Statistica Le rappresentazioni grafiche. alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

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1 Statistica Le rappresentazioni grafiche alessandro polli facoltà di scienze politiche, sociologia, comunicazione

2 Obiettivo Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di visualizzare la distribuzione di frequenza associata alle modalità di uno o più caratteri qualitativi o quantitativi tramite figure, linee o segmenti, superfici o aree, solidi, simboli convenzionali. Nel caso di variabili qualitative univariate (nominali o ordinali), la distribuzione statistica semplice, di frequenza o di intensità, è definita serie, mentre nel caso di variabili quantitative è definita seriazione Nel caso in cui si analizzano due caratteri congiuntamente, parleremo di distribuzione statistica doppia (o bivariata), che può essere costituita da: due caratteri qualitativi (ad es. la popolazione italiana secondo il sesso e lo stato civile); due caratteri quantitativi (ad es. la popolazione italiana secondo la statura e il peso); un carattere quantitativo (ad es. età) e un carattere qualitativo (ad es. stato civile) Nel caso infine di più di due caratteri si avrà una distribuzione statistica multipla (o multivariata) Pagina 2

3 Obiettivo La rappresentazione grafica di una distribuzione statistica presenta alcuni vantaggi rispetto alla rappresentazione tabellare (numerica): Consente una visualizzazione immediata dell andamento del fenomeno e della struttura della distribuzione e quindi una efficace descrizione globale dei dati; Consente, con notevole sintesi e in poco spazio, il confronto tra più distribuzioni (curve, spezzate ecc.); Ha potenzialità investigative: mette in rilievo casi anomali (particolari picchi grafici detti outlier) che possono essere dovuti a errori nei dati o a effettivi eventi eccezionali che suggeriscono un supplemento di analisi; correlazioni tra caratteri aventi tra loro un legame logico; nel caso di serie storiche, facilita l individuazione di andamenti di fondo (trend) interpolabili con funzioni matematiche; Consente una forma più divulgativa per i dati statistici che non la forma tabellare Recentemente, la rappresentazione grafica è diventata una vera e propria branca a sé stante all interno della grafica digitale, indicata come infografica Pagina 3

4 Diverse possibilità di rappresentazione Per ogni distribuzione statistica semplice o doppia o multipla esiste il tipo di rappresentazione grafica adatta e una stessa distribuzione può essere rappresentata con più tipologie di grafico In generale esistono vincoli tra tipo di rappresentazione grafica e livello di misurazione dei caratteri da rappresentare che vanno rispettati affinché questa sia corretta, ossia fornisca un immagine visiva non alterata (o non distorta) del fenomeno e della sua distribuzione statistica Affinché una rappresentazione grafica sia utile ed efficace dovrebbe contenere con immediatezza e chiarezza tutte le informazioni necessarie alla comprensione dei dati in essa rappresentati Per massimizzare l efficacia di un grafico l attenzione deve essere concentrata sui dati. Quindi le componenti di supporto: devono essere presenti solo se necessarie: titoli degli assi, legende e etichette in alcuni casi possono essere essenziali per la comprensione del grafico, ma in altri possono essere del tutto inutili devono essere lievi: è preferibile usare linee più leggere per gli assi e per la griglia e linee più marcate per i dati Gli effetti decorativi non devono distogliere l attenzione del lettore dalla lettura dei dati Pagina 4

5 I dati sono l elemento centrale Un grafico confuso Un grafico chiaro Serie A B C 0 A B C Nel grafico a sinistra tutte le componenti hanno un forte impatto cromatico e grafico: il risultato è un grafico confuso, difficile da leggere anche se sono presenti solo 3 valori Il grafico a destra è più facile da leggere in quanto caratterizzato da una maggiore «leggerezza». Il ricorso a poche componenti di supporto permette di concentrare l attenzione sui dati. Pagina 5

