Esercitazioni di Architettura Navale III

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1 Università degli Studi di Trieste Esercitazioni di Architettura Navale III Professore: Zotti Igor Studente: Chisari Claudio Anno Accademico

2 Indice 1 Esercizio n Risoluzione Esercizio n Risoluzione Metodo di Taylor Metodo di R. Keyser e W. Arnoldus Esercizio n Risoluzione Esercizio n Risoluzione Metodo di Schlichting Metodo di Barras Fondale limitato Canale Esercizio n Risoluzione Esercizio n Risoluzione Esercizio n Risoluzione

3 Capitolo 1 Esercizio n.1 Una nave da carico che svolge servizi di trasporto costiero presenta le seguenti caratteristiche generali: lunghezza tra le perpendicolari: 68 m; larghezza al galleggiamento: m; immersione media: 3.45 m; dislocamento fuori fasciame: 2083 t; coefficiente C x : 0.984; superficie bagnata di carena: m 2 ; N.B.: assumere un coefficiente di passaggio tra il volume fuori ossatura ed il dislocamento fuori fasciame di Sulla nave è montato un motore che fornisce, in servizio, una potenza continua di 720 HP, ruotando a 244 rpm. Sulla carena può essere montata un elica a 4 pale avente un diametro massimo di 2.30 m; ragioni di servizio consigliano però di non superare il diametro di 2.10 m. La linea d alberi dista dalla linea di costruzione 1.45 m. I fattori propulsivi della carena sono: fattore medio di scia w = 0.280; fattore di risucchio t = 0.163; rendimento rotativo relativo η rr = La carena della nave è stata provata in vasca navale in esperienze di rimorchio. I risultati ottenuti, trasferiti al vero, sono i seguenti: 2

4 V R T [kn] [kgf] Si assuma un aumento di resistenza per le appendici e l aria, sapendo che la carena monoelica con timone sospeso e carenato ed alette di rollio. Le sovrastrutture sono limitate ad un piccolo cassero prodiero ed alle sovrastruttura di poppa con gli alloggi per l equipaggio. Si assuma inoltre un battente dinamico a regime sull elica di 250 mm. Si definisca l elica di serie sistematica che fornisca le migliori prestazioni e si trovi la velocità massima che può raggiungere la nave in normali condizioni di navigazione. 1.1 Risoluzione Assumiamo un rendimento della linea propulsiva η linea = Valutiamo inoltre: η 0 = 0.5 η rr = 1.01 η r = 1 t 1 w = Da questi ricaviamo: η t = η 0 η rr η r η linea = Moltiplicando il rendimento totale η t con la potenza erogata dal motore (P asse = 720 HP ) si ottiene la potenza disponibile all elica: P D = η t P asse = Per poter operare con i dati vasca si calcola la potenza effettiva in HP : P E [HP ] = R T [kgf] V [m/s] 1 76 A.A Claudio Chisari

5 V R T P E [kn] [m/s] [kgf] [HP ] Si passa quindi ad interpolare il valore della velocità corrispondente al valore della P D sviluppata dal motore. Si ottiene quindi: V = kn = 5.75 m/s V A = V (1 w) = 8.05 kn = 4.14 m/s Nell intorno di V si calcolano due velocità, nel caso in esame si è scelto un intervallo [ 0.5 kn; +0.5 kn]; si ha quindi: V 1 = V 0.5 = kn = 5.49 m/s V 2 = V = kn = 6.01 m/s V A,1 = V 1 (1 w) = 7.70 kn = 3.96 m/s V A,1 = V 1 (1 w) = 8.42 kn = 4.33 m/s Per queste due nuove velocità si trovano le potenze corrispondenti: P 1 = HP P 2 = HP Si passa quindi a calcolare in via approssimata le caratteristiche dell elica; mediante la formula del Keller si calcola il rapporto area espansa-area disco (A E /A 0 ): A E ( z) = A 0 (p 0 p v ) D 2 T + k = dove: z = 4: numero di pale dell elica; A.A Claudio Chisari

6 p 0 p v = p atm + ρgh p v ; D: diametro dell elica; T = R T 1 t : spinta richiesta all elica; k: coefficiente correttivo caratteristico del tipo di nave: k = 0.0 per carene bieliche veloci; k = 0.1 per carene bieliche lente; k = 0.2 per carene monoeliche. Poiché il rapporto A E /A 0 cosi trovato non è presente in nessun diagramma della serie B di Wageningen, la serie scelta per l esercitazione e di cui si dispongono i diagrammi, si utilizzano i due diagrammi più prossimi, aventi A E /A 0 = 0.4 e A E /A 0 = Per rendere possibile la lettura dei diagrammi è necessario entrare con la grandezza B p, dove: B p = PD V 2.5 A in cui: n: giri dell elica, [rpm]; P D : potenza assorbita dall elica, [HP ]; V A : velocità d avanzo, [kn]. Nei tre casi considerati (V = kn,11.19 kn e kn), si ottiene: B p,1 = B p,1 = B p = B p = B p,2 = B p,2 = Entrando nei diagrammi si leggono le seguenti grandezze: A E A 0 = 0.4: δ δ 1 η 0 V V V η t P D,1 V V V A.A Claudio Chisari

