RENATO LEONI. Esempi numerici riguardanti l'analisi della correlazione canonica

Transcript

1 RENATO LEONI Esempi numerici riguardanti l'analisi della correlazione canonica UNIVERSITÀ DI FIRENZE DIPARTIMENTO DI STATISTICA "G. PARENTI" FIRENZE, 27

2 Questo lavoro è destinato a un uso personale e ne è vietata la commercializzazione.

3 AVVERTENZA Come è anticipato dal titolo, in questo lavoro sono presentati alcuni esempi numerici riguardanti l'analisi della correlazione canonica (ACC). Per una ampia esposizione dei concetti teorici ai quali si fa riferimento, si rinvia a: Leoni, R., Canonical Correlation Analysis, Department of Statistics "G. Parenti", Florence, 27.

4 4 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA ESEMPIO Questo esempio, basato su dati fittizi riferiti a 5 individui e 4 variabili, ha lo scopo di illustrare i principali concetti della ACC, seguendo l'ordine con cui questi sono presentati nel lavoro citato nella Avvertenza. I DATI DI BASE E LA LORO STRUTTURA ALGEBRICA Si consideri anzitutto la seguente matrice di dati grezzi X =. Le variabili sono rappresentate dai vettori x =, x 2 =, x 3 =, x 4 = appartenenti a R 5, mentre gli individui sono rappresentati dai vettori x =, x 2 =, x 3 =, x 4 =, x 5 = appartenenti a R 4. Ciò premesso, in R 5 (spazio delle variabili) e in R 4 (spazio degli individui) è definita una metrica euclidea nel modo seguente. In R 5 la matrice rappresentativa della metrica rispetto alla base canonica di R 5 è M = 5 diag(,,,,) = 5 I 5.

5 ESEMPIO 5 Ne consegue che, poiché il baricentro o vettore delle medie è g = X'Mu = 5 = , la matrice dei dati centrati risulta Y = I vettori y = , y 2 = , y 3 = , y 4 = e y = , y 2 = , y 3 = , y 4 = , y 5 = rappresentano, rispettivamente, le variabili e gli individui (misurati in termini di scarti dalle medie). Infine, eseguita una ripartizione (per colonne) della matrice Y nel seguente modo (p = p 2 = 2) Y = y y 2 y 3 y 4 = Y Y 2, possiamo scrivere la matrice delle covarianze V nella forma della matrice a blocchi V = V V 2 V 2 V 22 =

6 6 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Si noti che r(v ) = p = 2, r(v 22 ) = p 2 = 2, r(v 2 ) = r(v 2 ) = k = 2 = p = p 2. In R 4 la matrice rappresentativa della metrica rispetto alla base canonica di R 4 è dove Q = diag (V -, V - 22 ) V - = , V - 22 = UN APPROCCIO ALLA ACC FATTORI CANONICI, VARIABILI CANONICHE, COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE CANONICA Il primo passo Si consideri l'equazione det( r 2 I p + V - V 2 V - 22 V 2 ) = det( r = det( r ) = il cui primo autovalore è r 2 =. Successivamente, si consideri l'equazione ) la quale ammette l'autovettore tale che a () ' V a () =. ( ()I p + V - V 2 V - 22 V 2 ) a () = a () = ,

7 ESEMPIO 7 A sua volta, l'equazione dà luogo alla soluzione a (2) = V - 22V 2 a () a (2) = 2.42., tale che a (2) ' V 22 a (2) =. Inoltre, come si verifica facilmente, risulta a () ' V 2 a (2) = a (2) ' V 2 a () = r =. I vettori a () e a (2) di cui sopra costituiscono i primi due fattori canonici. Infine, il vettore z () = Y a () = = , tale che z () ' Mz () =, e il vettore z (2) = Y 2 a (2) = = , tale che z (2) ' Mz (2) =, costituiscono le prime due variabili canoniche corrispondenti al coefficiente di correlazione canonica r =. Ovviamente, risulta che z () ' M z (2) = z (2) ' M z () = r =. Il secondo passo Si consideri nuovamente l'equazione