6 I dati sono l elemento centrale I due grafici seguenti rappresentano la stessa distribuzione. Quale dei due è più chiaro? Per rispondere al quesito, basta fare riferimento alle categorie 1 e 4. Nella rappresentazione tramite diagramma circolare (vedremo dopo cos è) alle due categorie sono assegnati due settori circolari approssimativamente della stessa ampiezza, mentre nella rappresentazione tramite diagramma a barre è evidente che alle due categorie sono associate frequenze (o intensità) differenti. Lo stesso ragionamento può essere esteso alle categorie 2 e 5 Pagina 6

7 I dati sono l elemento centrale Per la maggior parte delle persone è più facile confrontare segmenti piuttosto che angoli. Nel diagramma circolare i settori numero 1 e 4 sembrano identici, mentre nel diagramma a barre è evidente la differenza È quindi sensato individuare la rappresentazione grafica che meglio rappresenta il messaggio che si vuole comunicare Pagina 7

8 Rappresentazioni grafiche per caratteri qualitativi I caratteri qualitativi sono efficacemente rappresentati tramite i seguenti strumenti grafici: Grafici a barre Diagrammi circolari Pagina 8

9 I grafici a barre I grafici a barre (indicati anche come ortogrammi) sono impiegati per rappresentare graficamente serie sconnesse o ordinali e possono essere di due tipi: A colonne, se sono costituiti da una successione di colonne, segmenti verticali o rettangoli equidistanti, in numero pari alle modalità del carattere, e hanno altezza uguale o proporzionale alla frequenza (assoluta o relativa); A nastri, se sono costituiti da tanti nastri (segmenti orizzontali, rettangoli) sovrapposti ed equidistanti, in numero pari alle modalità del carattere, e hanno lunghezza uguale o proporzionale alla frequenza (assoluta o relativa) I grafici a barre sono pertanto caratterizzati dall avere un solo asse (verticale nel caso a colonne, orizzontale nel caso a nastri) in scala graduata, secondo l unità di misura che si è scelta per rappresentare le frequenze. Sull altro asse, invece, figureranno le modalità (qualitative), per convenzione equidistanti Pagina 9

10 I grafici a barre Ortogramma a colonne Ortogramma a nastri Se la rappresentazione grafica riguarda una serie sconnessa, l ordine in cui saranno poste le modalità è arbitrario; se si tratta invece di una serie ordinale (es. titolo di studio), le modalità saranno poste nell ordine convenzionale che esse presentano nella serie Pagina 10

11 I diagrammi circolari Gli areogrammi (o diagrammi circolari, per la loro forma caratteristica) sono comunemente noti come «diagrammi a torta» (pie-chart) Gli areogrammi sono particolarmente adatti per la rappresentazione di serie sconnesse o ordinali e sono efficaci per mettere in evidenza l importanza relativa delle singole modalità rispetto al totale, a condizione che le frequenze associate alle varie modalità siano ben diversificate Ne esistono di vari tipi e principalmente: a spicchi o settori variabili, con angoli al centro corrispondenti alle frequenze assolute ( o relative) delle singole modalità e raggio fisso; a spicchi o settori fissi, con angoli al centro uguali e raggio variabile corrispondente alle frequenze assolute (o relative) delle singole modalità. Una variante di tale diagramma è il c.d. diagramma radar Pagina 11

12 I grafici a barre Areogramma a settori variabili Areogramma a settori fissi L aereogramma a settori fissi è una rappresentazione grafica particolarmente idonea nel caso di caratteri qualitativi ordinati (es. livelli di scolarità) Pagina 12

13 Rappresentazioni grafiche per caratteri quantitativi I caratteri quantitativi possono essere rappresentati attraverso i seguenti strumenti grafici: Istogrammi Diagrammi cartesiani a segmenti Poligoni e curve di frequenza per variabili continue Rappresentazioni di tipo informatico: a ramo e foglia (stem and leaf plot) a scatola (boxplot) le facce di Chernoff ideogrammi o pittogrammi cartogrammi Pagina 13

