avevano il compito di misurare i terreni dopo ogni inondazione. Le corde venivano utilizzate anche nella costruzione dei templi e delle piramidi, quindi sicuramente anche i sacerdoti svilupparono conoscenze geometriche.come per le tecniche di calcolo, ne abbiamo notizia mediante i papiri che ci sono pervenuti, ad esempio il papiro Rhind. Con il declino delle civiltà egizia e babilonese, le conoscenze geometriche vennero trasferite ad altre 4

5 civiltà del bacino del Mediterraneo. In particolare i Greci rielaborarono le conoscenze matematiche di questi due popoli in modo così originale, che la geometria perse il suo carattere pratico, per diventare esercizio di pensiero e amore del sapere, traduzione letterale della parola greca filosofia. Molti dei più grandi matematici greci furono anche dei filosofi e i maggiori centri di studio dal VI secolo a.c. in avanti si situarono nella Magna Grecia e ad Atene, come indicato nella seguente cartina. 5

6 Dai corpi materiali agli enti geometrici Iniziamo con queste pagine lo studio della geometria. Ma che cos è la geometria e di che cosa si occupa? Il significato letterale della parola geometria (dal greco gé, terra, e métron, misura ) è misura della terra e ricorda la sua origine presso gli antichi Egizi, dove nacque proprio dall esigenza pratica di misurare. Essa si occupa di alcune caratteristiche e proprietà dei corpi che ci circondano, dette proprietà geometriche: la forma, la grandezza e le trasformazioni. Quando di un corpo materiale consideriamo solo la forma, la grandezza e le trasformazioni che può subire, parliamo di corpo geometrico. Una scatola, ad esempio, è un corpo materiale che possiamo considerare come corpo geometrico se ne prendiamo in esame la forma. Per analizzare la forma della nostra scatola, tracciamone un disegno il più fedele possibile. Otteniamo, come sai, un solido limitato da sei facce che si incontrano formando dodici spigoli i quali, a loro volta, si incontrano in otto vertici. 6

7 Siamo arrivati ai tre concetti base della geometria, gli enti fondamentali: il punto? uno qualsiasi dei vertici della nostra scatola ci dà l idea di punto; la retta? uno qualsiasi degli spigoli ci dà l idea di retta; il piano? una qualsiasi delle facce ci dà l idea di piano. Ci può dare l idea di punto il segno lasciato da una matita appuntita. Per indicare un punto si usano le lettere maiuscole dell alfabeto italiano: A, B, C,... Ci può dare l idea di retta la traccia lasciata su un foglio da una matita che scorre lungo il bordo di un righello. Per indicare una retta si usano le lettere minuscole dell alfabeto italiano: a, b, c, 7

8 Ci può dare l immagine di piano un foglio di quaderno ben disteso. Per indicare un piano si usano le lettere minuscole dell alfabeto greco: a (alfa), b (beta), g (gamma), d (delta),... a) Che cosa si intende per geometria euclidea? Di che cosa si occupa? b) Che cosa si intende per corpo geometrico? Fai un esempio di corpo materiale e da questo passa al corpo geometrico. c) Fra le seguenti frasi che descrivono le proprietà di alcuni corpi, segna quelle che sono proprietà geometriche. d) Cosa è il punto?... e) Cosa è la retta?... f) Cosa è il piano?... Applicazioni alla geometria: uso di Geogebra 8

9 Disegna con Geogebra un punto, una retta e un piano Disegniamo alcuni punti: essi si indicano con la lettera maiuscola Disegniamo una retta: la retta è rappresentata con la lettera minuscola: retta r 9

10 Disegniamo un piano: esso si indica con le lettere dell'alfabeto greco... Adesso provaci tu! Lancia il programma Geogebra e disegna alcuni punti, una retta e un piano come spiegato precedentemente. 10

