SISTEMI ANGOLARI. Il sistema sessagesimale ha per unità il grado sessagesimale (1 ) che è la 90 a parte dell angolo retto.

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1 SISTEMI ANGOLARI I sistemi angolari di cui ci occuperemo sono: 1) Sistema sessagesimale; 2) Sistema centesimale; 3) Sistema sessadecimale; 4) Sistema analitico Il sistema sessagesimale ha per unità il grado sessagesimale (1 ) che è la 90 a parte dell angolo retto. I sottomultipli del sistema sono: - il primo sessagesimale (1 ) che è la sessantesima parte del grado; - il secondo sessagesimale (1 ) che è la sessantesima parte del primo; - l ulteriore suddivisione del (1 ) è in decimi. L espressione numerica ,2 ci dice che la misura dell angolo è pari a: 57 gradi, 25 primi, 38 secondi e due decimi. Questo sistema ha lo svantaggio di non seguire per le somme e le differenze il sistema numerico decimale. Infatti dovendo sommare avrei e ancora ed infine E chiaro che l operazione descritta non è agevole per le macchine operatrici. Di contro alcuni valori trigonometrici sono facilmente individuabili, per esempio: sen 30 = 0.5 sen 45 = cos 45 = 2/2 tag 45 = 1 Il sistema centesimale ha per unità il grado centesimale (1g) che è la centesima parte dell angolo retto. 1

2 I sottomultipli sono: - il primo centesimale 1 c che è la centesima parte del grado centesimale. - Il secondo centesimale 1 cc che è la centesima parte del primo. Pertanto l espressione numerica 45 g, 5835 ci dice che l angolo misurato è pari a 45 gradi 58 primi 35 secondi Il vantaggio del sistema è quello di poter operare, per addizioni e sottrazioni, con il sistema decimale. Di contro angoli particolari (30, 60 ) non sono espressi da numeri interi Il Sistema Sessadecimale è un sistema misto, infatti: - l unità è costituita dal grado sessagesimale (1 ); - il primo sessadecimale è la centesima parte del grado; - il secondo sessadecimale è la centesima parte del primo. Questo sistema accomuna i vantaggi del sistema sessagesimale e del sistema centesimale. Il Sistema Analitico ha per unità il radiante (1 r ), questo è l angolo che sulla circonferenza con centro nel vertice individua un arco pari al raggio. α r x R = s α r = 1 r per R=s in particolare per S = 2 π r α r = 2 π S = π r α r = π Quindi un angolo giro vale 2 π radianti e un angolo piatto vale π radianti. 2

3 TRASFORMAZIONI DI MISURE ANGOLARI La relazione su cui si basa la trasformazione è: α : α g : α r = 90 : 100 : π/2 In questa relazione α rappresenta gli angoli sessadecimali * * * Trasformazione dal sistema sessagesimale al sistema centesimale Supponiamo di voler trasformare l angolo ,3 nel sistema centesimale a) 12,3 corrisponde a 12,3 / 60 = 0,205 (centesimale) b) (15 + 0'205) / 60 = 0,25341 (centesimale) in definitiva ,3 65,25341 (Sessadecimali) Siccome α : α g = 90 : 100 α g = α x 100/90 = 10/9 x α α g = 65,25341 x 10/9 = 72 g, Passiamo al procedimento inverso, vogliamo trasformare l angolo centesimale sessagesimale. 72 g,50378 in Avremo α = 9/10 x 72 g,50378 = 65,25341 e ancora x 60 = 15, x 60 = 12,27 12,3 in definitiva α g = 72 g, α = ,3 3

4 Trasformazione da sessagesimale in analitica La relazione che governa la trasformazione è: α : α r = 90 : π/2 α x π α r x 180 α r = α = π Se α = 1 α r = Se α r = 1 r α = 57,29577 Se α = 1 α r = α = 3437,74 Se α = 1 α r = x 10-6 α = Trasformazione da centesimale in analitica α g : α r = 100 : π/2 α g x π α r x 200 α r = α g = π Se α g = 1 g α r = Se α r = 1 r α g = 63 g,66197 Se α g = 1 c α r = 1.57 x10-4 α c = 6366,197 Se α g = 1 cc α r = 1.57 x 10-6 α cc =

5 APPLICAZIONI δx ϕ r = H δx δy = x L H Se H = 10 m L = 5.50 m δx = 3 cm 3 3 ϕ r = δy = x 5.50 = 1.65 cm Il paramento ha ruotato di 3 ϕ = x = 618,7 10,

6 UTILIZZAZIONE DEL SISTEMA RADIANTE Questo sistema di misura degli angoli consente di risolvere in modo molto semplice alcuni problemi come: 1) Calcolo di spostamenti e rotazione di strutture; 2) Progettazione dei segnali. Spostamenti e rotazioni a) Supponiamo di aver posto sotto controllo la rotazione di un muro di sostegno in cls., le cui dimensioni sono quelle riportate in figura. A tal fine si è disposta sulla testa del muro una piastra d acciaio dello spessore di 5 mm ancorandola con zanche, e posizionandola il più orizzontale possibile. Si utilizza una livella la cui sensibilità è S = 2 Pertanto per ogni parte di spostamento vi sarà una rotazione di 4. Si riportano di seguito le letture eseguite per 2 mesi ogni 10 gg. Lettura zero 1^ 2^ 3^ 4^ 5^ 6^ -0.5p 2p 2p 4p 4p 4p 4p

