IL PROCESSO di PROGETTAZIONE. Lucidi del corso di. Progettazione. Progettazione. Argomenti della lezione: Argomenti della lezione:

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1 Lucidi del corso di DISEGNO DI MACCHINE IL PROCESSO di PROGETTAZIONE Argomenti della lezione: I parte: - definizione della progettazione - progettazione in ambito ingegneristico - modelli del processo di progettazione * Pahl Beitz * Ohsuga * ingegneria simultanea - il ruolo del D.T.I. nella progettazione Argomenti della lezione: II parte: - Ruolo della modellazione nella comunicazione - tipi di modello - interpretazione delle informazioni del progetto - modellazione mediante tecniche CAD Progettazione Progettazione è il processo di costruzione, descrizione ed analisi delle forme e delle proprietà di un prodotto e del suo processo produttivo al fine di svolgere una data funzione Progettazione funzionale e progettazione estetica Progettazione in ambito ingegneristico Modelli del processo di progettazione Ingegneria simultanea

2 Progettazione Funzionale Applicazione delle conoscenze scientifiche per la soluzione di problemi tecnici e per la successiva ottimizzazione delle soluzioni adottate Estetica Processo creativo vincolato all aspetto delle forme La caratteristica principale del prodotto finale in entrambi i casi di progettazione citati è la forma Progettazione in ambito ingegneristico Processo iterativo Fase (breve) creativa Fase (lunga) di descrizione, analisi, selezione e modifica Fattori mercato tempi costi MODELLI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE MODELLI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE Formalizzazione del processo di progettazione attraverso la definizione di una successione di fasi Necessità Identificazione del problema Formulazione delle specifiche di progetto Ricerca delle possibili soluzioni Sviluppo delle soluzioni adottate Modello del processo di progettazione secondo Pahl e Beitz (1984) Modello del processo di progettazione secondo Pahl e Beitz Chiarificazione del compito Progetto concettuale Progetto di massima Progetto costruttivo Chiarificazione del compito raccolta di informazioni sulle caratteristiche e sui vincoli del progetto al fine di definire le specifiche di progetto

3 Modello del processo di progettazione secondo Pahl e Beitz Progetto concettuale definizione delle funzioni da includere nel progetto, identificazione dei principi di soluzione e sviluppo delle soluzioni concettuali Modello del processo di progettazione secondo Pahl e Beitz Progetto di massima Sviluppo dettagliato della soluzione concettuale soluzione dei problemi ed eliminazione dei punti deboli del progetto Modello del processo di progettazione secondo Pahl e Beitz Progetto costruttivo Definizione di forma, di dimensioni, delle tolleranze e dei materiali di ogni singolo componente con riferimento alla successiva fase produttiva Pahl & Beitz: diagramma di flusso definizione ed elaborazione delle specifiche Chiarificazione del compito Progetto concettuale Obbiettivo Chiarificazione del compito Elaborazione delle specifiche Specifiche Identificazione dei problemi essenziali Definizione delle strutture funzionali Ricerca dei principi di soluzione Definizione delle varianti concettuali Miglioramenti continua Pahl & Beitz: diagramma di flusso progettazione concettuale continua Pahl & Beitz: diagramma di flusso industrializzazione del prodotto Avanprogetto Concetto Stesure preliminari e disegno di forma Scelta della stesura migliore Valutazione mediante criteri economici Stesura preliminare Miglioramenti Disegno di dettaglio Stesura definitiva Finitura dei dettagli Completamento dei disegni di dettaglio Controllo dei documenti Miglioramenti Ottimizzazione e disegni di forma completi Controllo degli errori e costi effettivi Preparazione della lista delle parti Documentazione Soluzione

4 Modello del processo di progettazione secondo Ohsuga (1989) Progettazione suddivisa in fasi sequenziali ognuna delle quali sviluppa un modello sempre più dettagliato del progetto. Ogni fase si sviluppa secondo lo stesso schema: definizione di un modello di tentativo che viene valutato e modificato in base agli obiettivi del progetto ed in relazione alle specifiche fornite. La progettazione secondo Ohsuga: diagramma di flusso Il progetto concettuale Richieste Modello costruttivo Modifica e rifinitura Modello 1 Modello 2 Analisi e valutazione Progetto concettuale Progetto preliminare Ciascuna fase viene reiterata fino a che si raggiunge un livello di sviluppo che compete alla fase successiva. Modifica e rifinitura Analisi e valutazione continua La progettazione secondo Ohsuga: diagramma di flusso Il progetto preliminare ed il progetto di dettaglio Ingegneria simultanea (1991) Progetto di dettaglio Si rompe la sequenzialità delle fasi di definizione, di progettazione, di produzione e di commercializzazione. Modello n Generazione di informazioni per la pianificazione, la costruzione e il test Test di costruzione Le singole fasi vengono coordinate in parallelo per sfruttare tutte le possibili sinergie. Modifica e rifinitura Analisi e valutazione Prodotto Il prodotto viene valutato nel suo intero arco di vita già nel processo di progettazione. Gestione integrata dell attività industriale Struttura organizzativa Funzione Progettazione prodotto definizione concettuale e dei disegni di costruzione Produzione Marketing Acquisti migliorare produzione e assemblaggio aggiungere funzioni richieste dal mercato semplificazione degli approvvigionamenti Fornitori di riferimento processo produttivo: indicazione soluzioni ottimali. Assistenza ai clienti Pubblicazioni tecniche esigenze affidabilità e manutenzione realizzazione della manualistica in tempo reale Il P.D.M. (Product Data Management) La gestione dei dati tecnici di prodotto è finalizzata al controllo unificato dei dati tecnici aziendali e dei processi ingegneristici e tecnologici che li utilizzano. Questi dati sono correlati e coordinati con la gestione informatico aziendale per la gestione delle risorse materiali ed umane.

5 Gestione integrata dell attività industriale STRUMENTI DI AUTOMAZIONE ED INTEGRAZIONE DELLA PROGETTAZIONE MECCANICA Progettazione Prodotto Assistenza ai Clienti Produzione P.D.M Acquisti Fornitori di riferimento Marketing modellazione simulazione produzione test gestione progettuale SISTEMI CAD-CAM-CAE IL RUOLO DEL DISEGNO TECNICO INDUSTRIALE NELLA PROGETTAZIONE Modelli nel progetto modellazione simulazione produzione test gestione progettuale SISTEMI CAD-CAM-CAE Modelli del processo di progettazione v.s. modelli utilizzati nel progetto Rappresentazioni Finalità della rappresentazione Progetti elementari Rappresentazioni idea nella mente del progettista Progetti complessi elevato numero di persone, funzioni aziendali e strutture organizzative coinvolte Rappresentazione Formale Finalità delle Rappresentazioni aiuto alla memoria Strumento di comunicazione tra i partecipanti al progetto e le varie funzioni aziendali

6 ESSENZA DEL PROGETTO Il modello è lo strumento che permette di realizzare la elaborazione e la condivisione (trasferimento) delle informazioni inerenti al prodotto. Esso integra l attività di quanti (persone, funzioni aziendali, organiz-zazioni esterne) sono coinvolti nel programma attivato per la realizzazione del progetto TIPI DI MODELLO ASSOCIATI AL PROGETTO Proprietà di un prodotto Individuazione del modello più idoneo Alcune proprietà modellabili in un prodotto Funzione Struttura Forma Materiali Condizioni delle superfici Dimensioni Modello idoneo Il modello più idoneo, tra gli alternativi possibili, per la rappresentazione nel progetto è funzione delle proprietà del prodotto e dipende da colui cui il modello è destinato. Tra tutte le proprietà che è necessario modellare, hanno particolare rilievo forma e struttura. Il metodo più comune per rappresentarle è tradizionalmente grafico. DISEGNO Nella progettazione di impianti si ricorre a rappresentazioni schematiche (lay-out) attraverso diagrammi nei quali ci si avvale di simboli unificati o standardizzati a livello aziendale

7 Nelle fasi iniziali del processo di progettazione le varie idee vengono analizzate ricorrendo a schizzi con pochi dettagli. Quando, successivamente, le informazioni vengono generate per le attività produttive è necessaria una tecnica più diligente con disegni e diagrammi. E necessario che il linguaggio sia condiviso e compreso da tutti gli agenti della comunicazione Informazioni contenute nel progetto La ricezione della comunicazione progettuale comporta, nel destinatario, l attivazione di un comportamento attivo. Necessità di evitare errori protocolli standard di comunicazione Azioni di valutazione Azioni di generazione Azioni di Valutazione Azioni Generative Sono intraprese per valutare le proprietà ed il merito del progetto Sulla base del contenuto delle comunicazioni viene generato un flusso informativo dipendentemente dai destinatari, verso le funzioni a valle.

8 Estrazione e Combinazione delle Informazioni Queste azioni comportano la combinazione di informazioni per formare i nuovi modelli più idonei ai livelli di dettaglio delle fasi in corso. Trasformazioni del modello nel progetto Fini del progetto; Dati del Processo Produttivo; Dati del Sistema Produttivo... Modello per la valutazione del progetto Progetto Trasformazioni Ambiente; Casi di carico; Dati dei materiali... Dati per la Produzione Valutazioni del progetto Sulla base dei modelli trasmessi ad una certa funzione aziendale, l analista di progetto che in tale funzione opera può compiere le seguenti valutazioni: Valutazioni del progetto Accertamento visivo ispezione dei disegni per l accertamento della assenza di eventuali aree deboli Valutazione delle masse dei componenti si genera una semplice rappresentazione usando le informazioni dimensionali Valutazione dei carichi agenti sui componenti Valutazione dello stato tensionale Modellazione del progetto adoperando tecniche di CAD Rappresentazioni nella Valutazione dei Progetti Il compito della progettazione viene affrontato generando una serie di modelli mediante differenti metodi di rappresentazione del progetto. Coloro che sono coinvolti nella valutazione del progetto e nella fabbricazione del prodotto estraggono da questi modelli le informazioni che consentono di generare nuovi modelli cui fare riferimento nello svolgimento delle proprie attività

9 Diffusione della comunicazione e generazione di modelli per la revisione del progetto Computer Aided Design Modelli Cinematici Modelli Dinamici Scopi Specifiche Progettuali Sviluppo di Modelli di forma, di struttura, di superficie... Modelli di campo tensionale Modelli Termici Dati per la Produzione Tipi di approccio di base avanzato Il CAD si propone di applicare le tecnologie informatiche e telematiche sia alla modellazione sia alla comunicazione del Progetto. L approccio di base comporta l uso dei computer per automatizzare ed assistere il progettista nei compiti di produzione dei disegni e/o dei diagrammi e nella realizzazione delle distinte base del progetto. L approccio avanzato fornisce nuove tecniche di integrazione che permettono di affrontare il processo di progettazione con maggiore efficacia. Vantaggi del CAD Modelli Cinematici Modelli Dinamici Operazioni ripetitive Correzioni, aggiornamenti, modifiche Specifiche Progettuali Rappresentazione Centrale Data Base del Progetto Dati per la Produzione Situazioni complesse Simulazione ed informazioni aggiuntive Modelli di campo tensionale Modelli Termici

10 I vari modelli del progetto vengono sviluppati e rifiniti ed applicati al progetto; perché questo possa essere valutato nei suoi vari aspetti e per potere infine generare i dati per la produzione. Il CAD contribuisce a generare una Descrizione Centrale del progetto alla quale tutte le applicazioni e funzioni aziendali che afferiscono sia alla progettazione sia alla produzione devono ricondursi. INTEGRAZIONE Informatizzazione dell attività progettuale Le tecniche basate sull utilizzo del computer per la analisi e simulazione del progetto e per la sua fabbricazione devono essere strettamente integrate con le tecniche per la modellazione di forme e di strutture del progetto. Il CAD è un punto di partenza per lo sviluppo di metodi innovativi nella gestione del flusso del processo di progettazione Una descrizione centrale del progetto pone le basi per lo sviluppo di processi paralleli nello sviluppo di tutti gli aspetti di un progetto in una attività di ingegneria simultanea. Limiti del CAD Impatto limitato nelle prime fasi del progetto Non aiuta il progettista nelle parti dove è richiesta creatività Elevati tempi di implementazione dei modelli soprattutto nel 3D Architettura di un sistema CAE Altri moduli Modulo 2D DATA BASE CAD Modulo FEA Modulo 3D Modulo CAM Modulo Assembly al database centrale azienda S.Q.L.