8 8 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA det( r 2 I p + V - V 2 V - 22 V 2 ) = il cui secondo autovalore è r 2 2 =.25. Successivamente, si consideri l'equazione la quale ammette l'autovettore ( (.25) I p + V - V 2 V - 22 V 2 ) a () 2 = a () 2 = , tale che a () ' 2 V a () 2 =, a () ' 2 V a () =. A sua volta, l'equazione dà luogo alla soluzione a (2) 2 =.5 V - 22V 2 a () 2 a (2) 2 = , tale che a (2) ' 2 V 22 a (2) 2 =, a (2) ' 2 V 22 a (2) =. Inoltre, come si verifica facilmente, risulta e a () ' V 2 a (2) 2 = a (2) ' V 2 a () 2 = a () ' 2 V 2 a (2) 2 = a (2) ' 2 V 2 a () 2 = r 2 =.5. I vettori a () 2 e a (2) 2 di cui sopra costituiscono i secondi due fattori canonici. Infine, il vettore z () 2 = Y a () 2 = = ,

9 ESEMPIO 9 tale che z () ' 2 Mz () 2 =, z () ' 2 Mz () =, e il vettore z (2) 2 = Y 2 a (2) 2 = = , tale che z (2) ' 2 Mz (2) 2 =, z (2) ' 2 Mz (2) =, rappresentano le variabili canoniche corrispondenti al coefficiente di correlazione canonica r 2 =.5. Ovviamente, risulta che e z () ' Mz (2) 2 = z (2) ' Mz () 2 = z () ' 2 Mz (2) 2 = z (2) ' 2 Mz () 2 = r 2 =.5. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE VARIABILI E DEGLI INDIVIDUI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE VARIABILI Una rappresentazione grafica delle variabili (misurate in termini di scarti standardizzati) si può ottenere considerando le loro proiezioni ortogonali y *, y * 2, y * * 3, y 4 nel sottospazio generato dal vettore z (). Poiché le coordinate, rispetto a z (), di tali proiezioni ortogonali sono date dai coefficienti di correlazione lineare di z () con le variabili in questione, e questi, come facilmente si verifica, sono r =.482, r 2 =.6667, r 3 =, r 4 =.6667, si ha il grafico di Fig.. Fig..... y * y * * 2, y 4 y 3 * z ()

10 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Nel caso specifico, una misura della qualità della rappresentazione ottenuta è fornita dagli indici 2 2 QR( ;z () ) = r =.667, QR(2 ;z () ) = r 2 =.4444, 2 2 QR(3 ;z () ) = r 3 =, QR(4 ;z () ) = r 4 = Pertanto, l'unica variabile ben rappresentata è la terza. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEGLI INDIVIDUI Si considerino anzitutto gli individui (misurati in termini di scarti dalle medie) y () =.2.6, y () 2 =.2.4, y () 3 =.2.4, y () 4 =.8.4, y () 5 =.2.6. Una loro rappresentazione grafica si può ottenere considerando le proiezioni ortogonali y (), y () 2, y () 3, y () 4, y () 5 nel sottospazio generato dal vettore c (). Poiché le coordinate, rispetto a c (), di tali proiezioni ortogonali sono date dagli elementi del vettore canonico z () = , si ha il grafico della Fig. 2. Fig. 2 y ()2., y ()3 y (), y ()4., y () c () Nel caso specifico, una misura della qualità della rappresentazione ottenuta è fornita dagli indici