7 A E A 0 = 0.55 δ δ 1 η 0 V V V η t P D,1 V V V Per il rapporto prima calcolato si ha quindi: P D = P D,1 = P D,2 = HP Si calcola l intersezione della curva di P D in funzione di V con la curva di resistenza della vasca, ottenendo una velocità nave V = kn = 5.96 m/s, a cui corrisponde una P D = HP e una velocità d avanzo V A = 8.34 kn = 4.29 m/s. Si calcola nuovamente il B p per il punto trovato: B p = B p = e si rientra nei diagrammi. Si ottiene: A E A 0 = 0.4: A E A 0 = 0.55 δ δ 1 η D = 1.98 m δ δ 1 η D = 2.00 m dove il diametro è stato trovato ribaltando l equazione esprimente il coefficiente d avanzo: J = V A n D D = V A n J avendo l accortezza di effettuare la conversione dell unità di misura dei giri, da rpm a rps. Interpolando per il rapporto A E /A 0 scelto di ottiene: D ott = 2 m η 0,ott = 0.59 P D,ott = HP e leggendo il passo diametro si ottiene il valore del passo: P D = P = 1.71 m A.A Claudio Chisari

8 600 dati vasca dati b-series A.A Claudio Chisari

9 Capitolo 2 Esercizio n.2 Si esegua una verifica a robustezza delle pale dell elica (a 4 pale) definita nell esercizio n.1, utilizzando rispettivamente: 1. il criterio di Taylor; 2. il metodo di Keyser & Arnoldus, ipotizzando una distribuzione non uniforme di scia e, con elica a 4 pale, una variazione radiale non uniforme del passo. N.B.: Noto il valore medio di scia, si utilizzi la distribuzione di Van Manen per definire i valori della scia locale. 2.1 Risoluzione Metodo di Taylor Si esegue una verifica alla sezione r R = 0.2. I dati dell elica sono stati ricavati nell esercizio precedente, che qui si riportano: D = 2 m; η 0,ott = 0.59; Z = 4; A E A0 = 0.498; P D = Utilizzando le tabelle descrittive geometriche delle eliche di Wageningen, presi dal Principles of Naval Architecture, vol II chap. VI si trovano tutte le caratteristiche dell elica. 8

10 r/r c r Z D A E /A 0 a r c r b r c r a r b r Si ricavano graficamente i coefficienti S 2, S 3, S 4 e S 5 per l elica presa in esame, ottenendo i seguenti valori: S 2 = 1190 S 3 = 0.3 S 4 = S 5 = 0.5 dove si è entrati con il P/D trovato nell esercizio precedente e con un angolo di rake di 15, caratteristico della serie. Si passa quindi a calcolare il valore di S 1 : dove: S 1 = 1.54 ω N 2 D = ω: density del materiale dell elica [lb/ft 3 ]; N: giri dell elica [rpm]; D: diametro dell elica [f t]. Si calcolano quindi le sollecitazioni di compressione e trazione mediante le formule: ( ) C = S C + S C S C = S 2 DHP S S3 B N D 3 C 0.2 D τ 2 C = S 1 τ 1 dove: T = S T + S T ( S T = S C t S4 0.2 ) C S (2 S 3 T = S 1 3 τ + S C MD DHP : potenza sviluppata [HP ]; B: numero di pale dell elica; C 0.2 : corda al raggio r R = 0.2; τ = t 0 D : rapporto tra lo spessore al mozzo e il diametro; ) A.A Claudio Chisari

11 t 0.2 : spessore al raggio r R = 0.2; C M : corda massima della pala. facendo variare il valore di τ. Il valore di τ cercato è il minimo che causa sollecitazioni minori della tensione ammissibile. Si riportano di seguito i risultati ottenuti. τ S C S C C [ ] [lb inches 2 ] [lb inches 2 ] [lb inches 2 ] [kg cm 2 ] A.A Claudio Chisari

12 τ S T S T T [ ] [lb inches 2 ] [lb inches 2 ] [lb inches 2 ] [kg cm 2 ] Si ottiene quindi che il rapporto τ minimo è pari a 0.50, come si vede dal diagramma, avendo posto una tensione ammissibile di 400 kg cm 2. A.A Claudio Chisari

13 C T σ amm C,T [kg cm -2 ] Metodo di R. Keyser e W. Arnoldus Il metodo di R. Keyser e W. Arnoldus si propone di trovare le tensioni di compressione e di trazione nelle varie sezioni dell elica analizzata. Per fare questo bisogna delle seguenti caratteristiche geometriche dell elica: e di: il valore del diametro D; numero di pale z; τ [-] lunghezza della corda al raggio specificato c; valore dello spessore massimo al raggio specificato t; il valore del passo P ; valore dell angolo di rake ε; valore della spinta T ; valore del torcente Q; tensione ammissibile σ amm ; coefficienti per le tensioni di compressione k c e trazione k t. A.A Claudio Chisari