11 Architettura di un sistema CAD Hardware Hardware Software Dati è costituito dal computer e dalle periferiche ad esso collegate Conoscenze umane ed attività Software Dati è costituito dai programmi che vengono eseguiti dall Hardware. Strutture di informazioni generate e/o gestite dal software Know-How Bagaglio culturale scientifico e tecnologico dell utente che deve amministrare le risorse. Il software normalmente comprende una serie di elementi o funzioni che elaborano le informazioni immagazzinate in modi diversi nel Data-Base

12 Funzioni assolte dal Software Definizione del modello Elaborazione del modello Generazione delle immagini Interfaccia con l operatore Gestione della base dati Applicazioni Utilità Definizione del modello Per definire un modello della forma di un componente Elaborazione del modello Generazione delle immagini per operare, trasferire, copiare, cancellare, editare o comunque modificare elementi nel modello del progetto per generare immagini del modello del progetto sul monitor o su una periferica Interfaccia con l operatore permette all operatore di fornire i comandi di input e mostra all utente un riscontro grafico delle operazioni eseguite dal sistema sul modello Gestione della base dati manipolazione dei file che costruiscono la base di dati

13 Applicazioni Elementi del software che non modificano il modello del progetto, ma lo adoperano per generare informazioni utili alle operazioni di valutazione, analisi o di produzione Utilità Termine che definisce parti del software che non intervengono direttamente sul modello, ma modificano in qualche modo le operazioni del sistema. Interazione con l operatore ed Utility sono strumenti specifici di un sistema CAD Approccio convenzionale ed approccio CAD Convenzionale CAD Strumenti per il Attrezzi disegno, calcolatrici, computers non Computer e periferiche con capacità grafiche specializzati Applicazioni dei metodi e costruzioni Algoritmi e Procedure grafici e delle modellazioni programmi (Software) analitiche Approccio convenzionale ed approccio CAD Strumenti per il disegno CAD Dati descritti Conoscenze ed attività umane Convenzionale Informazioni di archivio (sul progetto corrente ed altri) conoscenze, abilità, esperienza. CAD Informazioni strutturate in archivi elettronici e basi dati Conoscenze, abilità, esperienza+aiuto fornito dai programmi Computers e periferiche Applicazioni grafiche

14 Computers e periferiche Calcolo centralizzato Modello e analisi centralizzata Ieri: calcolo centralizzato I/O distribuito Oggi: calcolo distribuito Mainframe Terminali grafici Calcolo distribuito Modello centralizzato Calcolo distribuito Scambio di dati, programmi Condivisione di periferiche Workstations Rete Workstation Display Display processor Central processor Disk Keyboard Display Memory Printer Processo client / server RETE In una rete vi possono essere nodi più robusti che forniscono un servizio comune alle altre Workstation Server Plotter client server Dialogo messaggi che descrivono richieste messaggi che descrivono eventi

15 Dispositivi di visualizzazione Vettoriali Raster-Scan ( maggiormente diffusi ) Dispositivi hard-copy Plotter vettoriali Array di pixels Digital frame buffers Plotter raster Interazione con il sistema (tecniche per interagire con il modello) Azioni di controllo delle operazioni Input di dati Selezione di parti del modello Attività di interazione Posizionamento Locazione di punti Puntamento Selezione Hardware per interagire Cursore (SW) Mouse Tavolette digitalizzatrici RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DELLE CURVE

16 Argomenti della lezione: Disegno tradizionale curve parametriche curve spline curve di Bezier curve B-spline curve NURBS approccio: costruzione grafica es: ellisse q b p O a Geometria analitica equazioni implicite f(x,y) = 0 (curva nel piano) es: ellisse 2 2 x y = a b forma parametrica es: ellisse x = x(t) y = y(t) x = oq cos(t)=a cos(t) y = om sin(t)=b sin(t) o m q p equazioni esplicite y = f(x) (curva nel piano) es: ellisse (ramo) 2 x y = b 1 - Ł a ł infatti: 2 x a y a cos t b sin t = = b a b 2 2 = cos t + sin t - 1 = 0 Le rappresentazioni implicite ed esplicite non sono adeguate per il CAD Forma implicita y=mx+c eq. di una retta se la retta è quasi asse y => m -> matematicamente richiede la gestione di una eccezione

17 Forma esplicita ax + by + 2kxy + 2fx + 2gy + d = per ogni valore di x nascono due valori di y non è adeguata per il calcolo delle intersezioni (complicazioni nell algoritmo di rappresentazione) Tre problemi fondamentali diversità delle forme matematiche dei varie entità geometriche gestione dei limiti gestione delle trasformazioni geometriche difficile gestire le trasformazioni geometriche La rappresentazione delle curve più adatta per il CAD è quella parametrica Rappresentazione parametrica di entità geometriche nello spazio La forma parametrica utilizza uno o più variabili ausiliare dette parametri es: curva nello spazio P=P(u)=(x,y,z) dove x=x(u) y=y(u) z=z(u) Y Z u X In generale P=(x 1, x 2,..., x n ) vettore n-dimensionale U=(u 1, u 2,..., u k ) set di k-parametri con k n x i = x i (U) da cui la relazione funzionale P=P(u) definisce una entità geometrica k-dimensionale in uno spazio n-dimensionale

18 u Es: : in uno spazio euclideo (n=3) k=1=> U=(u) x=x(u), y=y(u), z=z(u) => eq. curva k=2=> U=(u,v) (1D) x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) => eq. superficie (2D) k=3=> U=(u,v,w) x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) => eq. solido (3D) Segmento fra due punti P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e P 1 (x 1, y 1, z 1 ) x = x0 + fu y = y0 + gucon f,g,h incognite z = z0 + hu posto 0 u 1 f = x1 - x0 x = x0 + ( x1 - x0 ) u g = y1 - y0 y = y0 + ( y1 - y0 ) u h = z1 - z0 z = z0 + ( z1 - z0 ) u Convenzione Il parametro u [0,1] => convenzione più usata Il parametro u [0,Lc], dove Lc è la lunghezza della curva Proprietà fondamentale delle curve parametriche (Bezier ) La forma delle curve parametriche dipende solo dalla posizione relativa dei punti che definiscono i loro vettori caratteristici ed è indipendente dalla posizione dell insieme totale di questi punti rispetto al sistema di coordinate in uso Le trasformazioni geometriche possono essere effettutate direttamente sui punti che definiscono i vettori caratteristici Nella modellazione è spesso necessario descrivere curve con flessi: Z u X Y CURVE POLINOMIALI CUBICHE

19 Forma algebrica delle curve p.c. L equazione di una curva p.c. nello spazio 3D Curve polinomiali cubiche (p.c.) 2 3 x = a x0 + a x1u + a x2u + ax3u 2 3 y = a y0 + a y1u + a y2u + ay3u 2 3 z = a z0 + a z1u + a z2u + a z3u con u [0,1] Abbiamo un sistema con 12 coefficienti incogniti Risoluzione di Lagrange Il sistema può essere risolto se sono noti 4 punti nello spazio ed il corrispondente valore del parametro u: [ x i (u i ) y i (u i ) z i (u i ) ]; i = 0,...,3 Risoluzione di Hermite Il sistema può essere risolto se sono noti i 2 punti estremi P 0 e P 3 ed i vettori tangenti (P 1 -P 0 ) e (P 3 -P 2 ) nei medesimi punti P 3 P 3 P 2 P 1 P 2 P 1 P 0 P 0 Forma vettoriale delle curve p.c. Espressione vettoriale parametrica di una curva p.c. : p = p(u) = a 0 + a 1 u + a 2 u 2 + a 3 u 3 dove le a i sono le 4 coefficienti vettoriali => 12 coefficienti scalari Risoluzione nella forma di Hermite Dato il sistema di equazioni: p( u ) = a 0 + a1u + a 2u 2 + a 3u 3 p u ( u ) = a 1 + 2a 2u + 3a 3u 2 siano noti i 2 punti estremi della curva P 0 = p(0) = p 0 e P 1 = p(1) = p 1 e le loro tangenti P u 0= p u (0) = p u 0 e Pu 1= p u (1) = p u 1

20 Agli estremi si ha: p ( u = 0 ) = p 0 = a 0 p ( u = 1 ) = p 1 = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 p u ( u = 0 ) = p u 0 = a 1 p u ( u = 1 ) = p u 1 = a a a 3 da cui a 0 = p 0 a p u 1 = 0 a p p p u p u 2 = a p p p u p u 3 = che sostituendo nella eq. della p.c. : p( u ) = ( 2u 3-3u 2 + 1) p + ( - 2u 3 + 3u 2 0 ) p ( u 3-2u 2 + u ) p u + ( u 3 - u 2 ) p u 0 1 posto F1 ( u) = 2u 3-3u F2( u) = - 2u 3 + 3u 2 F3( u) = u 3-2u 2 + u F4 ( u) = u 3 - u 2 si ottiene: p ( u ) = F1 ( u ) p 0 + F 2 ( u ) p F u p u F u p u 3 ( ) ( ) 1 dove F i (u) => Funzioni della base di Fergusson o Blending Functions e p 0,p 1,p u 0,pu => coeff. geometrici 1 Forma matriciale delle curve p.c. L equazione matriciale di una curva p.c. : p(u) = F B dove F = [ F 1 F 2 F 3 F 4 ] => matrice basi di Fergusson B = [ p 0 p 1 p u 0 pu 1 ]T => matrice coeff. geometrici Risoluzione nella forma di Hermite Dato il sistema di equazioni: p( u ) = a 0 + a1u + a 2u 2 + a 3u 3 p u ( u ) = a 1 + 2a 2u + 3a 3u 2 siano noti i 2 punti estremi della curva p(0) = p 0 e p(1) = p 1 e le loro tangenti p u (0) = p u 0 e pu (1) = p u 1 Agli estremi si ha: p ( u = 0 ) = p 0 = a 0 p ( u = 1 ) = p 1 = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 p u ( u = 0 ) = p u 0 = a 1 p u ( u = 1 ) = p u 1 = a a a 3 da cui a 0 = p 0 a p u 1 = 0 a p p p u p u 2 = a p p p u p u 3 =

