Complementi. U(x; y; z) (1 + yz 2xz) = z (5) derivata della funzione risultante rispetto a y e si indica anche 2

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1 1 Derivate parziali Sia data una funzione di più variabili Complementi Example 1 U(x; y; z) = x 3y 3 + xyz x 2 z + 3z 2 (1) Allora la derivata parziale della funzione rispetto ad una delle sue variabili è la derivata normale della funzione rispetto a tale variabile trattando le altre variabili come se fossero costanti Example 2 Consideriamo la funzione sopra e facciamone le derivate parziali rispetto a x; y; z: U(x; y; z) = 1 + yz 2xz (2) x y U(x; y; z) = 9y2 + xz (3) z U(x; y; z) = xy x2 + 6z (4) Ovviamente il simbolo x denota la derivata parziale rispetto a x: Notare che le derivate parziali sono in generale pure esse funzioni di più variabili e quindi possono in generale essere ulteriormente derivate. Example 3 considerando l esempio sopra facciamo ulteriori derivate parziali U(x; y; z) = (1 + yz 2xz) = z (5) y x y Example 4 Notare che y x signi ca : fare la derivata rispetto a x e dopo la derivata della funzione risultante rispetto a y e si indica anche con 2 yx (6) Attenzione: in linea di principio 2 yx NON è uguale a 2 xy!!! I matematici vi diranno quando invece questo avviene; detto in parole "le derivate in croce non sempre sono uguali" Ma per i sici tutte le funzioni 2 yx ; 2 xy sono buone ( no a prova contraria!). Per esempio sempre con la U(x; y; z) dell esempio 1, abbiamo 2 U(x; y; z) = xy x y x 3y3 + xyz x 2 z + 3z 2 = 9y 2 + xz = z x e quindi risulta uguale a 2 yxu(x; y; z) (vedi eq(5)). 1 (7)

2 Example 5 altri esempi x (sin(x2 + yz)) = 2x cos(x 2 + yz) (8) 2 yx (sin(x2 + yz) = y 2x cos(x2 + yz) = 2xz sin(x 2 + yz) (9) 2 2 z (sin(x2 + yz)) = z y cos(x2 + yz) = y 2 (sin(x 2 + yz)) (10) 1.1 Di erenziale Il di erenziale di una funzione a più variabili U(x; y; z) è dato da: du(x; y; z) = x U(x; y; z)dx + y U(x; y; z)dy + U(x; y; z)dz (11) z L estensione a n variabili è ovvia. Vale ancora la proprietà di essere l operatore inverso dell integrale; cioè: Example 6 A du(x; y; z) = U (B) U(A) (12) d xy x 2 + 3yz 100 = (y 2x) dx + (x + 3z) dy + (3y) dz (13) Sia il punto A di coordinate x A = 1; y A = 3; z A = 1 e per B sia x B = 0; y B = 3; z B = 2; allora A [(y 2x) dx + (x + 3z) dy + (3y) dz] = A d xy x 2 + 3yz 100 (14) = x B y B x 2 B + 3y B z B 100 x A y A x 2 A + 3y A z A 100 (15) = 3 ( 3) ( ) = = 13 (16) NOTARE la costante 100 nella funzione U(x; y; z) = xy x 2 + 3yz 100 NON ha avuto alcun ruolo (avrebbe potuto essere di qualsiasi valore) 2 Campi Dicesi campo scalare (vettoriale) una porzione dello spazio (eventualmente tutto lo spazio) in cui in ogni punto è de nita una grandezza sica scalare(vettoriale). Esempi di campo scalare sono le carte di temperatura o di pressione o altimetriche, etc Esempi di campo vettoriale sono il campo gravitazionale, elettrico, etc. 2