14 Si passa quindi a calcolare la spinta e il torcente di ogni pala: T z = T z Q z = Q z r t,0.2 dove r t,0.2 è il raggio del punto di applicazione del torcente, fornito in tabelle nell articolo stesso; il momento flettente dovuto alla spinta e al torcente sarà: M bt = T z R f s M bq = Q z R f d dove f s e f d sono fattori per il momento flettente causato rispettivamente da spinta e torcente. N.B.: i valori di f s, f d e r t,0.2 sono dati in funzione del tipo di passo e di campo di velocità in cui si muove l elica. Si trova quindi il passo vero sezione per sezione (nel caso considerato si è utilizzata un elica della serie B di Wageningen) e tramite questo si trova l angolo del passo α, corretto poi dalla scia (nel caso considerato si è utilizzata una scia di Van Manen): α = arctan P 2 π r α c = arctan w 0.75 α Si può quindi trovare il momento flettente totale sezione per sezione: M b = M bt cos α c + M bq sin α c e da questo le tensioni di compressione e trazione: σ = M b k t 2 c cos ε dove al posto di k viene sostituito k c o k t per trovare le tensioni rispettivamente di compressione e di trazione. Le tensioni cosi trovate vengono confrontate con la tensione ammissibile del materiale. Nel caso considerato si sono ottenuti i seguenti valori. M bt [kgm] M bq [kgm] P (r) [m] α [rad] α c [rad] M b [kgm] A.A Claudio Chisari

15 σ t [kg/cm 2 ] σ c [kg/cm 2 ] Per maggiori informazioni sul metodo controllare l articolo Strength Calculation of Marine Propellers, R. Keyser and W. Arnoldus. Si riporta di seguito il programma creato per sviluppare l esercitazione. #include<stdio.h> #include<math.h> #define pi acos(-1) #define gi int main(){ int i; double rr[]={0.2000,0.3000,0.4000,0.5000,0.6000,0.7000,0.8000,0.9000; double wd[]={0.4255,0.6061,0.7813,0.9091,1.0000,1.0593,1.0989,1.1261; double fs[]={0.4640,0.3640,0.2730,0.1910,0.1200,0.0644,0.0254,0.0048; double fd[]={0.4060,0.3090,0.2230,0.1490,0.0899,0.0464,0.0182,0.0032; double rq=0.606; double t,tz,q,qz; double mbt[8],mbq[8],mb[8],c[8],th[8],sc[8],st[8]; double p,d,z,e; double pra[8],prd[8],a[8],ac[8]; double sa,kt,kc; /********************************************************************** * * * rr : adimensional radius * * wd : Van Manen s wake distribution * * fs : factor for bending moment caused by thrust * * ft : factor for bending moment caused by torque * * rq : radius of the centre of qz * * t : thrust * * tz : thrust per blade * * q : torque force * * qz : torque force per blade * * mbt : bending moment caused by thrust * A.A Claudio Chisari

16 * mbq : bending moment caused by torque * * mb : bending moment * * c : chord * * th : thickness * * sc : compressive stress * * st : tensile stress * * p : pitch * * d : propeller diameter * * z : number of blade * * e : rake angle * * pra : adimensional pitch at radius * * prd : dimensional pitch at radius * * a : pitch angle * * ac : corrected pitch angle * * sa : permissible stress * * kt : coefficient for the section modulus in tensile stress * * kc : coefficient for the section modulus in compressive stress * * * **********************************************************************/ FILE *inp=fopen("dati.dat","r"); FILE *out=fopen("keyser.dat","w"); /********************************************************************** * * * B-series thruster * * * **********************************************************************/ pra[0]=82.2; pra[1]=88.7; pra[2]=95.0; pra[3]=99.2; for(i=4;i<8;i++){ pra[i]=100.0; /********************************************************************** * * * Reading data * * * **********************************************************************/ fscanf(inp,"%lf %lf %lf %lf",&p,&d,&z,&e); fscanf(inp,"%lf %lf %lf",&sa,&kt,&kc); fscanf(inp,"%lf %lf",&t,&q); for(i=0;i<8;i++){ fscanf(inp,"%lf %lf",&c[i],&th[i]); A.A Claudio Chisari

17 e *= pi/180; /********************************************************************** * * * Calculating stress * * * **********************************************************************/ tz=t/z; qz=q/(z*rq*d/2); fprintf(out,"thrust per blade : %8.3lf\n",tz); fprintf(out,"torque force per blade : %8.3lf\n",qz); fprintf(out,"\n"); fprintf(out,"$m_{bt\\ [kgm]$ & $M_{bq\\ [kgm]$ & $P(r)\\ [m]$ & "); fprintf(out,"$\\alpha\\ [rad]$ & $\\alpha_{c\\ [rad]$ & $M_{b\\ [kgm]$ "); fprintf(out,"\\\\"); fprintf(out,"\n"); fprintf(out,"\\hline\n"); for(i=0;i<8;i++){ mbt[i]=tz*d/2*fs[i]; mbq[i]=qz*d/2*fd[i]; prd[i]=pra[i]*p/100; a[i]=atan(prd[i]/(rr[i]*2*pi*d/2)); ac[i]=atan(pow(wd[i],0.75)*tan(a[i])); mb[i]=mbt[i]*cos(ac[i])+mbq[i]*sin(ac[i]); st[i]=mb[i]/(kt*pow(th[i],2)*c[i]*pow(cos(e),2)); sc[i]=mb[i]/(kc*pow(th[i],2)*c[i]*pow(cos(e),2)); fprintf(out," %8.3lf & %8.3lf & %8.3lf & %8.3lf & %8.3lf & %8.3lf \\\\\n",\ mbt[i],mbq[i],prd[i],a[i],ac[i],mb[i]); fprintf(out,"\\hline\n"); fprintf(out,"\n"); fprintf(out,"\\hline\n"); fprintf(out,"$\\sigma_{t\\ [kg/cm^{2]$ & $\\sigma_{c\\ [kg/cm^{2]$ \\\\"); fprintf(out,"\n"); fprintf(out,"\\hline\n"); for(i=0;i<8;i++){ fprintf(out,"%8.3lf & %8.3lf \\\\\n",st[i],sc[i]); fprintf(out,"\\hline\n"); fclose(inp); fclose(out); A.A Claudio Chisari

