ANALISI ISOGEOMETRICA (IgA) Un'introduzione. Maria Lucia Sampoli. Universita' degli Studi di Siena

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1 ANALISI ISOGEOMETRICA (IgA) Un'introduzione Maria Lucia Sampoli Universita' degli Studi di Siena

2 PDE Equazione differenziale nella funzione incognita u = u(t, x 1,..., x d ) F (x, t, u, u t, u x 1,..., di ordine p = p 1 + p d + p t con g insieme di dati. I ordine: II ordine: u p1+ pd+pt u,..., x d x p 1 1, g) = 0 tp t u t + (bu) = 0: equazione di trasporto (convezione), consevazione della massa in un sistema materiale che occupa la regione Ω, u rappresenta la densità del sistema e b(x, t)è la velocità posseduta da una particella del sistema che all istante t occupa la posizione x; u = f: equazione del potenziale, diffusione di un fluido in una regione Ω omogenea ed isotropoa o spostamento verticale di una membrana elastica (ellittica) u t 2 u t 2 u = 0: equazione del calore (parabolica) u = 0: equazione delle onde (iperbolica) v = div(v) = d i=1 v i x i, u = d i=1 2 u x 2 i ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.2/50

3 PDE: Problema Debole L un operatore ellittico del secondo ordine sul dominio di Lipschitz Ω con frontiere Γ = Γ D Γ N, e consideriamo l equazione alle derivate parziali: Lu = f, in Ω u = 0, u n = h, su Γ D su Γ N (1) date f e h, si vuol determinare u : Ω R. La formulazione debole: u V, a(u, v) = F (v), tale che per ogni v V (2) dove V := {u H 1 (Ω), u ΓD = 0} = H 1 Γ D (Ω) a : V V R forma bilineare (simmetrica) corrispondente all operatore L F : V R forma lineare contenente la parte destra f dell equazione e il termine di Neumann h. ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.3/50

4 PDE: Problema Debole Lemma di Lax-Milgram Supposto a(u, v) coerciva e continua, F limitato V spazio di Hilbert, si ha l esistenza e unicità del problema (2) inoltre la soluzione è limitata in funzione dei dati: u V 1 α F V ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.4/50

5 PDE: Problema di Galerkin Sia V h V sottospazio a dimensione finita dim V h = N h, generato da N h funzioni di base φ i ; i = 1, 2,..., N h : u h V h, t. c. a(u h, v h ) = F (v h ), per ogni v h V h (3) Scrivendo u h = N h i=1 u iφ i si ottiene il sistema lineare Au = f (4) - A R N h N h : Matrice di stiffness, A i,j = a(φ j, φ i ); definita positiva per Pb. ellittici - f R N h: vettore dati, f i = F (φ i ); - u R N h: vettore incognite, u i = u i ; ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.5/50

6 PDE: Problema di Galerkin Esistenza e Unicità della soluzione discreta u h dal Lemma di Lax-Milgram Stabilità uniforme rispetto ad h: u h V 1 α F V Fortemente consistente: a(u u h, v h ) = 0, v h V h Lemma di Cea Convergenza: dalla consistenza forte, continuità e coercività: u u h V M α inf w h V h u w h V affinchè si abbia la convergenza occorre richiedere che al tende a zero di h, V h tenda a V : lim h 0 inf v v h V = 0, v h V h v V ne segue che per valori limite di h (raffinando) la soluzione approssimata converge all soluzione esatta: lim u u h V = 0 h 0 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.6/50

7 PDE: Problema di Galerkin A seconda della scelta del sottospazio V h si ha: Metodi agli Elementi Finiti: Polinomi a tratti; V h = X p h = {v h C 0 (Ω) : v h K P p, K T h } T h triangolazione con base lagrangiana u u h H 1 (Ω) Chs u H s+1, u H r+1, s = min{p, r} Per aumentare l accuratezza: raffinare la griglia, diminuendo h (h refinements) utilizzare elementi finiti di grado più elevato, aumentare p (p refinements) con condizionmento µ 2 (A) = Ch 2 Metodi Spettrali: Polinomi algebrici definiti su tutto il dominio; ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.7/50

8 Approccio Isoparametrico Nei FEM le funzioni di base sono polinomi a tratti e il concetto isoparametrico è legato all approssimazione delle curve di bordo. N j ; j = 1,..., m shape-functions Ω 0 R 2 : dominio parametrico (triangolo/quadrato, tetraedro/esaedro); Ω : dominio fisico diviso in mesh di triangoli T k della forma Ω 0 ; x k j : vertici di ogni triangolo T k, m le funzioni di geometria: G k (ξ) := x(ξ) = N j (ξ)x k j j=1 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.8/50

