UN MODELLO VARIAZIONALE PER TRAVI IN PARETE SOTTILE CON TENSIONE RESIDUA

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1 UN MODELLO VARIAZIONALE PER TRAVI IN PARETE SOTTILE CON TENSIONE RESIDUA Luca Della Longa 21 giugno 2007 Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 1 / 20

2 Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 2 / 20

3 1 Introduzione al problema delle travi in parete sottile con tensione residua 2 come modello di convergenza variazionale 3 I risultati ottenuti... Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 3 / 20

4 Le travi sottili La tensione residua Come affrontare il problema? Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 4 / 20

5 Le travi sottili Le travi sottili La tensione residua Come affrontare il problema? Travi: corpi tridimensionali allungati. Teorie Classiche (Eulero, Bernoulli, Navier): spesso fondate su assunzioni a-priori, giustificate dalla piccolezza di certe dimensioni rispetto ad altre. L. Freddi, A. Morassi, R. Paroni Thin-walled beams: the case of rectangular cross-section Difficoltà: materiale non omogeneo materiale anisotropo tensione residua Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 5 / 20

6 La tensione residua Le travi sottili La tensione residua Come affrontare il problema? 1829 Cauchy ottenne le corrette equazioni della teoria elastica lineare per un materiale con tensione residua. Truesdell, Gurtin, Hoger (1986) R. Paroni 2003 Theory of Linearly Elastic Residually Stressed Plates Problema della tensione residua: l equazione costitutiva non dipende soltanto dalla parte simmetrica del gradiente di spostamento ma da tutto il gradiente! S (x) = F (x, F) = T + H T + LE, (1) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 6 / 20

7 Come affrontare il problema? Le travi sottili La tensione residua Come affrontare il problema? Analisi asintotica per ε 0 di un problema 3D Difficoltà rispetto ad altri casi: anisotropia introdotta dalla scelta di una doppia scala nella riduzione dimensionale. Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 7 / 20

8 Primi passi... Una definizione Le proprietà Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 8 / 20

9 Primi passi... Primi passi... Famiglia di problemi di minimo che dipendono da un parametro ε min {F ε (u) : u X ε }. (2) Una definizione Le proprietà Problema limite min {F (u) : u X}, (3) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 9 / 20

10 Una definizione Primi passi... Una definizione Le proprietà, introdotta da Ennio De Giorgi e T. Franzoni nel 1976, è una nozione di convergenza per funzionali variazionali su spazi di funzioni. Sia X uno spazio metrico, e per ε > 0 sia dato F ε : X [0, + ]. Diciamo che F ε Γ-converge a F in X per ε 0, se valgono le seguenti condizioni: (LB) Per ogni u Xe ogni successione u ε tale che u ε u in X, vale lim inf ε 0 F ε (u ε ) F (u) (4) (UB) Per ogni u X esiste una successione u ε tale che u ε u in X e lim ε 0 F ε (u ε ) = F (u). (5) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 10 / 20

11 Le proprietà Primi passi... Una definizione Le proprietà il Γ-limite è sempre semicontinuo inferiormente; la nozione di Γ-convergenza è stabile sotto perturbazioni continue i minimizzanti convergono ai minimizzanti!!! Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 11 / 20

12 Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato residual stress Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 12 / 20

13 Il problema 3D (1/2) ω ε := Ω ε := ω ε (0, l) R 3, {(x 1, x 2 ) : x 1 aε2 2, x 2 bε 2 } R 2 Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione S ε (0) Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza 0 aε 2 Le equazioni di equilibrio ;-) Ω ε x 1 l ω bε S ε (x 3 ) x 3 x 2 Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 13 / 20

14 Il problema 3D (2/2) div Tε = 0 in Ωε, Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Tε = TεT in Ω ε, Tε n = 0 su Ωε, div S ε + b ε = 0 in Ω ε, (6) Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) (FF) S = Tε + Du Tε + L ε Eu in Ωε, Sn = 0 in Ω ε \ S ε (0), u = 0 su S ε (0). (7) (FD) Ω ε Du Tε Dv + LEu Ev dx = Ω ε b ε v dx v H 1 # (8) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 14 / 20

15 Esistenza della soluzione Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio Problema di esistenza ed unicità della soluzione! Serve un risultato di ellitticità in H 1 #. Studio sugli autovalori di T. Ipotesi C L > C K τ ε m ε 4 (9) ;-) (FV ) J ε (u) = 1 2 Du Tε Du+LEu Eu dx b ε u dx. (10) Ω ε Ω ε Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 15 / 20

16 Il problema riscalato Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato H ε v := p ε : Ω Ω ε y ( ε 2 y 1, εy 2, y 3 ) (11) ( D1 v ε 2, D ) 2v ε, D 3v, E ε v := SymH ε v. (12) Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) L ε = Lp 1 ε, Tε = ε 4 Tp 1 ε, b ε =... (13) J (u) = 1 2 Ω LE ε v E ε v + ε 4 H ε v T H ε v dy Ω b ε p ε v dy (14) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 16 / 20

17 Lemmi di compattezza Il problema 3D (1/2) Ω ( (u 1, u 2 ε, u 3 ε 2 ) 2 + H ε u 2) dy K ε 4 Ω E ε u 2 dy, (15) E ε u ε L 2 (Ω;R 3 3 ) Cε 2, (16) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) (u ε n 1, uε n 2 ε n, uεn 3 ε 2 n W ε n u ε n Hv := ) v in H 1 (Ω; R 3 ), 0 θ D 3 v 1 θ 0 0 D 3 v in L 2 (Ω; R 3 3 ). E 33 = D 3 v 3, E 23 = y 1 D 3 θ + η, Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 17 / 20

18 Il teorema di Γ-convergenza Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione F(v, θ) := 1 2 Ω f 0 ( y 1 D 3 θ e λ 4eµ (D 3v 3 + y 1 D 33 v 1 ),D 3 v 3 ) +Hv T Hvdy Ω b vdy l 0 mθ dy 3 f 0 (α, β) := min {f (A) : A Sym, A 23 = α, A 33 = β}, (17) Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 18 / 20

19 Le equazioni di equilibrio Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio ;-) ẼJ 2 ξ (iv) 1 D 3 ( T 11 + T ) 33 ξ 1 T 23 ϑ λj 2 ϑ b 1 y 1 b 3 = 0 ) e (Ẽ λ 2 J 1 ξ (iv) 2 b 2 y 2 b 3 = 0 4eµ ) e (Ẽ λ 2 4eµ Aξ 3 + b 3 = 0 µjϑ T 11 + T 22 ϑ λj 2 ξ 1 + T 23 ξ 1 + m = 0 Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 19 / 20

20 ;-) Il problema 3D (1/2) Il problema 3D (2/2) Esistenza della soluzione Il problema riscalato Lemmi di compattezza Il teorema di Γ-convergenza Le equazioni di equilibrio Evviva la Γ-convergenza e le strutture sottili! Grazie per l attenzione ;-) Astrazione e Realizzazione: temi di carattere interdisciplinare tra fisica, matematica ed ingegneria. 20 / 20