TTRG LAVORO ESTIVO 2H a.s

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1 TTRG LAVORO STVO H a.s SRCZ RSSTNZ N SR PARALLLO ) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R = 0 kω; R = 0 kω; R = 5kΩ; R4 = 5 kω. ) Si determini la resistenza equivalente della rete in fig.. ) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R =0 kω; R =5, kω; R =47 kω. 4) Si determini la resistenza equivalente che si vede tra i terminali A e B della rete di fig.. 5) n un circuito ai cui estremi è applicata una tensione V = 8 V passa una corrente di intensità = A. Calcola la resistenza R del circuito. 6) Qual è l'intensità della corrente che percorre un conduttore di resistenza R = Ω quando si applica ai suoi estremi una d.d.p. V = 8 V? 7) Quale differenza di potenziale si deve applicare agli estremi di un conduttore metallico avente resistenza R = 7 Ω se si vuole che esso sia percorso da una corrente di intensità = A? 8) Considera il circuito di fig., i cui dati sono: R = 4 Ω, R = 6 Ω, R = 8 Ω. Calcola R Q. 9) Considera il circuito di fig.4, i cui dati sono: R = Ω, R = Ω, R = 6 Ω, R 4 = 5 Ω. Calcola R Q. 0) Considera il circuito di fig.5, i cui dati sono: R = Ω, R = Ω, R = 6 Ω, R 4 = 8 Ω, R 5 = 8 Ω, R 6 = Ω, R 7 = 6 Ω. Calcola la resistenza totale del circuito. ) Si determini la resistenza in serie ed in parallelo dei seguenti resistori: R= Ω; R = Ω; R =4 Ω; R 4=8Ω. ) n un circuito ai cui estremi è applicata una tensione V = V passa una corrente di intensità = 8 A. Calcola la resistenza R del circuito. ) Qual è l'intensità della corrente che percorre un conduttore di resistenza R = 5 Ω quando si applica ai suoi estremi una d.d.p. V = 5 V? 4) Quale differenza di potenziale si deve applicare agli estremi di un conduttore metallico aventi resistenza R = Ω se si vuole che esso sia percorso da una corrente di intensità = 8 A? 5) Considera il circuito di fig.6, i cui dati sono: R = Ω, R = Ω, R = Ω, R 4 = Ω. Determina R Q. 6) Considera il circuito di fig.7, i cui dati sono: R = R = R 5 =,5 Ω, R = R 7 = 4 Ω, R 4 = R 6 = 6 Ω. Determina R Q=? Figura Figura Figura Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7

2 Risoluzione di reti elettriche con la legge di Ohm. ) Dato il circuito in Figura con R=0 Ω, R=0 Ω, R=0 Ω e V=0 V, si determini,,, Req e. ) Dato il circuito in Figura con R= kω, R= kω, R= kω e V=4 V, si determini e VB. ) Dato il circuito in Figura con R=40 Ω, R=40 Ω, R=60 Ω e V=68 V, si determini,,, e VP. 4) Dato il circuito in Figura 4 con R=R=800 Ω, R=R4=40 Ω e V= V, si determini,,,, e 4. V R R R Figura Figura Figura Figura 4 5) Dati tre resistori si determini il valore della Req quando sono montati in serie e in parallelo (fare il disegno) a) con i seguenti valori di resistenza: R=00 Ω, R=00 Ω, R=00 Ω b) con i seguenti valori di resistenza: R= kω, R=4 kω, R=4 kω 6) Dato un circuito con due resistori montati in serie si determini il valore della Req, di, di V e V quando a) V=0 V, R=400 Ω, R=00 Ω (fare anche il disegno). b) V=4 V, R= kω, R= kω (fare anche il disegno). 7) Dato un circuito con due resistori montati in parallelo si determini il valore della Req, di, e quando a) V= V, R=00 Ω, R=00 Ω (fare anche il disegno). b) V= V, R=400 Ω, R=600 Ω (fare anche il disegno). 8) Un circuito elettrico è costituito da un generatore e da resistori, R= kω, R= kω, R= kω, collegati in serie. La d.d.p. ai capi di R è V= V. Disegna il circuito e determina Req,, V e V. 9) Un circuito elettrico è costituito da una batteria e da resistori, R=400 Ω, R=600 Ω, collegati in parallelo. Disegna il circuito e, sapendo che la corrente che circola in R vale =0,0 A, determina V,, Req e.

3 0) Data la rete di figura 5 si determini la corrente in ciascun resistore, il potenziale dei punti A,B, C, D,,F e le differenze di potenziale VCD e VA e la potenza assorbita dalla rete. R=0KΩ R=,KΩ R=5,KΩ R4=8,KΩ R5=5,6KΩ R6=,6KΩ R7=KΩ R8=5,6KΩ Figura 5 ) Data la rete di figura 6 si determinino i potenziali dei punti A,B, C, D e la potenza assorbita dalla rete. R=4,7KΩ R=7,5KΩ R=8,KΩ Figura 6 ) DATO L SGUNT CRCUTO, DTRMNA RQ,, VAB,,, VCD, 4, 5 e 6 =00V R=0KΩ R=0KΩ R=90KΩ R4=50KΩ R5=50KΩ R6=75KΩ ) DATO L SGUNT CRCUTO, DTRMNA RQ,, VAB,,, VCD, 6 e 7 =400V; R=9KΩ; R=50KΩ; R=00KΩ; R4=0KΩ; R5=40KΩ; R6=00KΩ; R7=0KΩ; R8=0KΩ;

4 4) DATO L SGUNT CRCUTO, DTRMNA RQ,, VAB,,, 4, VCD, 5 e 6. R R A 4 R R4 C 5 R5 5 6 R6 6 =00V R=,75KΩ R=84KΩ R=60KΩ R4=0KΩ R5=00KΩ R6=00KΩ B 4 D 5) DATO L SGUNT CRCUTO, DTRMNA RQ,, VAB,,, 4, VCD, 5 e 6. =0V; R=KΩ; R=0KΩ; R=80KΩ; R4=00KΩ; R5=5KΩ; R6=48KΩ; R7=65KΩ; R8=0KΩ; 6) DATO L SGUNT CRCUTO, DTRMNA RQ,, VAB,,, 6, VCD, 4 e 5 =400V R=5KΩ R=0KΩ R=45KΩ R4=0KΩ R5=60KΩ R6=75KΩ 4

5 7) Dato il seguente circuito in cui sono noti: =400V; R=,5KΩ; R=60KΩ; R=5KΩ; R4=50KΩ; R5=50KΩ; R6=75KΩ; R7=60KΩ; R8=0KΩ; Determina: a) Req b) c) VAB d), e) VCD f) 4, 5, 6 8) Determina Req e la corrente del seguente circuito 9) Dato il seguente circuito, determina Req e la corrente 5

6 0) Determina Req e la corrente del seguente circuito ) Risolvere il seguente circuito: V 40 6

7 Definizione di Circuito elettrico: è un sistema costituito da almeno un generatore di tensione (per esempio una pila) oppure di corrente, un utilizzatore o carico e un filo conduttore di collegamento tra i due: Definizione di nodo di un circuito: PUNTO D CONNSSON NL QUAL CONVRGONO PÙ D DU CORRNT Definizione di ramo o lato di un circuito: TRATTO D RT COMPRSO TRA DU NOD Definizione di maglia di un circuito: PART D UNA RT COMPOSTA DA DU O PÙ RAM CH RALZZA UN CRCUTO CHUSO, N CU È PRSNT CONTNUTÀ LTTRCA. Principi di Kirchhoff principio di Kirchhoff: la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dallo stesso nodo principio di Kirchhoff: in una maglia, la somma algebrica di tutte le tensioni è uguale a zero. per scrivere un equazione alla maglia di un circuito con il secondo principio di Kirchhoff: si fissa arbitrariamente( come più ti piace ) il verso della corrente si individua per ciascuna resistenza il + e il - si sceglie un punto ( come più ti piace ) da cui iniziare la percorrenza della maglia si sceglie un verso arbitrario ( come più ti piace ) di percorrenza di maglia si scrive l equazione prendendo positive le tensioni che si incontrano con il segno + e negative le tensioni che si incontrano con il segno Circuito elettrico: sistema costituito da almeno un di tensione (o di corrente), un (detto anche, es.: motore) ed un filo di materiale tra i due. Disegna qui di sotto un semplice circuito elettrico con tutte le componenti necessarie. Nodo: punto d incontro di conduttori da corrente. Ramo o lato: parte di un circuito compresa tra vicini, nel quale circola. Maglia: insieme di più, percorsi una sola volta, formanti un circuito. 7

