A. Boggio G. Borello. Statistica STATISTICA INDUSTRIALE RICERCA OPERATIVA. Scienze e. Tecnologie PETRINI

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1 A. Boggio G. Borello Statistica STATISTICA INDUSTRIALE RICERCA OPERATIVA 3 PETRINI Scienze e Tecnologie

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3 A. BOGGIO G. BORELLO STATISTICA 3 Argomenti e applicazioni di statistica industriale e di ricerca operativa Nuova edizione con l uso del foglio elettronico PETRINI EDITORE

4 PETRINI EDITORE internet Coordinamento redazionale e redazione: Monica Martinelli Progetto e redazione grafica: A.G.E s.r.l. - Bologna Impaginazione:G.B. Vivalda Copertina: Elio Vigna Design - Torino Stampa: A.L.E. s.r.l. - S. Vittore Olona (Mi) 2004 Petrini editore Torino 1 a edizione: gennaio 2004 Printed in Italy Si ritengono contraffatte le copie non firmate o non munite del contrassegno della S.I.A.E. Per i casi in cui non è stato possibile ottenere il permesso di riproduzione, a causa delle difficoltà di rintracciare chi potesse darlo, si è notificato all Ufficio della proprietà letteraria, artistica e scientifica che l importo del compenso è a disposizione degli aventi diritto. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume/fascicolo, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, via delle Erbe, n. 2, Milano, telefax , aidro@iol.it Edizione: I II III IV V Anno:

5 Indice Prefazione... Organizzazione del testo... Proposte per il laboratorio... VIII IX XI Modulo 1 STATISTICA INDUSTRIALE Capitolo 1 Metodi di campionamento. Stima dei parametri 1.1 Vantaggi e procedure Campionamento casuale semplice Campionamento stratificato Campionamento a grappoli Altri tipi di campionamento Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 2 Test di ipotesi. Curve operative caratteristiche 2.1 Test di ipotesi e significatività Errori di prima e seconda specie Procedure di controllo delle ipotesi Test sulla media per grandi campioni. Curva operativa caratteristica Test sulla media per piccoli campioni. Curva operativa caratteristica Test sulle frequenze relative. Curva operativa caratteristica Determinazione dell ampiezza campionaria Test sulla differenza tra valori medi e frequenze Test sulla varianza. Curve operative caratteristiche Test sul rapporto di varianze Curve di potenza Esercizi svolti Quesiti Esercizi... 75

6 IV Indice Capitolo 3 Analisi della varianza 3.1 Campi di applicazione Classificazione ad un fattore Modello lineare di analisi della varianza per esperimenti ad un fattore Modifiche nel caso di numeri di osservazione diversi Classificazione a due fattori Modello lineare di analisi della varianza per esperimenti a due fattori Estensioni Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 4 Controllo statistico della qualità 4.1 La qualità come rispondenza all uso Dal controllo di qualità alla garanzia di qualità Valore e costo della qualità Funzioni, norme e procedure del controllo statistico della qualità I circoli della qualità Il sistema informativo per la gestione della qualità Le scuole di pensiero della qualità Norma italiana dei «Sistemi di gestione per la qualità» Quesiti Esercizi Capitolo 5 Controllo di qualità dei processi e collaudo 5.1 La teoria statistica delle carte di controllo Le specifiche Determinazione della tolleranza naturale Il controllo statistico mediante le carte Carte di controllo per variabili Carte di controllo per attributi Impostazione e gestione delle carte di controllo Controllo di accettazione Piano di campionamento Curva operativa caratteristica

7 Indice V 5.11 Determinazione dei piani di campionamento Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 6 Affidabilità 6.1 Concetti introduttivi e definizioni La funzione affidabilità ed il tasso di guasti Distribuzioni di probabilità in affidabilità Confronto tra le distribuzioni Le prove accelerate Analisi dei dati di affidabilità Cenni all affidabilità dei sistemi Esercizi svolti Quesiti Esercizi Modulo 2 RICERCA OPERATIVA Capitolo 7 La ricerca operativa 7.1 Evoluzione storica La natura della ricerca operativa Problemi e modelli come rappresentazioni della realtà I modelli e le tecniche della R.O Statistica e ricerca operativa Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 8 Programmazione lineare 8.1 Campi di applicazione Formulazione di un modello di programmazione lineare Metodo grafico