11 ESEMPIO QR( ;c () ) = QR(2 ;c () ) = QR(3 ;c () ) = QR(4 ;c () ) = QR(5 ;c () ) = (y () ' V - y () ) 2 (y () ' V - y () )(y () ' V - y () ) (y () ' 2 V - y () 2 ) 2 (y () ' 2 V - y () 2 )(y () ' 2 V - y () 2 ) (y () ' 3 V - y () 3 ) 2 (y () ' 3 V - y () 3 )(y () ' 3 V - y () 3 ) (y () ' 4 V - y () 4 ) 2 (y () ' 4 V - y () 4 )(y () ' 4 V - y () 4 ) (y () ' 5 V - y () 5 ) 2 (y () ' 5 V - y () 5 )(y () ' 5 V - y () 5 ) =.4444, =, =, =.667, = Pertanto, gli unici individui ben rappresentati sono il secondo e il terzo. Successivamente, si considerino gli individui y (2) =.4.4, y (2) 2 =.6.4, y (2) 3 =.6.4, y (2) 4 =.4.6, y (2) 5 =.4.6. Una loro rappresentazione grafica si può ottenere considerando le proiezioni ortogonali y (2), y (2) 2, y (2) 3, y (2) 4, y (2) 5 nel sottospazio generato dal vettore c (2). Poiché le coordinate, rispetto a c (2), di tali proiezioni ortogonali sono date dagli elementi del vettore canonico z (2) = , si ha il grafico della Fig. 3. Fig. 3 y (2)2., y (2)3 y (2), y (2)4., y (2) c (2)

12 2 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Nel caso specifico, una misura della qualità della rappresentazione ottenuta è fornita dagli indici QR( ;c (2) ) = QR(2 ;c (2) ) = QR(3 ;c (2) ) = QR(4 ;c (2) ) = QR(5 ;c (2) ) = (y (2) ' V - 22 y (2) ) 2 (y (2) ' V - 22 y (2) )(y (2) ' V - 22 y (2) ) (y (2) ' 2 V - 22 y (2) 2 ) 2 (y (2) ' 2 V - 22 y (2) 2 )(y (2) ' 2 V - 22 y (2) 2 ) (y (2) ' 3 V - 22 y (2) 3 ) 2 (y (2) ' 3 V - 22 y (2) 3 )(y (2) ' 3 V - 22 y (2) 3 ) (y (2) ' 4 V - 22 y (2) 4 ) 2 (y (2) ' 4 V - 22 y (2) 4 )(y (2) ' 4 V - 22 y (2) 4 ) (y (2) ' 5 V - 22 y (2) 5 ) 2 (y (2) ' 5 V - 22 y (2) 5 )(y (2) ' 5 V - 22 y (2) 5 ) =.667, =, =, =.4444, = Pertanto, gli unici individui ben rappresentati sono il secondo e il terzo. ALTRI APPROCCI ALLA ACC L'APPROCCIO IN TERMINI DELLA ACP dove Si consideri l'equazione (VQ λi p ) c = Q = diag (V -, V - 22 ) = I primi due autovalori di tale equazione sono λ = 2, λ 2 =.5 e a questi corrispondono i vettori principali c = , c 2 = e le componenti principali

13 ESEMPIO 3 y = , y 2 = Come si può facilmente verificare, risulta r = λ = 2 =, r 2 = λ 2 =.5 =.5 e a () a (2) = 2 Q c = 2 a () 2 a (2) 2 = 2 Q c 2 = = = ,. Inoltre, z () = 2 P y = 2 λ = , z () 2 = 2 λ 2 P y 2 = = , z (2) = 2 P 2 y = 2 λ = , z (2) 2 = 2 λ 2 P 2 y 2 = =