8 ) Calcolare intensità e verso delle correnti incognite nei seguenti casi: a) c) =0A =4A =? =7A =,5A =5A 4=8A 5=? b) =A =8A 4=A =? 8

9 ) Calcolare il valore della corrente che percorre il ramo AB, nota la tensione VAB = 50V, mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff al circuito di figura. Determinare inoltre VCK e VCD. =4V =0V =0V VAB = 50V R=0Ω R=0Ω R=6Ω SVOLGMNTO si fissa arbitrariamente il verso della corrente: scegliamo il verso orario si individua per ciascuna resistenza il + e il (per le batterie il + e il sono già indicati), ricordando che per convenzione la corrente entra dal + ed esce dal meno si sceglie un punto a piacere della maglia da cui iniziare la sua percorrenza, scegliamo il punto C scegliamo il verso orario di percorrenza di maglia scriviamo a questo punto l equazione di Kirchhoff ricordando che si scrive l equazione prendendo positive le tensioni che si incontrano con il segno + e negative le tensioni che si incontrano con il segno la prima tensione che incontriamo è quella ai capi del generatore con la polarità negativa, poi incontriamo la tensione ai capi di R con il segno +, poi la tensione ai capi di con il segno + ecc ecc, scriviamo l equazione ricordando due cose fondamentali e cioè che R è una tensione mentre R da sola è una resistenza, e che l equazione si deve sempre concludere con uguale a zero: + R + + R V + R = AB 0 sostituiamo ora i numeri: 0V V V+ 0 4V= 0 9

10 facciamo le dovute semplificazioni 6 7V= 0 e infine determiniamo l incognita dell equazione, cioè la corrente : 6 =7V 7V = = A 6Ω la corrente è positiva, quindi vuol dire che il verso che avevamo scelto per la corrente era proprio quello giusto. Determiniamo ora la tensione V CK applichiamo il principio di Kirchhoff alla maglia virtuale C D K C scriviamo l equazione scorrendo la maglia in senso orario, partendo dal punto D: + V + R = CK 0 sostituiamo i numeri: + 0V V 0V + 6 = 0 CK facciamo le dovute semplificazioni + 0V V 0V + V = 0 CK + V V CK = 0 e infine + V = VCK o anche VCK =+ V 0

11 Analogamente determino la tensione V CD, applichiamo il principio di Kirchhoff alla maglia virtuale C D K C scriviamo l equazione scorrendo la maglia in senso orario, partendo dal punto C: + V + V = CD CK 0 + V + 0V V = 0 CD + V = V CD

12 ) Calcolare l intensità della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante l applicazione del secondo principio di kirchhoff. Determina la tensione ai capi di ogni resistore: =60V =5V =0V 4=5V R=5Ω R=0Ω R=5Ω R4=0Ω 4) Determinare il valore della tensione VBA e della tensione VAK del circuito di figura, sapendo che la corrente che scorre nella maglia ha verso orario e vale 0,5A: =8V =5V =5V 4=9V =0,5A R=5Ω R=0Ω R=0Ω R4=5Ω 5) Determinare la tensione per il seguente circuito mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff al circuito di figura. B VBA A R R V V + V R =V =0V V=0V V=40V V=0V VBA=50V

13 6) Calcola l intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi: a) b) c) =7,5A =4A =? =A =7A =? 4=A =A =? =5,8A 4=-8A 5=6,A d) e) f) =-5A =A =,5A 4=? 5=0A =,5 4 =5A =7A 4=,5A 5= =A =5,5 5 =5A 4= 5 5=? 6=,5A g) =7A =? =6 4=4A 5=A 6= h) 4 =5A =A =? 4=7A i) =4A =5A =6,5A 4=? 5=65A 6=A 7=A 7) Determina la tensione V BD per il circuito di figura ; determina la tensione V DC e la tensione V AC per il circuito di figura, mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff: =50V =5V =5V 4=5V R =5KΩ R =5KΩ R =40KΩ R 4=KΩ R 5=8KΩ =? V BD=? =0V =V =5V 4=0V V R=V V R=4V V R=8,5V V R4=0V V R5=,5V V DC=? V AC=? Figura Figura

14 8) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff, dopodiché determina la caduta di tensione ai capi di R e di R : =V =V =00V 4=7V R =5KΩ R =4KΩ R =KΩ 9) Dato il seguente circuito: DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale V C utilizzando il principio di Kirchhoff 0) Dato il seguente circuito: A R B R C R D + 40V K 9K 5K 40V K VFD 0V K R4 DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale V FD utilizzando il principio di Kirchhoff F R5 4

15 ) Calcola l intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi: b) a) =4A =A = =5A =7A 4=A = c) d) =A =A 4=8A 5=6A = =A =A 4=8A 5=6A = ) Calcolare il valore delle correnti e 4 = 4 =5A =6A 5=A 4= ) Calcolare il valore della corrente che percorre il ramo AB, nota la tensione VAB=0V, mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff: VAB=0V =8V ==5V R=Ω R=Ω R=4Ω 5

16 4) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff: =0V =0V =0V 4=5V R=Ω R=4Ω R=6Ω Fissare un verso arbitrario di percorrenza della maglia e ipotizzare un verso della corrente. Applicare il secondo principio di Kirchhoff e verificare l esattezza del verso ipotizzato per la corrente. 5) Dato il seguente circuito: DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale VB utilizzando il principio di Kirchhoff 6) Dato il seguente circuito: DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale VFD utilizzando il principio di Kirchhoff 6

17 7) Calcola l intensità e il verso delle correnti incognite nei seguenti casi: a) b) =4A =,5A = =5A = 4=A =7A c) d) =? =A =,5A 4=-8A 5=6A = 4 =5A =6A 4=-9A 5= e) f) =A =5A =6,5A 4=? 5=65A 6=,5A =-5A = =A 4=76A 8) Determina la corrente per il circuito di Figura, e la tensione per il circuito di figura, mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff: =50V =5V =5V V AB=0V R =65KΩ R =75KΩ R =40KΩ =00V =? =0V V AB=50V R =5KΩ R =7,5KΩ R =7,5KΩ R 4=0KΩ =ma Figura Figura 7 7

18 9) Calcolare il valore della corrente che percorre la maglia di figura e stabilirne il verso esatto mediante l applicazione del secondo principio di Kirchhoff, dopodiché determina la caduta di tensione ai capi di R e di R : =V =V =V 4=6V R =0KΩ R =40KΩ R =0KΩ 0) Dato il seguente circuito: DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale V D utilizzando il principio di Kirchhoff ) Dato il seguente circuito: DTRMNA: a) il valore e il verso esatto della corrente che scorre nel circuito b) la tensione o differenza di potenziale V C utilizzando il principio di Kirchhoff ) DATO L SGUNT CRCUTO: DTRMNA: a) L VRSO DLLA CORRNT CH SCORR NL CRCUTO e L SUO VALOR b) LA TNSON o DFFRNZA D POTNZAL VFD UTLZZANDO L PRNCPO D KRCHHOFF 8

19 ) DTRMNA LA CORRNT N OGN SNGOLO RAMO O LATO DL SGUNT CRCUTO: R 0K R 40K R4 60K 00V R 50K R5 4) DATO L SGUNT CRCUTO: 0K DTRMNA: a) LA RSSTNZA QUVALNT Req b) LA CORRNT c) LA TNSON VAB d) L CORRNT e e) LA CORRNT 4 CON L PRNCPO D KRCHHOFF 9