8 VI Indice 8.4 Proprietà dell insieme delle soluzioni ammissibili Metodo del simplesso Fasi del metodo del simplesso Vincoli di maggiore uguale e di uguale. Metodo del grande M Casi particolari Il duale Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 9 Problemi di assegnazione e trasporto 9.1 Problemi di assegnazione Formulazione matematica Il metodo ungherese Fasi del metodo ungherese per i problemi di assegnazione I problemi di trasporto. Formulazione matematica Metodo di soluzione per i problemi di trasporto Prova di ottimalità Esercizi svolti Quesiti Esercizi Capitolo 10 Elementi di simulazione. Applicazioni alle file d attesa 10.1 La simulazione Conduzione di un esperimento di simulazione Un caso tipico: un problema di file d attesa I numeri casuali Il campionamento simulato Campionamento di variabili casuali Introduzione alle file d attesa Fila d attesa ad una stazione di servizio Fila d attesa con diverse stazioni di servizio Simulazione di una fila d attesa Esercizi svolti Quesiti Esercizi

9 Indice VII SCHEDE GUIDA MODULO 1 Scheda 1 Tecniche di campionamento Scheda 2 Curve operative caratteristiche e di potenza Scheda 3 Analisi della varianza Scheda 4 Carte di controllo per medie ed escursioni con prescrizioni assegnate Scheda 5 Carte di controllo per medie ed escursioni senza prescrizioni assegnate Scheda 6 Carte di controllo per medie e deviazioni standard con prescrizioni assegnate Scheda 7 Carte di controllo per medie e deviazioni standard senza prescrizioni assegnate Scheda 8 Carta p per la frazione di elementi non conformi Scheda 9 Carta d per il numero di difetti MODULO 2 Scheda 10 Programmazione lineare: metodo grafico Scheda 11 Programmazione lineare: metodo del simplesso Scheda 12 Metodo ungherese per risolvere problemi di assegnazione Scheda 13 Campionamento di variabili casuali Scheda 14 Parametri di una fila d attesa con sorgente e coda infinita, servizio multiplo Scheda 15 Simulazione di una fila d attesa con singolo servizio Terza prova: tipologie ed esempi Appendice - Tavole numeriche Soluzioni degli esercizi Indice analitico Bibliografia