21 che sostituendo nella eq. della p.c. : p( u ) = ( 2u 3-3u 2 + 1) p + ( - 2u 3 + 3u 2 0 ) p ( u 3-2u 2 + u ) p u + ( u 3 - u 2 ) p u 0 1 posto F1 ( u) = 2u 3-3u F2( u) = - 2u 3 + 3u 2 F3( u) = u 3-2u 2 + u F4 ( u) = u 3 - u 2 si ottiene: p ( u ) = F1 ( u ) p 0 + F 2 ( u ) p F u p u F u p u 3 ( ) ( ) 1 dove F i (u) => Funzioni di miscelamento o Blending Functions e p 0,p 1,p u 0,pu => coeff. geometrici 1 Forma matriciale delle curve p.c. L equazione matriciale di una curva p.c. : p(u) = F B dove F = [ F 1 F 2 F 3 F 4 ] => matrice funzioni di miscelamento B = [ p 0 p 1 p u 0 pu 1 ]T => matrice coeff. geometrici si può porre: con F = U M 3 2 [ 1] U = u u u Ø ø Œ œ M = Œ œ Œ œ Œ œ º ß dove M è la matrice di trasformazione universale F = U M F1 ( u) = 2u 3-3u F2( u) = - 2u 3 + 3u 2 F3( u) = u 3-2u 2 + u F4 ( u) = u 3 - u 2 da cui: p(u) = F B = U M B = = [ 3 2 u u u 1 ] Ø øøp0ø Œ œ Œp œ Œ œœ 1œ u Œ œœp0 œ Œ œœ uœ º ߺ p1 ß è l espressione matriciale di una curva p.c.

22 Blending functions Proprietà delle funzioni di miscelamento sono le stesse per qualunque curva p.c. l effetto di ogni singolo coefficiente che esprime le condizioni al contorno è disaccoppiato da quello dei rimanenti Utile per le manipolazioni CAD Funzioni di miscelamento 1,0000 Funzioni di miscelamento 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0,0000-0, ,15 0,25 0,35 0,5 0,65 0,75 0,85 1 F1 F2 F3 F4 Problemi Controllo non sempre intuitivo della forma Non è semplice controllare la curvatura solo attraverso i punti di intepolazione L uso di punti e vettori tangenti non è adeguata per l input interattivo Curve di Bézier (curve di approssimazione) Questi difetti vengono superati dalle Curve di Bézier Principio fondamentale I punti noti formano un poligono di controllo che la curva dovrà approssimare Espressione parametrica delle curve di Bézier p ( u ) = P f ( u ) con u [0,1] P i => (n+1) punti noti <=> punti di controllo f i (u) => funzioni di miscelamento n = grado del polinomio = i n = 0 i numero punti controllo -1 i

23 Proprietà delle funzioni di miscelamento devono permettere l interpolazione del primo e ultimo punto le tg in P 0 deve essere // a (P 1 - P 0 ) e P n in deve essere // a (P n - P n-1 ) devono essere simmetriche rispetto ad u ed (1-u) tali condizioni sono soddisfatte dalle funzioni di Bernstein da cui p( u ) = Funzioni di Bernstein n p ( u ) = B i, n ( u ) P i i = 0 con n! B u funz. di Bernstein i n n i i u i u n i, ( ) = ( 1 ) ( )!! n n! u i u n ( 1 ) i P i = 0( n i)! i! i Sviluppando l equazione precedente per il caso particolare di 4 punti di controllo (=> n=3) p(u) = ( 1 u) P + 3u( 1 u) P + 3u ( 1 u) P + u P ovvero 0 p(u) = F m B con F m =[(1-u) 3 3u(1-u) 2 3u 2 (1-u) u 3 ] funz. di miscelamento B= [P 0 P 1 P 2 P 3 ] T matrice dei punti di controllo ed in forma matriciale p(u) = U M B con 3 2 [ 1 ] U = u u u Ø ø Œ œ M = Œ œ Œ œ Œ œ º ß M = matrice di trasformazione universale Se si volesse esprimere le curve di Bézier attraverso le funzioni di miscelamento [F] si avrebbe: p(u) = [F] [P 0 P 3 P u 0 Pu 3 ] T = [F m ][P 0 P 1 P 2 P 3 ] T Po u = k ( P1 - P0 ) u P3 = k( P3 - P2 ) tg. nei punti estremi dove k è un fattore di scala arbitrario infine: p(u) = [F 0 F 1 F 2 F 3 ][P 0 P 3 k(p 1 - P 0 ) k(p 3 - P 2 ) ] T si pone k=3 per assicurare la congruenza delle due formulazioni: p(u) = [F 0 F 1 F 2 F 3 ][P 0 P 3 3(P 1 - P 0 ) 3(P 3 - P 2 ) ] T

24 La curva è contenuta all interno del poligono di controllo (convesso) e passa solo per il primo e l ultimo punto Proprietà delle curve di Bézier Controllo della forma della curva mediante lo spostamento dei punti di controllo Il grado della curva è uguale al numero dei punti di controllo -1 curva II grado curva III grado N.B.: lo spostamento di un punto modifica l intera curva (funz. di Bernstein non nulle su tutto l intervallo) curva IV grado Facendo coincidere gli estremi si ottiene una curva chiusa In alcuni casi è necessario che la curva passi esattamente per i punti dati (ad esempio nel disegno dei profili alari) => le curve di Bézier non sono adeguate Curve Spline (nome derivato dalla pratica navale ed aeronautica)

25 Continuità di una curva composita Curve Spline continuità C 0 => due curve hanno un estremo in comune (curve d interpolazione) C 1 2=3 1 C 2 4 continuità C 1 => due curve hanno in comune la tangente Continuità C 3 => nel punto in comune anche la curvatura (legata alla derivata II) è uguale 4 C 2 C 2=3 1 t g C 1 2=3 C Curve spline cubiche Unione di tratti di curva p.c. che interpolano un insieme di punti noti, ed avente continuità C 2 nei punti intermedi P 0 P 1 p (u) 1... P P P 3 n-1 P 2 n p (u) p (u) 3 n p (u) 2 dove: p 0,p 1,..p n => n+1 punti noti da interpolare p 1 (u),..,p n (u) => n tratti di curva p.c. u [U i-1,u i ] => parametro locale di ogni i-esimo tratto

26 Espressioni parametriche delle curve spline 2 p ( u) = A + A u + A u + A u p ( u) = A + A u + A u + A u p ( u) = A + A u + A u + A u n n0 n1 n 2 n 3 vi sono 4n coefficienti incogniti che si può riscrivere (con i=1,...,n) p ( U ) = p i i- 1 i- 1 p ( U ) = p i i i e per i punti interni i=1,...,n-1 u u p ( U ) = p ( U ) i i i+ 1 i uu uu p ( U ) = p ( U ) i i i+ 1 i in definitiva [4n] - [2n+2(n-1)]=2 => 2n equazioni => 2(n-1) equazioni Il sistema non può essere univocamente risolto Per definire una curva spline non è sufficiente fissare i punti da cui deve passare, ma bisogna definire anche le tg alla curva nei punti estremi La spline, in quanto unione di curve p.c., non può utilizzare un unico intervallo u [0,1], ma u [U 0, U 1,.., U n ] vettore dei nodi p( u =U ) n p( u = U ) 1 p( u = U ) 2 p( u = U ) 0 U 0 U 1 U 2 U n Intervallo del dominio u Scelta dei valori dei nodi Il metodo più semplice è porre U 0 =0, U 1 =1 ovvero U i =i => U i - U i-1 = 1 P i+1 Il metodo ideale è assegnare al nodo la lunghezza dell arco di curva: U 0 = 0, U 1 = U 0 + L 1 ovvero U i = U i-1 + L i con L distanza lungo la curva fra P i e P i+1 P i+1 U=i+1 L i U i+1 = U i + L i P i U=i Svantaggio: non è detto che i nodi sulla curva siano uniformemente spaziati => possono innescarsi oscillazioni non volute P i U i Svantaggio: la lunghezza della curva dovrebbe essere calcolata precedentemente alla assegnazione dei valori ai nodi => non è possibile

27 Un metodo pratico consiste nell assegnare al nodo la distanza fra i punti: U 0 =0, U 1 = U 0 + d 1 ovvero U i = U i-1 + d i Problemi delle curve spline lo spostamento di un punto da interpolare modifica l intera curva con d i distanza fra P i e P i+1 P i+1 d i U i+1 = U i + d i P i U i Interpolare punti non equidistanziati origina oscillazioni non volute Sia le curve di Bézier che le Spline non permettono modifiche locali della curva; inoltre, per le curve di Bézier, il grado della curva è legato al numero dei punti di controllo tali limiti sono superati dalle curve B-spline Principio fondamentale Curve B-spline (curve di approsimazione con possibilità di interpolazione) Le curve B-spline utilizzano delle funzioni di miscelamento cha hanno influenza locale e dipendono solo da alcuni punti di controllo circostanti

28 Espressione delle B-spline n ( ) = i, k ( ) i = 0 p u N u Pi N.B. il grado del polinomio è indipendente dal n dei punti di controllo dove P i =n+1 punti dati o punti di controllo N i,k = funzioni di miscelamento polinomiali k = ordine del polinomio = grado polinomio+1 N Funzioni di miscelamento Definizione ricorsiva 1 se U i u U, 1( u) = 0 altrimenti i N ( u - Ui ) = U U N u i k-1( ) + ( - ) i, k, i+ k-1 i ( U i+ k - u) + N ( U - U ) i+ k i+ 1 i+ 1, k-1 i + 1 dove i = i-esimo tratto della curva U = [U 0, U 1,..., U m ] vettore dei nodi ( u) Convenzione Si assegna ai nodi U i un valore intero (eventualmente ripetuto) tale che: U i - U i-1 = 1 (oppure 0) occorre tenere conto delle particolarità agli estremi: U i = 0 U i = i-k+1 U i = n-k+2 se i<k se k i n se i>n es: U = [0,1,2,3,4,5] vettore dei nodi si impone inoltre che 0/0 = 1