14 4 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA ESEMPIO 2 Questo esempio, basato su dati fittizi riferiti a 9 individui e 9 variabili, ha lo scopo di consentire al lettore di acquisire dimestichezza con i risultati che provengono dalla applicazione del programma, scritto in linguaggio Matlab, predisposto per la ACC. Gli individui sono identificati con le etichette,2,...,9 e le variabili con le etichette a,b,...,i. COMMENTI La prima parte (Preliminary Statistics of All Variables, Preliminary Statistics of the First Set of Variables, Preliminary Statistics of the Second Set of Variables,) è dedicata alla esposizione delle principali caratteristiche dei dati a nostra disposizione. La seconda parte (Canonical Correlation Coefficients, Canonical Factors, Canonical Variables) mostra alcuni risultati che si ottengono dalla ACC. Sono altresì indicati i controlli effettuati sulla correttezza di tali risultati. La terza parte (Diagnostics) è dedicata alla presentazione di alcuni indici che servono a interpretare correttamente i grafici contenuti nella quarta parte (Graphics). La qualità della rappresentazione delle variabili del primo insieme, sia sul cerchio di correlazione I sia sul cerchio di correlazione II, è ottima; lo stesso può dirsi della qualità della rappresentazione delle variabili del secondo insieme, con esclusione della variabile f. Gli individui 4, 5, 6, 7, 9 del primo insieme risultano ben rappresentati sul piano I, mentre gli individui, 2, 3 del secondo insieme risultano ben rappresentati sul piano II.

15 ESEMPIO 2 5 RISULTATI NUMERICI E GRAFICI PRELIMINARY STATISTICS OF ALL VARIABLES X: RAW DATA MATRIX a b c d e f g h i (n,p): ORDER OF X n = 9,p = 9 rx: RANK OF X 9 CHOICE OF METRIC M (if c =, then M = (/n)in; if c = 2, then M = Mn) c = g: BARYCENTRE a.6667 f. b.4444 g 2. c.8889 h.7778 d.3333 i e.5556

16 6 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Y: MEAN CENTRED DATA MATRIX a b c d e f g h i ry: RANK OF Y 8 V: COVARIANCE MATRIX a b c d e f a b c d e f g h i g h i a b c d e f g h i

17 ESEMPIO 2 7 Vars: VARIANCES a. f b.469 g c.6543 h d i e PRELIMINARY STATISTICS OF THE FIRST SET OF VARIABLES CHOICE OF p: NUMBER OF VARIABLES OF THE FIRST SET p = 4 X: RAW DATA MATRIX OF THE FIRST SET OF VARIABLES a b c d (n,p): ORDER OF X n = 9, p = 4 rx: RANK OF X 4 g: BARYCENTRE a.6667 b.4444 c.8889 d.3333

18 8 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Y: MEAN CENTRED DATA MATRIX a b c d ry: RANK OF Y 4 V: COVARIANCE MATRIX a b c d a b c d Vars: VARIANCES a. b.469 c.6543 d PRELIMINARY STATISTICS OF THE SECOND SET OF VARIABLES p2 = 5 X2: RAW DATA MATRIX OF THE SECOND SET OF VARIABLES e f g h i (n,p2): ORDER OF X2 n = 9, p2 = 5

19 ESEMPIO 2 9 rx2: RANK OF X2 5 g2: BARYCENTRE e.5556 f. g 2. h.7778 i Y2: MEAN CENTRED DATA MATRIX e f g h i ry2: RANK OF Y2 5 V22: COVARIANCE MATRIX e f g h i e f g h i Vars2: VARIANCES e f g h i 9.956

20 2 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA V2: CROSS COVARIANCE MATRIX e f g h i a b c d k: RANK OF V2 2 CANONICAL CORRELATION COEFFICIENTS, CANONICAL FACTORS, CANONICAL VARIABLES R: POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT MATRIX () (2) ().. (2) Rv: POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT VECTOR (). (2).8858 A: CANONICAL FACTOR MATRIX OF THE FIRST SET () (2) () (2) (3) (4) CheckA: Does transpose(a)*v*a equal Ik? ans: () (2) (). -. (2) -.. Rsquare: SQUARE POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT MATRIX () (2) ().. (2)..7847