14 Istogrammi Gli istogrammi sono utilizzati per rappresentare distribuzioni di frequenza di caratteri quantitativi le cui modalità sono costituite da classi di valori. Distinguiamo due casi: Le classi di valori hanno uguale ampiezza. In questo caso avremo tanti rettangoli contigui, ciascuno avente base uguale all ampiezza della classe e altezza (densità) proporzionale alla frequenza (assoluta o relativa) associata alla classe. L ipotesi di base su cui si fonda la rappresentazione per istogrammi è che le unità classificate in ciascuna classe di valori siano equidistribuite Le classi di valori hanno diversa ampiezza. In questo caso avremo una serie di rettangoli caratterizzati da basi diverse, uguali all ampiezza delle classi, e altezze proporzionali alle frequenze (assolute e relative), per garantire che queste equivalgano alle aree dei rispettivi rettangoli. In ordinata avremo le cosiddette densità di frequenza, date dal rapporto tra la frequenza (assoluta o relativa) di ciascuna classe e la relativa ampiezza: δ i = N i a i Pagina 14

15 Diagrammi cartesiani a segmenti Sono impiegati per rappresentare graficamente caratteri quantitativi discreti, non ripartiti in classi, e si configurano come diagrammi a segmenti verticali (c.d. a canne d organo). In questo caso è inappropriato costruire il poligono di frequenza poiché il carattere è discreto e quindi tra le singole modalità non esistono valori intermedi Esempio. Numero dei componenti per famiglia, numero delle stanze delle abitazioni, numero di unità locali delle aziende e così via. Pagina 15

16 Poligoni di frequenza I diagrammi cartesiani ortogonali sono impiegati anche per rappresentare graficamente i caratteri quantitativi continui (come ad esempio redditi, prezzi) o, nel caso delle serie storiche, per quei caratteri che si suppone si modifichino con continuità nel tempo La costruzione di tali diagrammi è del tutto analoga a quella vista per i diagrammi ad aste o segmenti salvo che, in questo caso, una volta rappresentati nel piano cartesiano i punti rappresentanti la distribuzione considerata, essi vanno uniti mediante una spezzata detta poligono di frequenza All aumentare del numero di unità rilevate il poligono di frequenza si approssima sempre più a una linea continua detta curva di frequenza, la quale talvolta è esprimibile anche mediante l ausilio di funzioni matematiche Pagina 16

17 Poligoni di frequenza Problemi di scala: i due grafici rappresentano la stessa serie storica ma il suo andamento è nei due casi percepito in maniera diversa Dall esame del primo grafico, si trae l impressione di un trend stabile per circa 10 anni, seguito da una moderata crescita negli anni successivi Riducendo la scala sull asse delle ordinate (grafico a destra) si evidenziano le variazioni intervenute nei primi dieci anni e la crescita dell ultimo periodo è enfatizzata Pagina 17

18 Diagrammi ramo-foglia Una interessante tecnica di rappresentazione della distribuzione di frequenza in classi è il diagramma ramo-foglia (proposto da J.W. Tukey nel 1977). Tale grafico, adatto per caratteri quantitativi in collettivi poco numerosi, rappresenta i numeri tenendo conto del valore posizionale delle cifre nel sistema decimale Esempio. Ipotizziamo di aver svolto un indagine per accertare i tempi medi di percorrenza casa-lavoro di un campione di n = 55 studenti che hanno svolto attività di stage e che i risultati siano stati raccolti nel prospetto di rilevazione riportato a fianco Pagina 18

19 Diagrammi ramo-foglia I dati della nostra indagine sono tempi di percorrenza espressi in minuti, cioè numeri composti da unità e da decine, quindi possiamo utilizzare tale caratteristica per distribuirli. Il diagramma ramo-foglia è costituito da tanti rami quanti sono le decine evidenziate nei dati osservati e, per ogni ramo, da tante foglie quante sono le unità riscontrate Per i dati in oggetto otterremo il grafico a sinistra, dove, ad esempio, il valore 25 è rappresentato con una foglia (5) nel ramo 2; tale rappresentazione permette di evidenziare il dato più frequente e di contare il numero di valori compresi fra due decine consecutive, rendendo molto più agevole la costruzione di un prospetto di sintesi Pagina 19