11 Gli assiomi euclidei Gli enti fondamentali ci hanno introdotto allo studio della geometria, più esattamente alla geometria euclidea, dal nome del più grande matematico dell antichità, Euclide (III secolo a.c.), considerato il padre della geometria. Euclide, scrisse un trattato di geometria ancora oggi considerato fondamentale per la sua organicità e completezza, ma soprattutto per il metodo in esso esposto: il metodo assiomatico-deduttivo. In che cosa consiste questo metodo? Il significato delle due parole da cui deriva, assiomatico, evidente e certamente vero, e deduttivo, derivato da un ragionamento logico e razionale, ci suggerisce la risposta. Il metodo assiomatico-deduttivo consiste nel porre alla base dello studio dei concetti ben precisi, gli enti fondamentali, e da questi, partendo da considerazioni sicuramente vere, gli assiomi, arrivare attraverso ragionamenti logici e dimostrabili a deduzioni vere con le quali completare una trattazione. Basandoci su questo metodo, facciamo adesso alcune importanti considerazioni sulla retta, prendendo in esame gli assiomi euclidei che stanno alla base della geometria euclidea. La retta e le sue proprietà: 11

12 1) Fissiamo un punto A nel piano e disegniamo tutte le rette che passano per questo punto. Quante ne possiamo disegnare? Infinite. Possiamo dire che: 2) Fissiamo due punti distinti A e B nel piano e disegniamo tutte le rette che passano per questi due punti. Quante ne possiamo disegnare? Una e una sola. Possiamo dire che: 12

13 3) Fissiamo tre punti distinti A, B e C nel piano e disegniamo la retta che passa per questi tre punti. Quante ne possiamo disegnare? Se i tre punti sono allineati,una e una sola, se i tre punti non sono allineati, nessuna. Possiamo dire che: 4) Fissiamo tre punti A, B e C allineati e consideriamo l unica retta a che li unisce. Per quest unica retta a, quanti piani passano? Infiniti. Possiamo dire che: 5) Fissiamo tre punti A, B e C non allineati; quanti piani passano per questi tre punti? Passerà uno e un solo piano. 13

14 Ma poiché tre punti non allineati in un piano possono rappresentare una o due rette: Possiamo dire che: 14

15 Semiretta e segmento Consideriamo una retta r e su di essa disegniamo un punto A. La nostra retta r viene divisa dal punto A in due parti ciascuna delle quali inizia dal punto A, si trova da parti opposte rispetto ad A e continua all infinito dall altra parte. Chiamiamo queste due parti in cui la retta viene divisa dal punto A semirette di origine A. Queste due semirette di origine A hanno la stessa direzione, uguale a quella della retta r, ma verso opposto. Diciamo che: Consideriamo le tre parti in cui la retta resta divisa da questi due punti: da A verso sinistra abbiamo una semiretta, da B verso destra un altra semiretta, tra queste due semirette resta una parte di retta limitata dai due punti A e B. Chiamiamo quest ultima parte di retta segmento di estremi A e B e lo indichiamo con AB. Diciamo che: 15

16 Collegati con - Disegna una semiretta e due segmenti, come in figura rtiportato: 16

17 Segmenti e spezzate Due segmenti possono essere: consecutivi, quando hanno un estremo in comune (Fig. a) adiacenti, se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta (Fig. b); incidenti, se hanno in comune un punto che non è estremo per entrambi (Fig. c); coincidenti, se hanno entrambi gli estremi in comune (Fig. d). Due o più segmenti consecutivi formano una particolare figura geometrica detta poligonale o spezzata. I segmenti che formano la spezzata si dicono lati della spezzata, gli estremi dei vari segmenti si dicono vertici della spezzata, il primo e l ultimo vertice si dicono estremi della spezzata. Una spezzata si indica scrivendo in successione le lettere dei suoi vertici: la spezzata a fianco è la spezzata ABCDEF. 17

18 Una spezzata può essere aperta, chiusa, semplice o intrecciata. Si dice: aperta, se il primo e l ultimo segmento non sono consecutivi; chiusa, se il primo e l ultimo segmento sono consecutivi; semplice, se i segmenti non si incontrano in alcun altro punto oltre gli estremi; intrecciata, se i segmenti si incontrano in altri punti oltre che negli estremi. Operiamo con - Disegna co Geogebra a piacere delle spezzate: cosa noti? 18