7 Dalle letture tabulate si evince che tra la lettura di zero e la 1^ e 2^ lettura c è stato uno spostamento di 2.5 parti pari a 2.5 x 4 = 10 mentre la lettura finale rispetto allo zero da 3.5 parti di spostamento dalla bolla che corrispondono a: 4.5 x 4 = 18 Essendo la struttura rigida, si avrà che paramento e fondazione ruotano dalla stessa quantità, secondo lo schema riportato in figura. Se si vogliono conoscere gli spostamenti ρ e δ basterà utilizzare l espressione h = α r x L ed in particolare avremo che a rotazione stabilizzata risulterà 18 δ = 260 cm x = cm = mm ρ= ( ) x = cm = mm

8 PROGETTO DEI SEGNALI La dimensione di un segnale deve essere progettata in funzione del tipo di operazione che si sta eseguendo. Un segnale deve avere come prima caratteristica la visibilità, è sin troppo ovvio che se il segnale non è visibile non giova a nessuno. E necessario pertanto conoscere la minima dimensione (in genere lo spessore) visibile ad una certa distanza D. Per far ciò è necessario partire dalla definizione del potere separatore dell occhio. D che consiste nell angolo minimo al di sotto del quale l occhio non separa il punto A dal punto B, e quindi non li distingue. questo angolo vale mediante in funzione della bontà dell occhio. α = Se assumiamo come α il valore di 60, avremo: 60 h α r = = D dove - h è la dimensione minima - D è la distanza a cui si trova h. Risulterà così: h 3 x 10-4 x D 8

9 Quindi se vogliamo conoscere la minima dimensione visibile ad occhio nudo a 100 m, avremo h = 3 x 10-4 x 100 = 3 x 10-2 = 3 cm Utilizzando un cannocchiale con ingrandimento I, il valore di h diventa 3 x 10-4 x D h = I e nel nostro caso 3 x 10-4 x 100 h = = 6 mm ( I=25) 25 Volendo progettare un segnale in un operazione di Alta Precisione, si devono prendere in considerazione altri parametri. Infatti supponiamo di voler misurare l angolo A ô B con la precisione di 3 Lo strumento che sto utilizzando mi consente la precisione di 1 nella lettura. Devo però tenere conto dell errore di puntamento che consiste nel considerare collimato un punto, quando il punto non può essere materializzato e pertanto non può essere perfettamente collimato. 9

10 In altre parole, se R che rappresenta il punto intersezione dei fili del reticolo fosse posto nel centro del quadrato δ x δ che rappresenta il punto S del segnale, potremmo dire che l errore di puntamento è praticamente zero. Ma, senza tener conto delle dimensioni visive di R, che sono molto piccole e quindi trascurabili, il raggio ottico che parte da R colpirà uno dei punti all interno del quadrato δ x δ, e ciò avverrà in funzione della stima che l occhio dell operatore eseguirà nella ricerca del centro di S. Ritornando ai valori che si sono utilizzati all inizio, se disporrò di un cannocchiale con I = 25, dovrò posizionare in B un segnale la cui minima dimensione è: δ = x = 7.5 mm Nell ipotesi che riesca ad avere ¼ di approssimazione nell avvicinarmi al centro sia in altezza che in lunghezza, il punto collimato sarà distante dal centro (sulle ascisse). 7.5 ρ = > 1.87 mm 4 In termini di angolo, l errore sarà: 1.87 θ = x = il che significa che l errore di puntamento è superiore al valore di precisione richiesto (1 ). Infatti lo s.q.m. totale sarà: σ = = 3,12 10

11 Sarà meglio utilizzare un cannocchiale con I = 30, infatti risulterà δ = x = 6.90 mm ρ = = θ = x = risulterà così : σ 2 α = = 8,44 σ α ± 3 11

12 MISURA DEGLI ANGOLI AZIMUTALI E ZENITALI Siano O, A e B tre punti della superficie terrestre Si definisce angolo azimutale AOB la sezione dell angolo diedro formato dal piano contenente la verticale per O ed il punto A ed il piano contenente la verticale per O ed il punto B. Questo angolo coincide in pratica con l angolo formato dalle sezioni normali sulla superficie di riferimento. Si definisce zenitale Z OA in A l angolo formato dalla verticale in A e la direzione OA. La struttura del teodolite Lo schema strutturale di un teodolite è costituito dal basamento, l alidada ed il cannocchiale. - Il basamento è la parte strutturale inferiore che attraverso il treppiedi si collega al terreno. Tra il basamento e la testa del treppiedi si trovano le viti calanti che consentono, attraverso una variazione di orientamento, di raggiungere l orizzontalità. Al basamento è connesso il cerchio azimutale, la cui orizzontalità è assicurata nel momento in cui la raggiunge il basamento. Sul basamento si trovano la livella sferica e la livella torica, che consentono il controllo dell orizzontalità. - L alidada è costituita da due bracci; essa è montata sul basamento e può ruotare attorno ad esso. Su un braccio dell alidada è montato il cerchio verticale. 12

13 - Il cannocchiale è sorretto dall alidada e può quindi ruotare nel piano orizzontale e nel piano verticale. Completano la struttura del teodolite i seguenti accessori: - viti micrometriche, che consentono il bloccaggio di una direzione nello spazio e il successivo piccolo movimento attorno ad essa. - Piombino ottico, che sostituisce il filo a piombo, e consente di portare il centro dello strumento sulla verticale del punto stazione. Schema di piombino ottico La geometria del teodolite In termini geometrici lo strumento contiene tre assi, mutuamente ortogonali ed in particolare: - L asse primario a 1 a 1 costituito dalla verticale che passa per il centro dello strumento. - L asse di rotazione del cannocchiale a 2 a 2 costituito dalla retta che passa per gli appoggi sull alidada. - L asse di collimazione a 3 a 3 rappresentato dalla retta che passa per il centro dell obbiettivo e il centro del reticolo. La condizione di rettifica dello strumento è che gli assi s incontrino in un punto C, centro dello strumento e siano mutuamente ortogonali. 13