10 Prefazione La Statistica e la Ricerca operativa vanno assumendo un ruolo sempre più importante in molti campi del sapere e del comportamento umano, soprattutto per merito della diffusione delle moderne tecnologie informatiche e dell uso di programmi applicativi che permettono di effettuare in tempo reale la notevole quantità di elaborazione dati richieste da tali discipline. Si deve tuttavia constatare che gli strumenti teorici ed elaborativi a disposizione per la soluzione dei problemi del mondo del lavoro non vengono sempre utilizzati in modo appropriato e talvolta sono addirittura ignorati per la mancanza di una cultura di base. Il problema reale pertanto non è la mancanza di teorie e di mezzi hardware e software, ma la mancanza di tecnici che sappiano utilizzare le metodologie a disposizione per ottenere informazioni utili. Nell industria, nei settori del progetto, della ricerca e sviluppo, della produzione, del controllo qualità e dell affidabilità, fino ai settori del marketing, questo problema è particolarmente sentito e si traduce sovente in perdite economiche. L obiettivo principale che ci prefiggiamo, poiché la nostra esperienza è maturata sia nel mondo dell industria sia in quello della scuola, è di contribuire a colmare questa lacuna agendo su un terreno sensibile alle innovazioni, come quello dei Periti Industriali specializzati in Informatica ai quali è rivolto in modo particolare questo libro. Gli argomenti presentati in questo volume sono conformi a quelli del Programma Ministeriale per la classe quinta del corso di Calcolo delle probabilità, Statistica e Ricerca operativa. Il Programma Ministeriale prevede che una percentuale rilevante (30%) del tempo dedicato a questa disciplina debba svolgersi in laboratorio, facendo uso di elaboratori elettronici e programmi già predisposti per la verifica e le applicazioni delle nozioni apprese. Le indicazioni ministeriali concordano con quelle fornite da alcune Conferenze Internazionali di Lavoro pronunciatesi sullo sviluppo dell Educazione Statistica dei Tecnici. Le raccomandazioni di fondo emerse per l insegnamento della Statistica e della Ricerca operativa sono quelle di fornire agli studenti un collegamento tra le metodologie insegnate e la loro applicazione a casi reali. Con questo lavoro intendiamo fornire un supporto didattico che segua le indicazioni ministeriali e le raccomandazioni precedenti. Il carattere del testo è prevalentemente applicativo: le dimostrazioni matematiche sono state ridotte all essenziale mentre sono stati inseriti molti esempi per una migliore comprensione dei concetti illustrati; dove possibile sono stati utilizzati dati e problemi reali e molto rilievo è stato dato all attività di laboratorio. Numerosi esercizi svolti e più di 1000 esercizi da svolgere, permettono la verifica delle metodologie apprese. Per un proficuo uso dell attività di laboratorio informatico e per offrire agli studenti metodi elaborativi ampiamente diffusi, sono state realizzate delle «Schede guida» che spiegano come possa essere risolta una serie di esercizi inerenti agli argomenti trattati in ogni capitolo del libro utilizzando i fogli di lavoro elettronici Microsoft Excel 97. Il CD ROM allegato al vol. 1 contiene alcune tabelle relative agli esercizi proposti nel testo. All interno delle Schede guida, sono presenti esempi di fogli elettronici da utilizzare come modelli per lo svolgimento delle attività di laboratorio. I contenuti del testo possono interessare, per la loro attualità, sia gli studenti di Scuole Superiori nel cui corso di studi è previsto l insegnamento della Statistica e del Calcolo delle probabilità, sia coloro che, già operando nell industria, sentono la necessità di un corso di base per affrontare le metodologie statistiche dell elaborazione dei dati. Ringraziamo tutti i nostri studenti, ai quali questo materiale è stato proposto in via sperimentale, e tutti coloro che hanno fornito e vorranno fornire utili indicazioni e suggerimenti. Gli Autori

11 Organizzazione del testo Il testo, frutto di una lunga sperimentazione didattica, è strutturato in due moduli: modulo 1: Statistica industriale (capitoli 1-6); modulo 2: Ricerca operativa (capitoli 7-10). Ogni modulo è costituito da capitoli che contengono: 1) spiegazione teorica degli argomenti (con numerosi esempi); 2) problemi svolti riassuntivi; 3) quesiti ed esercizi da svolgere. L ampia rassegna di quesiti ed esercizi da svolgere (circa 1000) permette agli studenti di effettuare una continua verifica sul grado di apprendimento dei vari argomenti. Il testo è corredato, inoltre, da una sezione dedicata all utilizzo di software applicativo denominata Schede guida. In questa sezione ogni scheda indica, per gli specifici argomenti svolti nei moduli, come pervenire alla soluzione dei problemi mediante l uso dell elaboratore e dei programmi applicativi che utilizzano il foglio elettronico. Sia negli Esercizi svolti sia negli Esercizi da svolgere, vi sono numerosi casi in cui è opportuno l utilizzo del foglio elettronico: tali esercizi possono essere svolti nel laboratorio informatico e sono stati indicati nel testo con la sigla L.I. (Laboratorio Informatico). Oltre ad alcuni suggerimenti per una attività di laboratorio, nel testo compare un ampia bibliografia per eventuali approfondimenti degli argomenti. Sono inoltre presenti numerosi esercizi individuati dalla sigla G.L. (Gruppo di Lavoro); tali esercizi sono adatti ad essere svolti e commentati in gruppo, poiché inducono a riflettere su situazioni di tipo problematico. Utilizzo dell elaboratore e del software Le esercitazioni di laboratorio informatico possono essere effettuate con l ausilio dell elaboratore e di programmi applicativi. Le esercitazioni riportate nelle Schede guida sono state sviluppate usando come software Microsoft Excel 97 nell ambito del sistema operativo Windows 2000 e Windows NT, ver Nelle schede guida vengono spiegate in modo dettagliato quali sono le operazioni da compiere per arrivare alla soluzione del problema che viene proposto; è tuttavia preferibile che lo studente abbia già confidenza con le funzionalità di base del programma applicativo Excel. Installazione sul computer dei file di esercitazione Allegato al vol. 1 viene fornito un CD ROM sul quale sono registrati file utili per le esercitazioni nella sezione Modelli in Excel. Per installare sul disco fisso del computer i file di esercitazione, occorre fare le seguenti operazioni: inserire il CD ROM allegato al volume nel lettore dei CD; copiare la cartella Statistica presente nel CD ROM sul disco C. Eseguita la copia, comparirà la cartella Statistica sul vostro computer.