20 PRNCPO D SOVRAPPOSZON DGL FFTT L PRNCPO D SOVRAPPOSZON DGL FFTT S APPLCA A TUTT CRCUT LNAR COÈ A TUTT QU CRCUT COMPOST DA GNRATOR NDPNDNT D TNSON O D CORRNT DA RSSTNZ, DVNTA STRMAMNT UTL QUANDO S VUOL CALCOLAR UNA CORRNT O UNA TNSON NL CRCUTO SONO PRSNT PÙ D UN GNRATOR. CALCOLAMO COM SMPO LA CORRNT CH SCORR NLLA RSSTNZA R DL SGUNT CRCUTO: ABBAMO GNRATOR NL CRCUTO, CASCUN GNRATOR PROVOCA NL CRCUTO UN FFTTO COÈ UNA CORRNT UNA TNSON D LATO; L CAUS SONO GNRATOR GL FFTT SONO L CORRNT L TNSON A CAP D OGN SNGOLA RSSTNZA OGN CORRNT DL CRCUTO OGN TNSON DL CRCUTO PUÒ SSR VSTA COM SOMMA D PÙ FFTT, NL CASO DL CRCUTO N SAM SSNDO GNRATOR ALLORA SARANNO GL FFTT, NL CASO DLL'SRCZO CH STAMO TRATTANDO RSULTRÀ: = + DOBBAMO STUDAR CRCUT UNO PR OGN CAUSA SCCOM SONO GNRATOR ALLORA SARANNO CRCUT DA STUDAR: CRCUTO: ON, OFF OFF SGNFCA CORTOCRCUTAR L GNRATOR D TNSON. CRCUTO: OFF, ON OFF SGNFCA CORTOCRCUTAR L GNRATOR D TNSON 0

21 S NOT CH PR QUST CRCUT VRS DLL CORRNT SONO STAT MSS CON CRTRO NON A PACR (COSÌ COM S FACVA NL MTODO D KRCHHOFF), UN GNRATOR SPNG LA CORRNT DAL SUO MORSTTO POSTVO VRSO L SUO MORSTTO NGATVO, LA CORRNT SC SMPR DAL MORSTTO POSTVO. NOTAMO ANCH CH NL PRMO CRCUTO LA CORRNT HA L VRSO DAL NODO A AL NODO B, MNTR NL SCONDO CRCUTO LA CORRNT SCORR DA B AD A COÈ NLLA DRZON OPPOSTA, LA CORRNT SARÀ OTTNUTA COM DFFRNZA TRA e, L VRSO DFNTVO SARÀ VDNTMNT QULLO DLLA CORRNT CH HA VALOR PÙ GRAND. PASSAMO ORA ALLO STUDO D SNGOL CRCUT, CONSDRAMO L CRCUTO (FFTTO ): DOBBAMO CALCOLAR, PR CALCOLAR C SRVAMO DLLA LGG D OHM LA PÙ MPORTANT LGG V DLL'LTTROTCNCA, LA LGG D OHM AFFRMA CH =, LA CORRNT CH DOBBAMO DTRMNAR È PR CU NZAMO A RMPR LA FORMULA D PRMA PARTNDO PROPRO V DA, RSULTA = ; C DOBBAMO CHDR AL POSTO D V CH TNSON DOBBAMO MTTR? AL POSTO D R CH RSSTNZA DOBBAMO MTTR NLLA FORMULA PRCDNT? BSOGNA MPARAR A LGGR L CRCUTO, LA DA CH PUNTO A CH PUNTO SCORR?RSPOSTA DA A a B QUND LA TNSON V È VAB, TRA A B CH RSSTNZA C'È? RSPOSTA R QUND NLLA FORMULA DVO MTTR R AL POSTO D R; N DFNTVA ABBAMO TROVATO CH V R AB = DOBBAMO QUND CALCOLARV PR FAR CÒ DOBBAMO SMPLFCAR L CRCUTO D SOPRA CH DVNTA: AB R N CU È LA RSSTNZA OTTNUTA FACNDO L PARALLLO TRA, RSULTA R R R P = Ω. N QUSTO CRCUTO QUANTO VAL R+ R V? DOBBAMO APPLCAR ANCORA UNA VOLTA LA LGG D OHM: AB V = R, RSULTA V = R C CHDAMO QUND AL POSTO D R CH AB AB RSSTNZA DVO MTTR NLLA FORMULA AL POSTO D CH CORRNT DVO MTTR? LA DOMANDA DA PORS È: TRA A B CH RSSTNZA C'È? RSPOSTA TRA A B CH CORRNT SCORR? RSPOSTA AB P R PR CU V = R ORA D QUSTA FORMULA NON CONOSCO, COM FACCO A CALCOLAR?

22 GUARDAMO L CRCUTO, DOBBAMO MPARAR A LGGR CRCUT, L CRCUTO D SOPRA È COSTTUTO DA UN'UNCA MAGLA FORMATA DA UN GNRATOR DA DU RSSTNZ N SR, LA CORRNT CH SCORR NL CRCUTO NFATT È SMPR LA STSSA PR CU L CRCUTO È RCONDUCBL AL PÙ SMPLC CRCUTO CH S PUÒ RALZZAR COÈ QULLO MONOMAGLA COSTTUTO DA UN GNRATOR DA UNA RSSTNZA N SR: LA CORRNT SARÀ QUND UGUAL A 0,4 T A R = S CONOSCAMO ALLORA SAMO N GRADO D CONOSCR LA TNSON AB V C BASTRÀ SOSTTUR LA CORRNT NLLA FORMULA D SOPRA, A TAL SCOPO RPRNDAMO L CRCUTO D PRMA, D QUSTO CRCUTO SAMO ORA N GRADO D CALCOLAR AB V PR QUSTO CRCUTO, NFATT CONOSCO ORA SA P R CH, ALLORA 0,4, AB P V R V =. NFN POSSAMO CONOSCR LA CORRNT DL PRMO CRCUTO (FFTTO ) DAL MOMNTO CH CONOSCO SA AB V CH R, RSULTA:, 0,8 7 AB V A R = = RVDAMO N RAPDA CARRLLATA QULL CH SONO STAT PASS PR CALCOLAR LA CORRNT :, 0,8 7 AB V A R = = 0,4, AB P V R V = 0,4 T A R =

23 CONSDRAMO L CRCUTO (FFTTO ) DOBBAMO CALCOLAR, PR CALCOLAR C SRVAMO SMPR DLLA LGG D OHM, LA LGG D OHM AFFRMA CH V R =, LA CORRNT CH DOBBAMO DTRMNAR È PR CU NZAMO A RMPR LA FORMULA D PRMA PARTNDO PROPRO DA, RSULTA V R = ; C DOBBAMO CHDR AL POSTO D V CH TNSON DOBBAMO MTTR? AL POSTO D R CH RSSTNZA DOBBAMO MTTR NLLA FORMULA PRCDNT? BSOGNA MPARAR A LGGR L CRCUTO, LA DA CH PUNTO A CH PUNTO SCORR?RSPOSTA DA B ad A QUND LA TNSON V È VBA, TRA B A CH RSSTNZA C'È? RSPOSTA R QUND NLLA FORMULA DVO MTTR R AL POSTO D R; N DFNTVA ABBAMO TROVATO CH V = R BA DOBBAMO QUND CALCOLAR V PR FAR CÒ DOBBAMO SMPLFCAR L CRCUTO D SOPRA CH DVNTA: R 60 00V Rp A B BA N CU È LA RSSTNZA OTTNUTA FACNDO L PARALLLO TRA, RSULTA R R R P = 40Ω. N QUSTO CRCUTO QUANTO VAL BA R + R V? DOBBAMO APPLCAR ANCORA UNA VOLTA LA LGG D OHM V = R, RSULTA V = R C CHDAMO QUND AL POSTO D R CH RSSTNZA DVO MTTR NLLA FORMULA AL POSTO D CH CORRNT DVO MTTR? LA DOMANDA DA PORS È: TRA B A CH RSSTNZA C'È? R TRA B A CH CORRNT SCORR? RSPOSTA V = R RSPOSTA P BA PR CU ORA D QUSTA FORMULA NON CONOSCO, COM FACCO A CALCOLAR? GUARDAMO L CRCUTO, DOBBAMO LGGR L CRCUTO, L CRCUTO D SOPRA È COSTTUTO DA UN'UNCA MAGLA FORMATA DA UN GNRATOR DA DU RSSTNZ N SR, LA CORRNT CH SCORR NL CRCUTO NFATT È SMPR LA STSSA PR CU L CRCUTO È RCONDUCBL AL PÙ SMPLC CRCUTO CH S PUÒ RALZZAR COÈ QULLO MONOMAGLA COSTTUTO DA UN GNRATOR DA UNA RSSTNZA N SR: BA P LA CORRNT SARÀ QUND UGUAL A = A R T