14 La quota del punto C non interessa ai fini della misura dell angolo azimutale, in quanto interessa soltanto che C sia sull asse a 1 - a 1. Viceversa, se si misura un angolo zenitale è necessario conoscere la quota, in quanto il vertice dell angolo si forma in C e non sul terreno. Si dice che lo strumento è in stazione su un punto P quando l asse a 1 è perfettamente verticale ed il punto C si proietta lungo la verticale a 1 a 1 in P. Le misure degli angoli vengono effettuate mediante letture su cerchi graduati, quello per gli angoli azimutali è fissato attorno alla base e pertanto è orizzontale quando lo strumento è in stazione, mentre per gli angoli zenitali il cerchio è fissato al cannocchiale e ruota con esso. Misura degli angoli azimutali I cerchi azimutali hanno generalmente una graduazione centesimale o sessagesimale che si sviluppa in senso orario. La misura di un angolo AOB procede come segue: dove α = LB L A L B ed L A sono letture delle direzioni OA e OB Nel caso che le direzioni lette siano a cavallo dello zero si avrà: Ad esempio se: α = L B A ( L 2π ) 14

15 L A = 280 ed L B = 20 Si ha: α = 20 - ( ) = = 100 Giova precisare che per lettura di una direzione s intende la media delle letture coniugate indicate come segue: dove L A = (Cs + Cd) / 2 - Cs è la lettura effettuata con il cerchio a sinistra - Cd è la lettura effettuata con il cerchio a destra Le letture di una direzione con C.S. e C.D. differiscono di π. Per la misura di una zenitale la lettura è diretta, mentre per determinare un angolo verticale esso sarà dato dal valore assoluto della differenza delle due letture. ϕ = L 2 L 1 15

16 L incertezza di una lettura in questa classe strumentale ha un intervallo molto ampio (0.1 5 ). In generale la minima incertezza ottenibile è per gli angoli azimutali, mentre per angoli zenitali l incertezza aumenta in quanto il cerchio è più piccolo. Cerchio verticale C.S. L indice legge 100 g lettura Z = 100 g Giriamo l alidada di 200 g Lettura Z= 100 g 16

17 Capovolgiamo il cannocchiale C.D: L indice legge 300 g Lettura Z=300 g Pertanto le letture coniugate della zenitale differiscono di 400 g Ls=z Ld = Z Riduzione della zenitale sul punto stazione Z = ϕ + ϕ = z - d de = sen z ( nota) Si applica il teorema dei seni (triangolo φap) de h = senϕ senε de h = sen(z - ε) senε 17

18 de sen z cosε senε cos z = = sen z ctgε cos z h senε de ctgε = ( + cos z) h 1 sen z 1 = tgε = ctgε 1 de + ctgz h sen z Le componenti strumentali Le parti che concorrono a formare la qualità dello strumento sono: a) il cannocchiale b) cerchi graduati e metodi di lettura c) l obbiettivo d) la strumentazione secondaria (livelle e micrometria) Tutte questi parti devono essere progettate e realizzate in modo da poter mantenere il livello d incertezza desiderato Il Cannocchiale L asse di collimazione a 2 a 2 si realizza nel cannocchiale come la retta che passa tra il centro del reticolo e il centro dell obbiettivo. Il cannocchiale montato sul teodolite è a lunghezza costante, originariamente era di tipo astronomico, vale a dire due tubi coassiali che potevono variare la lunghezza tra obiettivo ed oculare, al fine di fare cadere l immagine sul reticolo, lo schema ottico è quello in figura: 18

19 Nello schema è rappresentato una lente obbiettivo con distanza focale F 1 molto più grande di quella di F 2 della lente oculare La lente obbiettivo di un oggetto posto a distanza d > 2 F 1, fornisce un immagine reale capovolta e rimpicciolita che raccolta dalla lente oculare tra il suo fuoco e il centro della lente stessa, viene restituita come immagine virtuale, diritta e ingrandita. Quanto sopra nel rispetto dell equazione fondamentale delle lenti sottili: dove - d è la distanza dell oggetto - q è la distanza dell immagine - f è la distanza focale 1/d + 1/q = 1/f il rapporto A 2 B 2 / AB = E si chiama ingradimento trasversale Affinché l immagine sia collimata, essa deve cadere sul piano del reticolo, il cui centro deve cadere sull asse ottico. La possibilità di portare l immagine sul reticolo, nel cannocchiale a lunghezza costante, è data da una lente interna. Le caratteristiche principali del cannocchiale sono: - L ingrandimento - Il diametro dell obbiettivo - La chiarezza L Ingrandimento è dato dal rapporto 19

20 tgα I = tgε - α è l angolo sotto cui si vede l oggetto attraverso l oculare - è l angolo sotto cui l osservatore vede l oggetto a occhio nudo si dimostra che I = f f 1 2 = il campo del cannocchiale è definito dalla distanza trasversale visibile a 1000 m. 1km campo Esso è sostanzialmente determinato dalla ghiera che sostiene l obbiettivo Il diametro dell obbiettivo condiziona il potere di puntamento in quanto legato al potere risolutivo Infatti a causa della natura ondulatoria della luce, l immagine si forma dentro un dischetto di diffrazione il cui raggio vale 1.22λ r = f D Dove λ = cm ( luce verde) ƒ=30 cm D= 5cm r = ( ) / 5 30 = cm = mm 20