12 X Organizzazione del testo Ogni scheda di laboratorio presente nel testo utilizza file forniti per le esercitazioni. I file del primo volume hanno come prefisso per i nomi V1, mentre, per il secondo e il terzo volume il prefisso V2 e V3 rispettivamente. Attività di laboratorio Le schede di laboratorio proposte nel testo, indicano allo studente come affrontare, mediante l uso del computer e del software, la soluzione di problemi statistici. Lo studente dopo lo svolgimento di queste esercitazioni sarà in grado di risolvere agevolmente gli esercizi contraddistinti da L.I. proposti nel testo. È opportuno suddividere tale attività in tre diversi stadi consecutivi. Il conseguimento degli obiettivi dei vari stadi permette agli studenti di raggiungere gradualmente la capacità di impostare e svolgere indagini statistiche autonome avvalendosi della metodologia software. Stadi e obiettivi da raggiungere si possono sintetizzare come segue. I stadio: uso del programma per fogli di lavoro: obiettivo: imparare ad usare nell ambito statistico il foglio di lavoro Excel; attività: lettura e verifica diretta su computer degli esempi contenuti nelle schede guida; II stadio: soluzione di problemi statistici: obiettivo: risolvere problemi di inferenza statistica e regressione e correlazione; attività: svolgere gli esercizi proposti nel testo usando come traccia gli esempi svolti; III stadio: analisi di fenomeni statistici: obiettivo: analizzare i fenomeni statistici; attività: analizzare i fenomeni statistici impostando autonomamente tutte le fasi dell indagine statistica: analisi del fenomeno, raccolta ed elaborazione dei dati, discussione e presentazione dei risultati per mezzo di relazioni scritte.

13 Proposte per il laboratorio Organizzazione dell attività Il significato della statistica come scienza applicata può essere compreso solamente attraverso il lavoro effettuato in un laboratorio statistico-informatico, inoltre uno studio moderno della statistica e delle sue applicazioni non può prescindere dall impiego di elaboratori elettronici e dalla loro capacità di trattare quantità notevoli di dati in tempi brevi. L attività in laboratorio deve svolgersi, fin dall inizio del corso, parallelamente allo studio degli argomenti teorici, con l obiettivo di far apprendere le tecniche di elaborazione dati, utilizzando personal computer e software adatto alle varie applicazioni statistiche (software applicativo). In questo modo l utente può rendersi conto delle potenzialità fornite dall elaboratore e dal software nella soluzione dei problemi statistici. L attività di un laboratorio statistico-informatico potrebbe essere organizzata nel modo seguente. Lo studente deve leggere attentamente le Schede guida per acquisire i concetti fondamentali inerenti l argomento. Seguendo poi la traccia proposta nella scheda per lo svolgimento dell esercizio, lo studente apprende l applicazione delle metodologie di soluzione mediante l uso del foglio elettronico. Le applicazioni proposte sono state appositamente realizzate per un uso didattico tale da permettere allo studente l acquisizione di concetti statistici con procedure standardizzate e di larga diffusione, in modo da giungere alla soluzione di problemi anche complessi mediante la modularizzazione del percorso. A tal fine, sono stati appositamente sviluppati moduli in Visual Basic for Application per migliorare l efficienza nell utilizzo del foglio elettronico. Problemi di Statistica industriale e di Ricerca operativa Le analisi su problemi di Statistica industriale e di Ricerca operativa (R.O.) possono riguardare vari fenomeni; indipendentemente dal fenomeno studiato è tuttavia consigliabile, al termine del lavoro, presentare una relazione nella quale devono comparire: la descrizione del problema analizzato; gli scopi dell analisi; la fonte dei dati; le diverse elaborazioni svolte; la discussione critica dei risultati. Si noti che tali relazioni risultano fondamentali quando sono analizzati problemi che possono essere studiati con diverse metodologie, in quanto può essere estremamente utile confrontare i risultati di elaborazioni svolte con metodi diversi. I problemi che possono essere presi in considerazione sono diversi, sia per quanto riguarda la Statistica industriale, sia per quanto riguarda la R.O. Controllo della produzione Si può considerare una piccola azienda di produzione per quanto riguarda l impostazione del controllo della qualità della produzione e la garanzia della qualità dei prodotti, definendo quali tipi di carte di controllo è opportuno utilizzare ed in quali punti del processo produttivo.