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20 Confronto tra segmenti Confrontare due segmenti qualsiasi, AB e CD, significa stabilire se hanno la stessa lunghezza o quale fra essi ha lunghezza maggiore o minore. Per fare ciò bisogna sovrapporre i segmenti con un movimento che non li deformi, in modo da far coincidere un estremo, ad esempio A e C, e osservare gli altri estremi. 1) Se coincidono anche gli altri estremi, i due segmenti hanno la stessa lunghezza e si dicono congruenti: AB = CD 2) Se gli altri estremi non coincidono e l estremo B del segmento AB è interno al segmento CD, il segmento AB è minore di CD: AB < CD 3) Se gli altri estremi non coincidono e l estremo B del segmento AB è esterno al segmento CD, il segmento AB è maggiore di CD: AB > CD Sovrapporre due segmenti senza deformarli non è del tutto semplice; allora per confrontare due segmenti, AB e CD, si ricorre all uso del compasso. 20

21 Osserva: si apre il compasso facendo coincidere le punte con gli estremi del segmento AB; mantenendo fissa l apertura, si porta il compasso sul segmento CD, facendo coincidere una punta con l estremo C; se l altra punta del compasso: coincide con D, i due segmenti sono congruenti: AB = CD (Fig. a); risulta interna a CD, il segmento AB è minore di CD: AB < CD (Fig. b); risulta esterna a CD, il segmento AB è maggiore di CD: AB > CD (Fig. c). E adesso disegna con - Disegna due segmenti uguali - Disegna un segmento AB < CD - Disegna un segmento EF > GH - Disegna due segmenti AB e CD consecutivi - Disegna due segmenti AB e CD adiacenti esempio di segmenti uguali con Geogebra: 21

22 Operazioni con segmenti Può essere necessario anche saper determinare il segmento somma o il segmento differenza di due segmenti dati oppure il multiplo o il sottomultiplo di un segmento. Vediamo come operare. Siano MN e PQ i due segmenti di cui si vuole determinare la somma. Riportiamoli entrambi su una retta in modo che risultino adiacenti; resta individuato il segmento MQ che è il segmento somma di MN e PQ e si scrive: MQ = MN + PQ. Se si vuole determinare la somma di più di due segmenti, dati in un certo ordine, si determina la somma del primo e del secondo, poi la somma del segmento ottenuto e del terzo e così via di seguito. Siano AB e CD i due segmenti non congruenti di cui si vuole determinare la differenza. Riportiamoli entrambi su una retta in modo da far coincidere l estremo A di AB con l estremo C di CD; resta individuato il segmento DB che è il segmento differenza di AB e CD e si scrive: DB = AB? CD. Dato un segmento, ad esempio il segmento AB, possiamo disegnare più segmenti congruenti alla somma di due, tre, segmenti tutti congruenti al segmento AB. Osserva. Possiamo scrivere CD = 2AB ed EF = 3AB e diciamo che: CD è multiplo di AB secondo il numero 2; EF è multiplo di AB secondo il numero 3. 22

23 Viceversa, possiamo scrivere AB = CD e AB = EF e diciamo che: AB è sottomultiplo di CD secondo il numero 2; AB è sottomultiplo di EF secondo il numero 3. In generale: Mettiamoci alla prova con - Disegna due segmenti AB e CD e la loro somma AD; - Disegna Due sementi AB e CD e la loro differenza BD - Disegna un segmento AB e CD= 3AB - Disegna un segmento AB e uno CD= AB esempio di multiplo: 23

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25 Per il ripasso... La geometria è la scienza che studia le proprietà geometriche dei corpi che ci circondano: la forma, la grandezza e le trasformazioni. Il punto è il primo ente fondamentale della geometria; esso è un concetto primitivo, privo di vera definizione. Non ha alcuna dimensione. La retta, il secondo ente geometrico, è un insieme continuo e infinito di punti avente sempre la stessa direzione. Ha una sola dimensione: la lunghezza. Il piano, il terzo ente fondamentale, è un insieme continuo e infinito di rette. Ha due sole dimensioni: la lunghezza e la larghezza. Per un punto... passano infinite rette, ovvero un fascio di rette. Per due punti... distinti passa una e una sola retta. Per tre punti allineati... passa una e una sola retta, nessuna in caso di tre punti non allineati. Per tre punti allineati, o per una retta..., passano infiniti piani, ovvero un fascio di piani. Per tre punti non allineati... passa uno e un solo piano. Per una retta e un punto... fuori di essa passa uno e un solo piano. Per due rette... che si incontrano in un punto passa uno e un solo piano. La semiretta... è ciascuna delle parti in cui una retta viene divisa da un punto che si dice origine della semiretta; essa è quindi ancora infinita, ha un inizio ma non una fine, e ha una sola dimensione: la lunghezza. Il segmento... è una parte finita di retta limitata da due punti che si dicono estremi del segmento. Esso ha quindi un inizio e una fine e ha una sola dimensione: la lunghezza. Due o più segmenti consecutivi... formano una particolare figura geometrica detta 25