21 ESEMPIO 2 2 CheckA: Does transpose(a)*v2*inv(v22)*v2*a equal Rsquare? ans: () (2) (). -. (2) Z: CANONICAL VARIABLE MATRIX OF THE FIRST SET () (2) A2: CANONICAL FACTOR MATRIX OF THE SECOND SET () (2) (5) (6) (7) (8) (9) CheckA2: Does transpose(a2)*v22*a2 equal Ik? ans: () (2) ().. (2).. CheckA2: Does transpose(a2)*v2*inv(v)*v2*a2 equal Rsquare? ans: () (2) ().. (2)..7847

22 22 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Z2: CANONICAL VARIABLE MATRIX OF THE SECOND SET () (2) DIAGNOSTICS CORYZ: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y AND Z () (2) a b c d CORY2Z: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y2 AND Z () (2) e f g h i CORYZ2: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y AND Z2 () (2) a b c d CORY2Z2: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y2 AND Z2 () (2) e f g h i

23 ESEMPIO 2 23 QRj()I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE FIRST SET ON CORRELATION CIRCLE I a.8 b.842 c.9552 d. QRj(2)I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE SECOND SET ON CORRELATION CIRCLE I e.7656 f.357 g.795 h.83 i.865 QRj()II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE FIRST SET ON CORRELATION CIRCLE II a.7762 b.87 c.9269 d.786 QRj(2)II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE SECOND SET ON CORRELATION CIRCLE II e.9668 f.3733 g.862 h.8738 i.8775 QRi()I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH INDIVIDUAL OF THE FIRST SET ON PLANE I

24 24 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA QRi(2)II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH INDIVIDUAL OF THE SECOND SET ON PLANE II

25 ESEMPIO 2 25 GRAPHICS.5.5 Variables on Correlation Circle I d e f z2 Axis.5 cab ghi z Axis.5 Variables on Correlation Circle II d e f.5 z22 Axis.5 cab ghi z2 Axis

26 26 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Individuals of First Set on Plane I 5 Second Axis First Axis Second Axis Individuals of Second Set on Plane II First Axis

27 ESEMPIO 3 27 ESEMPIO 3 Questo esempio analizza i risultati conseguiti, durante i Giochi Olimpici del 992, dai 28 atleti che hanno partecipato alle seguenti 6 prove di decathlon:, 4, h, peso, disco, asta. Le etichette con cui sono identificati gli atleti riflettono anche l'ordinamento basato sul punteggio complessivo da essi ottenuto. Le unità di misura delle prove sono i secondi per i tempi e i metri per le lunghezze. COMMENTI La prima parte (Preliminary Statistics of All Variables, Preliminary Statistics of the First Set of Variables, Preliminary Statistics of the Second Set of Variables,) è dedicata alla esposizione delle principali caratteristiche dei dati a nostra disposizione. La seconda parte (Canonical Correlation Coefficients, Canonical Factors, Canonical Variables) mostra alcuni risultati che si ottengono dalla ACC. La terza parte (Diagnostics) è dedicata alla presentazione di alcuni indici che servono a interpretare correttamente i grafici contenuti nella quarta parte (Graphics). La qualità della rappresentazione delle variabili sul cerchio di correlazione I è ottima per le variabili del primo insieme, mediocre per le variabili del secondo insieme; considerazioni di segno opposto si possono fare circa la qualità della rappresentazione delle variabili sul cerchio di correlazione II.