14 XII Proposte per il laboratorio Piani di campionamento Sempre considerando una piccola azienda si può impostare il collaudo dei prodotti acquistati dalla stessa per le lavorazioni, definendo i piani di campionamento appropriati. Analisi della produzione Oltre al controllo statistico della qualità e al collaudo, per una corretta gestione della produzione aziendale, può rivelarsi estremamente utile l analisi della varianza, ad esempio per confrontare i prodotti di diversi fornitori al fine di scegliere il migliore in funzione dei prezzi praticati, oppure per confrontare i risultati ottenuti da diversi processi produttivi. Prove di affidabilità Possono essere effettuate alcune prove di vita su semplici dispositivi elettronici, quali diodi e transistor, al fine di valutarne l affidabilità; i risultati delle prove possono essere analizzati statisticamente. Programmazione della produzione Si consideri un azienda agricola; mediante le tecniche della programmazione lineare si può programmare, ad esempio: a) il piano ottimale di produzione, tenendo conto dei vincoli imposti dalle dimensioni dell azienda, dalle forze di lavoro utilizzate, dalle colture compatibili con il tipo di terreno; b) la composizione ottimale dei mangimi per gli animali da allevamento. Problemi di organizzazione Con il metodo delle assegnazioni possono essere affrontati vari problemi organizzativi, quali: definizione di un orario scolastico; organizzazione del piano di trasporti per una rete locale di autobus, per stabilire gli orari delle partenze. Simulazione di fenomeni complessi La simulazione è utile per trovare soluzioni a problemi difficili da descrivere mediante modelli matematici deterministici. Con le tecniche proprie della simulazione possono essere definiti problemi quali: dimensionamento di un servizio multiplo con particolare riguardo al tempo di attesa in coda degli utenti; durata del tempo per il transito ad un semaforo stradale in funzione dell intensità del traffico, movimenti di magazzino, gestione di risorse naturali (ad esempio le risorse idriche). Per lo svolgimento di analisi su questi argomenti è utile la bibliografia presentata in fondo al volume.

15 Modulo 1 Statistica industriale Capitolo 1 Capitolo 2 Capitolo 3 Capitolo 4 Capitolo 5 Capitolo 6 Metodi di campionamento. Stima dei parametri Test di ipotesi. Curve operative caratteristiche Analisi della varianza Controllo statistico della qualità Controllo di qualità dei processi e collaudo Affidabilità

16 1 Metodi di campionamento. Stima dei parametri In questo capitolo vengono presentati: i principali metodi di campionamento il loro utilizzo i criteri di scelta tra i diversi metodi le applicazioni del campionamento casuale Dopo lo studio di questo capitolo, lo studente sarà in grado di: esporre come si effettua un campionamento perché sono stati studiati diversi tipi di campionamento effettuare un campionamento casuale stimare intervalli fiduciari utilizzando un campione casuale Contenuti 1.1 Vantaggi e procedure 1.2 Campionamento casuale semplice 1.3 Campionamento stratificato 1.4 Campionamento a grappoli 1.5 Altri tipi di campionamento