18 Capitolo 3 Esercizio n.3 Si rappresenti su un foglio di carta millimetrata il profilo espanso dell elica progettata riportando pure la distribuzione radiale degli spessori. Si rappresenti poi il profilo della sezione x = Risoluzione Per poter disegnare il profilo dell elica scelta si è utilizzato il Principles of Naval Architecture, vol II chap. VI. Si ha bisogno dei seguenti dati: c r : corda al raggio r; a r : distanza del bordo di entrata dalla generatrice al raggio r; b r : distanza del punto a spessore massimo dal bordo d entrata al raggio r. Nel nostro caso si fa riferimento alla tabella 12 del volume sopracitato, che di seguito si riporta: r/r c r Z D A E /A 0 a r c r b r c r d r e r Dimensions of Four, Five, Six and Seven-bladed Wageningen B-screw Series 17

19 A partire da questi si trovano tutte le grandezze sopracitate, a r, b r e c r, utilizzando le seguenti relazioni: c r Z ( r ) = f D A E /A 0 R ) a r ( r = f c r R b ( r r ) = f c r R ( r c r = f R) a r = f b r = f ( r R) c r ( r R) c r dove f ( r R) indica il corrispondente valore in tabella. Si ottengono quindi i seguenti valori: r/r a r b r c r D A E/A 0 Z Si trovano quindi i valori del profilo in corrispondenza del bordo d ingresso e del bordo d uscita. Nel caso in esame si è ottenuto: ingresso uscita x y x y Si sono poi calcolati gli spessori della pala (S r ) mediante i coefficienti d r ed e r : S r = (d r e r Z) D ottenendo: A.A Claudio Chisari

20 S r r/r Si riporta di seguito il profilo dell elica, la distribuzioni degli spessori e il profilo alla sezione r R = A.A Claudio Chisari

21 A.A Claudio Chisari

22 Capitolo 4 Esercizio n.4 La nave descritta all esercizio n.1 deve navigare rispettivamente: 1. su un fondale di acque limitate, con rapporto H/T = 2.00, dove è: T : immersione della nave [m]; H: profondità dell acqua [m]; 2. in un canale avente altezza di fondale pari a 2.00 T e larghezza B c = 30.0 m. Calcolare la resistenza al moto e gli effetti dello squat utilizzando rispettivamente i metodi approssimati di Schlichting per le variazioni di resistenza al moto e quello di Barras per le variazioni di assetto. Si definisca una velocità limite per l attraversamento del canale. Si assuma una temperatura dell acqua di 15 C. 4.1 Risoluzione Metodo di Schlichting Per calcolare la resistenza al moto nel caso di fondale limitato e canale è comunemente accettato utilizzare il metodo di Schlichting. Questo si compone dei passi indicati di seguito. Si parte da prove di resistenza effettuate in vasca in condizione di fondale illimitato, ad una velocità V ed aventi una determinata resistenza al moto R T. Si calcola quindi la velocità delle particelle in corrispondenza della sezione maestra, V I, data dalla relazione: V I = V dove h è la profondità del canale. tanh g h V 2 = V tanh F 2 n 21

23 Si passa quindi a calcolare il rapporto h, dove A è l area della sezione maestra del natante considerato. Mediante questo rapporto si può leggere dal diagramma fornito a lezione il rapporto V h V I e, avendo già calcolato V I, procedere a calcolare V H, velocità del natante nel fondale h. Si passa quindi a scomporre la resistenza ottenuta dai dati vasca nelle due componenti R F e R R. Alla nuova velocità V H la resistenza totale R T,H sarà data dalla resistenza residua R R e dalla resistenza d attrito calcolata alla velocità V I delle particelle nella sezione maestra: A R T,H = R R + R F,I dove R F,I si calcola mediante una qualsivoglia linea di correlazione, nel caso considerato si è utilizzata ITTC 57. Nel caso di navigazione in canale l unica cosa che il metodo prevede di variare è l altezza h, sostituita dal raggio idraulico R H : dove: R H = b h B T b + 2 h I + B + 2 T b, h: larghezza e profondità del canale; B, T : larghezza e immersioe del natante; h I : profondità del canale in corrispondenza della sezione maestra, calcolata mediante l equazione di Bernoulli e l equazione di continuità in funzione di V I ; nel caso considerato si è scelto un h = h h I = 1 m, costante per tutto l intervallo di velocità considerato Metodo di Barras Per calcolare il valore dello squat dovuto alla navigazione in fondale limitato, si utilizza il metodo di Barras. Questi fa dipendere il valore dello squat dai seguenti parametri: V : velocità nave; b: larghezza nave; t: immersione nave; C B : coefficiente di finezza della nave; CSA: area trasversale del canale o della nave; B: larghezza del canale; A.A Claudio Chisari