20 Diagrammi a scatola o box-plot È una rappresentazione grafica che consente di leggere con immediatezza le principali caratteristiche di una distribuzione osservata. Il box-plot si configura come un rettangolo, in cui: I lati inferiore e superiore indicano rispettivamente il primo quartile (Q1) e il terzo quartile (Q3) della distribuzione considerata; La linea tratteggiata all interno del rettangolo indica la posizione della mediana, che rappresenta il secondo quartile (Q2); Il simbolo + rappresenta la media aritmetica Le linee verticali tratteggiate (whiskers) indicano l estensione della distribuzione dal valore minimo della distribuzione a Q1 e da Q3 al valore massimo osservato Pagina 20

21 Le facce di Chernoff Questa rappresentazione grafica, introdotta nel 1973 e realizzabile tramite un software apposito (attualmente disponibili anche come caratteri ASCII), utilizza i tratti di un volto (occhi, bocca) per rappresentare le diverse componenti di un informazione. Le facce di Chernoff possono essere adottate sia per distribuzioni statistiche semplici che multiple. Un limite di queste rappresentazioni è che l informazione che se ne ricava è più di tipo qualitativo (somiglianze, dissomiglianze) che quantitativo Pagina 21

22 Ideogrammi e pittogrammi Ideogrammi e pittogrammi sono rappresentazioni grafiche a carattere divulgativo che si avvalgono di figure o simboli, generalmente tutti simili tra loro, aventi un immediata attinenza con il carattere considerato (figure umane, oggetti ecc.) e di grandezza o numero variabile per indicare l entità della frequenza o dell intensità del carattere rappresentato. Qualsiasi carattere statistico (qualitativo o quantitativo) può essere rappresentato con questa tipologia di grafici Pagina 22

23 Cartogrammi Il cartogramma è una rappresentazione su mappa dei valori assunti da un fenomeno qualitativo o quantitativo, rilevato in dimensione spaziale, con colori e simboli che variano al variare delle modalità o dei valori assunti dal carattere osservato sul territorio I cartogrammi sono utilizzati per fornire una visione immediata del rapporto tra territorio e valori del fenomeno. Infatti è più facile osservare un solo grafico già completo che confrontare e sovrapporre una cartina e un istogramma. Come l'ideogramma, il cartogramma è una rappresentazione grafica utile a fini divulgativi, anche se, con la diffusione delle procedure GIS (Geographic Information System), i cartogrammi rappresentano gli unici strumenti per la disseminazione delle informazioni Pagina 23

24 Rappresentazioni grafiche per distribuzioni statistiche doppie Siamo in presenza di una distribuzione statistica doppia quando le unità statistiche componenti il collettivo o un suo sottoinsieme sono analizzate in base a due caratteristiche (ad esempio, peso e altezza). In questo caso, esistono apposite rappresentazioni grafiche che consentono di tenere conto congiuntamente dei due caratteri. Tra i principali strumenti grafici ricordiamo: Diagramma a nuvola di punti (diagramma scatter, scatter-plot) Stereogramma Cartodiagramma Piramide delle età Pagina 24

25 Nuvola di punti o scatter plot Rappresentazione grafica, adottata nel caso di una distribuzione statistica doppia (X,Y) in cui i caratteri sono entrambi quantitativi, che consente di valutare l eventuale correlazione esistente fra le due variabili Lo scatter-plot rappresenta su un diagramma cartesiano le unità statistiche, individuate da una coppia di valori (ad esempio altezza e peso). La nuvola dei punti consente di evidenziare la dispersione tra le unità statistiche, che influisce sulla conformazione della nuvola dei punti e può fornire indicazioni sul tipo di relazione esistente tra le due variabili. In particolare: Se la nuvola di punti assume una configurazione «sferica», tra le due variabili non sussiste un legame di tipo lineare; Se i punti tendono invece a disporsi lungo una retta, tra le due variabili esiste una relazione di tipo lineare (del tipo y = a + bx) Pagina 25

26 Stereogramma Lo stereogramma è una rappresentazione grafica particolarmente indicata per mutabili o variabili statistiche doppie. È costituito da una diagramma cartesiano ortogonale in uno spazio a tre dimensioni, in cui sui tre assi (x, y e z) sono riportati rispettivamente i valori della variabile X, i valori della variabile Y e le frequenze assolute o relative congiunte delle due variabili A seconda che le variabili siano entrambe discrete, una discreta e una continua oppure entrambe continue, lo stereogramma sarà del tipo c.d. a pali, nel caso di due variabili discrete, e a curve, nel caso in cui entrambe le variabili sono continue oppure una è discreta e l altra continua Pagina 26