21 Se sul piano del reticolo due punti distano meno di r non sono più distinguibili, di conseguenza si definisce poter risolutivo l angolo che alla distanza focale ƒ sottende due punti distanti r. Potere risolutivo = γ = r / ƒ = 1.22 λ / D Che come si vede dipende solo da D Con un diametro D = 5 cm si ha: γ " = " = 2.5" L errore di puntamento è dato dall errore angolare che si commette quando si ritiene di aver sovrapposto il centro del reticolo con il punto collimato, detto errore si può ritenere pari a γ /4. Infine la chiarezza è data dal rapporto: dove Q/a - Q è la quantità di luce che proviene dall immagine - a è l area dell immagine sulla retina Mezzi di lettura ai cerchi I cerchi dei teodoliti hanno dimensioni variabili da 50 mm a 120 mm, sono costituiti da vetro ottico e portano la graduazione che viene incisa, ovvero riportata con procedimento di fotoincisione. La realizzazione della graduazione è un procedimento molto delicato; infatti, se si considera che su un cerchio di 80 mm di diametro, per incidere 400 g è necessario tracciare un segno ogni 6 decimi di millimetro, e per i primi (1 - ) i tratti dovrebbero distare 6 µ, ci si rende conto che anche per strumenti di modesta precisione è necessario una procedura molto raffinata. Per poter eseguire delle letture sui cerchi c è quindi la necessità di utilizzare un microscopio che con l ausilio di altri mezzi consente di pervenire a letture con stime del decimo di secondo. 21

22 Tralasciando gli schemi ottici, possiamo dire però che un microscopio semplice rinvia all oculare un immagine 10 volte ingrandita, mentre un microscopio composto ingrandisce mediamente volte. Ora se l intervallo di 1 g sul cerchio misura 0.6 mm significa che: a) con microscopio semplice avremo una immagine apparente di 6 mm b) con microscopio composto avremo un immagine apparente di 4.8 cm (I=80) Consideriamo il primo caso: Ogni intervallo è 25 c, pertanto posso stimare con un approssimazione di 25 c /3 8 c Nel secondo avremo quindi posso leggere 2 c e stimare 2 c /3 = 66 cc La stima può essere aiutata da un nonio applicato alla graduazione. Il principio del nonio è il seguente. Se si sposta la graduazione sottostante si ha che nel tratto AB risulta 22

23 3 d = a + 3 d da cui a= 3 (d d ) Per esempio nel caso di una graduazione del tipo in figura avremo: Lettura (10c 9c) = Sistema di lettura micrometrici I sistemi di lettura a stima non consentono letture al di sotto del 1 c e di apprezzare meno di c, per poter avere letture più raffinate è necessario utilizzare i sistemi di misura micrometrici che sfruttano il principio della lastra a facce piane parallele. 23

24 Se la lastra ruota di î, il raggio ottico trasla senza ruotare di una quantità d S = AB sen( i r) = ( i r) cos r d = (S / cos r) sen (i r) Essendo î ed ř angoli molto piccoli si ha: cos ř = 1 sen (i-r) = ( î - rˆ ) pertanto d = S (i-r) essendo inoltre n = indice di rifrazione = i/r si ha r 1 n -1 d= S i ( ) = S i ( ) = S i ( ) i n n Se consideriamo una lastra con uno spessore di 2 cm in vetro ottico (n = 1.5) per apprezzare lo spostamento di 10-4 mm è necessaria una rotazione pari a: i = ( ) = che con viti micrometriche è ottenibile. Come si utilizza tutto ciò nella lettura della graduazione? Con riferimento alla figura, il micrometro consente di valutate il tratto a con lettura del 1 e

25 a stima del 0.1, infatti se si ruota la lastra sino a fare coincidere l indice sul 27, in funzione della rotazione effettuata si ottiene il valore di a Supponiamo che su un cerchio di 70 mm di diametro, il valore di a sia 10-4 mm avremo: 360x3600" = 2πr x a " x x = " = = 4 0.6" Il che significa che posso organizzare una scala di lettura per frazioni di grado in cui si legge il 1 e si apprezza

26 Difetti del Tedolite I difetti del Teodolite sono di due tipi: - difetti strumentali - difetti di rettifica I difetti strumentali sono: - eccentricità del lembo - perpendicolarità - eccentricità dell asse di collimazione - errore di graduazione del cerchio Mentre i difetti di rettifica sono: - difetto di collimazione - difetto d inclinazione - difetto di verticalità Vediamo di analizzarli uno per uno. Perpendicolarità Più che di un difetto, si tratta di una anomalia originaria dello strumento causata dalla mancata ortogonalità tra asse a 1 a 1 ed il cerchio azimutale. E un difetto che può essere presente per costruzione, ovvero può essere causato da un urto. L errore indotto non può essere eliminato con particolare uso dello strumento, che in definitiva non può essere utilizzato. Eccentricità del lembo 26

27 Il difetto origina dal fatto che l asse generale a 1 a 1 incide ortogonalmente il cerchio azimutale in un punto c diverso dal centro della graduazione. Pertanto lo strumento nel collimare P gira di α ma legge α, commettendo un errore di. Infatti L 1 = α = α - Se lo strumento è dotato di un secondo indice diametralmente opposto al primo avremo: L 2 = α + π + 2 = α - + π + 2 = α + π + La media delle letture sarà esente da errore e a meno di π sarà L + L 2 ( α ε + α + ε ) + = π L 1 + L 2 2 = α (lettura corretta) Il difetto e determina un errore pari a = e/r senα che si trova applicando il teorema dei seni al triangolo c c L 1. Per strumenti di bassa precisione il difetto non determina errori rilevanti, mentre per strumenti più raffinati il problema si pone, infatti se si considera un e = 10-3 mm con un r = 30 mm α=90, si ha: = 10 3 ε x1x " = 7" 30 Per questo motivo tutti gli strumenti di una certa precisione sono dotati di lettura al doppio indice. 27