24 H: profondità del canale. da cui si calcola il fattore S, blockage factor, dato dalla relazione: S = b t B H Nel caso di larghezza illimitata, si prende una larghezza B pari a: B = 7.04 b L entità dello squat è dato quindi: CB 0.85 δ max = C B S 0.81 V [m] Fondale limitato Nel caso di fondale limitato, avente profondità pari a: si sono ottenuti i seguenti valori: Canale H = 2 T = 6.9 m V [m/s] R T [kgf] V H [m/s] R T,H [kgf] δ max [m] Nel caso di canale avente le seguenti dimensioni: H = 2 T = 6.9 m B = 30 m si sono ottenuti i seguenti risultati: A.A Claudio Chisari

25 V [m/s] R T [kgf] V H [m/s] R T,H [kgf] δ max [m] H=, B= H=2 T, B= H=2 T, B=30 m R T [kgf] V [m/s] A.A Claudio Chisari

26 H/T=2 H/T=2, B=30 m δ max [m] V [m/s] Si riporta di seguito il programma di calcolo sviluppato per svolgere l esercitazione. #include<stdio.h> #include<math.h> #define gi main(){ /* depth: profondità del fondale; l: lunghezza nave; t: immersione nave; b: larghezza nave; cx: coefficiente della sezione maestra della nave; nu: viscosità dell acqua; rho: densità dell acqua; s: superficie bagnata di carena; cb: coefficiente di pienezza; vhvi: rapporto tra velocità nave in canale e la velocità del flusso in mezzeria nave; B: larghezza del canale; S: blockage factor; A.A Claudio Chisari

27 dmax: squat massimo; rh: raggio idraulico; */ int i; float v,rt,depth,t,b,l,nu,fn,rho,s,rn,a; float cb,b,s,dmax,rh; float cfinfty,rfinfty,rrinfty,cfi; float rfi,viv,vi,vh,vhvi,rap,rth,rni,cx; FILE *dat=fopen("dat_vasc.dat","r"); FILE *sch=fopen("dat_sch.dat","w"); fscanf(dat,"%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f%f",\ &depth,&l,&t,&b,&cx,&nu,&rho,&s,&cb,&b,&vhvi); a=cx*t*b; rh=(depth*b-b*t)/(b+2*(depth-1)+b+2*t); rap=sqrt(a)/rh; if(b==0){ B=7.04*pow(cb,-0.85)*b; rap=sqrt(a)/depth; S=b*t/(B*depth); fprintf(sch,"$v_{\\infty\\ [m/s]$ & $R_{T\\ [kgf]$ &\ $V_{H\\ [m/s]$ & $R_{T,H\\ [kgf]$ & $\\delta_{max [m]$ \\\\\\hline\n"); while(!feof(dat)){ fscanf(dat,"%f %f",&v,&rt); v=v*0.5144; rn=v*l/nu; fn=v/(sqrt(gi*depth)); viv=sqrt(tanh(pow(fn,-2))); vi=viv*v; vh=vhvi*vi; rni=vi*l/nu; cfinfty=0.075/(pow((log10(rn)-2),2)); rfinfty=cfinfty*0.5*rho*s*pow(v,2); rrinfty=rt-rfinfty; cfi=0.075/(pow((log10(rni)-2),2)); rfi=cfi*0.5*rho*s*pow(vi,2); rth=rrinfty+rfi; dmax=0.05*cb*pow(s,0.81)*pow(v,2.04); fprintf(sch," %10.4f & %10.4f &\ %10.4f & %10.4f & %10.4f \\\\\n",v,rt,vh,rth,dmax); fclose(sch); fclose(dat); A.A Claudio Chisari

28 Capitolo 5 Esercizio n.5 Presso i laboratori idrodinamici del Dipartimento DINMA è stata costruita e provata la carena Wigley avente equazione: y = B [ ( z ) ] ( ) T dove: y: semilarghezze del modello ([mm]); L = mm: lunghezza della carena; B = mm: larghezza della carena; T = mm: immersione della carena. La carena presenta ancora le seguenti caratteristiche principali: S = m 2 : superficie bagnata di carena; A x = m 2 : area della superficie trasversale immersa massima; = m 3 : volume di carena. Detti: η = y B 2 l equazione si trasforma in: ψ = x L 2 x L 2 ζ = z T η = ( 1 ζ 2) ( 1 ψ 2) Si calcolino i principali rapporti e coefficienti di carena. Si calcoli poi la resistenza d onda della carena in un campo di velocità compreso tra V 1 = 0.45 m/s e V 2 = 2.15 m/s, con intervallo di velocità pari a 0.05 m/s, utilizzando l equazione di J. Mitchell. Sapendo poi che i risultati ottenuti in vasca navale sono stati i seguenti: 27

29 n. prova V [m/s] R TM [kgf] n. prova V [m/s] R TM [kgf] N.B.: i dati sono stati rilevati alla temperature di 22.1 C; quelli che vanno dal 15 al 24 alla temperatura di 22.8 C, mentre gli ultimi tre alla temperatura di 22.9 C. Si confrontino i valori dei coefficienti della resistenza d onda, calcolati con la linea di correlazione ITTC 78, con i coefficienti ricavati con l equazione di J. Mitchell (i confronti non vanno fatti sui singoli punti, ma con le curve tracciate sui valori ottenuti dalle esperienze o dal calcolo). 5.1 Risoluzione Come prima cosa si sono calcolati i coefficienti principali di carena: L B = 10.0 B T = 1.60 L T = 16.0 C B = 0.44 C x = 0.67 Si è poi passati a calcolare la resistenza d onda tramite il metodo di J. Mitchell: R W = 4 ρ ( g2 I 2 + J 2) 2 λ 2 π V 2 d λ λ 2 1 dove: 1 λ = V 2 g Nella formulazione sopra enunciata, I = 0 poiché la carena Wigley è simmetrica prora-poppa, mentre il termine J è dato dalla relazione: J = L 2 L 2 T 0 ( ) f (x, z) exp λ2 g z V 2 sin ( λ g x V 2 ) d xd z A.A Claudio Chisari