9 Approccio Isoparametrico Le funzioni di base φ i sono composizione delle shape-functions con l inverso delle funzioni di geometria: u h (x) = m j=1 N j G 1 k (x)uk j, x T k. dove u k j sono i coffecienti incogniti nei punti nodali. Rappresentazione locale valutazioni locali della matrice di stiffness. raffinamenti nei FEM isoparametrici sono ottenunti dividendo gli elementi in elementi più piccoli (h-refinements) o aumentando il grado dei polinomi usati come shape-functions in ogni elemento (p-refinement) global smoothness C 0 DRAWBACK dei FEM isoparametrici: mancanza di rappresentazioni esatte delle forme ingegneristiche: il bordo del dominio deve essere approssimato. ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.9/50

10 IA: Approccio Isoparametrico basato su NURBS NURBS sono le funzioni di base, permettono di mappare il quadrato unitario dello spazio dei parametri in un dominio fisico arbitrario disegnato da un sistema CAD (basato su NURBS). Ω 0 := [0, 1] 2 : dominio parametrico; Ω : dominio fisico; P i R 2 : punti di controllo NURBS; la funzione globale di geometria G : Ω 0 Ω: G(ξ) := x(ξ) = n N i (ξ)p i i=1 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.10/50

11 IA: Approccio Isoparametrico basato su NURBS La soluzione approssimata sta, come nel caso isoparametrico generale, nello stesso spazio definito dalle funzioni di geometria, ma ora si tratta di uno spazio globle. u h (x) = n N i G 1 (x)u i, x Ω. i=1 Obbiettivo primario: Geometria esatta ad ogni livello di discretizzazione Obbiettivo secondario: semplificare il raffinamento della mesh eliminando il bisogno di interagire con la geometria CAD OSS: mesh adattive non sono utilizzate nelle industrie a causa della necessità dei FEM di interfacciare con CAD ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.11/50

12 IA: Approccio Isoparametrico basato su NURBS La soluzione approssimata sta, come nel caso isoparametrico FEM, nello stesso spazio definito dalle funzioni di geometria, ma ora si tratta di uno spazio globle. u h (x) = n N i G 1 (x)u i, x Ω. i=1 Obbiettivo primario: Geometria esatta ad ogni livello di discretizzazione Obbiettivo secondario: semplificare il raffinamento della mesh eliminando il bisogno di interagire con la geometria CAD OSS: mesh adattive non sono utilizzate nelle industrie a causa della necessità dei FEM di interfacciare con CAD ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.12/50

13 FEM Modello CAD deve essere analizzato per rimuovere ambiguità (gaps, overlaps) e arrivare ad un Analysis Suitable Geometry (ASG) che rappresenta esattamente le parti di interesse per il calcolo ASG viene poi sostituita da una mesh agli elementi finiti (approssimazione polinomiale a tratti della geometria) Uno dei passi più costosi del processo di analisi Ad ogni raffinamento anche la qualità della geometria approssimata deve essere migliorata attraverso il link con un descrittore esterno ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.13/50

14 Analisi isogeometrica Modello CAD deve essere analizzato per arrivare ad un Analysis Suitable Geometry (ASG) ASG viene esattamente riprodotta attraverso NURBS patch Ad ogni raffinamento: la mesh è la geometria esatta e può essere raffinata ad ogni livello senza alterare la geometria (l operazione più costosa si esegue solo all inizio) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.14/50

15 Analisi isogeometrica: continuità Si potrebbe dire che l analisi isogeometrica include l analisi agli elementi finiti, nel senso che quest ultimi possono essere generati da B-splines. L IA offre di più: funzioni di base più smooth che C 0 (nei sottodomini o globalmente) migliore approssimazione delle derivate (stress in analisi strutturale sono smooth quasi ovunque: i FEM richiedono smoothing e post-processing) un controllo locale della continuità della base sembra uno strumento da sfruttare per molti tipi di soluzioni NURBS di grado e continuità elevato ammettono rappresentazioni più compatte e maggior accuratezza per grado di libertà rispetto ai corrspondenti FEM NURBS di grado e continuità elevato permettono di trattare meglio PDE di ordine elevato ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.15/50