29 La curva B-spline,definita come sopra, approssima tutti i punti noti e passa per gli estremi con opportune modifiche si può anche avere una curva che non passa per gli estremi Esempi di funzioni di miscelamento curva a sei punti di controllo => n=5 k=1 => 0 u 6 1 U = [0,1,2,3,4,5,6] N 0,1 0 u 1 N ( u) = se 0 u 1 0, 1 0 altrimenti N N ( u) = se 5 u 6 5,1 5, 1 0 altrimenti 0 u k=2 => 0 u 5 => U = [0,0,1,2,3,4,5,5] N N 0, 1 5, 1 1 se u = 0 ( u) = 0 altrimenti se 4 u 5 0 ( u) = 0 altrimenti N 0, 2 ( u ) = ( 1 - u ) N 1, 1 ( u ) N 1, 2 ( u ) = un1, 1 ( u ) + ( 2 - u ) N 2, 1 ( u ) N 5, 2 ( u ) = ( u - 4 ) N 5, 1 ( u ) N 0,2 u 1 N N 1, 2 5,2 0 u In generale 1 N (u) i,k Ogni punto di controllo influenza solo K segmenti di curva e, viceversa, ogni 0 i u segmento di una curva B-Spline e influenzato da K punti di controllo N i,k (u) = 1 se u = U i N i,k (u) -> 0 allontanadosi da U i

30 Proprietà delle funzioni di miscelamento vi è una funzione corrispondente ad ogni punto di controllo le funzioni sono positive (ovvero attraggono la curva) la curva è diversa da zero al piu in k intervalli consecutivi per ogni valore u nel dominio, la somma delle funzioni di miscelamento è 1 il numero dei nodi è uguale al numero dei punti di controllo + l ordine i nodi sono dati in sequenza non decrescente Vantaggi delle curve B-spline Il grado della curva è indipendente dal numero dei punti di controllo Le funzioni di miscelamento sono diverse da zero solo in un intervallo => si può spostare un punto di controllo senza modificare l intera curva si può usare un elevato numero di punti di controllo senza che s inneschino oscillazioni nella curva aumentando la molteplicità di un nodo si attira la curva verso quel nodo Se la molteplicità di un nodo è uguale all ordine della curva => la curva passa per il corrispondente punto di controllo

31 Le curve Spline, B-spline e Bézier costituiscono i principali metodi di modellazione di curve utilizzati nel CAD Svantaggio: queste forme rappresentano le forme quadratiche solo in modo approssimato NURBS Polinomi Razionali Le curve B-spline si dividono in tre categorie: NURBS: B-spline razionali non uniformi (Non Uniform Rational B-spline) uniformi non uniformi razionali lo distanza fra i nodi non è uniforme u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u n u Vantaggi delle NURBS a differenza delle B-spline possono rappresentare esattamente le curve coniche Le NURBS sono generalmente più utili nell interpolazione analogamente per le superfici (es. sfere, cilindri) permettono di interpolare anche punti non uniformemente equispaziati

32 Ulteriori parametri, detti pesi (weights), permettono un controllo più fine della curva I pesi (w i ) determinano l influenza di un punto di controllo su un tratto limitato della curva Le NURBS sono una generalizzazione delle forme B-Spline e di Bézier Espressione delle NURBS n p( u) = p u i i R ( ) = 0 i, k dove: p i : i-esimo punto di controllo R i,k (u) : funz. di miscelamento NURBS Le funzioni di miscelamanto delle NURBS sono: Ri, k ( u) = Ni, k ( u) wi n N j, k ( u) w j j= 0 dove N i,k funz. miscelamento B-spline w i peso i-esimo punto di controllo Proprietà Le funzioni di miscelamento sono dei rapporti di polinomi => da qui il termine Razionali Hanno le stesse proprietà analitiche e geometriche delle B-Spline Se tutti i pesi sono unitari (w i =1,i=1,..,n) R i,k (u) = N i,k (u) Cambiando il valore di un solo peso w i si modificano solo k tratti consecutivi di curva (con k=ordine curva) Si possono pensare i pesi come fattori di accoppiamento fra il punto di controllo e la curva NURBS (es. aumentando il peso si attira la curva verso il punto di controllo)

33 Si può dimostrare che le forme coniche sono rappresentabili esattamente dalle NURBS Le Coniche Equazioni delle coniche cerchio ellisse x + y = r x a y + = b 2 1 y r x parabola 2 y = ax + bx + c iperbole (equilatera) xy = c Una curva polinomiale cubica può rappresentare esattamente un arco di parabola nello spazio 2 x( u) = a + a u + a u + a u y( u) = b + b u + b u + b u z( u) = c + c u + c u + c u La mappa proiettiva della cubica sul piano z=1 genera un altra conica che può essere una iperbole o ellisse descritta dal punto corrente di coordinate: [x w y w ] <=> [x/z y/z 1]

34 z z ARCO DI PARABOLA ARCO DI PARABOLA (X,Y,Z) (X,Y,Z) y Z=1 (X/Z,Y/Z,1) y x x ARCO DI IPERBOLE z z ARCO DI PARABOLA Z=1 O p (X/Z,Y/Z,1) q p (X,Y,Z) y Z=1 (X/Z,Y/Z,1) (X,Y,Z) y x q x ARCO DI IPERBOLE Pertanto le espressioni parametriche : 2 3 w a + a u + a u + a u x ( u) = 2 3 c + c u + c u + c u w b + b u + b u + b u y ( u) = 2 3 c + c u + c u + c u sono sotto forma di rapporti di polinomi 3 Generalizzando allo spazio [x w y w z w ], ovvero [x y z w], si possono rappresentare anche curve nello spazio utilizzando le coordinate omogenee, è possibile rappresentare una conica definita su di un piano (due dimensioni)

35 Se in luogo di semplici espressioni p.c. si utilizzano espressioni tipo B-Spline (con l ulteriore aggiunta dei pesi ) si giunge al concetto di NURBS Le NURBS possono pertanto essere pensate come generalizzazione delle precedenti espressioni Le coniche possono essere considerate un caso particolare delle NURBS Nella trattazione delle NURBS si è utilizzato il concetto di coordinate omogenee Concetti correlati : sistemi di coordinate (tradizionali) sistemi di coordinate particolari coordinate omogenee trasformazioni Sistemi di coordinate e Sistemi di riferimento Coordinate Omogenee Sistemi di coordinate Coordinate Cartesiane Coordinate Cilindriche Coordinate Sferiche o Polari Coordinate Omogenee Sistema maggiormente diffuso nell ambito delle applicazioni CAD/CAE. Consiste nella definizione del vettore posizione dei punti mediante 4 elementi nella forma : [w x w y w z w] con : x, y, z coordinate cartesiane del punto w fattore di scala

36 Applicazione delle coordinate omogenee di interesse per il CAD: NURBS trasformazioni prospettiche trasformazioni di coordinate (rotazioni, traslazioni... ) Sistemi di riferimento Coordinate Globali (o Mondo ) Coordinate Locali (ACS) Coordinate di Vista (impropriamente dette Screen ) Coordinate Osservatore Sistema di riferimento Locale La memorizzazione dei vertici di un oggetto avviene rispetto ad alcuni punti convenientemente localizzati sull oggetto o nelle sue vicinanze Semplificazione nella modellazione e nell applicazione delle trasformazioni Sistema di riferimento Globale Gli oggetti modellati devono essere posizionati nello scenario ed ad esso univocamente riferiti. L insieme di tutti gli oggetti modellati, ognuno col proprio riferimento locale, costituisce lo scenario globale. Sistema di riferimento dell osservatore Si utilizza per la definizione dei parametri e del volume della vista prospettica dello scenario. Comporta la definizione del punto di vista e dell angolo di visuale (indirettamente tramite definizione del volume da visualizzare) Sistema di riferimento di vista E associato al piano su cui viene rappresentato l oggetto.

37 Sistemi di riferimento nel sistema di coordinate adottato L E S W Trasformazioni manipolazione degli enti geometrici, cambiamento : della posizione, dell orientamento, della forma rispetto al sistema di riferimento Trasformazioni Corrispondenza biunivoca tra due luoghi di punti Trasformazioni Traslazioni Rotazioni Trasformazioni di scala Simmetria e Riflessione Traslazioni Traslazione rigida di un oggetto secondo un vettore t = [t x t y t z ] z t [ x' y' ØI z' 1] = [ x y z 1] º Œt [ x y z ] = [ x y z] [ I] + t 0ø 1ß œ C.O. x y

38 Rotazioni Rotazione rigida di un angolo γ attorno ad un asse coordinato es. asse x. Ø1 0 0 ø R g = Œ0 cosg - sing œ Œ œ º Œ0 sing cosg ßœ da cui: ØR g 0ø [ x' y' z' 1] = [ x y z 1] º Œ 0 1ß œ [ x y z ] = [ x y z] [ R g ] C.O. z e x h Rotazioni Rotazione rigida di un oggetto rispetto all origine (scomposta in 3 rotazioni q, b, g attorno agli assi coordinati) x g y ØRJbg 0ø [ x' y' z' 1] = [ x y z 1] º Œ 0 1ß œ [ x y z ] = [ x y z] [ R Jbg ] C.O. z Trasformazioni di scala Amplificazione o riduzione di scala di un oggetto secondo una matrice diagonale S = Diag([S x S y S z ]) x y ØS 0ø [ x' y' z' 1] = [ x y z 1] º Œ0 1ß œ [ x y z ] = [ x y z] [ S ] C.O.

39 x z y Riflessioni e simmetria Permettono di ottenere oggetti riflessi rispetto ad un punto, una retta od un piano. es. : rispetto piano x=0 ØRf 0ø [ x' y' z' 1] = [ x y z 1] Œ 0 1œ º ß [ x y z ] = [ x y z] [ R ] f C.O. rispetto piano x=0 rispetto asse x rispetto origine R R R f f f = = = x z y La composizione delle trasformazioni in coordinate omogenee può essere effettuata attraverso il prodotto delle relative matrici di trasformazione [x y z 1] = [x y z 1] T 1 [x y z 1] = [x y z 1] T 2 = [x y z 1] T 1 T 2 T = T 1 T 2 RAPPRESENTAZIONE MATEMATICA DELLE SUPERFICI N.B.: T 1 T 2 T 2 T 1

40 Argomenti della lezione: patch surface superfici rigate superfici sculturate superfici bicubiche superfici di Bezier superfici B-spline lofting Le tecniche di rappresentazione più usate per modellare le superfici derivano come estensione da quelle delle curve Le superfici condividono molte delle proprietà delle curve Geometria analitica Equazioni implicite f(x,y,z) = 0 Equazioni esplicite z = f(x,y) forma parametrica x = x u, v ( ) y = y( u, v) z = z( u, v) es: sfera raggio r,centro (x 0,y 0,z 0 ) x = x + r cosu cosv 0 y = y + r cos u sinv 0 z = z + r sinu 0 P P - u v 2P Esempio : sfera raggio r, centro (x 0,y 0,z 0 )=(0,0,0) x = x + r cosu cos v 0 y = y + r cos u sinv 0 z = z + r sinu 0 x v z r u p y P P - u v 2P ricordiamo i tre problemi fondamentali delle forme implicite ed esplicite diversità delle forme matematiche delle varie entità geometriche gestione dei limiti gestione delle trasformazioni geometriche