27 Cartodiagrammi Il cartodiagramma è un cartogramma (del tipo di quello incontrato in precedenza) che consente la rappresentazione georeferenziata di due o più distribuzioni statistiche. Mentre nel caso di serie territoriali semplici la loro rappresentazione si avvale di colori o simboli, nel caso di distribuzioni statistiche multiple ci si avvale usualmente di istogrammi, quindi il cartodiagramma è ottenuto dalla sovrapposizione di una mappa e di due o più istogrammi Esempio. Nati vivi e i morti per abitanti nelle 20 Regioni italiane nel 1986 Pagina 27

28 Piramide delle età È una particolare ed efficace rappresentazione grafica della struttura per età e sesso di una popolazione reale. È rappresentata da due istogrammi rovesciati, corrispondenti ai due sessi, in cui sull asse verticale comune è indicata l età ripartita in classi e sull asse orizzontale le frequenze (assolute o relative) dei maschi e delle femmine, corrispondenti a ciascuna classe di età considerata Pagina 28

29 Piramide delle età Dalla forma assunta dalla piramide è possibile trarre indicazioni sia sui fattori che caratterizzano la struttura per età e sesso attuale, sia sulla sua passata evoluzione, sia previsioni per un arco di tempo non superiore a un secolo. Tali indicazioni possono essere tratte analizzando in particolare: La base, che fornisce indicazioni circa il flusso delle nascite. Se è molto larga, si ha un flusso di nascite consistente; se è stretta significa che il flusso delle nascite è scarso e non garantisce il ricambio generazionale; L inclinazione dei lati, che fornisce indicazioni circa il livello generale di eliminazione per morte. Se l inclinazione dei lati è pronunciata, si ha un alta mortalità; se è debole, si ha una bassa mortalità; La presenza di rigonfiamenti o strozzature per particolari classi d età, che fornisce indicazione dell intervento in passato di particolari fattori di perturbazione (come guerre, epidemie, calamità naturali) Pagina 29

30 Tendenze: l infografica L'infografica (anche nota con termini inglesi information design, information graphic o infographic) è la disciplina che studia le tecniche di comunicazione visiva applicate all informazione Si diffonde negli anni Ottanta dall incontro tra arti grafiche, giornalismo e informatica: infatti, per la realizzazione delle immagini si utilizzano appositi software, con cui è possibile realizzare infografiche a due o tre dimensioni, statiche o animate Uno dei primi esempi di infografica è il grafico di Charles Joseph Minard, pubblicato nel 1861, con cui l autore raffigurò la marcia su Mosca dell esercito di Napoleone. Minard riesce a rappresentare in una singola immagine bidimensionale quattro diverse variabili che hanno contribuito al fallimento dell impresa napoleonica: Il tragitto delle truppe e gli spazi percorsi Le quote altimetriche incontrate durante la marcia Il numero di soldati morti di fame e per le ferite Le temperature (gelide) registrate nel tragitto Pagina 30

31 Tendenze: l infografica L infografica moderna nasce negli Stati Uniti e, inizialmente, si diffonde nel campo del data journalism (una sorta di database commentato). Attualmente è utilizzata nel campo della ricerca scientifica (per disseminare i risultati) e soprattutto nel mondo dell impresa, in quanto è uno strumento di comunicazione diretto ed efficace A livello commerciale l infografica è perfetta per comunicare un idea. Infatti sul web la pubblicità continua ad avere costi relativamente elevati e spesso la promozione non ha un ritorno economico. L infografica invece usa i contenuti più interessanti e li rende accattivanti. Con la diffusione delle infografiche è nata anche una nuova professione: l information designer Pagina 31

32 Riferimenti bibliografici UNECE, Making Data Meaningful Part 2: A guide to presenting statistics, United Nations, Geneva 2009 Pagina 32