16 Analisi isogeometrica Spazio locale non più elementi ma patches con il ruolo di sottodomini con caratteristiche uniformi Mesh: prodotto di vettori di nodi Un vettore di nodi (knots) divide lo spazio parametrico in elementi che sono mappati nel dominio fisico da mappe NURBS/B-splines supporto delle basi è costituito da un numero limitato di elementi le basi non sono interpolatorie nei knots interni al contrario delle basi FEM interpolatorie nei nodes Basi B-splines coincidono con basi polinomiali a tratti FEM solo per p = 0, 1. Natura omogenea B-spline: Basi B-splines quadratiche sono identiche ma shiftate mentre basi FEM quadratiche sono diverse a seconda del nodo a cui associate. Sistemi di equazioni generati da NURBS tendono ad essere più omogenei rispetto a quelli generati da FEM dello stesso ordine (qualità approssimazione e efficienza soluzione) Partizione dell Unità: proprietà comune con FEM Positività porta a matrici di massa con elementi non negativi ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.16/50

17 Analisi isogeometrica i punti di controllo associati con la base definiscono la geometria Concetto Isoparametrico: la soluzione è rappresentata tramite le stesse funzioni che definiscono la geometria; i coefficienti delle basi sono i gradi di libertà / control variables Variation diminishing permette di ottenere approssimanti monotone per dati discontinui (elimina fenomeno di Gibbs: oscillazioni dell interpolazione di Lagrange al crescere del grado) h refinements knot insertion p refinements degree elevation k refinements high order e high continuity ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.17/50

18 FEM IgA Punti Nodali Punti di Controllo Variabili Nodali Variabili di Controllo Mesh Nodi Basi interpolanti i punti nodali/variabili nodali basi non interpolanoti i punti di Controllo/variabili Geometia approssimata Geometria esatta Basi polinomiali Basi NURBS Gibbs phenomena Variation Dominishing Sottodomini Patches In comune: Supporto compatto, partizione dell unità, concetto isoparametrico, invarianza affine ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.18/50

19 h refinement knot insertion Inserendo un nodo si ottiene una curva con identica geometria e parametrizzazione, ma diversa base e diverso poligono ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.19/50

20 p refinement order elevation L ordine può essere cambiato senza cambiare la geometria o la parametrizzazione (la molteplicità dei nodi aumenta in modo da mantenere la continuità iniziale nei nodi) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.20/50

21 Knot insertion e degree elevation non sono l analogo perfetto di h/p raffinamenti FEM, (occorrerebbe aggiustare la molteplicità in modo da avere continuità C 0 nei nodi) knot insertion e degree elevation sono più flessibili: con knot insertion la continuità nei nodi pùò variare da C p 1 a C 0 ; la riduzione di h dei FEM e divisione in elementi più piccoli non ammette la possibilità di diminuire la continuità con nodi multipli schemi di elevamento dell ordine più flessibili: k refinement ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.21/50

22 k refinement order elevation/knot insertion Sfrutta il fatto che knot insertion e degree elavation non commutano: (p) inserendo un nodo ξ in una curva di ordine p, si ottiene C p 1 (ξ). Elevando all ordine q occore aumentare a molteplicità dei nodi per mantenere la continuità C p 1 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.22/50

23 k refinement order elevation/knot insertion Sfrutta il fatto che knot insertion e degree elavation non commutano: (k) si eleva l ordine a q e dopo si inseriscono i nodi ξ: si ottiene C q 1 (ξ) (k refinement) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.23/50

24 k refinement (p) C 0 (k) C 1 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.24/50

25 k refinement k raffinamenti sono importanti in quanto IA è un approccio high-order (grado 2 necessario per coniche) Classico p raffinamento dei FEM ha una struttura non omogenea con proliferare del numero dei nodes per mantenere la continuità C 0 k raffinamento: struttura omogenea tra patch e limitata crescita delle variabili Da 1 intervallo e p + 1 funzioni di base: (p) h refinements fino a n p intervalli con n funzioni di base; p refinements: per mantenere la continuità C p 1 occorre replicare i nodi singoli aggiungendo ad ogni degree-elevation una funzione di base ogni intervallo: n 2n p... (r + 1)n rp funzioni di base dopo r volte degree-elevations, p ordine continuità C p 1 (k) degree-elevations r volte (aggiunge una funzione ad ogni passo) p r funzioni di base h refinements fino ad n p intervalli (si aggiungnono n p 1 funzioni di base) si ottengono n + r funzioni di base con continuità C p+r 1 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.25/50

26 k refinement (k) La sequenza degli spazi soluzione non è annidiata in contrasto con h/k raffinamenti Problema: come misurare la convergenza di questa sequenza di mesh? ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.26/50