3 Notare che un campo può dipendere oltre che dalla posizione anche dal tempo (le temperature in Italia di oggi saranno verosimilmente diverse da quelle di ieri o di domani) e anche a volte dalla velocità con cui si è in una certa posizione. Quindi, in un dato riferimento, un campo scalare è una funzione della posizione data dalle coordinate x; y; z del punto dove siamo ed eventualmente dal tempo e dalla velocità : quindi da una funzione U (x; y; z; t; _x; _y; _z) : Un campo vettoriale avrà componenti dipendenti da x; y; z; t; _x; _y; _z: Noi consideremo solo campi posizionali cioè non dipendenti dal tempo e/o dalla velocità, per cui i campi scalari sono U (x; y; z) e quelli vettoriali sono ~u = (u x (x; y; z) ; u y (x; y; z) ; u z (x; y; z)) Example 7 campi scalari: campi vettoriali U = x cos(y + z 2 ) (17) U = xz + yz + xy + 3 (18) U = 1 x 2 + y 2 + z 2 (19) ~u = (xy + x 3 + z; xz + z; yz + x) (20) ~u = (sin(xz); cos(yz); sin(x + y + z)) (21) 2.1 Operatore nabla (o del) L operatore DEL, anche detto NABLA, è lo pseudo-vettore ~r = x ; y ; z (22) Abbiamo formalmente un vettore, ma le cui componenti sono operatori (precisamente le derivate parziali). Ovviamente essendo un operatore occorre vedere su cosa opera. Per ora vediamo come agisce su un campo scalare U(x; y; z) ~ru(x; y; z) = x U(x; y; z); y U(x; y; z); U(x; y; z) (23) z Abbiamo quindi un vettore le cui componenti sono le derivate parziali del campo scalare: tale vettore è detto gradiente del campo scalare e si indica anche con! gradu(x; y; z) = ru(x; ~ y; z) (24) In de nitiva dato un campo scalare U(x; y; z), applicando il nabla, cioè facendo il gradiente. otteniamo un campo vettoriale ~u = ru(x; ~ y; z) = x U(x; y; z); y U(x; y; z); z U(x; y; z) 3

4 3 Circuitazione Dicesi circuitazione di un campo vettoriale ~u l integrale di linea ~u! dl (25) ove è una linea che unisce il punto A e il punto B, ~u è il campo in un generico punto della linea e! dl è il vettore in nitesimo tangente alla linea nel punto considerato. Dato che ~u! dl = j~uj! dl cos() (26) ove è l angolo tra ~u e! dl, è chiaro che se è acuto ~u! dl sarà positivo, se è ottuso ~u! dl sarà negativo, se è retto ~u! dl sarà nullo. Introducendo un riferimento si ha A = (x A ; y A ; z A ) (27) B = (x B ; y B ; z B ) (28) $ (x; y; z) = 0 (29) ~u = (u x (x; y; z) ; u y (x; y; z) ; u z (x; y; z)) (30)! dl =! dr = (dx; dy; dz) (31) Allora è più utile per il calcolo esprimere il prodotto scalare per componenti ~u! dr = u x (x; y; z) dx + u y (x; y; z) dy + u z (x; y; z) dz (32) e quindi la circuitazione diviene ~u! dr = [u x (x; y; z) dx + u y (x; y; z) dy + u z (x; y; z) dz] (33) che è appunto un integrale di linea. Come si calcola un integrale di linea? Proviamo con un esempio che per semplicità è bidimensionale Example 8 sia allora abbiamo ~u! dr = A = (0; 0; 0) (34) B = (2; 3; 0) (35) ~u = (xy y; x y; 0) (36)! dl =! dr = (dx; dy; dz) (37) [(xy y) dx + (x y) dy + 0dz] (38) 4

5 ossia (integrale di una somma =somma degli integrali) ~u! dr = xydx di questi 4 integrali solo l ultimo è fattibile ydx + xdy ydy (39) ydy = 1 2 y2 B y2 A = = 9 2 (40) gli altri 3 mischiano le variabili x; y: E allora? allora... abbiamo dimenticato la curva che deve unire i punti B! Scegliamo la curva più semplice: una retta che passi appunto per A e B (veri care! gra care!) ora ad es E anche resta ydx = xydx = $ y = 3 2 x (41) 3 2 xdx = 3 4 x2 j B A = = 3 (42) x 3 2 xdx = x3 j B A = = 4 (43) ma dalla (41) abbiamo x = 2 3 y e quindi In de nitiva xdy = ~u! dr = 9 2 xdy (44) 2 3 ydy = y2 j B A = = 3 (45) = 1 2 (46) Dovrebbe essere evidente che se cambiamo la linea cambiamo anche i singoli integrali (sostituzioni diverse in quelli di partenza) e quindi cambia (in generale) il risultato nale. Cioè l integrale di linea dipende dalla linea, non solo dagli estremi di integrazione e dall integrando, (cioè dal campo) Vediamolo con un esempio Example 9 prendiamo tutti i dati dell esempio precedente cambiando solo la linea. Ora invece di una retta scegliamo un arco di parabola passante per A e B(veri care! gra care!) $ y = 3 4 x2 (47) 5