17 1.1 Vantaggi e procedure Capitolo 1: Metodi di campionamento. Stima dei parametri 3 La vita reale e le metodologie scientifiche non possono prescindere dal campionamento; nella vita di ogni giorno si può vedere che la maggior parte delle azioni che si compiono e delle impressioni che si riportano sono basate su informazioni ottenute da campioni, vale a dire su informazioni ottenute da un sottoinsieme della popolazione statistica. Ad esempio, l opinione di una persona relativamente ad un istituzione pubblica (come i servizi sociali) si basa su poche prestazioni ricevute e difficilmente si riferisce a tutti i possibili servizi resi da tale istituzione; un turista, dopo aver effettuato un viaggio all estero, sovente esprime giudizi sui popoli visitati, anche se il suo soggiorno è stato breve. I giudizi basati sulla conoscenza di un campione statistico risultano validi solamente se gli elementi sono stati scelti in modo corretto; ad esempio, se un viaggiatore che giunge alcune volte a Milano vi trova sempre la nebbia, tende a pensare che a Milano vi sia sempre la nebbia, se trova sempre il sole, pensa che sia una città prevalentemente soleggiata. Ma per esprimere un giudizio corretto sulla percentuale di giorni soleggiati e di giorni nuvolosi a Milano è necessario prendere in considerazione un elevato numero di giorni, distribuiti in tutto l arco dell anno, non solamente poche osservazioni come quelle effettuate sporadicamente dal viaggiatore. Nella ricerca scientifica la maggior parte delle conclusioni e dei risultati sono ottenuti proprio analizzando dei campioni; i motivi per cui può essere utile effettuare un indagine campionaria, invece di un indagine estesa a tutta la popolazione statistica, possono essere diversi: riduzione di costi, ad esempio quando la popolazione è molto vasta risulta troppo costoso analizzare tutte le unità statistiche; rapidità, se le unità statistiche da analizzare sono poche l analisi può essere effettuata molto più rapidamente; limiti nella disponibilità, a volte non è possibile reperire tutte le unità statistiche, altre volte le misure risultano distruttive. Per impostare correttamente un indagine campionaria è opportuno seguire diverse fasi di impostazione del lavoro 1, in particolare è necessario definire all inizio dell indagine: gli obiettivi; la popolazione e il campione; i dati da rilevare; il grado di precisione desiderato nei risultati; i metodi di misura; il piano di campionamento; le unità da analizzare. In accordo con gli obiettivi dell indagine e con le procedure di raccolta e di elaborazione dei dati deve essere stabilito quale tipo di campionamento è più opportuno utilizzare. Esistono diversi metodi di campionamento; tra i principali si possono ricordare: il campionamento casuale; il campionamento stratificato; il campionamento a grappoli. 1 Le indagini campionarie sono indagini statistiche; per l impostazione delle diverse fasi di un indagine statistica, vedi vol. 1, cap. 1.