28 Eccentricità dell asse di collimazione Il difetto si verifica allorquando l asse di collimazione proiettato sul cerchio azimutale non passa per il centro della graduazione ma ha rispetto ad esso un eccentricità e. In queste condizioni, collimando il punto P, invece di leggere L o fornirà la lettura L 1 = L 0 - Il difetto si elimina con la media delle letture coniugate in quanto L 2 = L 0 + pertanto L L 2 = L o Difetto di graduazione del cerchio E dovuto al fatto che la graduazione non può essere incisa in maniera perfetta, il che può comportare che in alcune parti del cerchio è più ravvicinata mentre in altre è più distanziata. 28

29 Si comprende come il difetto generi errori di carattere sistematico per la lettura degli angoli. L errore indotto dal difetto di graduazione viene eliminato attraverso una particolare procedura che utilizza i metodi di Ripetizione e di Reiterazione, che vedremo più avanti. Si definiscono difetti di rettifica quelli che con particolari procedure possono essere eliminati dallo strumento. collimazione C c / sen z inclinazioni I i ctg z verticalità V ν tg α sen A (α = elevazione) (Â angolo planimetrico) Questi tre difetti derivano dalla mancata condizione di rettifica dello strumento ed in particolare dal fatto che l asse a 1 a 1 non può essere reso perfettamente verticale e che la mutua ortogonalità degli assi non può essere raggiunta perfettamente. La condizione di rettifica si ottiene nel momento in cui gli errori indotti siano dell ordine di grandezza della precisione strumentale. Va però tenuto presente che mentre negli strumenti meno precisi la condizione di rettifica si può ottenere in maniera canonica, per strumenti molto precisi detta condizione è più difficile da verificare. Lo studio degli errori indotti dalla presenza simultanea dei tre difetti è abbastanza complessa, ma nella sostanza si può ammettere che gli effetti possono essere studiati separatamente in quanto ν, i, c sono tanto piccoli da poterne trascurare i quadrati, infatti consideriamo che il valore del difetto sia 10 c, passando ai quadrati avremo: 10 c = rad che al quadrato diventa rad

30 A questo punto se L è la lettura che si farebbe allo strumento, collimando un punto P in condizioni di perfetta rettifica, mentre per effetto di v, i e c si legge L, potremo scrivere: L L = ƒ (ν, i, c, A, Z) dove A è l angolo azimutale e Z la zenitale. Se la funzione viene sviluppata in serie si ha: L L = ƒ o (ν, i, c, A, Z) + J x i c ν e siccome ƒo (ν, i, c, A, Z) = φ avremo: ϑf L' L = ϑv 0 ϑf v + ϑc 0 ϑf c + ϑi 0 i Tutte le derivate sono funzioni di A e Z e vengono calcolate per ν = c = i = φ Si può concludere che l effetto di un difetto può essere studiato in maniera separata dagli altri. Se si studia, attraverso la sfera della direzione, l effetto complessivo dei tre difetti si perviene all espressione L L = ν ctg Z sen A ± (c /sen z) ± i ctg Z Dove il doppio segno è dovuto al cambiamento di segno di c ed i nella lettura con C.S. e C.D., il che comporta che nella media delle letture coniugate gli effetti dovuti a c ed i si elidono. Si può ora enunciare la regola di Bessel, che recita: Per misura di una direzione s intende la media delle letture con C.D. e C.S. Questa procedura elimina: - errore dovuto a difetto di collimazione - errore dovuto a difetto di inclinazione - eccentricità del lembo - eccentricità dell asse di collimazione. Residuano così due difetti quello di verticalità e quello di graduazione. 30

31 Per il primo caso è necessario procedere ad una stima preventiva che porta a concludere: - nel caso di strumenti con bassa precisione (30 ) l errore dovuto a ν resta al di sotto dell errore strumentale; - nel caso di strumenti con elevata precisione e per operazioni di controllo, conviene effettuare più letture tramutando l errore in accidentale, attenuando, così, gli effetti nella media finale. Le procedure di misura e le cautele sin qui indicate non eliminano l ultima causa d errore dovuta al difetto di graduazione. Per poter attenuare l errore che ne deriva è necessario mutare anche esso da errore sistematico ad accidentale, e ciò si ottiene misurando l angolo in parti diverse del cerchio. Per poter fare ciò è necessario che il cerchio possa ruotare attorno all asse a 1 a 1, e a seconda delle modalità con cui si consente questa rotazione i teodoliti prendono il nome di Reiteratori o Ripetitori. Nello strumento Reiteratore il cerchio è calettato ad attrito sul basamento e può ruotare attorno ad esso mediante una vite chiamata proprio di reiterazione. Mentre nel teodolite Ripetitore il cerchio può essere fissato al basamento, ovvero all alidada ripetendo così una lettura. Prima di passare ad esporre le due procedure di misura, dobbiamo chiarire come si fissa il numero n delle reiterazioni o delle ripetizioni. E noto che la relazione che lega lo. m. m. con s.q.m. in una popolazione di n misure è: σ(m) = ± σ/ n Pertanto se σ θ è lo s.q.m. nella misura di una direzione e si vuole sulla media un.. m. pari a σ(m) si avrà: n = σθ / σ(m) Il valore di n è inutile che superi il valore 20 24, infatti la relazione σ(m) = ± σ/ n è approssimata partendo dal presupposto che la misura è 31