6 Dunque ~u! dr = xydx ydx + xdy ydy (48) Il quarto integrale R B ydy non cambia (non ci sono sostituzioni) e quindi ydy = 9 2 (49) Invece e resta ydx = xydx = Ricaviamo x dalla (47) 3 4 x2 dx = x3 j B A = = 2 (50) x 3 4 x2 dx = x4 j B A = = 3 (51) xdy (52) r 4 x = 3 y (53) che è una funzione a più valori che non sapete trattare. Fortunatamente esiste una via alternativa: infatti di erenziando la (47) abbiamo e quindi In de nitiva ora xdy = dy = 3 4 2xdx = 3 xdx (54) 2 x 3 2 xdx = x3 j B A = = 4 (55) ~u! dr = = Diverso, come ci si aspettava, dal valore di prima ( 1 2 ). 3.1 Campi conservativi (56) De nition 10 Dicesi campo conservativo un campo la cui circuitazione NON dipende dalla linea 6

7 Da quanto sopra si evince che un campo conservativo da un punto di vista matematico sia una eccezionale eccezione... Eppure i campi conservativi sono comuni ed importanti in Fisica (perchè? ma...) Come è mai possibile che la circuitazione non dipenda dalla linea? La risposta è implicita da quanto sopra... Supponiamo che il campo ~u sia il gradiente di un campo scalare U ~u = ru(x; ~ y; z) = x U(x; y; z); y U(x; y; z); U(x; y; z) (57) z cioè u x = U(x; y; z) (58) x u y = U(x; y; z) (59) y Allora per la circuitazione abbiamo u z = U(x; y; z) (60) z ~u! dr = = [u x (x; y; z) dx + u y (x; y; z) dy + u z (x; y; z) dz] (61) x U(x; y; z)dx + y U(x; y; z)dy + z U(x; y; z)dz(62) ma per la (11) e quindi per la (12) ~u! dr = du(x; y; z) (63) ~u! dr = U (B) U(A) (64) Perciò la circuitazione dipende solo dal valore della funzione U in A e B e NON dipende dalla linea che collega A e B: Ergo per la de nizione (10) il campo è conservativo. Il che ci porta a una de nizione alternativa alla (10) cioè De nition 11 Un campo vettoriale ~u è conservativo quando è il gradiente di un campo (funzione) scalare U(x; y; z): Tale funzione si chiama potenziale. Ok, chiaramente è facile costruire un campo vettoriale conservativo: prende un qualsiasi campo scalare e se ne calcola il gradiente. si 7

8 Example 12 sia allora è conservativo U(x; y; z) = x 2 xy + yz + z + 3 (65) ~u = ~ ru(x; y; z) = (2x y; x + z; y + 1) (66) Ma il problema è: se ho un determinato campo. ad.es. ~u = xz y 2 ; x 2 + yz; z + x + y (67) come faccio a sapere se è o no conservativo? Potrei pensare di usare le de nizioni 10 o 11. Epperò a nchè il campo sia conservativo secondo al de nizione 10 dovrei calcolare TUTTI i possibili integrali di linea tra due punti QUALSIASI e veri care che NON dipendono dalla linea... E chiaro che tale compito è improponibile e infattibile. La de nizione 11 sembra più promettente: basta trovare una funzione U(x; y; z) di cui il campo ~u sia il gradiente. Ma anche tale compito può rivelarsi arduo specialmente se tale funzione (come succede generalmente) NON ESISTE. Provate a tentativi con il campo (67). In e etti ci sarebbe molto utile un criterio per stabilire se tale funzione esiste o no: se il criterio dice che non esiste, ok, il campo non è conservativo; se invece il criterio dice che esiste, ok, il campo è conservativo. Ebbene tale criterio fortunatamente esiste: De nition 13 se un campo vettoriale ~u = (u x (x; y; z); u y (x; y; z); u z (x; y; z)) soddisfa le seguenti condizioni (dette condizioni di Schwartz): x u y(x; y; z) = y u x(x; y; z) (68) x u z(x; y; z) = z u x(x; y; z) (69) y u z(x; y; z) = z u y(x; y; z) (70) allora esiste una funzione potenziale U(x; y; z) di cui il campo ~u è il gradiente. Pertanto ~u è conservativo. Veri chiamo le condizioni di Schwartz per il campo (67): dovrebbe essere uguale per la (68) a x u y(x; y; z) = x x2 + yz = 2x (71) y u x(x; y; z) = y xz y2 = 2y (72) 8