18 4 Modulo 1: Statistica industriale Può essere utile mettere in evidenza che tutti questi tipi di campionamento sono campionamenti probabilistici,ovvero campionamenti in cui ciascuna unità ha una probabilità nota di essere inclusa nel campione. Quando il campione è di tipo probabilistico, nell analisi dei dati è possibile utilizzare le tecniche dell interferenza statistica; viceversa, quando il campionamento non è probabilistico, quindi non sono note le probabilità di estrazione delle singole unità, le tecniche dell interferenza statistica non sono utilizzabili e non è possibile valutare i rischi di errore in cui si incorre. 1.2 Campionamento casuale semplice Il campionamento casuale semplice consiste nell estrazione di un campione casuale, in modo tale che non solo tutte le unità statistiche, ma anche tutti i possibili raggruppamenti di tali unità (campioni) abbiano uguale probabilità di essere estratti. Nel cap. 3 del vol. 2 sono state discusse le proprietà statistico-matematiche dei campioni casuali semplici e sono state analizzate le principali distribuzioni campionarie (della media, delle frequenze relative, della varianza); in questo capitolo verranno discusse in modo più approfondito le procedure che permettono di ottenere campioni che possono veramente essere definiti casuali semplici. È facile infatti incorrere nell errore di ritenere casuale un campione estratto in modo arbitrario, ovvero in modo non preordinato. I metodi non preordinati di scelta delle unità statistiche portano a campioni viziati da errori sistematici, in quanto sono a discrezione di chi effettua la scelta, quindi basati sull elemento umano. Se si vuole essere certi che tutti gli elementi della popolazione, anche quelli atipici o difficili da individuare, abbiano la stessa probabilità di tutti gli altri di essere inclusi nel campione, si deve procedere all estrazione di un campione casuale, compilando prima un elenco di tutte le unità, poi estraendo in modo casuale il campione. Nel compilare l elenco di tutte le unità che costituiscono la popolazione si incontrano sovente delle difficoltà. Ad esempio, per effettuare un indagine tra gli abitanti di una città, si può ricorrere agli elenchi dell anagrafe, ma tali registri non sono mai del tutto aggiornati, in quanto, nel caso di immigrazione, passa sempre un certo periodo di tempo tra il trasferimento in un luogo e la registrazione agli uffici anagrafici. Ne consegue che, se si utilizza un campione sulla base dei dati dell anagrafe, restano esclusi tutti i cittadini immigrati di recente e se tali persone sono numerose e presentano caratteristiche diverse dagli abitanti inclusi nel campione, i risultati campionari risultano viziati da errori sistematici. Altri elenchi, quali quello telefonico o il registro automobilistico portano a errori sistematici in quanto escludono coloro che non possiedono il telefono o l automobile e in genere portano a sottorappresentare le classi sociali meno abbienti, mentre coloro che possiedono più di un telefono o di un auto hanno più probabilità di essere estratti. Prima di effettuare un campionamento basato su una lista è necessario verificare che questa sia completa: le liste incomplete possono introdurre errori sistematici di ampiezza sconosciuta. Quando una lista è incompleta o contiene elementi che non appartengono alla popolazione statistica che si vuole esaminare, è opportuno procedere ad una correzione dell elenco per integrare le lacune o eliminare gli elementi in soprannumero. Dopo aver ottenuto l elenco risulta relativamente semplice individuare le unità che formeranno il campione: si numerano in senso progressivo tutte le unità che formano la popolazione, quindi si procede ad un estrazione casuale. Per effettuare l estrazione casuale si può pensare di procedere nel modo classico, introducendo in un urna tanti bigliettini numerati quante sono le unità della popolazione ed estrarre poi, dopo averli mescolati, tanti biglietti quante sono le unità del campione.