32 Xi = m + i Dove i sono scarti di misura puramente accidentali a media nulla e indipendenti l uno dall altro. Ciò non è mai vero in quanto: - Le misure sono affette da sistematici variabili da misura a misura con una legge che non conosciamo. - Le misure sono sempre correlate. Quindi una relazione più approssimata è: X = m + i k cui corrisponde una varianza e ancora 1 σ 2 = --- ( i k ) n 1 σ 2 = --- [ i=k 2 i + i k i k ) n ed essendo si ha σ 2 σ 2 m = --- n 1 σ 2 (m) = --- [ i=k 2 i + i k i k ) n 2 considerato che i=k 2 i = n σ 2 e i k i k = (n 2 n) ρ σ 2 si ha n n 2 - n σ 2 (m) = --- σ ρ σ 2 n 2 n 2 32

33 1 1 σ 2 (m) = --- σ 2 + ( ) ρ σ 2 n n che per n fornisce σ 2 (m) = ρ σ 2 φ Ciò posto, stabilito quanto deve essere il valore dell.. m., con la scorta delle considerazioni fatte si fissa il numero n, che nel caso: - della reiterazione si ottiene facendo compiere al cerchio n rotazioni pari a 2π/n. Il valore angolare sarà quello della media dell angolo, la cui lettura si è ottenuta su parti diverse del cerchio. - della ripetizione si ottiene con la seguente procedura: A B 1) Lo strumento è in stazione in O 2) Si punta A e si legge L1, si punta B e si legge L2 3) Si fissa il cerchio all alidada, si sblocca dal basamento e si punta A dove si legge L2. Si fissa il cerchio al basamento, si sblocca dall alidada e si punta B dove si legge L3. 4) Si avrà così lo schema di letture di seguito la cui media vale α 1 = L 2 L 1 α 2 = L 3 L 2 α 3 = L 4 L 3. α n = L n L n α i = L n L 1 Ln + K 2 π - L1 α = n 33

34 K è il numero di volte che si passa per lo φ Zenit strumentale Abbiamo visto che con C.S. la lettura di una zenitale vale Ls = Z Mentre con il cerchio a destra avremo Ld = 400 g - Z Se la traversa indici è in rettifica, puntando il cannocchiale allo zenit, avremo Ls = φ L D = 400 g (φ) Se però la traversa indici è inclinata di un angolo ξ Ls =ξ L D = ξ ξ prende il nome di zenit strumentale In particolare due letture generiche saranno: Ls =Z - ξ L D = 400 Z - ξ e la differenza fornirà Ls - L D = Z - ξ Z + ξ = 2 Z da cui (Ls - L D ) Z = = 2 mentre la somma darà 34

35 Ls + L D = = 400 (Ls + L D ) = [400 (Ls + L D )] / 2 Generalmente la traversa indici è costituita in maniera tale da eliminare automaticamente lo zenit strumentale, ciò si ottiene, per esempio, collegandola ad un sistema pendolare che automaticamente si dispone lungo la verticale, e con esso, per costruzione la traversa si dispone orizzontalmente. Correzione d indice E la procedura con cui si elimina il difetto di zenit strumentale e consiste in: - Si collima un punto e si eseguono le letture della zenitale sia con C.D. che con C.S. - Se la somma delle letture differisce per ξ da 2π, vuol dire che è presente uno zenit strumentale - Si calcola la lettura corretta (Ls - L D ) Z = = 2 e la si impone muovendo la traversa indici - Se sulla traversa è presente una livella, si centra la bolla con le viti proprie della livella. Stazione eccentrica 35

36 Se in luogo di fare stazione in S e misurare α, si fa stazione in C e si misura α, sarà: α + 1 = α + 2 α = α / e = sen ϕ 1 / d 1 1 = e/d 1 sen ϕ 1 e ancora 2 / e = sen ϕ 2 / d 2 2 = e/d 2 sen ϕ 2 in ogni caso e del tipo = e/d sen ϕ o σ 2 = (-----) 2 σ 2 e + (-----) σ 2 ϕ + (-----) σ 2 d e ϕ 2 d 2 (1) (2) (3) Valutiamoli in maniera indipendente 1) σ (e) = (sen ϕ σe) / D 36

37 per ϕ = 90 e valutando che sia σ = 1 per D = 1 km risulta km σe = = 5 mm per D = 100 m risulta σe = 0.5 mm 2) σ (D) = [( e sen ϕ) σ D ] / D 2 per ϕ = 90 e = 1 m e σ = 1 per D = 1 km risulta σe = = 4.84 m per D = 100 m risulta σe = 0.48 m 3) σ (ϕ) = [(e cos ϕ) σϕ ] / D per ϕ = φ e = 1 m e σ = 1 per D = 1 km risulta σϕ = = 1000 per D = 100 m risulta σe = 100 Si può quindi constatare che la misura che richiede più esattezza è quella dell eccentricità (e). 37

38 La misura elettronica delle direzioni Lo scopo generale con cui si è mossa la ricerca nel campo strumentale è così riassumibile: - ottenere misure migliori e più rapide; - eliminare le soluzioni di continuità tra l effettuazione delle misure e l elaborazione dei calcoli; - registrazione automatica delle misure su supporto compatibile elettronico; - elaborazione automatica del grafico. In questo contesto la misura delle direzioni (e delle distanze) è stata al centro di una vera e propria rivoluzione Copernicana. I primi tentativi di misura digitale delle direzioni risalgono agli anni 50, ma bisogna arrivare agli anni 70 per avere le prime realizzazioni commerciali. Inizialmente si adottò il sistema codificato, che richiedeva però in un secondo momento la lettura con un lettore ottico. Nella sostanza si trattava di decodificare un vero e proprio codice a barre Errori della graduazione Negli strumenti dell ultima generazione che forniscono una lettura digitale su display, le letture sono organizzate in maniera diversa. Il metodo che si utilizza è detto incrementale e si attua attraverso una generazione d impulsi raccolti da sensori e tradotti in misura angolare. Fra i tanti modi di ottenere una lettura incrementale parliamo di un metodo che è abbastanza diffuso. 38

