Metodo di Quine e MC-Cluskey 2/2 Prof. Mario Cannataro Università degli Studi Magna Graecia di Catanzaro

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1 Fondamenti di Informatica II Ingegneria Informatica e Biomedica I anno, II semestre A.A. 2005/2006 Metodo di Quine e MC-Cluskey 2/2 Prof. Mario Cannataro Università degli Studi Magna Graecia di Catanzaro

2 Indice 1. Riepilogo 2. Soluzione esercizio 3. Tabelle cicliche 4. Esercizi

3 Riepilogo 1 Data una funzione f come sommatoria di m (p 0, p 1,..,p n ) 1. Si ordinano per peso crescente (numero di 1 presenti nella configurazione) i mintermini formando delle classi (mintermini con lo stesso peso); 2. Ogni configurazione di una classe viene confrontata con tutte quelle della classe successiva; le coppie di configurazioni che differiscono per un bit vengono fuse creando una nuova tabella; 3. Si ripete il punto 2 per la nuova tabella fino a quando non sia più possibile fondere le configurazioni; le configurazioni che non sono state usate per la fusione sono tutti implicanti primi

4 Riepilogo 2 Realizzazione della tabella di copertura: n n Essa viene realizzata mediante la tabella degli implicanti primi. La tabella degli implicanti primi è una matrice binaria dove: - Gli indici delle righe sono gli implicanti primi individuati - Gli indici delle colonne sono i mintermini della funzione - L elemento a ij della matrice assume il valore X se il mintermine della colonna j è coperto dall implicante della riga i

5 Riepilogo 3 Criteri di minimizzazione della tabella di copertura: n n Questa fase procede finchè sono possibili le regole: - dominanza - essenzialità Regola della dominanza di riga: si verifica ogniqualvolta un implicante pi copre tutti i mintermini coperti dall implicante pj più almeno uno. Si dice in tal caso che l implicante pi domina l implicante pj. L implicante dominato può essere cancellato

6 Riepilogo 4 n Regola della dominanza di colonna: si verifica ogniqualvolta ogni implicante primo che copre la colonna cj copre anche la colonna ci ma non viceversa. Si dice in tal caso che la colonna ci domina la colonna cj. La colonna dominante ci può in questo caso essere eliminata

7 Riepilogo 4 n Regola dell essenzialità: se p è un implicante essenziale allora: - la riga p viene eliminata dalla tabella; - l implicante p viene memorizzato; - tutte le colonne contrassegnate con X sulla riga p vengono cancellate

8 Soluzione esercizio Funzione: 4 (0,1,4,5,7,12,13,15) Mintermini (1) della funzione: X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 Configurazioni Corrispondenti: X4 X3 X2 X

9 Fase 1 X4 X3 X2 X X4 X3 X2 X1 0/ / / / / / / / / / Ogni configurazione di una classe viene confrontata con tutte quelle della classe successiva, fondendo le sole configurazioni che differiscono di 1 bit

10 Fase 1 X4 X3 X2 X1 0/1/4/ /4/1/ /5/12/ /12/5/ /7/13/ /13/13/ Le iterazioni terminano fino a quando non è più possibile fondere nessuna riga. Quando una stessa combinazione è generata da più righe, si riporta una sola volta la combinazione e si marcano tutte le righe

11 Fase 1 X4 X3 X2 X1 0/1/4/ /4/1/ /5/12/ /12/5/ /7/13/ /13/13/ X4 X3 X2 X1 0/1/4/ /5/12/ /7/13/ Le configurazioni che generano le stesse combinazioni vengono riportate una sola volta. Si può scegliere una configurazione piuttosto che un altra indistintamente

12 Fase 2 Tabella degli implicanti primi essenziali X4 X3 X2 X X X X X X X X X X X X X La prima riga (0-0 -) è Essenziale per cui : X4 X3 X2 X X X X X X X X X X X X X Z= ( X2 X4) la prima riga viene memorizzata

13 Fase 2 Tabella degli implicanti primi essenziali X4 X3 X2 X X X X X X La prima riga ( ) è Essenziale per cui : X4 X3 X2 X X X X X X Z= ( X2 X3)

14 Fase 2 Tabella degli implicanti primi essenziali Ciò che rimane è la seguente tabella X4 X3 X2 X X X Z= (X1 X3) La soluzione finale è: Z = ( X2 X4) + ( X2 X3) + (X1 X3)

15 Tabelle Cicliche n ATTENZIONE: Ci sono situazioni cicliche in cui nessuna regola (essenzialità, dominanza) è applicabile pur non avendo raggiunto una situazione di minimalità. Si può in questo caso applicare una ricerca esaustiva scegliendo, in tutti i modi possibili, un implicante come se fosse essenziale e confrontando poi i risultati per determinare la soluzione minima

16 Tabelle Cicliche C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x Come si vede dalla tabella su riportata non è possibile applicare nessun criterio di minimizzazione. Come si procede?