26 poligonale o spezzata. Una spezzata... può essere aperta, chiusa, semplice o intrecciata. Un segmento AB è multiplo... di un segmento AE secondo il numero n se AB = nae. Un segmento AE è sottomultiplo... di un segmento AB secondo il numero n se AE = AB. 26

27 Test on-line per...l'allenamento Vi proponiamo alcuni test on-line per allenarti sugli enti geometrici fondamentali: 1) Preparati con UbiMath: Test on-line (con QuizFaber) 27

28 Videolezioni sugli enti fondamentali Fai attenzione ai filmati e ripassa: Video tutorial sugli enti geometrici fondamentali:il punto, la retta e il piano e un video tutorial sui segmenti e semirette: 28

29 Audiolezione sugli enti fondamentali Professoressa: La geometria euclidea prende il nome da Euclide al quale si deve il metodo assiomatico-deduttivo. In che cosa consiste questo metodo? Studente: Il metodo assiomatico-deduttivo parte da concetti universalmente accettati, cioè gli enti primitivi, e da considerazioni evidenti, cioè gli assiomi, e poi, attraverso ragionamenti logici, deduce tutte le altre proprietà. Professoressa: Bene. E quali sono gli enti primitivi o fondamentali? Studente: Il punto, la retta e il piano. Professoressa: Sapresti definire che cosa è un punto? Studente: In realtà, un punto è un concetto primitivo. Di questo non si può dare una 29

30 vera e propria definizione. Professoressa: E per quanto riguarda la retta e il piano? Studente: Partendo dal concetto di punto, possiamo immaginare che una retta sia un insieme infinito e continuo di punti, che ha sempre la stessa direzione. Dalla retta possiamo immaginare che cosa sia un piano e cioè un insieme infinito e continuo di rette. Professoressa: Bravo. Gli assiomi esprimono le relazioni tra gli enti primitivi. Per esempio, il primo assioma ci dice che per un punto passano infinite rette. Quante rette passano per due punti distinti? Studente: Per due punti distinti passa solo una retta. Professoressa: E se invece i punti sono tre? Studente: Se i punti sono tre dobbiamo distinguere: se sono allineati, passa solo una retta, se invece non sono allineati non passa alcuna retta. Professoressa: Se i tre punti sono allineati, quanti piani passano per questi tre punti? Studente: Ne passano infiniti. Professoressa: Molto bene. E i piani sono infiniti anche se i tre punti non sono allineati? Studente: No, per tre punti non allineati passa solo un piano. Così come da una retta e da un punto che non appartiene alla retta, passa solo un piano. Professoressa: Molto bene. Se su una retta fissiamo un punto O, la retta viene divisa in due parti. Come si chiama ciascuna delle due parti? Studente: Ciascuna delle due parti si chiama semiretta di origine O. Entrambe le parti sono infinite, così come lo è la retta. Professoressa: E se fissiamo sulla retta due punti A e B, che cosa otteniamo? Studente: Otteniamo due semirette, una di origine A e una di origine B e un segmento, cioè la parte di retta limitata dai due punti A e B, che si chiamano estremi del segmento. Professoressa: Quando due segmenti si dicono consecutivi e quando adiacenti? Studente: Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune; sono adiacenti se oltre a essere consecutivi, appartengono alla stessa retta. Professoressa: E se invece due segmenti hanno tutti e due gli estremi in comune, come si dicono? Studente 30

31 : Si dicono coincidenti. Professoressa: Molto bene! Continua così. 31