39 To = s f(conteggio) = Hz Il cerchio è diviso in 1024 settori, in ogni settore si avrà: cc = In ogni settore si avrà un numero d impulsi pari a R = = (impulsi) Con una unità minima stimabile pari a 3906, = 6 cc, La lettura è fatta da sei sensori diametralmente opposti pertanto la precisione ottenibile è 6.9 σ = ± = 2 cc 12 Considerato che in un cerchio di 52 mm di diametro, un errore di graduazione di mm comporta un errore di lettura pari a cc x = cc π 52 Questa precisione sarebbe puramente teorica. In effetti lo strumento esegue 512 misure e ne visualizza la media, si ha cosi: 6.9 σ = ± = 0.1 cc 512 Lo strumento viene fornito con una ripetitività di 0.5 cc * * * 39

40 I caratteri più appariscenti di questa nuova generazione di strumenti è: - Peso - Dimensioni - Automatismo - Pochi comandi - Allacciamento seriale con computer - Manutenzione già semplice Il principio della misura La misura elettronica della direzione si basa fondamentalmente sui questo concetto: Indice + emettitore d impulsi a Consideriamo la tacca di misura a, nel momento in cui sotto l indice (sensore) passa il tratto iniziale e finale, il sensore sa che sotto di esso è passato un tratto il cui valore è a. Se il sensore nel tempo necessario al passaggio della tacca emette n impulsi è capace di leggere una frazione pari ad a/n. In questo senso questo tipo di lettura si definisce incrementale. Il fatto poi che possa essere l indice a muoversi sul cerchio, o il cerchio a muoversi sotto l indice comporta che la lettura è di tipo statico ovvero dinamico. Le realizzazioni che di seguito illustreremo saranno di tipo dinamico-incrementale, senza che ciò tolga nulla al concetto della misura. La ditta Sokkishia (Tokio) utilizza un cerchio costituito da un disco cilindrico ricoperto nello strato superiore da Nichel-Ferro e magnetizzato con polarità alternata. La rotazione del cilindro genera un segnale sinusoidale con λ = 0.2 mm, mentre il sensore emette in λ / 200 impulsi arrivando ad una risoluzione di 1 µ. Il diametro esterno del disco è mm. Si avrà così: 3 2πr 10 mm = e ancora 360x3600" ϕ 40

41 mm 10 = " ϕ ϕ = = 3" Il metodo descritto è statico-incrementale. Nei teodoliti elettro-ottici Wild è applicato il metodo Sercel che è di tipo dinamico-incrementale, infatti sia il cerchio orizzontale che il cerchio verticale ruotano trascinati da un servomotore. Per ogni misura angolare il cerchio fa una rotazione completa ed è letto da due diodi all infrarosso, di cui uno fisso posto sulla circonferenza esterna (L.F) ed uno mobile posto sulla circonferenza interna (L.M.). L indice costituito da L.F. è lo zero, in quanto il cerchio non essendo codificato non ha direzione origine. Sia ϕ l angolo azimutale, compreso tra i due assi dei diodi, potremo quindi scrivere ϕ = n ϕ o + ϕ Se gli assi dei diodi passassero sulle delimitazioni iniziali e finali di n ϕ o, ϕ sarebbe nulla. In termini di tempi se alla rotazione ϕ o corrisponde un periodo T o, alla rotazione ϕ corrisponderà una frazione T pertanto: ϕ T = ϕ To o T ϕ = To ϕ o ed in definitiva ϕ T n ϕ + To = o ϕ o Ora se To = s f = 1.70 MH Z (frequenza di conteggio del diodo) e ϕ o 2π 400x10000 = = = cc il numero d impulsi in ϕ o sarà: 41

42 n = = pertanto la minima unità stimata sarà cc = 6.88 cc Ogni misura di fase viene raccolta da sei sensori diametralmente opposti avremo: σ = ± = ± 2 cc Se consideriamo però che un errore di tracciamento dei ϕ o di mm su un cerchio di 52 mm di diametro comporta un errore pari a: ε = = 12 cc l incertezza di ± 2 cc non potrebbe essere mantenuta. In effetti il cerchio gira 512 volte pertanto, ai fini dell errore di graduazione si avrebbe σ 12 cc cc g = ± = che è il valore di σ con cui viene dichiarato dal costruttore. Un altro sistema dinamico-incrementale che merita di essere citato è quello adottato nell AGA 140, in quanto in esso non può essere presente l errore di graduazione nel senso classico. Lo strumento infatti è fornito di cerchi costituiti da doppi dischi separata da uno strato d aria, e recanti piste coordinate a zig-zag, radialmente simmetriche del tipo in figura disco superiore 42