9 cioè 2x = 2y (73) che in e etti è vera sulla retta y = x. Ma NON basta! le condizioni di Schwartz devono essere veri cate ovunque cioè devono essere delle identità (1 = 1; xy = xy; :::): Provate pure con le altre 2 condizioni ma è su ciente che una non sia soddisfatta a nchè il campo NON sia conservativo. Notate che se il campo è conservativo e quindi valgono le (58,59,60) allora le condizioni di Schwartz divengono x y U = y x U (74) x z U = z x U (75) y z U = z y U (76) Esprimono quindi l uguaglianza delle derivate in croce (vedi sopra). Proviamo ora con il campo bidimensionale (per semplicità...) Calcoliamo (68) ~u = (y + 2x; x + 2y; 0) (77) x u y(x; y; z) = 1 = y u x(x; y; z) = 1 (78) cioè abbiamo 1 = 1 e quindi la (68) è soddisfatta. Ma anche le (69,70) sono banalmente soddisfatte (Check! e provate anche che sarebbero soddisfatte per qualsiasi campo del tipo ~u = (u x (x; y) ; u y (x; y) ; 0)). Quindi siamo sicuri che il campo (77) è conservativo. Ma quale è la sua funzione potenziale? Bene, sappiamo che deve essere u x = y + 2x = U(x; y) (79) x Ora se avessimo una derivata normale invece che parziale, cioè se fosse d U(x; y) = (y + 2x) (80) dx procederemmo (da sici!) così e poi dx d U(x; y) = (y + 2x) dx (81) dx du(x; y) = (y + 2x) dx (82) 9

10 e quindi du(x; y) = (y + 2x) dx + c (83) (c costante di integrazione) In ne avremmo U(x; y) = (y + 2x) dx + c (84) Ma siamo partiti dalla derivata parziale rispetto a x e quindi dentro l integrale la variabile y va considerata costante! perciò Finito? NO, perchè deve pure valere e quindi seguendo l approccio di sopra (controllate) U(x; y) = yx + x 2 + c (85) u y = x + 2y = U(x; y) (86) y U(x; y) = yx + y 2 + k (87) ove k è un altra costante di integrazione. Ma le due espressioni di U(x; y) date dalle (85,87) NON sono uguali! Dove abbiamo sbagliato? Non abbiamo sbagliato: ci siamo semplicementi dimenticati che per ricavare la (85) eravamo partiti dalla derivata parziale rispetto a x e quindi la costante di integrazione c è sì costante rispetto a x ma può ben dipendere da y cioè può essere una funzione arbitraria di y, una c(y) (tanto xc(y) = 0). Analogamente k = k(x): Perciò Confrontando le due espressioni è chiaro che e quindi U(x; y) = yx + x 2 + c(y) (88) U(x; y) = yx + y 2 + k(x) (89) c(y) = y 2 (90) k(x) = x 2 (91) U(x; y) = yx + x 2 + y 2 + h (92) ove h è una costante sì arbitraria ma numerica, che può essere sempre aggiunta a un potenziale (vedi sopra). Abbiamo quindi nora 3 de nizioni di campo conservativo (ognuna implica le altre due), altre se ne aggiungeranno: una la aggiungiamo adesso. De nition 14 Un campo vettoriale è conservativo se la sua circuitazione lungo qualsiasi linea chiusa è nulla Agli studenti la facile derivazione dalle precedenti de nizioni. 10