30 dove: f (x, z) = y = B 2 [ ( z ) ] [ T ( ) ] 2 x 2 L f x (x, z) = y x = 4 B x [ ( z ) ] 2 L 2 1 T Risolvendo l integrale di J si ottiene: ( 2 p 2 sin L 2 p L p cos L 2 p J = 4 B L 2 dove è: ) [ q exp cos θ v2 p = g q = cos2 θ v 2 g mentre l equazione della resistenza d onda diventa: R W = 4 ρ g2 π V 2 π 2 0 ( d ) ( 2 q 2 q T p ) + 2 ] q3 T d 2 q J 2 sec 3 θd θ Si è sviluppato un programma di calcolo in linguaggio C che permettesse di calcolare la resistenza d onda; il programma è riportato in fondo al capitolo. Si sono ottenuti i seguenti risultati: A.A Claudio Chisari

31 V [m/s] F n [ ] R W [N] C W [ ] Si è poi passati ad analizzare i risultati delle prove in vasca mediante la linea di correlazione dell ITTC 57. I risultati sono riportati di seguito. A.A Claudio Chisari

32 V [m/s] R T [kgf] R T [N] F n [ ] R n [ ] C T [ ] C F [ ] C W [ ] e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-003 Si riporta di seguito il grafico dei coefficienti di resistenza d onda ottenuti nei due casi analisi vasca Mitchell s method C W [-] v [m/s] A.A Claudio Chisari

33 #include<stdio.h> #include<math.h> #define pi acos(-1) #define gi double rho_tank(double tmp); double visc_tank(double tmp); main(){ int i; double l,b,t,rho,theta,deltatheta,deltav,v,rwi,rwii,rw,ji,p,q; double s,cw,fn; char fmt_01[]="$v\\ [m/s]$ & $F_{n\\ [-]$\ & $R_{W\\ [N]$ & $C_{W\\ [-]$ \\\\\\hline\n"; char fmt_02[]="%10.3f & %10.5f\ & %10.5f & %10.5f \\\\\\hline\n"; char fmt_03[]="$v\\ [m/s]$ & $R_{T\\ [kgf]$\ & $R_{T\\ [N]$ & $F_{n\\ [-]$ & $R_{n\\ [-]$\ & $C_{T\\ [-]$ & $C_{F\\ [-]$ & $C_{W\\ [-]$ \\\\\\hline\n"; char fmt_04[]="%10.5f & %10.5f\ & %10.5f & %10.5f & %10.3e\ & %10.3e & %10.3e & %10.3e \\\\\\hline\n"; FILE *ris=fopen("ris_05.dat","w"); /* printf("lunghezza di carena (wigley): "); scanf("%f",&l); printf("larghezza di carena (wigley): "); scanf("%f",&b); printf("immersione di carena (wigley): "); scanf("%f",&t); printf("densità dell acqua: "); scanf("%f",&rho); */ l=2.4384; b= ; t=0.1524; rho=998; deltatheta=1e-02; deltav=5e-02; s= ; fprintf(ris,fmt_01); for(v=0.05;v<3;v=v+deltav){ rw=0; A.A Claudio Chisari

34 for(theta=0;theta<pi/2;theta=theta+deltatheta){ p=cos(theta)*pow(v,2)/gi; q=pow((cos(theta)*v),2)/gi; if(theta==0){ ji=(4*b/pow(l,2))*(2*pow(p,2)*sin(l/(2*p))-l*p*cos(l/(2*p)))\ *(-q*exp(-t/q)*(2*pow(q,2)/pow(t,2)+2*q/t)+2*pow(q,3)/(pow(t,2))-q); rwi=4*rho*pow(gi,2)/(pi*pow(v,2))*(pow(ji,2)*pow((cos(theta)),-3)); continue; ji=(4*b/pow(l,2))*(2*pow(p,2)*sin(l/(2*p))-l*p*cos(l/(2*p)))\ *(-q*exp(-t/q)*(2*pow(q,2)/pow(t,2)+2*q/t)+2*pow(q,3)/pow(t,2)-q); rwii=4*rho*pow(gi,2)/(pi*pow(v,2))*(pow(ji,2)*pow((cos(theta)),-3)); rw=rw+0.5*deltatheta*(rwi+rwii); rwii=rwi; fn=v/sqrt(gi*l); cw=rw/(0.5*rho*s*pow(v,2)); fprintf(ris,fmt_02,v,fn,rw,cw); fclose(ris); double rtk,tmp,rtn,ct,rn,cf,mu,cr; FILE *dat=fopen("dat_vasc_05.dat","r"); FILE *out=fopen("anl_vasc_05.dat","w"); fprintf(out,fmt_03); while(!feof(dat)){ fscanf(dat,"%lf %lf %lf",&v,&rtk,&tmp); fn=v/sqrt(gi*l); rtn=rtk*gi; rho=rho_tank(tmp); mu=visc_tank(tmp); ct=rtn/(0.5*rho*s*pow(v,2)); rn=l*v/mu; cf=0.075*pow((log10(rn)-2),-2); cr=ct-cf; fprintf(out,fmt_04,v,rtk,rtn,fn,rn,ct,cf,cr); double visc_tank(double tmp){ double visc; visc=((0.585e-3*(tmp-12.) )*(tmp-12.)+1.235)*1.e-6; return visc; A.A Claudio Chisari