24 S CONOSCAMO ALLORA SAMO N GRADO D CONOSCR LA TNSON V C BASTRÀ SOSTTUR LA CORRNT NLLA FORMULA D SOPRA, A TAL SCOPO RPRNDAMO L CRCUTO D PRMA, D QUSTO CRCUTO SAMO ORA N GRADO D CALCOLAR VBA PR QUSTO CRCUTO NFATT CONOSCO ORA SA R P CH, ALLORA VBA = RP = 40 = 40V. NFN POSSAMO CONOSCR LA CORRNT DL SCONDO CRCUTO (FFTTO ) DAL MOMNTO CH CONOSCO SA V BA CH R, RSULTA: BA VBA 40 = = 0,55A R 7 RVDAMO N RAPDA CARRLLATA QULL CH SONO STAT PASS PR CALCOLAR LA CORRNT A : R 60 Rp 00V VBA 40 = = 0,55A VBA = RP = 40 = 40V R 7 B RT 00 = = = A 00 NFN POSSO CALCOLAR LA CORRNT, = = 0,8 0,55 = 0,7A COÈ LA CORRNT SCORRRÀ DA B ad A. 4

25 Facciamo un altro esempio: e si supponga di voler conoscere il valore della sola corrente l. Si tratta di una rete lineare, sottoposta all azione contemporanea di tre generatori:,,. La corrente l può, quindi, essere calcolata sommando algebricamente i contributi parziali dei singoli generatori, applicati uno per volta. Applicando il solo generatore, si ottiene la rete indicata in figura: R 0 0V R A 0 R 0 R da cui risulta: R R 0 0 = = = 5Ω R + R 0+ 0 B 0 0 R R + R = = = = = T V = R = 5 0,66=,V AB e dal circuito precedente risulta: VAB, = = = 0,A R 0 0,66A n modo analogo applicando il solo generatore, si ottiene la rete di figura e si calcolano, V e poi AB 5

26 da cui risulta: R R R 0 0 = = = 5Ω R + R 0+ 0 AB R R + R = = = = = T V R = = = 5 0,8 4V e dal circuito precedente risulta: VAB 4 = = = 0,4A R 0 nfine, con il solo generatore si ottiene la rete di figura: 0,8A da cui risulta: R R R 0 0 = = = 5Ω R + R = = = = = 0,A RT R R La somma dei contributi fornisce il valore di : A A A A = + + = 0, + 0,4-0, = 0,4 6

27 ) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli ffetti la corrente del seguente circuito: ) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli ffetti la corrente del seguente circuito ) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli ffetti la corrente del seguente circuito 4) Dato il seguente circuito: determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A). 7

28 5) Dato il seguente circuito: determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A). 6) Dato il seguente circuito: determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A). 7) Dato il seguente circuito: A R 4 R 80 R 48 44V o A B determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A), RCORDA CH SPGNR UN GNRATOR D CORRNT SGNFCA APRR L RAM N CU POSZONATO L GNRATOR VD GL APPUNT PRS A LZON. 8) Dato il seguente circuito: determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A). 8

29 9) Dato il seguente circuito: determinare con il principio di sovrapposizione degli effetti il valore della corrente e indicare il suo verso(da A a B, oppure da B ad A). Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente del seguente circuito: 0) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli ffetti la corrente del seguente circuito: A R R R 50V o 60mA B ) Calcolare con il Principio di Sovrapposizione degli ffetti la corrente del seguente circuito A R R R o A 60V B 9

30 ) Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente del seguente circuito A R R R o A 60V B ) Calcolare con il principio di sovrapposizione degli effetti la corrente del seguente circuito 0

31 MODULO FAS D UN NUMRO COMPLSSO Z = a+ jb è L SPRSSON ALGBRCA O CARTSANA PÙ GNRAL PR SPRMR UN NUMRO COMPLSSO a=part RAL DL NUMRO COMPLSSO b=part MMAGNARA DL NUMRO COMPLSSO J= UNTA MMAGNARA UN NUMRO COMPLSSO S PUO RAPPRSNTAR GRAFCAMNT SUL PANO D GAUSS MDANT UN VTTOR UN NUMRO COMPLSSO SMPR DOTATO D MODULO FAS. L MODULO S NDCA CON Z, SPRM LA LUNGHZZA DL VTTOR L MODULO D Z S DTRMNA CON LA FORMULA SGUNT: Z = a + b LA FAS D z S NDCA CON Z LA FAS D z NDCATA CON ϕ N FGURA, SPRM L ANGOLO CH L VTTOR FORMA CON L SMASS POSTVO DLL ASCSS. LA FAS D Z S DTRMNA CON LA FORMULA SGUNT: b Z = arctg a S L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVA NL O NL V QUADRANT b Z = arctg + 80 a S L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVA NL QUADRANT b Z = arctg 80 a S L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVA NL QUADRANT Un numero complesso si può esprimere anche con la forma polare del tutto equivalente alla forma cartesiana: Z = a+ jb= Z Z

32 SMP: s. Z=+5 QUSTO NUMRO COMPLSSO UN NUMRO RAL SSNDO NULLA LA SUA PART MMAGNARA, NFATT a=+5 e b=0. L SUO MODULO È UGUAL A 5 LA SUA FAS È ZRO, NL CASO D NUMR RAL POSTV LA FAS SARÀ SMPR UGUAL A ZRO, POSSAMO VRFCARLO CON L FORMUL D SOPRA: Z = = 5 = Z = arctg = 0 5 s. Z= 5 QUSTO NUMRO COMPLSSO UN NUMRO RAL SSNDO NULLA LA SUA PART MMAGNARA, NFATT a=-5 e b=0. L SUO MODULO È UGUAL A +5 (RCORDA CH L MODULO D UN NUMRO COMPLSSO È SMPR POSTVO) LA SUA FAS È +80 (OPPUR -80 ), NL CASO D NUMR RAL NGATV LA FAS SARÀ SMPR UGUAL A +80 (OPPUR -80 ), POSSAMO VRFCARLO CON L FORMUL D SOPRA: Z = ( 5) + 0 = ( 5) = Z = arctg =+ 80 5

33 s. Z =+ j5 QUSTO NUMRO COMPLSSO UN NUMRO PURAMNT MMAGNARO SSNDO LA SUA PART RAL UGUAL A ZRO, NFATT a=0 e b=+5. L SUO MODULO È UGUAL A +5 LA SUA FAS È +90, NL CASO D NUMR MMAGNAR PUR LA FAS SARÀ SMPR UGUAL A +90 OPPUR A -90 DPND DAL SGNO D b, S b È MAGGOR D ZRO COM N QUSTO CASO (b=+5) ALLORA Z =+ 90, S b FOSS STATO UGUAL A -5 (b=-5) ALLORA LA FAS SARBB STATA UGUAL A -90, POSSAMO VRFCARLO CON L FORMUL D SOPRA: Z = = 5 = 5 5 Z = arctg =+ s 4. Z = j 5 QUSTO NUMRO COMPLSSO UN NUMRO PURAMNT MMAGNARO SSNDO LA SUA PART RAL UGUAL A ZRO, NFATT a=0 e b=-5. S PUÒ DR SUBTO CH L SUO MODULO È UGUAL A +5 CH LA SUA FAS È -90, VRFCHAMOLO: Z = 0 + ( 5) = ( 5) = 5 5 Z = arctg =