43 disco inferiore Una corrente alternata introdotta nel disco inferiore ne induce un altra sul disco superiore generando una tensione massima nel momento in cui girando le piste si sovrappongono, mentre la tensione si annulla nel momento in cui le piste sono sfasate di un quarto. Girando l alidada si generano tensioni la cui ampiezza d onda corrisponde a 0.6 milligon. L errore di graduazione non può esistere, nel senso comune, in quanto la misura avviene per integrazione della tensione. Quello che si può riscontrare è che si possono generare dissimetrie cicliche nelle tensioni che si tramutano in pseudo errori di graduazione. Cause d errore nei teodoliti elettronici Le cause di errore più temibili e comuni sono determinate da errori sistematici dovuti alle componenti elettroniche. Infatti per i cosidetti errori accidentali è presente nel software interno la possibilità di compensarli, mentre per i sistematici ciò non è possibile, né i messaggi di errore possono riferirsi a quest ultimo tipo di errore. Per esempio per quanto riguarda l errore di graduazione, che nei teodoliti ottico-meccanici viene ottenuto mediante Reiterazione e Ripetizione, negli strumenti elettroottici può essere eliminato solo in quelli con lettura incrementale, mentre negli altri girare il cerchio è impossibile. E comunque temibile anche la deriva causata da variazione termiche implicite nel funzionamento dello strumento, ed errori sistematici dovuti all orizzontamento degli indici e compensatori per letture zenitali. In definitiva per quanto attiene gli errori negli strumenti elettroottici si può riassumere: - gli accidentali sono più piccoli e vengono eliminati dal software interno; - i sistematici sono temibili e difficili da individuare e la loro correzione non è agevole; - la riparazione si esegue sempre con sostituzione di schede, ma deve essere eseguita dal costruttore. Per l uso degli strumenti elettroottici si può raccomandare quanto segue: - è inutile aumentare il numero delle misure, in quanto il software interno fornisce la media di centinaia di misure; - il controllo dei sistematici si può effettuare soltanto montando e rimontando lo strumento sul treppiedi; - eseguire spesso controlli su basi o direzioni note. 43

44 L errore accidentale nella misura degli angoli La misura di alta precisione di una direzione dovrà essere fornita dalla media dei risultati di n operazioni che sia per angoli azimutali e zenitali indicheremo genericamente come dove ) θ = θ ± σ m θ (m) θm è il valore medio σ θ(m) è l errore medio della media Va specificato inoltre che dove θ m = 1 Σθi n θi è la media delle letture coniugate (Bessel) operate in parti diverse del cerchio. Così operando si sono ottenuti i seguenti risultati: - Eliminazione degli errori dovuti a residui di difetti di collimazione e inclinazione. - Eliminazione degli errori dovuti ad eccentricità del lembo ed eccentricità dell asse di collimazione. - Trasformazione degli errori sistematici di verticalità e graduazione in errori accidentali. Quindi in termini di varianza σ 2 θ possiamo dire che essa è determinata come segue: σ θ = ε ( v, g) + ε l + ε p dove si è indicato con: - 2 (v,g) la varianza dovuta al difetto di verticalità e graduazione - 2 (l) la varianza dovuta alla lettura della direzione - 2 (p) la varianza dovuta al puntamento del segnale. 44

45 Per quanto riguarda 2 (l) questa è dovuta sia a piccoli movimenti delle componenti strumentali sia dalla differente stima che lo stesso operatore opera nell eseguire letture ripetute. La Varianza dovuta ad 2 (p) è determinata dal fatto che il centramento del segnale con il centro del reticolo comporta un errore. Nelle operazioni di precisione è necessario procedere ad uno studio del segnale cercando di ottimizzare 2 (p). Il puntamento risulterebbe perfetto se il centro del reticolo si sovrapponesse al centro del segnale, in questo caso avremmo 2 p = φ. Questa condizione è praticamente impossibile in quanto se è possibile considerare puntiforme l incrocio dei fili del reticolo, per il centro del segnale è necessario procedere ad una stima della sua posizione. Supponiamo di aver posto un segnale a 100 m di distanza e di volerlo collimare con un cannocchiale con ingrandimento 30 x. Ad occhio nudo a 100 m la minima dimensione di un segnale per essere visibile α h D è data da h = D α (r) dove α (r) è il potere separatore dell occhio che in condizioni ottimali vale r α " 4 = 70 = (rad) " 45

46 pertanto h risulta: h = m = 3.39 cm Con un cannocchiale con I = 30 si ha: D h = α e nel nostro caso I r m h = = 0.61cm = 6. 1mm 30 Pertanto se voglio vedere il segnale dovrò avere un intersezione di linee il cui minimo spessore deve essere 6 mm. 6 mm 6mm Quindi il centro del segnale è costituito da un quadrato di 6 mm di lato, nell ipotesi di posizionamento del centro del reticolo a 2 mm di distanza dall intersezione delle diagonali, l errore di puntamento sarà: 2mm ε " p = " = 4", mm Se si eseguono 10 letture ripetute avremo 4",125 ε " p( m) = = 1",30 10 In ogni caso nelle operazioni di alta precisione oltre al dimensionamento del segnale, che va fatto come abbiamo detto, è conveniente determinare la varianza complessiva σ 2 θ attraverso un buon 46

47 numero di misure eseguite preventivamente in modo da poter usufruire di tale valore nel progetto delle operazioni. Varianza di un angolo Abbiamo detto che la misura di un angolo è data da pertanto α = θ 2 θ σ ( α) = 2σ ( θ ) Vogliamo determinare adesso la matrice di varianza-covarianza di angoli misurati in giro d orizzonte: Se θi sono le direzioni osservate con σθi avremo α = θ θ α = 2π θ + θ 1 α = θ θ α = θ θ La matrice di varianza covarianza delle direzioni vale 47

48 2 σ α φ φ φ C θθ = φ φ σ φ 2 θ2 σ φ 2 θ3 φ φ φ φ φ σ 2 θ 4 C αα = J C θθ J T 48