35 double rho_tank(double tmp){ double rho; rho= ( e-3)*tmp*( tmp); return rho; A.A Claudio Chisari

36 Capitolo 6 Esercizio n.6 Si calcoli la resistenza d onda di una carena Wigley di equazione: y = B [ ( z ) ] ( ) T avente le seguenti dimensioni principali: L = m; B = m; T = m; S = m 2 ; A x = m 2. in un campo di velocità definito dai valori di F n = , con passo F n = 0.05, utilizzando il metodo approssimato di Havelock, che suddivide la carena in una corrispondente distribuzione di sorgenti e pozzi sistemati sul piano diametrale di una carena. 6.1 Risoluzione Il calcolo della resistenza d onda secondo il metodo di Havelock è stato effettuato mediante un programma di calcolo sviluppato in C, di cui si riporta il listato nelle pagine seguenti. Sono state calcolate come prima cosa le caratteristiche geometriche dello scafo, diviso in 20 sezioni, caratteristiche consistenti in: B max (x): larghezza massima in corrispondenza dell ordinata x; A T (x): area trasversale in corrispondenza dell ordinata x; x L 2 35

37 A T : variazione di area trasversale tra due sezioni adiacenti; : variazione di area trasversale tra due sezioni adiacenti; x G : posizione orizzontale del centro di massa tra due sezioni adiacenti; z G : posizione verticale del centro di massa tra due sezioni adiacenti. che si riportano nelle tabelle seguenti. st x [m] B max (x) [m] A T (x) [m 2 ] A.A Claudio Chisari

38 st A T [m 2 ] [m 3 ] x G [m] z G [m] I valori di A T, A T, e x G sono stati calcolati risolvendo gli integrali associati, mentre la grandezza z G è stata posta pari a 3 8T poiché tutte le sezioni della carena Wigley sono sezioni paraboliche. SI è poi calcolato l intensità delle sorgenti di Havelock mediante la formula: σ r = v A T 4 π Queste sono state inserite nella formula per calcolare I e J: I = r σ r exp ( k z G cosh 2 u ) sin (k x G,r cosh u) J = r σ r exp ( k z G cosh 2 u ) cos (k x G,r cosh u) e si è calcolato quindi la resistenza d onda, mediante l integrale: R W = 16π k 2 ( ρ I 2 + J 2) cosh 2 ud u dove: 0 k = g v 2 N.B.: l integrale è stato bloccato ad u = 2 per problemi di convergenza dell integrale. Si sono quindi ottenuti i seguenti valori di resistenza d onda: A.A Claudio Chisari

39 F n [ ] R W [N] Si riporta di seguito il grafico della resistenza d onda. 7.5 Havelock s Method R W [N] F n [-] Si riporta di seguito il programma sviluppato. #include<stdio.h> #include<math.h> #define gi #define pi acos(-1) A.A Claudio Chisari

40 main(){ int i,n; float l,b,t,rho,theta,deltatheta,deltav,v; float rwi,rwii,rw,ji,p,q,isum,deltau,jsum; FILE *ris=fopen("ris_06.dat","w"); FILE *ris2=fopen("ris_06_2.dat","w"); FILE *ris3=fopen("ris_06_3.dat","w"); /* printf("lunghezza di carena (wigley): "); scanf("%f",&l); printf("larghezza di carena (wigley): "); scanf("%f",&b); printf("immersione di carena (wigley): "); scanf("%f",&t); printf("densità dell acqua: "); scanf("%f",&rho); */ l=2.4384; b= ; t=0.1524; rho=1025; deltatheta=1e-02; deltav=5e-01; deltau=1e-04; n=20; float x[n+1][3],sij[n+1][5],s=0; float u,k,umax,vmax,questo; umax=2; vmax=5e00; /* x[i][0]: distanza dall origine; x[i][1]: larghezza massima al galleggiamento x[i][2]: area della sezione trasversale; sij[i][0]: delta area tra la maggiore e la minore; sij[i][1]: delta volume tra la maggiore e la minore; sij[i][2]: baricentro orizzontale tra la maggiore e la minore; sij[i][3]: intensità di sorgente tra la maggiore e la minore; sij[i][4]: baricentro verticale tra la maggiore e la minore; */ fprintf(ris," st & $x\\ [m]$ & $B_{max(x)\\ [m]$ & $A_{T(x)\\\ [m^{2]$ \\\\\\hline\n"); for(i=0;i<=n;i++){ x[i][0]=-l/2+i*l/n; x[i][1]=b*(1-pow(((x[i][0])/(l/2)),2)); A.A Claudio Chisari