34 s 5. Z = + j 4 N QUSTO CASO L NUMRO COMPLSSO È DOTATO D PART RAL a=+ PART MMAGNARA +4, SAMO COSTRTT AD USAR L FORMUL D SOPRA PR RCAVAR MODULO FAS, RSULTA: Z = + 4 = 9+ 6 = 5 = 5 4 Z = arctg = 5, LA PART RAL DL NUMRO COMPLSSO È POSTVA, LA PART MMAGNARA È ANCORA POSTVA, L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVRÀ NL QUADRANT. s 6. Z = + j 4 N QUSTO CASO L NUMRO COMPLSSO È DOTATO D PART RAL A=- PART MMAGNARA B = +4, RSULTA: Z = ( ) + 4 = 9+ 6 = 5 = Z = arctg = arctg = 5, + 80 =+ 6, 9 LA PART RAL DL NUMRO COMPLSSO È NGATVA, LA PART MMAGNARA È POSTVA, L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVRÀ NL QUADRANT. 4

35 s 7. Z = j 4 N QUSTO CASO L NUMRO COMPLSSO È DOTATO D PART RAL a=+ PART MMAGNARA -4, RSULTA: Z = + ( 4) = 9+ 6 = 5 = Z = arctg = arctg = 5, LA PART RAL DL NUMRO COMPLSSO È POSTVA, LA PART MMAGNARA È NGATVA, L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVRÀ NL 4 QUADRANT. s 8. Z = j 4 N QUSTO CASO L NUMRO COMPLSSO È DOTATO D PART RAL a=- PART MMAGNARA -4, RSULTA: Z = ( ) + ( 4) = 9+ 6= 5= Z = arctg = arctg + =+ 5, 80 = 6,9 LA PART RAL DL NUMRO COMPLSSO È NGATVA, LA PART MMAGNARA È NGATVA, L VTTOR RAPPRSNTATVO DL NUMRO COMPLSSO S TROVRÀ NL QUADRANT. 5

36 UN NUMRO COMPLSSO PUÒ PRÒ PRSNTARS ANCH NLLA FORMA SGUNT, COÈ COM L RAPPORTO (DVSON) TRA DU NUMR COMPLSS: a+ jb Z = () c + jd NL CASO D SOPRA () PR CONOSCR L MODULO D Z C BASTA FAR L MODULO DL NUMRATOR FRATTO(DVSO) L MODULO DL DNOMNATOR, È UN QUALCOSA CH SAPPAMO GÀ FAR N BAS A QULLO CH ABBAMO VSTO N PRCDNZA, ALLORA: a+ jb a + b Z = = c+ jd c + d MNTR LA FAS D Z SARÀ UGUAL ALLA FAS DL NUMRATOR MNO LA FAS DL DNOMNATOR, COÈ: b d Z = arctg arctg a c s 9. Z = + j 4 ALLORA MODULO FAS SARANNO: a + b Z = = = = = = 0, c + d = arc b = = 0 5 = 5 arc d Z tg tg arc tg arc tg a c,, s 0. Z = j 8 + j 4 ALLORA MODULO FAS SARANNO: + ( 8) a + b + Z = = = = =,64 c + d ( ) b d 8 4 Z= arctg arctg + 80 = arctg + 80 = = 08 = 57 arc tg,,,, a c SOMMA ALGBRCA Valgono le relazioni La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso. Ricorda che: j j= j = 6

37 PRODOTTO Vale come si è visto in precedenza Usando la rappresentazione Z = Z ϕ e le proprietà della forma polare, il prodotto di due numeri complessi Z = Z ϕ Z = Z ϕ assume la forma più agevole: Z Z = Z ϕ Z ϕ = Z Z ϕ + ϕ PR DTRMNAR L PRODOTTO TRA DU NUMR COMPLSS SPRSS N FORMA POLAR S FA L PRODOTTO TRA MODUL LA SOMMA DLL FAS RAPPORTO l rapporto fra due numeri complessi Z = a+ j b e Z = c+ j d èdato da come si è visto: Tuttavia il rapporto tra due numeri può anche essere ottenuto usando la rappresentazione polare in un modo molto più semplice: Z = Z ϕ Z = Z ϕ assume la forma più agevole: Z Z ϕ Z = = ϕ ϕ Z Z ϕ Z PR DTRMNAR L RAPPORTO TRA DU NUMR COMPLSS SPRSS N FORMA POLAR S FA L RAPPORTO TRA MODUL LA DFFRNZA TRA L FAS, FAS DL NUMRATOR MNO LA FAS DL DNOMNATOR Ricapitolando: POLAR CARTSANA + NO S - NO S : S S S S 7

38 COMPLSSO CONUGATO: S Z È L GNRCO NUMRO COMPLSSO, NDCHRÒ CON Z* L COMPLSSO CONUGATO D Z. Se Z = a+ jb Z* = a jb è il complesso coniugato di Z SMPLCMNT S CAMBA L SGNO ALLA PART MMAGNARA. RSULTA, NOLTR CH * Z Z = Z = a + b Se per esempio Z = + j5 il suo complesso coniugato sarà Z* = 5j Z ² = Z* Z = ² + 5² = 6 RAZONALZZAZON LA RAZONALZZAZON S FFTTUA ANCH PR DTRMNAR L RCPROCO D UN NUMRO COMPLSSO, D CONSGUNZA, PR FFTTUAR LA DVSON, NFATT, DATO UN NUMRO COMPLSSO Z = a+ j b, S PUÒ DTRMNAR L RCPROCO MOLTPLCANDO L NUMRATOR L DNOMNATOR PR L CONUGATO D : ) Rappresenta sul piano cartesiano il vettore corrispondente ad ognuno dei seguenti numeri complessi: A: -5-j5; 5+j4; -+j8; 6-7j; ; -4; -j; 7j; B: -j; -j7; -+j; +9j; -; 44; -,5j; 0,75j; C: -5,5+j0,5; 5-j; -9-6j; +5j; ; -6; 9j;,75j; D: -+j; -+j7; -j; --9j; ; -4; -4,5j; -j; ) Determina il modulo e la fase (l'argomento) dei seguenti numeri complessi: A: --j8; 5+j9; -+j8; j; ; -478; -5j; 744j; B: 7-j; 54-j75; -+j546; 6+946j; -5; 4476; -6,5j; 440,75j; C: -55,5+j0,554; 45-j45; j; j; 4; -64; 945j;,775j; D: -5+j5; -64+j74; 4-j4; -4-94j; 4; -44; -4,45j; -4j; ) Dopo aver seguito gli esempi tipici svolti dal docente alla lavagna converti in forma polare i seguenti numeri complessi: A: -5-j5; 5+j4; -+j8; 6-7j; ; -4; -j; 7j; B: -j; -j7; -+j; +9j; -; 44; -,5j; 0,75j; C: -5,5+j0,5; 5-j; -9-6j; +5j; ; -6; 9j;,75j; D: -+j; -+j7; -j; --9j; ; -4; -4,5j; -j; 8

39 4) Converti in forma cartesiana i seguenti numeri complessi: A: 54, 4 89,;,4; 6 0,; 78; 4; 5; 7 45; B: 4 ; 99,4; 6,4; 54,4; 68,9; 8; ; 544; C: 4; 8,; 7,4; 67,; 78,6; 04 ; 4740 ; 77; D: 8; 9,; 87,4;,; 98,9; 8; 5; 9075; 5) PR CASCUNO D SGUNT NUMR COMPLSS NDVDUA a e b: a) Z = + j b) Z = + j 5 c) Z = 0 j d) Z4 = + + j 4 e) Z5 = 5 j 8 f) Z6 = + j g) Z7 = - 9 h) Z8 = j 89 i) Z9 = 7 j + 8 j) Z0 = + 4 k) Z = + j 5 l) Z = + 0,7 j 0,9 6) RAPPRSNTA SUL PANO D GAUSS L VTTOR CORRSPONDNT AD OGNUNO D SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNTO PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = + j b) Z = j c) Z = 4 + j 4 d) Z 4 = 7 j e) Z 5 = + j 4 f) Z 6 = j 8 7) RAPPRSNTA N FORMA POLAR SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNT PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = j 5 b) Z = + 4 j c) Z = + j 9 d) Z 4 = 5 j 0 e) Z 5 = 478 f) Z 6 = j 654 g) Z 7 = + j 00 h) Z 8 = 6 j + 4 8) RAPPRSNTA N FORMA CARTSANA SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNT PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = b) Z = + 0 c) Z = 8-0 d) Z 4 = 5 9