11 4 Divergenza e rotazione 4.1 Divergenza De nition 15 dicesi divergenza di un campo vettoriale ~u = (u x (x; y; z); u y (x; y; z); u z (x; y; z)) il campo scalare div(~u) = r ~ ~u = x u x(x; y; z) + y u y(x; y; z) + z u z(x; y; z) Remark 16 nel pseudo prodotto scalare r ~ ~u abbiamo usato la formula per componenti ~r ~u = ~r u x + ~r u y + ~r u z (93) x y z Ovviamente l altra formula con i moduli e il coseno dell angolo compreso non avrebbe senso essendo ~ r non un vero vettore. Example 17 Prendiamo il campo vettoriale Calcoliamone la divergenza ~u = (xy + y 3 + z 2 ; xz + 3y z; xyz + x + 3) (94) div(~u) = r ~ ~u = x xy + y3 + z 2 + y (xz + 3y z) + z xyz2 + x + (95) 3 = y xyz (96) Notare che la divergenza è una funzione di x; y; z e quindi un campo scalare Teorema della divergenza o primo teorema di Green-Stokes Theorem 18 Il usso di un campo vettoriale attraverso una super cie chiusa S è pari all integrale di volume (sul volume V S racchiuso dalla super cie S) della divergenza del campo (~u ^n) ds = ~r ~u dv (97) S V S Abbiamo visto a lezione che il usso su una super cie chiusa misura le sorgenti e/o i pozzi che si trovano entro la super cie chiusa. Quindi se in una regione di spazio (possibilmente tutto lo spazio) non vi sono sorgenti e/o pozzi allora presa una super cie chiusa qualsiasi in tale regione il usso è nullo (e viceversa!) Ora se il usso (~u ^n) ds é nullo allora ~r ~u dv è nullo. Ma per S l arbitrarietà di S e quindi di V S l integrando deve essere nullo V S ~r ~u = 0 (98) De nition 19 Un campo a divergenza nulla dicesi solenoidale 11

12 Il campo dell esempio sopra non è solenoidale, invece il campo lo è (veri care!) ~u = (2xy + y 3 + z 2 ; xz y 2 z; xy + x + 3) (99) Remark 20 le linee di corrente di un campo solenoidale non possono partire da nessun punto (non ci sono sorgenti) nè terminare in alcun punto (niente pozzi) epperciò o vanno da in nito a in nito o sono chiuse 4.2 Rotazione De nition 21 dicesi rotazione di un campo vettoriale ~u = (u x (x; y; z); u y (x; y; z); u z (x; y; z)) il campo vettoriale rot(~u)! = r^~u ~ = y u z(x; y; z) z u y(x; y; z); z u x(x; y; z) x u z(x; y; z); x u y(x; y; z) Remark 22 anche nel pseudo prodotto vettoriale ~ r ^ ~u abbiamo dovuto usare la formula per componenti.. check! Teorema della rotazione o secondo teorema di Green-Stokes Theorem 23 La circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa è pari al usso della rotazione del campo attraverso una qualsiasi super cie S concatenata alla linea : I ~u! dl = S ~r ^ ~u ^nds (100) De nition 24 dicesi super cie concatenata ad una curva una super cie che ha per contorno la a curva stessa Se in una regione dello spazio (o in tutto lo spazio) la circuitazione è nulla per qualsiasi curva chiusa allora il campo è conservativo (vedi de nition 14). I Ma se ~u! dl = 0 allora ~r ^ ~u ^nds = 0 e per l arbitrarietà di S ~r ^ ~u = 0 (101) Quindi un campo conservativo è irrotazionale (rotazione nulla) e viceversa: un campo irrotazionale è conservativo. Remark 25 notare che matematicamente si ha ~r ^ ~ru = 0 (102) quindi se ~u = ~ ru (campo conservativo) è pure irrotazionale 12

13 Corollary 26 un campo conservativo non può avere linee di corrente chiuse Proof. Se è una linea di corrente chiusa allora ~u è tangente a (poichè è una linea di corrente) e anche! dl è tangente a se prendiamo come il circuito I su cui calcolare la circuitazione e quindi ~u! dl 6= 0 e quindi il campo non può essere conservativo 13