41 In analogia con le curve le rappresentazioni implicite ed esplicite non sono adeguate per il CAD La rappresentazione più adatta è quella parametrica Tipi di superfici Porzioni di superfici (Surface patch) Superfici rigate Superfici bilineari (Coons patch) Superfici bicubiche (Bicubic patch) Superfici di Bèzier Superfici B-Spline/NURBS Superfici cilindriche Superfici di rivoluzione Curva Il segmento è l elemento più semplice per creare delle curve composite Parametro 0 u 1 Porzioni di superfici Superficie La porzione di superficie (patch) è l elemento più semplice per creare delle superfici complesse Parametri 0 u 1, 0 v 1 Un patch è definito da: 4 curve che lo delimitano (curve di contorno) 4 punti angolari (intersezione fra le curve) u=0 P 00 P 01 v=0 v=1 P 10 P 11 u=1 I parametri u e v variano monotonicamente lungo il patch => si parla di patch biparametrico (NB. un segmento di curva è monoparametrico) Se si fissa un valore del parametro (es. u) e si fa variare l altro (v) in tutto il suo campo si ottiene una curva che scorre lungo la superficie: tale curva è detta isoparametrica. v v u u=u i

42 Ripetendo l operazione per vari valori di u e v si ottiene un reticolo sulla superficie ( mesh ) Esempio : segmento rettangolare piano x,y y (a,d) u=0 v=1 (c,d) u=1 v u (a,b) v=0 x = ( c - a) u + a y = ( d - b) v + b z = 0 (c,b) x 0 u 1 0 v 1 Superfici rigate Interpolazione di due curve assegnate: C 0 (u) e C 1 (u) da cui si ottiene p(u,v) = (1-v) C 0 (u) + v C 1 (u) C v 1 (u) u C 0 (u) Superfici sculturate Date: 4 curve qualsiasi {C 1 (u),c 2 (u),d 1 (v),d 2 (v)} nello spazio Obiettivo: creare una superficie p(u,v) miscelamento (o interpolazione) delle curve date Metodo: il più semplice è il miscelamento bi-lineare di Coons P 01 C 1 Espressione parametrica della superficie: P 11 D 0 D 1 P 00 C 0 P 10 Funzioni di miscelamento: f(t) = 1 - t dove t = u oppure v g(t) = t P(u,v) = C 0 (u) f(v) + C 1 (u) g(v) + D 0 (v) f(u) + D 1 (v) g(u) + - P 00 f(u)f(v) + P 01 f(u)g(v) + - P 10 g(u)f(v) + P 11 g(u)g(v)

43 Vantaggi semplicità nella formulazione Svantaggi non permette di mantenere la continuità fra patch attigui Evoluzione qualora si voglia mantenere la continuità si possono usare funzioni di miscelamento di ordine più elevato (es. terzo) Superfici Bicubiche Curva Le curve polinomiali cubiche sono usate per creare forme complesse (entro certi limiti) Parametro 0 u 1 Superficie Le superfici bicubiche sono usate per creare superfici complesse (entro certi limiti) Parametri 0 u 1, 0 v 1 Espressioni parametriche della sup. bicubica P 01 P u 01 P v 01 v=1 P 11 P v 11 Forma algebrica P v 00 P 00 u=0 P u 00 v=0 P v 10 u=1 P 10 P u 11 P u 10 p( u, v ) = 3 i = 0 j= 0 i a u v ij dove u e v sono i parametri [0,1] a ij = [a ijx, a ijy, a ijz ] sono 16 coeff. algebrici (vettoriali=>48 scalari) incogniti 3 j Forma matriciale p(u,v) = U A V T dove U = [u 3 u 2 u 1] V = [v 3 v 2 v 1] A = matrice 4x4 dei 16 coefficienti a ij Calcolo dei coefficienti condizioni al contorno, si suppongono noti, nei 4 vertici: p, p, p, p > vett. posizione vertici u u u u > tg alle isop. v=0 e v=1 v v v v > tg alle isop. u=0 e u=1 p, p, p, p p, p, p, p (12 relazioni vettoriali)

44 Mancano 4 relazioni vettoriali: si introducono i vettori torsione (twist vectors) che rappresentano la variazione del vettore tangente ad una curva isoparametrica al variare del parametro che definisce la curva medesima p u ( u, v + Dv) 0 0 u=u 0 p u ( u, v ) 0 0 D p u u v=v 0 + v v=v 0 = p ( u u, v + D v ) - - p ( u u, v ) v si pone: p 2 u Dp u, v u 0, v 0 u 0, v 0 0 p( u0, v 0 ) = = lim u v Dv - > Dv Le relazioni mancanti si ottengono imponendo particolari condizioni ai 4 twist vectors calcolati nei vertici del patch. u=u 0 v=v 0 + v v=v 0 NB. si parla di twist vectors perché con tali vettori si può controllare la torsione locale della superficie p p p p u, v 0, 0 u, v 0, 1 u, v 1, 0 u, v 1, 1 = = = = 2 p ( 0, 0 ) u v 2 p ( 0, 1 ) u v 2 p ( 1, 0 ) u v 2 p ( 1, 1 ) u v Semplificazioni: Ferguson p p p p u, v 0, 0 u, v 0, 1 u, v 1, 0 u, v 1, 1 = = = =

45 Continuità fra patch patch adiacenti Superfici di Bézier p 01 p 11 = q 01 p 10 = q 00 p uv 11 p u 11 q u 01 q uv 01 q 11 Curva Le curve di Bézier sono nate per superare alcuni limiti delle curve p.c. Parametro 0 u 1 Superficie Estensione delle proprietà delle delle curve omonime Parametri 0 u 1, 0 v 1 p 00 q 10 Una superficie di Bézier è definita da una griglia di punti detto poliedro caratteristico di controllo. Per ogni punto della superficie passano due curve di Bézier. Mantengono i pregi ed i difetti delle omonime curve P 12 Superficie di Bézier P 11 P 13 P 14 P 24 P 34 P 22 P 32 P 42 v u P 21 P 23 P 33 P 43 P 31 P 41 P 44 Equazioni delle superfici di Bézier Forma algebrica m p( u, v ) = B ( u ) B ( v ) p i = 0 j= 0 i, m j, m ij u e v => parametri [0,1] p ij => vertici poliedro di controllo B i,m e B j,n => funz. di miscelamento n e m => grado delle curve n Funzioni di miscelamento del terzo grado B B i, 3 j, 3 3! i ( u) = u ( 1 - u) i!( 3 - i)! 3! j ( v) = v ( 1 - v) j!( 3 - j)! con i,j = 0,1,2,3 3-i 3- j

46 Forma matriciale p(u,v) = F m (u) P F T m (v) dove P = matrice 4x4 dei vertici p ij di controllo F m (u) = [(1-u) 3 3u(1-u) 2 3u 2 (1-u) u 3 ] F m (v) = [(1-v) 3 3v(1-v) 2 3v 2 (1-v) v 3 ] ponendo m=3: F3 ( u) = UM3 = 3 2 [ u u u 1] Ø ø Œ œ Œ œ Œ œ Œ œ º ß si ottiene p(u,v) = (U M 3 ) P (V M 3 ) T = U M 3 P M 3T V T con M matrice di trasformazione Superfici B-spline da cui si ottiene la legge di passaggio dai coefficienti algebrici ai punti del poliedro di controllo: A = M 3 P M 3 T Curva Le curve di B- spline sono nate per superare alcuni limiti delle curve spline e di Bézier Parametro 0 u 1 Superficie Estensione alle superfici delle medesime proprietà delle relative curve Parametri 0 u 1, 0 v 1 La superficie approssima un poligono caratteristico di controllo, passa per i punti d angolo ove p u e p v hanno le direzioni dei due spigoli del poliedro caratteristico Espressioni delle superfici B-spline Forma algebrica m n p( u, v ) = N ( u ) N ( v ) p i = 0 j= 0 i, k j, l ij u e v => parametri [0,1] p ij => vertici poliedro di controllo N i,k e N j,l => funz. di miscelamento (n+1) (m+1) => numero punti controllo k e l => grado funz. miscelamento

47 Forma matriciale p(u,v) = (U k M k ) P k l (V l M l ) T dove P kl = matrice k x l dei vertici di controllo U K = [1 u u 2... u k ] V l = [1 v v 2... v l ] M = matrici di trasformazione Queste superfici mantengono i vantaggi e gli svantaggi delle curve B- spline: la superficie non passa per i punti di controllo (salvo aumentare la molteplicità dei corrispondenti nodi) il grado delle funzioni di miscelamento è indipendente dal numero dei punti di controllo se si sposta un punto la superficie cambia localmente Caso particolare: superficie chiusa Il Lofting deriva dalle costruzioni navali. lofting tradizionale: disegni in scala 1:1 effettuati in solaio ( loft ) Procedura (tradizionale) definizione sezioni trasversali principali interpolazione di alcuni punti in senso longitudinale mediante curve costruite con splines elastiche Applicazione al campo aeronautico: Svantaggi: processo iterativo tentativo/correzione non fornisce una definizione matematica univoca della superficie costruzione sezioni intermedie Lofting conico

48 Lofting conico Vantaggi: grande varietà di forme costruzione grafica semplice le sezioni risultano matematicamente definite Procedura (lofting conico) definizione sezioni trasversali principali mediante archi di coniche interpolazione dei tre punti (A,B,S) in senso longitudinale mediante linee longitudinali di controllo costruzione sezioni intermedie La curva conica viene costruita fissando i punti iniziale e finale (A e B) e le tangenti in detti punti (queste si incontrano nel punto C). A C A Generazione della curva conica S C La curva inoltre deve passare per il cosiddetto punto di spalla (S). S B B Generazione della curva conica Generazione della curva conica A C A C S S B B

49 Generazione della curva conica Generazione della curva conica A C A C S S P 2 P 1 B B Generazione della curva conica Generazione della curva conica A C A C S P 4 S P 3 B B A Generazione della curva conica C Linee di controllo longitudinale S B Le sezioni trasversali assegnate ( stazioni di controllo ) presentano i punti notevoli A,B,S. Le curve che li collegano in senso longitudinale devono essere ben avviate, e vengono denominate: linee di controllo longitudinale.

50 Linee di controllo longitudinale A A S Solitamente (ma non è vincolante) le sezioni trasversali hanno tangenti nei punti A parallele al piano orizzontale e nei punti B parallele al piano verticale. A A S S B B Nella vista laterale le curve che uniscono i punti A e C risultano sovrapposte. Analogamente nella vista in pianta sono sovrapposte le curve che uniscono i punti A e B S B B A S B,C C A A S B,C Le due proiezioni delle linee di controllo longitudinale possono essere utilizzate per ricavare le sezioni trasversali intermedie A,C S B B S A,C S B Il parametro di forma delle coniche in cui : Per controllare meglio l andamento dei punti S, spostandosi da una sezione trasversale ad un altra, si può considerare il parametro di forma: DS = r DC AD = DB C B S D A r > 0.5 per l iperbole r = 0.5 per la parabola r < 0.5 per l ellisse r = ed AC = CB per il cerchio I valori di r relativi alle semisezioni superiori ed inferiori vengono fatti variare con gradualità.