28 28 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA RISULTATI NUMERICI E GRAFICI PRELIMINARY STATISTICS OF ALL VARIABLES X: RAW DATA MATRIX 4 h shot disc pole (n,p): ORDER OF X n = 28, p = 6 rx: RANK OF X 6 CHOICE OF METRIC M (if c =,then M = (/n)in; if c = 2,then M=Mn; c = ) c =

29 ESEMPIO 3 29 g: BARYCENTRE.689 shot disc h 5.34 pole Y: MEAN CENTRED DATA MATRIX 4 h shot disc pole ry: RANK OF Y 6 V: COVARIANCE MATRIX 4 h shot disc pole h shot disc pole

30 3 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Vars: VARIANCES.89 shot disc h.33 pole.32 PRELIMINARY STATISTICS OF THE FIRST SET OF VARIABLES CHOICE OF p: NUMBER OF VARIABLES OF THE FIRST SET p = 3 X: RAW DATA MATRIX OF THE FIRST SET OF VARIABLES 4 h (n,p): ORDER OF X n = 28, p = 3 rx: RANK OF X 3

31 ESEMPIO 3 3 g: BARYCENTRE h 5.34 Y: MEAN CENTRED DATA MATRIX 4 h ry: RANK OF Y 3 V: COVARIANCE MATRIX 4 h h

32 32 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Vars: VARIANCES h.33 PRELIMINARY STATISTICS OF THE SECOND SET OF VARIABLES p2 = 3 X2: RAW DATA MATRIX OF THE SECOND SET OF VARIABLES shot disc pole (n,p2): ORDER OF X2 n = 28, p2 = 3 rx2: RANK OF X2 3

33 ESEMPIO 3 33 g2: BARYCENTRE shot disc pole Y2: MEAN CENTRED DATA MATRIX shot disc pole ry2: RANK OF Y2 3 V22: COVARIANCE MATRIX shot disc pole shot disc pole

34 34 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Vars2: VARIANCES shot disc pole.32 V2: CROSS COVARIANCE MATRIX shot disc pole h k: RANK OF V2 3 CANONICAL CORRELATION COEFFICIENTS, CANONICAL FACTORS, CANONICAL VARIABLES R: POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT MATRIX () (2) (3) () (2) (3) Rv: POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT VECTOR ().735 (2).3379 (3).238 A: CANONICAL FACTOR MATRIX OF THE FIRST SET () (2) (3) () (2) (3) Rsquare: SQUARE POSITIVE CANONICAL CORRELATION COEFFICIENT MATRIX () (2) (3) () (2)..42. (3)...532

35 ESEMPIO 3 35 Z: CANONICAL VARIABLE MATRIX OF THE FIRST SET () (2) (3) A2: CANONICAL FACTOR MATRIX OF THE SECOND SET () (2) (3) (4) (5) (6)

36 36 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Z2: CANONICAL VARIABLE MATRIX OF THE SECOND SET () (2) (3) DIAGNOSTICS CORYZ: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y AND Z () (2) (3) h CORY2Z: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y2 AND Z () (2) (3) shot disc pole

37 ESEMPIO 3 37 CORYZ2: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y AND Z2 () (2) (3) h CORY2Z2: CORRELATION COEFFICIENT MATRIX BETWEEN Y2 AND Z2 () (2) (3) shot disc pole QRj()I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE FIRST SET ON CORRELATION CIRCLE I h.9999 QRj(2)I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE SECOND SET ON CORRELATION CIRCLE I shot.3597 disc.3339 pole.495 QRj()II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE FIRST SET ON CORRELATION CIRCLE II h.5388 QRj(2)II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH VARIABLE OF THE SECOND SET ON CORRELATION CIRCLE II shot.885 disc.6474 pole.988

38 38 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA QRi()I: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH INDIVIDUAL OF THE FIRST SET ON PLANE I QRi(2)II: QUALITY OF REPRESENTATION OF EACH INDIVIDUAL OF THE SECOND SET ON PLANE II

39 ESEMPIO 3 39 GRAPHICS.5.5 Variables on Correlation Circle I 4 z2 Axis h disc pole shot z Axis.5 Variables on Correlation Circle II z22 Axis h pole disc shot z2 Axis

40 4 ANALISI DELLA CORRELAZIONE CANONICA Second Axis Individuals of First Set on Plane I First Axis 2.5 Individuals of Second Set on Plane II 2 4 Second Axis First Axis