40 9) RSOLV L SGUNT OPRAZON ARTMTCH TRA NUMR COMPLSS: ( PUNT PR OGN RSPOSTA SATTA) j 9 a) z = 5 + j 0 b) z = ( j ) ( + j ) ) PR CASCUNO D SGUNT NUMR COMPLSS NDVDUA a e b: a) Z = + j b) Z = + 0 j 5 c) Z = 4 0 j d) Z4 = j 4 e) Z5 = 5 j 5 f) Z6 = + j g) Z7 = - 9 h) Z8 = j i) Z9 = 7 j + 8 j) Z0 = + 4 k) Z = + j 5 l) Z = +,7 j,9 ) RAPPRSNTA SUL PANO D GAUSS L VTTOR CORRSPONDNT AD OGNUNO D SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNTO PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = + j b) Z = 4 j c) Z = + j 4 d) Z 4 = 5 j e) Z 5 = + j,5 f) Z 6 = j 7 ) RAPPRSNTA N FORMA POLAR SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNT PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = j 5 b) Z = + 4 j c) Z = + j 6 d) Z 4 = 5 j 5 e) Z 5 = 48 f) Z 6 = j 65 g) Z 7 = + j 0 h) Z 8 = 6 j + ) RAPPRSNTA N FORMA CARTSANA SGUNT NUMR COMPLSS ( PUNT PR OGN RSPOSTA SATTA): a) Z = b) Z = + 0 c) Z = 7-0 d) Z 4 = 5 40

41 4) Per ciascuno D SGUNT NUMR COMPLSS NDVDUA a e b: a) Z = + j b) Z = 5j + c) Z = 7j d) Z4 = + j e) Z5 = 8 j + 0 f) Z6 = 8j g) Z7 = 7 h) Z8 = j 4,5 i) Z9 = 8 j + 5 j) Z0 = + j + 6 k) Z = + j + 5 l) Z = + 6 j 5 5) RAPPRSNTA SUL PANO D GAUSS L VTTOR CORRSPONDNT AD OGNUNO D SGUNT NUMR COMPLSS: a) Z = + j b) Z = 5 j + c) Z = 6 + j 5 d) Z 4 = 7 j e) Z 5 = + j 5+ f) Z 6 = 4 j 9 6) RAPPRSNTA N FORMA POLAR SGUNT NUMR COMPLSS: a) Z = 4 + j,5 b) Z = j c) Z = +4,5 j + 9 d) Z 4 =,5 j 0 e) Z 5 = 5 f) Z 6 = j 7,5 + 4 g) Z 7 = + j ) RAPPRSNTA N FORMA CARTSANA SGUNT NUMR COMPLSS: a) Z = b) Z =,5 + 5 c) 9 65 d) Z4 = 8,5 70 e) Z 5 = 0 55 f) Z 6 = 0 90 g) Z 7 = h) Z 8 = 5 0 i) Z 9 = + 90 j) Z 4 = 7,5 65 k) Z 4 = 7 5 l) Z 4 = 9 8) RSOLV L SGUNT OPRAZON ARTMTCH TRA NUMR COMPLSS: a) z d) z 7 + j 5 j + j = c) z= j = b) z ( j) ( j j ) + + j = j e) z 5 ( + j 5) ( j) = j 7 g) z4= 5 j+ j5 ( + j4) j ( + j6 j8) + j h) z 4= j + 5 ( 4j j + j7) j4 ( j5 j8) j f z6= j+ j j5 + j+ j5 ) ( ) ( ) + 4

42 9) RSOLV L SGUNT OPRAZON ARTMTCH TRA NUMR COMPLSS: + j 6 a) z = 5+ j b) z = ( j ) ( + j ) ) Risolvi la seguente espressione algebrica, SPRM L RSULTATO OTTNUTO N FORMA POLAR: 5 j ( 4 j) ( + j) 5+ 0j ) Determina L PRODOTTO tra i seguenti numeri complessi, SPRM L RSULTATO OTTNUTO N FORMA POLAR: z = 7+ j; z = + j4 a) z = 4 j6; z = 5j + b) z = 745; z = 8 45 c) ) Determina L RAPPORTO tra i seguenti numeri complessi, SPRM L RSULTATO OTTNUTO N FORMA POLAR: z = 6+ j; z = + j a) z = 4 j6; z = 5j b) z = 400 ; z = 590 c) ) Determina LA SOMMA tra i seguenti numeri complessi, SPRM L RSULTATO OTTNUTO N FORMA POLAR: z = 5 45 ; z = 5 90 a) z = 6+ j; z = + j b) 4) Determina LA DFFRNZA tra i seguenti numeri complessi, SPRM L RSULTATO OTTNUTO N FORMA POLAR: z = 400 ; z = 5 90 a) z = 6+ j; z = + j b) 5) Determina MODULO FAS, L CONUGATO e L NVRSO dei seguenti numeri complessi: z = + 4 j; z = + j; z = j5; z = 4 j8; 4 4

43 SPRSSON CON NUMR COMPLSS ) ) (5j+ ) ( 5 j) 5 j ( + j) 6 j6 + = j7 j 45 j (j ) + 4j (j+ ) ( j) = 0 j ) ( j ) ( j ) ( 4j ) ( + j) j 4) 5) 6) ( + ) ( ) j 4j 6j + = 6 j j j+ + j ( ) ( ) ( j) ( ) ( ) 4+ j j ( 8j 5) = + j ( j+ ) ( + j) j j j ( ) + j + j ) ( + j)( j) + ( 4j) j ( 6+ j) [-(7+ 8 j) ] 4 + j 5 5 8) ( j) : ( 4+ j) j : [ 0] 9) + j 9j 9 + j+ 6 j [ j ] j + j + j j 9j + + j j j 0 0) ( j )( j ) ) ( + j)( j) ( + j) + j( j) 6( j+ ) [ 5 9j] ) j j + j j + j j j [ 5 j] ) 4j j + j ; j j ; j + j 5 5 j j + j 5 ( ) 4) j j j j j 6j + + ; + j j j j j 5 ( j) ( + j) 5) ( ) + j j( + j) + j j j 6 5 j ; j( j) j 5 4

44 4 j j 9 j j 4j 5 6) ( + j) [ 7j ; ] + ( j) 7) ( )( ) ( j) ( + ) j 5j j j j 9+ 87j j j ; ( j) 4 j ) ( ) ( ) 5 j j j j + j [ j] j 4 ; j + j j j ( ) 5 0 9) ( j) j ( j ) [- j] ; ( + j) ( j) + j [ + j] j ; j+ + j j j j -j 5 5 0) ( )( )( ) ) ( + j)( j) + j [ + j] ; (j- j) j : [ ] 5 4j 9j ) j j j+ j : [ ; ] 5j ( 4j 6j) + ( j+ 6 j) [-9j] ) 6j ( j+ 5j) j ( j 7j) + j ( j) [ ; ] 8 j: ( 4j) + 6 j( j+ j) [ 4] 4) 8 j: ( 4j) + 6j ( j+ j) [ 4 ]; j( j 5j) ( 9 j j) :( 6j 4 j) [ 7j] 5) ( ) ( ) ( ) [ ] ( j) ( j) + j 4j 5j + 6 j: j 8; + j j 44

45 SGNAL Una grandezza si dice continua se è costante nel tempo Una grandezza viene definita periodica quando i suoi valori si ripetono nel tempo a passo T. Di una grandezza periodica si definiscono: Periodo T: intervallo di tempo in cui la funzione assume la successione di tutti i suoi possibili valori. Frequenza f: numero di periodi nell unità di tempo. La frequenza si misura in Hertz. Valore massimo A M: valore assoluto massimo assunto nel periodo. Valore picco-picco App: è l escursione massima della grandezza, data da AM+-AM-. Valore medio Am: media dei valori assunti nel periodo. Valore efficace (rms=root mean square) Aeff oppure Arms: radice quadrata della media dei quadrati dei valori assunti nel periodo. Una grandezza periodica si dice alternata quando nel periodo la curva positiva sottende un area equivalente alla curva negativa ( cioè è una grandezza periodica con componente continua nulla). l valore medio nel periodo di una grandezza alternata è nullo. Per le grandezze alternate si considera allora il valore medio nel semiperiodo, ugualmente indicato con A m. sempi di grandezze periodiche: Per le grandezze periodiche alternate, le definizioni di frequenza valore massimo, valore picco-picco e valore efficace sono le stesse viste in precedenza, mentre si definisce: Valore medio Am: il valore medio dei valori assunti dalla grandezza nel semiperiodo A Fattore di forma kf = A m 45