17 Tabelle Cicliche Si procede per casi o meglio si deve costruire un albero di soluzioni per poi scegliere la tabella che ottimizza la funzione. C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x Fissiamo la nostra attenzione su R1 e consideriamo il caso in cui: 1. R1 DOMINATA 2. R1 ESSENZIALE

18 Tabelle Cicliche C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x R1 DOMINATA C1 C2 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x x R4 x x x 1. R1 viene eliminata e si procede prendendo in esame la nuova tabella

19 Tabelle Cicliche R1 DOMINATA C1 C2 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x x R4 x x x 2. Come si vede R3 diventa essenziale C1 C2 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x x R4 x x x Per cui la riga R3 viene eliminata ed anche tutte le colonne coperte dalla riga R3. Infine si memorizza R3. Z=R

20 Tabelle Cicliche R1 DOMINATA C1 C2 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x x R4 x x x 3. Come si vede R4 diventa essenziale C1 C3 R2 x R4 x x La nuova tabella ottenuta evidenzia la riga R4 come essenziale procedendo come nel caso precedente R4 viene eliminata, ed anche tutte le colonne coperte dalla riga R4. Infine si memorizza R4. Z=R3+R

21 Tabelle Cicliche R1 DOMINATA C1 C3 R2 x R4 x x Come è possibile intuire dopo l ultima semplificazione non è più possibile effettuare altre semplificazioni per cui la nostra funzione è descritta da: Z=R3+R4 Ma cosa succede se R1 non è Dominata ma ESSENZIALE?

22 Tabelle Cicliche C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x R1 ESSENZIALE C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x 1. R1 essenziale per cui la riga R1 viene eliminata ed anche tutte le colonne coperte dalla riga R1. Infine si memorizza R1. Z=R

23 Tabelle Cicliche R1 ESSENZIALE Z=R1 C1 C2 C3 C4 C5 R1 x x R2 x x R3 x x x R4 x x x C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x 2. Otteniamo una nuova tabella che ci riporta al caso iniziale dobbiamo applicare nuovamente le considerazioni fissando la nostra attenzione su R2 e considerandola come: 2.1. R2 ESSENZIALE 2.2. R2 DOMINATA

24 Tabelle Cicliche R1 ESSENZIALE Z=R1 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x R2 ESSENZIALE C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x Z=R1+R2 Si procede sempre allo stesso modo memorizziamo R2 e cancelliamo righe e colonne

25 Tabelle Cicliche R1 ESSENZIALE Z=R1 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x R2 ESSENZIALE R3 R4 C5 x x In questo caso è indifferente scegliere R3 piuttosto che R4. Z=R1+R2+R3 Ora vediamo il caso in cui scegliamo la riga R2 come DOMINATA

26 Tabelle Cicliche R1 ESSENZIALE Z=R1 C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x R2 DOMINATA C3 C4 C5 R2 x x R3 x x R4 x x Z=R1 Si procede sempre allo stesso modo eliminando la riga R

27 Tabelle Cicliche R1 ESSENZIALE Z=R1 C3 C4 C5 R3 x x R4 x x R2 DOMINATA C3 C4 C5 R3 x x R4 x x Come si vede sia R3 che R4 sono essenziali per cui la nostra z è data: Z=R1+R3+R4 Una volta ottenute le varie forme minimizzate, come detto, si sceglie quella che meglio minimizza la funzione considerata

28 Esercizio 1/4 Funzione: 4 (0,2,4,6,7,9,11,15) Mintermini (1) della funzione: X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 X4 X3 X2 X1 Configurazioni Corrispondenti: X4 X3 X2 X

29 Esercizio 2/4 X4 X3 X2 X X4 X3 X2 X1 0/ / / / / / / / Ogni configurazione di una classe viene confrontata con tutte quelle della classe successiva, fondendo le sole configurazioni che differiscono di 1 bit

30 Esercizio 3/4 X4 X3 X2 X1 0/ / / / / / / / X4 X3 X2 X1 0/2/4/ / / / / Ogni configurazione di una classe viene confrontata con tutte quelle della classe successiva, fondendo le sole configurazioni che differiscono di 1 bit

31 Esercizio 4/4 Tabella di copertura X4 X3 X2 X X X X X X X X X X X X X Z=( X4 X1)+(X4 X3 X1)+(X3 X2 X1)

32 Esercizi n Minimizzare col metodo di Quine-McCluskey la seguente rete combinatoria : ( 0,1,2,3,4,8,12,13,14, 15)