51 Vista in pianta MODELLAZIONE Sezioni trasversali r Vista laterale Conica inferiore r = GEOMETRICA TRIDIMENSIONALE Conica superiore Argomenti della lezione: Modello Geometrico Solido Il concetto di Modellazione Geometrica Approccio Wire Frame Approccio CSG Approccio B-Rep è una rappresentazione matematica di un oggetto fisico mediante un elaboratore elettronico. La rappresentazione deve essere: completa non ambigua Evoluzione storica della rappresentazione tridimensionale rappresentazione per spigoli (wireframe) non completa e ambigua rappresentazione per superfici di contorno (B-Rep) completa e non ambigua rappresentazione per volumi (CSG) completa e non ambigua APPROCCIO WIRE-FRAME Rappresentazione dell oggetto fisico attraverso i suoi spigoli utilizzando le entità geometriche elementari: punti segmenti curve (archi di circonf.... B-Spline)

52 APPROCCIO WIRE-FRAME Consente di ricavare dal modello solo i dati geometrici elementari come distanze tra punti e angoli tra le rette. Non è possibile la rappresentazione analitica di oggetti solidi. E compito dell utente interpretare il modello Wire-Frame come entità solida. Limiti della rappresentazione Wire-Frame Possibilità di ottenere modelli ambigui Possibilità di ottenere oggetti privi di senso Assenza di coerenza grafica tra oggetto e modello (es mancanze delle linee di profilo) Prolissità della rappresentazione Esempi di modelli Wire-Frame non ambigui Esempio tradizionale di modello Wire-Frame ambiguo oggetti definiti a 2 dimensioni e 1/2 (profili sviluppati, solidi estrusi) Esempio di modello Wire-Frame irreale Esempi di assenza di coerenza grafica tra oggetto fisico e modello linee di profilo

53 L incompletezza della rappresentazione Wire-Frame non influisce solo sulla rappresentazione grafica dell oggetto, ma penalizza il sistema anche sotto altri aspetti. Per esempio il modello è inadeguato all impiego in verifiche di interferenza Dati necessari alla definizione univoca di un modello geometrico Dati Geometrici Dati Topologici DATI GEOMETRICI DATI TOPOLOGICI Forniscono le informazioni di base per la definizione della forma dell oggetto (es. coordinate dei punti del poliedro caratteristico di una superficie di Bèzier) Forniscono le informazioni di connessione tra le componenti geometriche di base Modello matematico di un solido Il modello matematico (astratto) di un solido si ottiene dalla combinazione di un numero limitato di entità base di tipo geometrico. Ogni entità appartiene ad una classe di sottinsiemi dello spazio R 3 denominati r-sets. Proprietà degli r-sets sets (solidi) Limitati Chiusi Regolari Semianalitici

54 Vincoli di carattere fisico sui solidi Operazioni sugli insiemi quali gli r-sets sets Rigidità Omogeneità tridimensionale Finitezza del solido Finitezza del numero di entità di base Contorno non ambiguo Unione Differenza Intersezione Complemento Esempio:primitiva cubo Esempio:primitiva tronco di cono Esempio:primitive di partenza Esempio:unione

55 Esempio:intersezione Esempio: differenza (cubo - cono) Esempio: differenza (cono - cubo) La necessità di rispettare i vincoli fisici della rappresentazione tridimensionale impone l utilizzo di operatori regolarizzati. Operazioni regolari sugli r-sets (solidi) Unione regolarizzata Differenza regolarizzata Intersezione regolarizzata (Complemento regolarizzato) Esempio di intersezione pura A B intersezione non regolare A B

56 Esempio di intersezione regolarizzata La modellazione CSG (Constructive Solid Geometry) A * B La costruzione dei modelli solidi consiste nella composizione di entità A B tridimensionali primitive mediante operatori Booleani. Primitive solide Parallelepipedo Cilindro Cono Sfera Toro Esempi di Primitive solide Parallelepipedo z y x Lx=5, Ly=10, Lz=3 Esempi di Primitive solide: Cilindro Esempi di Primitive solide: Cono z y z y x x raggio=5, altezza=10 raggio=5, altezza=10

57 Esempi di Primitive solide: Sfera Esempi di Primitive solide: Toro z y z y x x raggio=5 raggio minore =5, raggio maggiore=15 Esempio di instanziazione: due istanze della primitiva sfera Sfera (r=5) Sfera (r=10) Operatori di spostamento traslazione la nuova posizione del solido è definita da un vettore spostamento rotazione la nuova posizione del solido è definita da un asse di rotazione e da uno spostamento angolare roto-traslazione combinazione dei due precedenti operatori Operatori di spostamento: roto-traslazione traslazione In generale un qualsiasi movimento è rappresentato da una matrice 4x4 ØR º Œ S 0ø 1ß œ dove R è la matrice di rotazione (3x3) S è la matrice di spostamento (3x1) Operatori di spostamento: traslazione posizione iniziale posizione finale spostamento => dx=-20, dy=20, dz=0

58 matrice di traslazione S = [ dx dy dz] Traslazione Ø ø p = [ x y z 1] = [ x y z Œ œ 1] Œ œ Œ œ Œ º dx dy dz 1œ ß ØI 0ø = p Œ œ º S 1ß Operatori di spostamento: rotazione attorno asse x matrice di rotazione α Ø1 0 0 ø R = Œ0 cos( a) sin( a) œ Œ œ º Œ0 - sin( a) cos( a) ßœ posizione iniziale posizione finale rotazione => rx=90 Rotazione Ø ø p = [ x y z 1] = [ x y z Œ0 cos( a) sin( a) 0œ 1] Œ œ Œ0 - sin( a) cos( a) 0œ Œ º œ ß ØR 0ø = p Œ œ º 0 1ß CSG: Rappresentazione interna di una primitiva Ogni primitiva è rappresentata come risultato dell intersezione tra semispazi. Es. sfera => 1 semispazio. cilindro => intersezione 3 semispazi.

59 Esempio di semispazio: sfera => 1 semispazio z n y Esempio di semispazio: cilindro => 3 semispazi n 2 z n 1 y x n 3 x Struttura dati CSG albero CSG Normalmente si utilizza una struttura ad albero binario che ha per foglie le primitive solide, alle quali può essere applicato un moto rigido (il punto base delle primitive coincide con l origine), per nodi non terminali gli operatori booleani regolarizzati. B *- *+ C A Solidi di rivoluzione e Solidi di estrusione ( SWEEP ) Esempio di sweep rotazionale Sono quei solidi risultanti dalla rotazione attorno ad un asse (Sweep rotazionale) oppure dalla traslazione lungo una direzione fuori piano (Sweep traslazionale) di una superficie piana.

60 Esempio di sweep traslazionale Rappresentazione grafica di un solido CSG Traslazione Per rappresentare un solido in termini di facce, spigoli e vertici occorre eseguire una conversione di rappresentazione chiamata BOUNDARY EVALUATION Boundary Evaluation Algoritmo di Boundary Evaluation Rappresentazione CSG B *+ *- C A Boundary Evaluation B-rep FACCE SPIGOLI VERTICI Temptative Edge Classificazione di ogni Temptative Edge Selezione degli edges posti sul contorno Architettura di sistema CSG Modellazione con primitive sweep di un profilo Motore CSG B-Eval. Visualizzazione Copertura geometrica del CSG E determinata dalle primitive di base. E possibile la rappresentazione esatta dei solidi il cui contorno trovi riscontro nelle primitive di dotazione.

61 La modellazione B-Rep (Boundary Representation) Relazione faccia - superficie Il solido è descritto mediante le facce che lo delimitano (Boundary). Ciascuna faccia è una porzione di superficie di area non nulla, delimitata da spigoli collegati tra loro in vertici e senza punti isolati. Regolarità delle facce Chiuse Orientabili Esempio di superficie autointersecante (bottiglia di Klein) Non autointersecanti Limitate Connesse Esempio di facce chiuse, orientabili, non autointersecanti, limitate e connesse Esempio di faccia non regolare n n n regolare non regolare

62 GRAFO Per tenere aggregate le informazione geometriche e topologiche associate al solido si usa normalmente una struttura a grafo che abbia come radice il solido, come figli le facce, come nipoti gli spigoli. F3 S3 S4 S6 S1 F1 Esempio di grafo F2 F4 S2 S5 Tetraedro F1 F2 F3 F4 S1 S2 S3 S4 S5 S6 WINGED EDGE GRAPH Nei sistemi interattivi si arricchisce il grafo con informazioni aggiuntive in modo da poter risalire da un determinato spigolo alle rispettive facce e quindi al solido di appartenenza descrivendo un percorso a ritroso (struttura winged edge) WINGED EDGE GRAPH nodo int spigolo nodo delim faccia 1 faccia 2 vertice 1 vertice 2 REGOLA DI EULERO ES. PER POLIEDRI SEMP. La consistenza topologica si verifica con la regola di Eulero. per solidi semplicemente connessi, (senza fori) e delimitati da facce piane la regola di Eulero impone: V-E+F=2 V= N Vertici, E= N Spigoli, F=N Facce V = 12 E = 18 F = 8 V - E + F = = 2

63 Generalizzazione della regola di Eulero La regola di Eulero è applicabile a una qualsiasi superficie chiusa a patto di eseguire dei tagli opportuni ( reticolatura della superficie) V=2 E=4 F=4 V-E+F=2 Eulero per solidi con fori (Eulero-Poincaré) V-E+F-H = 2(1-P) dove H = numero di fori sulle facce P = numero di fori passanti Esempio poliedri con foro V = 16 E = 24 F = 10 H = 2 P = 1 V - E + F - H = = 0 = 2(1-P) Architettura di sistema B-Rep Input tipo CSG Input contorno (facce) sweep di un profilo Conversione Motore B-Rep Visualizzazione Confronto tra B-rep e CSG Con la B-rep possono essere rappresentati anche i solidi elementari CSG ed ottenere risultati analogi al CSG. Tuttavia: una volta effettuata l operazione non si può risuddividere la struttura nei solidi elementari che l hanno costruita. Confronto B-rep e CSG La parametrizzazione nel CSG può essere effettuata sui singoli solidi elementari costituenti e di conseguenza sull intero sistema perchè rimane definito l albero di costruzione. (Parametrizzazione implicita). Nel B-rep si costruisce un programma esterno che controlla la parametrizzazione delle superfici mantenendo la coerenza (Parametrizzazione esplicita)

64 Confronto B-rep e CSG Il sistema B-rep è concettualmente più semplice. L adozione di superfici sculturate nello spazio per la rappresentazione del contorno consente una maggiore flessibilità Esempi di modellazione Unione di due cilindri Costruzione del raccordo Posizionamento del raccordo e unione Costruzione della linguetta