46 Si definisce valore efficace di una corrente periodica il valore della corrente continua equivalente, cioè di quella corrente continua che applicata allo stesso circuito, per lo stesso tempo, dissipa la stessa energia per effetto Joule Per un segnale alternato sinusoidale eff = M Tra tutte le possibili forme di grandezze alternate la più importante è quella di tipo sinusoidale, quella cioè in cui la variazione rispetto al tempo avviene secondo una curva che è appunto una sinusoide, come quella di figura: questo il tipo di corrente al quale si allude quando si parla di corrente alternata, ed è sotto questa forma che la corrente è normalmente immessa nelle reti di distribuzione. Una generica grandezza alternata sinusoidale a può essere espressa dalla relazione: ( ω ) at () = AMsen t dove : a=valore istantaneo; A M=valore massimo ω= velocità angolare o pulsazione[rad/s]; con: π ω= πf = T Se l istante iniziale non coincide con lo zero, la sinusoide avrà questa figura: Una grandezza sinusoidale periodica ha la seguente espressione : v( t) = Vp sen( ω t+ α) = Vp sen( π f t + α) in cui: Vp è il valore di picco: f è la frequenza: f = [ Hz] T π rad π ω è pulsazione: ω= π f = T = [ s] T s ω α è la fase iniziale Una grandezza sinusoidale è definita quando sono note la sua ampiezza e la sua frequenza. Nell uso comune si assegnano anche altre coppie di parametri come il valore efficace e il periodo. 46

47 ) Completa la seguente tabella inserendo le definizioni relative a ciascun tipo di segnale. Segnale Definizione Continuo Variabile Periodico Alternato Continuo ) Completa la seguente tabella trascrivendo la denominazione e il significato dei simboli in essa presenti. Denominazione Significato Vp Vpp Vm Vrms Vp Vpp ) Scrivi l'espressione generale di un segnale sinusoidale. 4) Completa la seguente tabella associando ai simboli presenti nell'espressione analitica di un segnale sinusoidale i termini che li definiscono. Vp f t φ Denominazione 5) Scrivi la formula per calcolare la pulsazione di un segnale sinusoidale. 47

48 6) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 5 V e frequenza 0,5 khz all'istante t =, ms. 7) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 0 V, periodo 0 ms e fase 0 all'istante t = ms. 8) A quanti radianti corrispondono 5? USA LA PROPORZON α : α = π:80 R 9) A quanti gradi corrispondono 5, radianti? USA LA PROPORZON α : α = π:80 R 0) Un segnale ha un periodo pari a 40 ms. Quanto vale la frequenza? ) Un segnale ha una frequenza pari a khz. Quanto vale il periodo? ) l valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 0 V. Quanto vale il valore picco-picco? ) l valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a V. Quanto vale il valore medio? 48

49 4) l valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a 5 V. Quanto vale il valore di picco? 5) Scrivi l'espressione generale di un segnale sinusoidale specificando i nomi di tutte le grandezze che compaiono in essa. 6) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 6 V e frequenza 0, khz all'istante t =4 ms. 7) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 5 V, periodo 0 ms e fase 45 all'istante t = ms. 8) l valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 8 V. Quanto vale il valore picco-picco? V 4 V 8 V 6 V 9) l valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a V. Quanto vale il valore di picco? 0 V V 4 V 6 V 0) l valore di picco di un segnale sinusoidale è pari a 0 V. Quanto vale il valore medio? 5 V,8 V V 0 V 49

50 ) Nell'espressione generale di un segnale sinusoidale f rappresenta: la pulsazione la fase la frequenza il periodo ) l valore picco-picco di un segnale sinusoidale è pari a 0 V. Quanto vale il suo valore efficace? 5 V 0 V 7,07 V,8 V ) Un segnale ha un periodo pari a 50 μs. Quanto vale la frequenza? 0 khz 000 Hz 0MHz 0mHz 4) radianti corrispondono a circa (usare la proporzione): ) πft dà un risultato in: gradi radianti secondi hertz 6) La pulsazione ω di un segnale sinusoidale è definita come: πf πft πφ πφt 7) La pulsazione di un segnale sinusoidale è 980 rad/sec quanto vale la frequenza: 500Hz 500Hz 000Hz 6996Hz 50

51 Completa le seguenti definizioni. ) SGNAL ALTRNATO = segnale con valore. ) SGNAL CONTNUO = segnale nel. ) SGNAL PRODCO = segnale che si. 4) SGNAL VARABL = segnale che nel tempo 5) VALOR D PCCO = valore che il segnale assume. 6) VALOR FFCAC = valore (cioè che provoca in una resistenza la stessa dissipazione media di ). 7) VALOR MDO = valore dato dalla di tutti i valori assunti dal segnale nell'intervallo di tempo. 8) VALOR PCCO-PCCO = tra il valore e il valore. 9) Ai capi di un condensatore la tensione è sempre di rispetto alla corrente. 0) Ai capi di un induttore la corrente è sempre di rispetto alla tensione. 5

52 ) Calcolare il valore di una tensione sinusoidale nell istante t = 0,ms sapendo che V M=00V; T=50ms; α =8 ; Ricorda che il valore istantaneo di una sinusoide si calcola con la seguente formula: v(t)=v M sen ( π f t + α) RS. v(0,ms) 9V ) Calcolare il valore di una tensione sinusoidale nell istante t = 8ms sapendo che V M=00V; T=0ms; α =-7 ; RS. v(8ms) -67,V ) Calcolare il valore di una tensione sinusoidale nell istante t = 4ms sapendo che: v(t)=60 sen ( π 00 t - π ); RS. v(4ms) 59,V, ω=68rad/s 4) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale in tensione di periodo T=40ms, valore di picco Vp=00V, fase α=45 ( 4 π ), nell istante t=0ms. RS. v(40ms) 70,7V, ω=57rad/s 5) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale in tensione di frequenza f=00h Z, valore di picco Vp=0V, fase α=-5, nell istante t=ms RS. v(ms) 6,5V, T=5ms, ω=56,6rad/s 6) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di periodo T=50us, valore di picco Vp=50V, fase α=5, nell istante iniziale. RS. v(0) 04,78V, f=0khz, ω=5,6krad/s 7) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=5khz, valore di picco Vp=00V, fase α=76, nell istante t=ms. RS. v(ms) 94V, T=0,04ms, ω 57Krad/s 8) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=00mhz, valore di picco Vp=40V, fase α=67, nell istante t=0ms. RS. v(0ms) 6,8V, T=0ns, ω 68Mrad/s 9) Calcolare il valore istantaneo di un segnale sinusoidale di frequenza f=0000hz, valore di picco Vp=0V, fase α=-80, nell istante t=40us RS. v(40us) -56,V, T=0,05ms, ω 5,6Krad/s 5

53 Per ogni segnale segna le caratteristiche corrette (è possibile più di una risposta). ) segnale continuo segnale variabile segnale periodico segnale alternato segnale sinusoidale ) segnale continuo segnale variabile segnale periodico segnale alternato segnale sinusoidale ) segnale continuo segnale variabile segnale periodico segnale alternato segnale sinusoidale 4) segnale continuo segnale variabile segnale periodico segnale alternato segnale sinusoidale 5) segnale continuo segnale variabile segnale periodico segnale alternato segnale sinusoidale Svolgi i seguenti esercizi. ) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco V e frequenza 0,4kHz all'istante t =, ms 5