41 x[i][2]=2*t*x[i][1]/3; fprintf(ris,"%4d & %10.5f & %10.5f &\ %10.5f \\\\\n",i,x[i][0],x[i][1],x[i][2]); for(i=0;i<n/2;i++){ sij[i][0]=x[i+1][2]-x[i][2]; sij[i][1]=2*t*b*((x[i+1][0]-x[i][0])-4*(pow((x[i+1][0]),3)\ -pow((x[i][0]),3))/(3*pow(l,2)))/3; sij[i][2]=-((sij[i][1]-x[i][2]*l/n)/(sij[i][0])+l/2-(i+1)*l/n); sij[i][4]=3*t/8; for(i=n/2+1;i<=n;i++){ sij[i][0]=x[i-1][2]-x[i][2]; sij[i][1]=fabs(2*t*b*((x[i-1][0]-x[i][0])-4*(pow((x[i-1][0]),3)\ -pow((x[i][0]),3))/(3*pow(l,2)))/3); sij[i][2]=(sij[i][1]-x[i][2]*l/n)/(sij[i][0])+l/2+2*(i-1-n)*l/(2*n); sij[i][4]=3*t/8; sij[n/2][0]=0; sij[n/2][1]=0; sij[n/2][2]=0; sij[n/2][3]=0; sij[n/2][4]=0; fprintf(ris,"\n"); fprintf(ris," st & $\\Delta A_{T\\ [m^{2]$ & $\\Delta\\nabla\\\ [m^{3]$ & $x_{g\\ [m]$ & $z_{g\\ [m]$ \\\\\\hline\n"); for(i=0;i<=n;i++){ fprintf(ris,"%4d & %10.5f & %10.5f &\ %10.5f & %10.5f \\\\\n",i,sij[i][0],sij[i][1],sij[i][2],sij[i][4]); s=s+sij[i][1]; double fn,fnmax,deltafn; fnmax=0.91; deltafn=0.01; fprintf(ris2,"$f_{n\\ [-]$ & $R_{W\\ [N]$ \\\\hline\n"); for(fn=0.35;fn<=fnmax;fn += deltafn){ v=fn*sqrt(gi*l); k=gi*pow(v,-2); rw=0; printf("%10.5f\n",v); for(i=0;i<=n;i++){ sij[i][3]=sij[i][0]*v/(4*pi); fprintf(ris3,"%10.5f ",sij[i][3]); A.A Claudio Chisari

42 fprintf(ris3,"\n"); for(u=0e00;u<=umax;u=u+deltau){ isum=0; jsum=0; for(i=0;i<=n;i++){ isum=isum+sij[i][3]*exp(-k*sij[i][4]*pow((cosh(u)),2))\ *sin(k*sij[i][2]*cosh(u)); jsum=jsum+sij[i][3]*exp(-k*sij[i][4]*pow((cosh(u)),2))\ *cos(k*sij[i][2]*cosh(u)); if(u==0e00){ rwi=(pow(jsum,2)+pow(isum,2))*pow((cosh(u)),2); continue; rwii=(pow(jsum,2)+pow(isum,2))*pow((cosh(u)),2); rw=rw+16*pi*pow(k,2)*rho*0.5*(rwii+rwi)*deltau; rwi=rwii; fprintf(ris2," %10.5f & %10.5f \\\\\n",fn,rw); fclose(ris); fclose(ris2); A.A Claudio Chisari

43 Capitolo 7 Esercizio n.7 Un container ha una capienza di 24 m 3. Esso è adibito al trasporto di due tipi A e B di merci per un cliente che paga 200/m 3 per la merce di tipo A e 150/m 3 per quella di tipo B. Ogni unità di A occupa 3 m 3 e ogni unità di B 2 m 3. Per una convenzione fatta, il quantitativo di A deve essere almeno il doppio del quantitativo di B. Inoltre si sa che il trasporto non risulta conveniente per carichi inferiori a 5 m 3. Determinate le quantità di A e di B che devono ogni volta essere caricate. 7.1 Risoluzione Il problema proposto può essere modellato nel modo seguente: 1. si hanno due variabili, x A e x B, numero di unità rispettivamente di A e di B; 2. si ha una funzione obiettivo da massimizzare: max x A x B = (2 x A + x B ) si hanno dei vincoli che devono essere soddisfatti: 3 x A + 2 x B 24 1 x A + 2 x B 0 3 x A + 2 x B 5 La soluzione di questo problema può essere ottenuta in diversi modi, tra cui citiamo il metodo del simplesso ed il metodo grafico. Mostriamo innanzitutto la soluzione mediante il metodo grafico. 42

44 6 5 z = 2 x A + x B x A 2 x B = x A + 2 x B 24 = 0 3 x A + 2 x B 5 = Per quanto riguarda il metodo del simplesso, si parte dal seguente tableau (si noti che l ultimo vincolo non è stato inserito, poiché è un vincolo che si può considerare validato non appena si abbia almeno un unità di prodotto, mentre avrebbe complicato inutilmente il problema): x 1 x 2 x 3 x 4 z b mentre il successivo, ottenuto facendo entrare in base il valore 3 della prima riga-prima colonna, è: x 1 x 2 x 3 x 4 z b che è già il tableau ottimo, non essendoci costi ridotti positivi. Si ottiene quindi il valore di ottimo della funzione, z = , con le quantità di A e di B pari a: x A = 8 x B = 0 A.A Claudio Chisari