19 Capitolo 1: Metodi di campionamento. Stima dei parametri 5 In tal modo, poiché a ciascuna unità della popolazione viene assegnato un solo numero e le estrazioni sono casuali, tutti i numeri (quindi tutti gli elementi della popolazione) hanno la stessa probabilità di essere estratti; inoltre tutti i gruppi di numeri (tutti i possibili campioni) risultano equiprobabili. In questo modo il campione statistico, formato dalle unità che hanno i numeri corrispondenti a quelli dei biglietti estratti, risulta casuale. Nella realtà, tuttavia, per procedere ad un campionamento casuale, non è necessario disporre ogni volta di un urna contenente tutti i diversi biglietti numerati, ma si può utilizzare una tabella di numeri casuali come quella riportata in Appendice, tav. VII. Quando si utilizzano tavole di numeri casuali, si deve stabilire in primo luogo il modo in cui verranno letti i numeri, ad esempio dall alto verso il basso, oppure da sinistra verso destra, iniziando da un punto qualsiasi; stabilito il modo di scegliere i numeri si procede alla loro lettura. Ad esempio, se la popolazione è costituita di 800 unità e si vuole scegliere un campione di 100 unità, si può procedere nel seguente modo. Scelto un punto di partenza qualsiasi nella tavola dei numeri casuali, ad esempio il numero 5 che si trova all incrocio della colonna 10 con la riga 21 2 e scelto di leggere i numeri per riga (ma si sarebbe anche potuto scegliere di leggerli in altro modo, ad esempio per colonna, oppure in modo alterno, uno sì e uno no), si forma numero di tre cifre proseguendo a leggere le cifre che si trovano nella riga ventunesima e raggruppandole a tre a tre. I numeri formati in questo modo risultano: Tutti i numeri che superano 800 (come 821) vengono scartati in quanto la popolazione è costituita solamente da 800 unità. Procedendo in questo modo si ottiene una serie di numeri che individuano altrettanti elementi della popolazione: tali elementi costituiscono il campione. Ad un certo punto può succedere di incontrare numeri già scelti in precedenza; se il campionamento è effettuato senza reintroduzione, si devono trascurare tali numeri e procedere fino a quando si individuano 100 valori tutti diversi, minori o uguali a 800. Se, invece, si tratta di un tipo di campionamento che prevede che la stessa unità statistica possa essere scelta più di una volta, come il campionamento con reintroduzione, non si devono trascurare i numeri uguali, ma conteggiare più volte le unità ad essi corrispondenti. Nella realtà il campionamento è effettuato, in genere, senza reintroduzione; questo significa che le estrazioni non costituiscono eventi tra loro indipendenti, poiché le unità estratte successivamente sono condizionate dalle unità estratte in precedenza; per tenere conto di tale fatto è necessario introdurre fattori di correzione, che non sempre sono noti. Tali fattori possono essere trascurati se i campioni costituiscono una frazione molto piccola rispetto all intera popolazione statistica e la probabilità che una stessa unità venga scelta più volte risulta trascurabile, mentre, risultano utili se il campione risulta pari ad almeno un quinto della popolazione. Nei casi reali i fattori di correzione risultano raramente utilizzati in quanto, se il campione è prossimo, come grandezza, all ampiezza della popolazione, può essere più conveniente analizzare direttamente tutta la popolazione, anziché utilizzare le tecniche campionarie. Quando ciò non è possibile, per qualsiasi motivo, è importante il fattore di correzione della 2 Il numero delle colonne è indicato nella testata della tabella, il numero delle righe nella colonna madre.

20 6 Modulo 1: Statistica industriale deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie: N n N 1 Il rapporto n/n indica la frazione di elementi campionati,vale a dire il rapporto tra le unità statistiche incluse nel campione n e il numero totale di unità della popolazione N. Si noti che, quando le dimensioni del campione sono piccole rispetto alle dimensioni della popolazione, il rapporto [1.1] tende all unità. Per il campionamento casuale semplice sono valide tutte le relazioni viste nei capitoli 3, 4 e 5 del vol. 2 in relazione alla teoria dei campioni, della stima e dei test di ipotesi. Per quanto riguarda la stima dei parametri della popolazione può essere utile ricordare che: la media campionaria risulta: [1.1] X n X i i 1 n [1.2] la media campionaria X è uno stimatore corretto della media della popolazione µ: E (X ) µ x µ [1.3] la varianza campionaria corretta 3 : Ŝ 2 n i 1 (x i x ) 2 n 1 è uno stimatore corretto della varianza σ 2 della popolazione, in quanto: [1.4] E (Ŝ 2 ) σ 2 [1.5] Se il campione è estratto da una popolazione molto vasta (infinita), ovvero se si tratta di campionamento con reintroduzione e la popolazione è normalmente distribuita con deviazione standard nota, allora la media campionaria ha una distribuzione normale con media e deviazione standard rispettivamente: µ x µ σ x σ n [1.6] [1.7] 3 Nel cap. 3 del vol. 2 è stata introdotta la varianza campionaria come S 2 i (x i x ) 2 e la varianza campionaria corretta come: n n S 2 i (x i x ) 2 i (x i x ) 2 n 1 n n 1