65 Posizionamento della linguetta Sottrazione dal solido e realizzazione cava Realizzazione boccola Realizzazione cava su boccola Boccola fresata Posizionamento della boccola

66 Assemblaggio (in sezione) Calcolo proprietà di massa esempio precedente Mass: Volume: 3.9 Kg cu mm Bounding box: X: mm Y: mm Z: mm Centroid: X: mm Y: mm Z: mm Moments of inertia: X: e+11 Kg sq mm Y: e+10 Kg sq mm Z: e+11 Kg sq mm Products of inertia: XY: e+10 Kg sq mm YZ: e+10 Kg sq mm ZX: e+10 Kg sq mm Radii of gyration: X: mm Y: mm Z: mm Principal moments (Kg sq mm) and X-Y-Z directions about centroid: I: e+09 along [ ] J: e+10 along [ ] K: e+10 along [ ] Esempio di estrusione (sweep( sweep) traslazionale Esempio di solido di rivoluzione

67 FUNZIONI AGGIUNTIVE Mediante procedure che compongono le operazioni elementari viste fino ad ora si possono creare elementi di particolare complessità ESEMPI Nervature Solidi di spessore Solidi con superfici raccordate Features Esempio di costolatura (nervatura) Profilo costolatura creata in automatico (spessore 2 mm da un lato) Solido originale Modello creato usando il comando PlaceRib. Proprietà SOLIDI CON SPESSORE Indipendente dalla tecnica di costruzione Qualunque superficie e' valida come superficie aperta Supportate una o più superfici aperte Offset su entrambi i lati o simmetrico Spessore di parete costante o variabile Esempio di solido con spessore Esempio di solido con spessore Solido originale

68 Esempio di solido con spessore Faccia sup.rimossa Solido originale Faccia rimossa aggiunto spessore Modello creato in EMS 3 usando Add Draft e Create Thin-Walled Solid B-rep => RACCORDI Raccordo di solidi Raggio fisso variabile Superfici di chiusura ( blend ) a n. lati ( 4 lati o più ) Raccordo a sezione costante Da 5 mm PROBLEMA! Raccordo a sezione variabile Raccordo Multi-spigolo Da 5 mm A 0 mm *Modello creato in EMS 3 usando i comandi Place Rib e Round Edge Tratto di arco più lungo (spigolo a 90 gradi) Raccordo di chiusura *Modello creato in EMS 3 usando il comando Round Edge Tratto di arco più corto (spigolo a 125 gradi)

69 Raccordo Tangente a 3 Superfici Modellazione con Features La nervatura è più stretta in cima Il Raggio cambia per adattarsi alla variazione Qui la nervatura è più spessa Creazione di matrici di Feature Rettangolare o circolare Dimensionamento automatico Sia le dimensioni, sia il numero di elementi possono essere modificati *Modello creato in EMS 3 usando Place Rib, Add Draft, Place Fillet Surface Matrice Circolare di Feature 8 Fori a 45 gradi GEOMETRIA ASSOCIATIVA *Modello creato in EMS 3 usando il comando Create Feature Pattern Argomento della lezione: Il disegno parametrico ed il disegno variazionale concetti esempi GEOMETRIA ASSOCIATIVA Una entità geometrica può essere associata alle altre entità impiegate per definirla (ovvero implicate nella sua costruzione)

70 GEOMETRIA ASSOCIATIVA I cambiamenti in una entità geometrica si riflettono nei cambiamenti delle entità dipendenti. L aggiornamento può essere: automatico azionato interattivamente MODELLI A GEOMETRIA VARIABILE Capacità di descrivere forme caratterizzate da: dimensioni parametriche che possono assumere valori diversi in tempi diversi vincoli di costruzione (geometrici) MODELLI A GEOMETRIA VARIABILE Dimensioni parametriche: MODELLI A GEOMETRIA VARIABILE Vincoli di costruzione: d 1 d 2 L 3 L L P 4 P 3 L 4 L 2 P 1 L 1 P 2 L L 1 2 / / L 1 3 / / L 4 2 Vincoli geometrici Tra le primitive possono essere imposti dei vincoli di: Parallelismo Ortogonalità Inclinazione rispetto un altra primitiva Tangenza, bitangenza e tritangenza Posizionamenti su punti notevoli di primitive (centro, p.ti medi, estremi ecc. ) Posizionamento su curve o superfici ecc. INVILUPPO LOGICO DELLE FORME Un sistema così strutturato consente di generare famiglie di pezzi con identiche descrizioni geometriche salvo le dimensioni. E sufficiente modellare un solo componente della famiglia, il capostipite, poichè ogni altro particolare si può derivare da esso per semplice variazione dei parametri.

71 ACQUISIZIONE DEI VINCOLI Sistemi in cui i vincoli geometrici vengono imposti dall'utente Sistemi in grado di riconoscere automaticamente i vincoli geometrici tra le primitive (implicit constraints); ACQUISIZIONE DEI VINCOLI Coi sistemi del primo tipo è l'utente che dispone sia quali devono essere i parametri sia i vincoli geometrici tra le primitive. ACQUISIZIONE DEI VINCOLI Coi sistemi del secondo tipo basta "schizzare" una forma geometrica ed assegnarle a posteriori dei parametri. Automaticamente il sistema riconosce i vincoli interni ed è in grado di analizzare la compatibilità tra i valori assegnati ai parametri ed i vincoli interni rilevati. E facile che si verifichino delle incongruenze tra i parametri assegnati ed i vincoli interni. RAPPRESENTAZIONE DEI VINCOLI mediante strutture dati (alberi o grafi) mediante sistemi di equazioni e/o disequazioni: soluzioni simboliche soluzioni numeriche APPROCCI DISEGNO PARAMETRICO Procedurale (o parametrico ) Variazionale Altri è di tipo procedurale ogni volta che si modifica un parametro si ripete la parte della procedura che da questo è condizionata

72 Disegno Parametrico Esempio: P 4 Disegno Parametrico Esempio: Costruire segmento S 1 vincoli S 1 // S 0 estremo P 3 di S 1 P 3 P 4 = 2.5 parametri S 0 P 3 P 3 P 1 S 1 S 0 P 2 P 1 P 2 Disegno Parametrico Esempio: Disegno Parametrico Esempio: P 2 P 2 P 3 S 0 S 0 P 1 P 1 Disegno Parametrico Esempio: Disegno Parametrico Esempio: r=2.5 P 4 P 2 P 2 P 3 P 3 S 0 S 0 P 1 P 1

73 Disegno Parametrico Esempio: comando arg. 1 arg. 2 commenti costr. pto PROCEDURA r=2.5 P 3 S 1 P 4 P 2 costr. pto P2 x2 y2 crea seg. S0 P1 P2 crea eq. S0(u)= P1 + u (P2- P1) P1 x1 y1 P 1 S 0 costr. pto P3 x3 y3 (segue) PROCEDURA (segue) comando arg. 1 arg. 2 commenti c. retta. // crea eq. ( P2 - P1 ) R p( t ) = P P3 S0 3 + t P2 - P1 crea circ. C P3 r=2.5 crea eq. circ. (x- x3) 2 +(y- y3) 2 =2.5 2 oppure in form. NURBS crea p.to risrisolve il sistema intersez. P4 R C crea seg. crea eq. S1 P3 P4 S1(u)= P3 + u (P4- P3) Modello interno Esso è generalmente costituito da un grafo (usualmente non ciclico) che rappresenta la dipendenza della forma geometrica dai parametri e dai vincoli. Grafo di Costruzione R S 1 P 4 VARIAZIONE DEI PARAMETRI C P 1 S 0 dato r = 2.5 P 2 param. x = -1 P 3 param. y = 4 Se si variano alcuni parametri si ripercorrono le parti del grafo influenzate dalle modifiche param. x = 0 param. y = 0 param. x = 5 param. y = 6

74 Disegno Parametrico Esempio: variazione di P 2 Disegno Parametrico Esempio: variazione di P 2 r=2.5 S 1 P 4 r=2.5 S 1 P 4 P 2 P 3 P 3 P 2 S 0 P 1 P 1 S 0 Grafo di Costruzione S 1 DISEGNO VARIAZIONALE P 4 R C VINCOLI SISTEMI DI EQUAZIONI param. x = 0 P 1 param. y = 0 S 0 param. x = 5 dato r = 2.5 P 2 param. y = 3 param. x = -1 P 3 param. y = 4 COORDINATE PUNTI COSTR. PARAMETRI INCOGNITE COSTANTI NOTE Definizione della forma geometrica (X8,Y8) (X7,Y7) La geometria di un pezzo è determinata da un insieme di N punti caratteristici (X6,Y6) (X5,Y5) (X4,Y4) (X3,Y3) Nello spazio n = 3*N coordinate Nel piano n = 2*N coordinate. geometry vector (X1,Y1) (X2,Y2) N = 8; n = 2 * N = 16 geometry vector = (X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3,...,X8,Y8) T = (x1,x2,...,x16) T

75 DIMENSIONI PARAMETRICHE Vincoli sulle dimensioni e sulla geometria d 3 R=d 5 Le dimensioni assegnate al pezzo e le modalità di costruzione impongono dei vincoli sulla posizione tra i punti caratteristici del geometry vector. d 4 d 2 Vincoli espliciti d 1 Vincoli impliciti d =(d1,d2,...,d5) T dimension vector Dal punto di vista matematico i vincoli sono espressi da un sistema di equazioni non lineari del tipo: fi( x, d) = 0 i = 12,,..., m dove: d = vettore rappresentante le dimensioni assegnate al pezzo (dimension vector) x = geometry vector m = numero di vincoli d 3 Disegno Variazionale Esempio: r=2.5 S 1 (X 3,Y 3 ) (X 1,Y 1 ) d 4 d 1 S 0 (X 4,Y 4 ) (X 2,Y 2 ) d 2 X x= Geometry Vector x= (X1,Y1,X2,Y2,X3,Y3,...,X4,Y4) T Geometry Vector x = (x1,x2,x3,...,x7,x8) (x1,x2,x3,...,x7,x8) T Y (X 4,Y 4 ) Y (x 7,x 8 ) (X 3,Y 3 ) (X 2,Y 2 ) (x 5,x 6 ) (x 3,x 4 ) (X 1,Y 1 ) X (x 1,x 2 ) X