27 Analisi isogeometrica: Esempi Condizioni al bordo di tipo Dirichlet: la cosa più semplice è applicarle direttamente ai punti di controllo: - per condizioni omogenee non ci sono problemi, - per condizioni non omogenee il bordo deve essere approssimato da funzioni NURBS si utilizzano formule di quadratura gaussiana di basso ordine, che integra esattamente assumendo che le NURBS siano B-spline dello stesso ordine polinomiale e con determinante dello Jacobiano costante. Tale approssimazione non mostra problemi per mesh sufficientemente raffinate. Per il sistema lineare si utilizzano sia metodi diretti (più efficienti per strutture shell) che iterativi (gradiente coniugato precondizionto diagonalmente). Per il caso solido vengono utilizzati metodi esclusivamente iterativi (per problemi di memoria), convergono senza difficoltà (congettura: caso NURBS ha un miglior condizionamento rispetto al caso FEM) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.27/50

28 ESEMPI: analisi strutturale Dominio in 2D: - Linear Elasticity su piatto con buco circolare - Stationary heat conduction in L-domain Dominio solido: - solido cilindrico soggetto a pressione interna - solido a ferro di cavallo soggetto a spostamento uguale ed opposto sui lati piani Guscio Domino - guscio cilindrico soggetto a pressione interna Guscio Domino ostacolo alla forza di gravità - Scordelis-Lo roof - hemisfera - cilindro ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.28/50

29 Esempio: Linear Elasticity Si studia il comportamento di un piatto elastico infinito, soggetto ad una trazione T x, il cui spostamento u : Ω R 2 è descritto da divσ(u) = 0 con σ funzione stress Piatto infinito viene approssimato da un quarto di piatto finito, la soluzione esatta è nota, viene valutata al bordo del dominio finito e applicata come condizione di Neumann, E modulo di Young, ν rapporto di Poisson. ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.29/50

30 Esempio: Linear Elasticity La geometria esatta viene rappresentata con 2 elementi, 2 punti di controllo coincidenti ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.30/50

31 Esempio: Linear Elasticity Ordine di convergenza per NURBS quadratiche, cubiche e quartiche: 2, 3, e 4 circa. continuità C p 1 tranne che lungo la diagonale (C 1 ) a causa dell uso di parametrizzazione razionale quadratica ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.31/50

32 ESEMPI: analisi strutturale delle vibrazioni Vibrazioni di un asta elastica fissata agli estremi confronto tra p raffinamenti dei FEM (C 0 ) e k raffinamenti delle NURBS (C p 1 ) a parità di gradi di libertà miglioramenti significativi soprattutto al crescere di k FEM non sono accurati su frequenze alte, si nota che peggiorano al cresere dei gradi al contrario del caso NURBS tali successi possono essere estesi a problemi di onde e turbolenze ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.32/50

33 ESEMPI: vibrazioni 3D [2006] Con elementi solidi 3D ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.33/50

34 ESEMPI: Guscio a iperboloide [2007] Soggetto a pressione circolare con singolarità tipo strato limite può essere rappresentato esattamente, ma viene rappresentato come offset di una superficie centrale shiftata di metà dello spassore lungo la normale non sezioni di coniche geometria approssimata (interpolazione dei punti offset) L approssimazione migliora al crescere del grado, la superficie interna non cambia (l equazione viene applicata alla superficie interna) Spessore: 2 elementi quadratici C 0 la mesh viene infittita vicino ai bordi per trattare gli strati limite con molteplicità p e continuità C 0 sul bordo, per ridurre il supporto delle basi e limitare la propagazione dello strato limite ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.34/50

35 ESEMPI: Guscio a iperboloide Si testano diverse continuità per strati limite: continuità C 0 continuità C p 1 la continuità massima permette di ottenere risultati efficienti asintoticamente per soluzioni smooth Su mesh grossolane la riduzione della continuità e quindi del supporto delle basi fornisce soluzioni più accurate ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.35/50

36 ESEMPI: Guscio con rinforzo Geometrie complesse Raffinamenti locali: - equazioni vincolate per punti di controllo (C 0 ) - metodo di Galerkin discontinuo; ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.36/50

37 ESEMPI: Guscio con rinforzo i risultati in [Hughes 2005] tramite l utilizzo di un solo patch NURBS, non sono del tutto siddifacenti, producono distorsioni sul supporto si utilizzano troppi gradi di libertà (raffinamenti globali) in [Hughes 2007] miglioramento combinando patch multipli e k raffinamenti con raccordo C 0. Se non si ottiene l accuratezza desiderata dall high-order mesh si possono inserire nuovi nodi in regioni smooth (lontano dal supporto) mantenendo alta la continuità nodi multipli vicino a singolarità come spigoli, diminuisce la continuità e il supporto delle basi, per localizzare la singolarità e evitarne le diffusione ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.37/50