54 ) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 0 V e frequenza,5khz all'istante t = 0 ms ) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 6 V e frequenza 650 Hz all'istante t =, ms 4) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco V e periodo T= 0ms all'istante t = 00 ms 5) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 7 A, periodo 5 μs e fase 4 π all'istante t = 0 ms. 6) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 4 A, periodo 50 μs e fase all'istante t = 58 ms. π 6 7) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 40mV, periodo 50ms e fase all'istante t = 45 ms. 8) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 500mV, frequenza 000 Hz e fase π all'istante t = 5 ms. 9) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 00mV, frequenza 500 Hz e fase π all'istante t = 5 ms. 4 0) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 0V, frequenza 500Hz e fase 6 π all'istante t = 00 ms. ) Determina il valore assunto da un segnale sinusoidale con valore di picco 5000V, frequenza 50Hz e fase all'istante t = 50 ms. RGM SNUSODAL ) Un induttore di 0, mh viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 50 Hz. Si determini la sua reattanza induttiva. DAT L = 0, mh =. f = 50 Hz XL =? SVOLGMNTO π π XL = ω L ω= π f =...=...rad/s X =... =... Ω ) Un induttore di 0, mh viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 0 khz. Si determini la sua reattanza induttiva. DAT SVOLGMNTO L = 0, mh =. f = 0 KHz XL =? L XL = ω L 54

55 ω= π f =...=...rad/s X =... =... Ω ) Un induttore di uh viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a khz. Si determini la sua reattanza induttiva. DAT SVOLGMNTO L = uh =. f = KHz XL =? L 4) Un condensatore di uf viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 50 Hz. Si determini la sua reattanza capacitiva. DAT SVOLGMNTO C = uf =. f = 50 KHz XC =? X C = ω C ω= π f =...=...rad/s X =... =... Ω 5) Un condensatore da, nf viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di periodo pari 0,5 μs. Calcolare la reattanza capacitiva. 6) Un condensatore di uf viene sottoposto a un segnale sinusoidale di frequenza pari a 0 khz. Si determini la sua reattanza capacitiva. 7) Un induttore di 4 mh viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di frequenza pari 5, MHz. Calcolare la reattanza induttiva. 8) Un induttore di 50 mh viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di frequenza pari 58 KHz. Calcolare la reattanza induttiva. 9) Un condensatore da 85 uf viene sottoposto ad un segnale sinusoidale di periodo pari 5 μs. Calcolare la reattanza capacitiva. C 55

56 Circuito puramente Ohmico in regime sinusoidale V R Per puramente ohmico si intende un circuito che è costituito da generatori di tensione o di corrente e da sole resistenze ma non da condensatori o induttori. Per regime sinusoidale si intende un circuito che è alimentato da un generatore di tensione o di corrente che fornisce un segnale alternato di forma sinusoidale. Anche in questo caso, per questo tipo di circuito vale la legge di Ohm V = R La tensione ( o differenza di potenziale) ai capi della resistenza R è uguale al valore di R moltiplicato la corrente che attraversa la resistenza R. Nel caso di regime sinusoidale tutte le tensioni e tutte le correnti del circuito sono delle sinusoidi. Nel caso del circuito di sopra la tensione ai capi della resistenza R coincide con la tensione del generatore sinusoidale. Nel caso di circuito puramente ohmico tensione e corrente sono in fase, significa che sono perfettamente sincronizzate quando la tensione raggiunge il suo valore massimo anche la corrente raggiunge il suo valore massimo, così come quando la tensione raggiunge il suo valore minimo anche la corrente raggiunge il suo valore minimo, quando la tensione passa per zero anche la corrente passa per zero. n termini di vettori possiamo dire che i vettori rappresentativi di Ve sono sovrapposti, sono in fase. 56

57 Circuito Puramente nduttivo in Regime Sinusoidale l circuito è costituito da un generatore di tensione e da un induttore, non ci sono resistenze e né condensatori, per questo il circuito si dice puramente induttivo. n regime sinusoidale l induttore si comporta come una resistenza che denominiamo reattanza e che indichiamo con la lettera XL. La reattanza induttiva si indica con XL e si misura in ohm (Ω) essendo una resistenza. X L = ω L Dove con ω si indica la pulsazione dei circuito: ω = π f; ω si misura in radianti al secondo rad / s. ƒ invece è la frequenza del generatore e si misura in Hertz [Hz]. La differenza più significativa tra reattanza e resistenza in regime sinusoidale è che la resistenza non introduce sfasamento tra la corrente e la tensione ai suoi capi mentre l induttore introduce un certo sfasamento tra la corrente e la tensione applicata ai suoi capi. Risulta: V =+ j X =+ j ω L =+ j π f L L L l fattore j indica sempre uno sfasamento di 90, siccome in questo caso è + j allora significa che lo sfasamento tra la tensione ai capi dell induttore e la corrente che lo attraversa è di +90 cioè la tensione è in anticipo di 90 rispetto alla corrente: V L L =+ j π f L l rapporto V L è un numero complesso dotato di modulo e fase, infatti: L + j π f L è un numero complesso che ha parte reale uguale a zero e parte immaginaria uguale a + π f L. VL V l modulo è = π f L L, la fase risulta essere: =+ 90 L L 57

58 N.B. Nella sua forma più tipica un numero complesso si esprime sempre come y=a+jb in cui parte reale del numero complesso y mentre parte immaginaria del numero complesso y. Per determinare modulo e fase del numero complesso y ricorriamo sempre alle seguenti formule mnemoniche: y= a +b (modulo) b y=arctg (fase) a VL Nel caso del rapporto modulo e fase daranno sempre i risultati su riportati e cioè modulo: V L L ( π f L) = 0 + = L π f L e fase: V L L + π f L = arctg = Andamento della corrente e della tensione ai capi di un condensatore in regime sinusoidale, come si nota dalla figura la corrente precede in fase di 90 la tensione ai capi del condensatore 58

59 Circuito Puramente Capacitivo in Regime Sinusoidale l circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione e da un condensatore, non ci sono resistenze, per questo il circuito si dice puramente capacitivo. n regime sinusoidale il condensatore si comporta come una resistenza che però chiamiamo reattanza capacitiva; La reattanza capacitiva si indica con X ce la sua unità di misura è sempre Ω(ohm). l valore della reattanza capacitiva vale: Xc= ω C Dove il simbolo ω indica la pulsazione del circuito; ω= π f; ω si misura in radianti al secondo[rad/s] f invece è la frequenza del generatore e si misura in hertz[hz]; La differenza più significativa tra reattanza e resistenza in regime sinusoidale è che la resistenza non introduce sfasamento tra corrente e tensione ai suoi capi mentre il condensatore introduce un certo sfasamento tra correntee tensione ai suoi capi. Risulta: VC = j Xc = j π f C jindica sempre uno sfasamento di 90, siccome in questo caso è -j allora significa che lo sfasamento tra la tensione ai capi del condensatore e corrente che lo attraversa è di -90 cioè la tensione è in ritardo di 90 rispetto alla corrente: V C C = j π f C Vc Matematicamente il rapporto si può studiare sia attraverso il modulo C che attraverso la fase, infatti - j è un numero complesso con parte reale π f C uguale a zero e parte immaginaria pari a - π f C Vc l modulo di è c Vc = c π f C Vc La fase di è c Vc = 90 c. la 59

60 CRCUTO OHMCO NDUTTVO l circuito in questo caso è costituito da un generatore di tensione con in serie una resistenza e un induttore, la presenza della resistenza rende il circuito ohmico-induttivo. Resistore e nduttore sono in serie perchè attraversate dalla stessa corrente. L'impedenza complessiva sarà la serie della resistenza e della reattanza induttiva: Z = R + j X L =R + j ω L= R + j π f L Anche per questo genere di circuito siamo interessati a calcolare il modulo e la fase dell'impedenza: Modulo: Z= R + ( ω L) Fase: ω L φ=arctg R φ è lo sfasamento tra la tensione del generatore (uguale alla tensione ai capi dell'impedenza della serie R - L) e la corrente che attraversa sia R che L. Nota l'impedenza del circuito Z, sarà possibile determinare la corrente che scorre nel circuito V V = = Z R+ j X L e infine calcolarele tensioni ai capi sia di R che di L: V = R e V = + j ω L R L L 60