76 Vettore Dimensioni d = (d 1, d 2, d 3, d 4 ) T Vincoli d 3 r=2.5 (x 5,x 6 ) S 1 (x 1,x 2 ) S 0 (x 7,x 8 ) (x 3,x 4 ) d 2 d 3 r=2.5 S 1 (x 5,x 6 ) (x 1,x 2 ) d 4 d 1 X S 0 (x 7,x 8 ) (x 3,x 4 ) d 2 f 1 : x 1 = 0 f 2 : x 2 = 0 f 3 : x 3 - d 1 = 0 f 4 : x 4 - d 2 = 0 f 5 : x 5 + d 4 = 0 f 6 : x 6 - d 3 = 0 f 7 : (x 7 - x 5 ) 2 + (x 8 - x 6 ) = 0 d 4 d 1 X f 8 : (x 8 - x 6 ) / (x 7 - x 5 ) - d 2 / d 1 = 0 d = (d 1, d 2, d 3, d 4 ) T = (5, 6, 4, 1 ) T Situazione iniziale f 1 : x 1 = 0 f 2 : x 2 = 0 f 3 : x 3-5 = 0 f 4 : x 4-6 = 0 f 5 : x 5 + 1= 0 f 6 : x 6-4 = 0 x = (x1,x2,...,x8) T = (0,0,5,6,-1,4,0.6,5.92) T f 7 : (x 7 - x 5 ) 2 + (x 8 - x 6 ) = 0 f 8 : (x 8 - x 6 ) / (x 7 - x 5 ) - 6 / 5 = 0 Modifica di P2 (d 2 : 6 3) d = (d 1, d 2, d 3, d 4 ) T = (5, 3, 4, 1 ) T f 1 : x 1 = 0 f 2 : x 2 = 0 f 3 : x 3-5 = 0 f 4 : x 4-3 = 0 f 5 : x 5 + 1= 0 f 6 : x 6-4 = 0 x = (x1,x2,...,x8) T = (0,0,5,3,-1,4,1.14,5.28) T f 7 : (x 7 - x 5 ) 2 + (x 8 - x 6 ) = 0 f 8 : (x 8 - x 6 ) / (x 7 - x 5 ) - 3 / 5 = 0 In molti sistemi l'utente definisce il modello geometrico interattivamente e in modo approssimativo (come uno schizzo)... Affinchè il modello sia congruente occorrono almeno 6 condizioni di vincolo (tre per i modelli 2D) per evitare moti di corpo rigido (roto-traslazioni). Le rimanenti m - 6 equazioni (m - 3 per il 2D) sono determinate dalle dimensioni e dalle costruzioni geometriche specificate dall'utente.

77 Tra le condizioni di vincolo possono essere specificate anche proprietà geometriche del tipo angolo tra due linee = val. assegnato area interna ad un contorno = val. assegnato volume del modello = val. assegnato Ovviamente i vincoli sulle proprietà geometriche vengono tradotti dal sistema in vincoli tra le componenti del geometry vector. (x1,y1) es. (x3,y3) Area di un triangolo (x2,y2) A = x1 y3 - x1 y2 + x2 y1 - x2 y3 + x3 y2 - x3 y1 La ridefinizione di un parametro dimensionale ha come conseguenza un nuovo geometry vector che viene determinato automaticamente dal sistema mediante risoluzione del sistema delle funzioni di vincolo: f ( x, d) = 0 i = 1, 2,..., m i La risoluzione numerica del sistema procede utilizzando il metodo di Newton-Raphson. Si definisce la matrice Jacobiana J, di ordine (m,n) delle m funzioni di vincolo rispetto agli n gradi di liberta' del geometry vector: Ø f1 L f1 ø Œ x 1 x n œ J = Œ L L L œ Œ fm fm œ Œ L º x x n œ 1 ß Si puo' dimostrare che il modello e' geometricamente e fisicamente valido quando la matrice Jacobiana non e' singolare. Cioe' quando Per determinare il nuovo geometry vector si risolve iterativamente un sistema del tipo: Se invece si verifica che: m = n e det[j] 0 m > n la forma geometrica e' sovradimensionata m < n la forma geometrica e' sottodimensionata m = n e det[j] = 0 vi sono dimensioni ridondanti. x = x - J -1 F(x,d) fino ad ottenere x -x < e dove: F(x,d) = (f 1, f 2,..., f m ) T

78 Vantaggi Le forme geometriche generate con questi sistemi garantiscono affidabilità dal punto di vista fisico ed analitico. Per questo si prestano all impiego in un contesto progettuale che prevede il ricorso a tecniche di elaborazione automatica dei modelli. (FEM, NC, Analisi cinematiche e dinamiche) Svantaggi Difficoltà operative nella generazione di modelli bidimensionali complessi, gravati dalla presenza di numerose primitive grafiche e vincoli, e di modelli tridimensionali. Il sistema è gravato da elaborazioni che richiedono tempi di calcolo considerevoli. Altri metodi: programmazione con librerie e linguaggi dedicati Svantaggi Gli utenti del sistema devono essere qualificati per potere gestire la programmazione grafica e geometrica attraverso i linguaggi implementati (Lisp, C, metalinguaggi dedicati). /* squadra */ static int squadra(void) /*f*/ { ads_point c1, c2, c3, pt; ads_point origine; ads_point p, q; ads_real l,h,d; struct resbuf old_layer, old_color; ads_printf("\nparte generica squadra.\n"); ads_getreal("\nparametro l=? ",&l); ads_getreal("\nparametro h=? ",&h); ads_getreal("\nparametro d=? ",&d); d l h ads_getpoint(pt,"origine? ",origine); Progettazione Interfacce IL DISEGNO NELLA PROGETTAZIONE Gestionale CAM MODELLATORE 3D Disegno Ottimizzazione Documentazione Test Features

79 studi mediante tecniche grafiche tradizionali: costruzioni geometriche proiezioni ortogonali polari del moto e traiettorie ecc. preparazione dati per modelli analitici a partire dal modello CAD visualizzazione dei risultati ottenuti Generazione di modelli analitici dal modello CAD Il modello CAD fornisce la base per generare la parte geometrica di modelli cinematici e dinamici di meccanismi elementi finiti metodi al contorno differenze finite altri Generazione di modelli analitici dal modello CAD cinematici e dinamici Generazione di modelli cinematici VANTAGGI riduzione delle possibilità d errore modello unico per tutte le funzioni aziendali gestione di modelli complessi L analisi di un meccanismo è basata sulla conoscenza della sua struttura e topologia elementi costituenti collegamenti fra gli elementi dei carichi delle proprietà di massa,... cinematici e dinamici Generazione di modelli cinematici Esempio: impiego del CAD variazionale: costruzione degli assi dei componenti definizione dei punti di collegamento e delle traiettorie (archi, linee,...) utilizzazione della geometria associativa collegamenti fra gli elementi vincoli geometria dei componenti = oggetti rigidi associati alle costruzioni così definite Generazione di modelli ad ELEMENTI FINITI Interfacce CAD-FEM preparazione dati (PRE-PROCESSING) visualizzaz. risultati (POST-PROCESSING)

80 Il Metodo degli ELEMENTI FINITI Famiglia di tecniche di calcolo ingegneristico applicabile a tutti i problemi di campo: strutture analisi tensioni / deformazioni analisi termiche analisi vibrazioni fluidodinamica campi elettromagnetici Il Metodo degli ELEMENTI FINITI Il dominio da analizzare (tipicamente un compo-nente ingegneristico) è suddiviso in semplici forme primitive adiacenti e non sovrapposte elementi finiti = NON infinitesimi La distribuzione della proprietà di interesse all interno dell elemento è approssimata da una funzione di forma (tipicamente polinomiale) Il Metodo degli ELEMENTI FINITI gli elementi finiti sono definiti e posizionati tramite punti detti NODI Il Metodo degli ELEMENTI FINITI un elemento è unito a quelli adiacenti lungo facce o lati comuni, e/o condividendo nodi comuni (vertici) l insieme dei nodi e degli elementi che descrivono l intera geometria viene detto MESH (reticolo) Il Metodo degli ELEMENTI FINITI Ai nodi vengono date le condizioni al contorno: vincoli carichi spostamenti imposti temperature assegnate ecc. Il Metodo degli ELEMENTI FINITI Il modello viene tradotto in un sistema di equazioni che permette di calcolare la distribuzione della grandezza di interesse (es spostamenti) e di quelle derivate

81 Fasi dell analisi FEM idealizzazione del problema e preparazione dei dati, ( PRE - PROCESSING ) es. (analisi strutturale) approssimazione della geometria idealizzazione comportamento del materiale appross.vincoli e carichi PRE - PROCESSING esecuzione dell analisi ( PROCESSING ) interpretazione dei risultati ( POST-PROCESSING ) Pianificazione Contesto Strategia Obiettivi Strumenti CAD per il Pre-Processing Processing Carichi Materiali Modellazione Idealizzazione Semplificazione Costruzione Mesh Generaz. File Geometria Cond.Cont. Modello per l analisi La maggior parte dello sforzo sta nella generazione del reticolo (MESH GENERATION) La tecnica grafica più comune consiste nel ripartire la forma del componente studiato in un ridotto numero di regioni abbastanza regolari, il software provvede poi alla loro suddivisione in nodi ed elementi Strumenti CAD per il Pre-Processing Processing Il SW ha la possibilità di: MESH GENERATION riempire vari tipi di regioni (triangoli, trapezi, blocchi, ecc.) con diverse specie di elementi variare il numero degli elementi sui diversi lati di tali regioni permettere disegno e shrinking del mesh per controllarne la correttezza. Interfacce CAD-FEM possibilità per il Pre-Processing: Il sistema CAD passa i dati ad un sistema FEM che provvede autonomamente a generare il MESH Il sistema CAD incorpora un MESH GENERATOR con la possibilità di controllare materiali e condi-zioni al contorno Il CAD passa al FEM solo il MESH Il FEM incorpora un CAD di pre-processing

82 Interfacce CAD-FEM FEM (Pre-Processing) Interfacce CAD-FEM FEM (Pre-Processing) PROBLEMA: La geometria impiegata nell analisi FEM è di solito una versione semplificata o idealizzata del modello geometrico CAD La semplificazione o la rimozione dei dettagli non è semplice e dipende dall esperienza del progettista Motore Geometrico Geometria Sistema CAD Pre-Process. FEM Sistema FEM Analisi Interfacce CAD-FEM Sistema CAD FEM (Pre-Processing) Interfacce CAD-FEM Sistema CAD FEM (Pre-Processing) Motore Geometrico Pre-Process. interno Motore Geometrico Pre-Process. interno Solo Nodi-Elementi Pre-Process. C.C./mat. Sistema FEM Analisi Full Model Sistema FEM Analisi Interfacce CAD-FEM FEM (Pre-Processing) Interfacce CAD-FEM (Pre-ProcessingProcessing ed analisi) Sistema CAD-FEM Sistema CAD/FEM Motore Geometrico Pre-Process. interno Analisi Motore Geometrico Pre-Process. interno Analisi

83 Interfacce CAD-FEM possibilità per il Post-Processing: rappresentazione deformate (analisi strutt.) POST - PROCESSING rappresentazione mediante colorazioni o linee di contorno sulla superficie o in sezioni del dominio rappresentazione mediante linee di corrente (CFD) o campi vettoriali altre Generazione di modelli per Metodi al Contorno Interfacce CAD- metodi a pannelli preparazione dati (PRE-PROCESSING) IL DISEGNO NELLA PRODUZIONE visualizzaz. risultati (POST-PROCESSING) Group technology Form feature 2 Form feature 1 Metodologia di classificazione dei particolari meccanici secondo criteri tecnologici Form feature 3 Form feature 4 Basic Shape COMPONENTE