38 ESEMPI: Guscio con rinforzo k raffinamenti con C p 1 k raffinamenti con C 0 nelle linee rosse e C p 1 altrove entrambi C 0 nella congiunzione dei patch (linea nera) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.38/50

39 ESEMPI: altri Guscio ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.39/50

40 ESEMPI: deformazioni [2008] ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.40/50

41 ESEMPI Problemi di vibrazioni superiorità drammatica : la continuità ottenuta con k metodo permette di sfruttare la continuità analitica più di quanto venisse fatto dai FEM C 0 in problemi ellittici su strutture guscio con singolarità la continuità viene ridotta vicini alla singolarità forte dipendenza dei risultati dalla natura della soluzione ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.41/50

42 ESEMPI: analisi dei fluidi Fenomeni di flusso con trasporto dominante rispetto al termine diffusivo κ u + a = 0 dominio quadrato unitario collina sinusoidale caratterizzati dalla presenza di strati limite e gradienti elevati. Metodi di Galerkin producono discretizzazioni instabili, metodi di stabilizzazione quali i SUPG: modifica del problema di Galerkin senza deteriorarne l accuratezza, non si tratta di tecnologia monotona. In [Hughes 2005] si sperimenta l approccio isoparametrico in congiunzione con SUPG. L approccio isoparametrico utilizza gradi elavati, ci si aspetta un buon comportamaneto in presenza di strati limite: nei FEM il fenomeno di Gibbs diventa più pronunciato al crescere del grado, questo spiega l utilizzo di metodi a grado basso (lineari o costanti) per problemi di fluidi. In AI può essere migliorato grazie alla variation diminishing property delle NURBS per frontiere di Dirichlet e ai k refinements ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.42/50

43 Dominio quadrato unitario (B-splines) ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.43/50

44 Dominio quadrato unitario (B-splines) Condizioni al bordo si impongono specificando i punti di controllo: 0 o 1 a seconda della posizione, solo nel caso p = 1 le condizioni al bordo vengono interpolate k raffinamenti non producono sottospazi annidiati, nell esempio ci sono differenze per gradi pari e gradi dispari a seconda se un punto di controllo cade sullo strato limite, dando luogo a condizioni ai bordi diverse occorre migliore strategia per i punti di controllo al bordo θ = 45 k refinements: griglia uniforme raffinata fini a e gradi da p = 1 a p = 9; anche per p = 1 si hanno buoni risultati (nei FEM lo strato limite risulta in tale caso poco accurato) che migliorano al crescere del grado senza oscillazioni grazie alla variation diminishing e la continuità elavata che si ottiene dai k refinements p = 8 si ha una buona soluzione ma le variabili di controllo sono oscillatorie: non è chiaro quale informazione fisica forniscano tali variabili, comunque h-raffinando con h 0, la rete di controllo converge alla soluzione e diventa interpolatoria al limite ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.44/50

45 Dominio quadrato unitario (B-splines) θ = 63.4 k refinements: griglia uniforme raffinata fini a e gradi da p = 1 a p = 12; Test più severo a ma produce risultati buoni per k refinements di ordine opportuno ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.45/50

46 Collina sinusoidale ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.46/50

47 Collina sinusoidale Flusso circolare al centro di un dominio quadrato velocità di trasporto circolare, condizioni omogenee ai lati del quadrato u = sin(2πx) sulla slit/crepa Poichè le B-spline non contengono funzioni trigonomteriche si utilizza minimizzazione H0 1 per determinare i valori dei punti di controllo sulla collina Griglia uniforme gradi p = 2 e p = 6; continuità C 1 e C 5 risultati eccellenti in entrambi i casi ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.47/50

48 ESEMPI: PDE di ordine superiore a 2 Cahn Hilliard phase field model: derivate spaziali del IV ordine. FEM non sono utilizzati in quanto la formulazione variazionale è definita solo se le funzioni di base sono smooth e globalmente C 1. Limitato numero di funzioni 2D con quste caratteristiche e applicabili a geometrie complesse (nessuna in 3D) [Hughes 2008]: formulazione variazionale basata su NURBS del problema Cahn Hilliard ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.48/50

49 In [Hughes 2005] strategie per la scelta dei nodi da inserire ad ogni h raffinamento per avere mesh uniforme del dominio fisico ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.49/50

50 ISOGEOMETRIC ANALYSIS p.50/50