Università degli Studi di Torino Corso di Laurea in Matematica ROMPICAPI CELEBRI. Anna Camperi matr

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1 Università degli Studi di Torino Corso di Laurea in Matematica ROMPICAPI CELEBRI Anna Camperi matr

2 Indice Introduzione 3 1 Il principio di induzione matematica 7 I quadrati magici 8.1 La leggenda del Lo Shu Metodi per costruire quadrati magici Costruzione di quadrati magici di ordine dispari Costruzione di quadrati magici di ordine pari, multiplo di La torre di Hanoi La leggenda della torre di Brahma Dimostrazione per induzione Bibliografia 5 Sitografia 6

3 Introduzione Rompicapi e problemi matematici sono stati inventati sin dall antichità e se ne trovano esempi nelle culture di ogni epoca. La prima forma di rompicapo ad essersi sviluppata è stata l indovinello: se ne trovano infatti numerosi nell Antico Testamento, nella mitologia greca e in quella egizia. Uno dei più conosciuti è contenuto nel Papiro di Rhind, che risale al 1850 a.c. circa: Sette case contengono sette gatti. Ogni gatto uccide sette topi. Ogni topo avrebbe mangiato sette spighe di grano. Ogni spiga di grano avrebbe prodotto sette misure di farina. Qual è il totale? Problemi simili appaiono nel Liber Abaci del matematico Leonardo Pisano, detto Fibonacci ( c.a), autore anche del celebre Problema dei conigli: Un tale pose una coppia di conigli in un luogo circondato da pareti. La coppia iniziò a riprodursi a partire dalla fine del primo mese e ogni mese generò una nuova coppia di conigli. Tutte le altre coppie, nate nel corso dell anno, iniziarono a riprodursi dal secondo mese dopo la nascita e anch esse generarono una nuova coppia ogni mese. Quante coppie di conigli nascono complessivamente in un anno? Oltre agli indovinelli, hanno avuto diffusione sin dai tempi antichi anche rompicapi logici, come i paradossi, e quesiti di tipo matematico, tra cui il problema della costruzione dei quadrati magici, che analizzeremo più in dettaglio in seguito, e il Problema dei buoi di Archimede, che richiede di calcolare la composizione della mandria di buoi del Dio Sole: la soluzione di tale enigma, che i matematici alessandrini non riuscivano a risolvere, può essere ricondotta ad un sistema di sette equazioni con otto incognite, che ammette infinite soluzioni. La tradizione dei rompicapi è persistita durante tutto il Medio Evo per arrivare fino ai giorni nostri: Carlo Magno (74-814), fondatore del Sacro Romano Impero, era così appassionato 3

4 dai problemi matematici da assumere un esperto perchè ne creasse appositamente per lui. La persona cui venne affidato l incarico fu il celebre studioso ed ecclesiastico inglese Alcuino, che viene ancor oggi ricordato per l enigma dell attraversamento del fiume, rompicapo che ha avuto importanti influssi sullo studio della logica e ha avuto un ruolo fondamentale per la nascita del calcolo combinatorio: Un viaggiatore si avvicina alla sponda di un fiume con un lupo, una capra e un cavolo. Con grande disappunto, nota che c è solo una barca per attraversare il fiume, sulla quale c è spazio solo per due: il viaggiatore e uno dei due animali oppure il cavolo. Come il viaggiatore ben sa, se li lascia insieme da soli, la capra mangerà il cavolo e il lupo mangerà la capra. Il lupo però non mangia i cavoli. Come può il viaggiatore portare tutti gli animali e il cavolo sull altra riva nel minor numero possibile di viaggi avanti e indietro? Nel XVI secolo Niccolò Tartaglia propose una versione interessante dell enigma. I protagonisti sono tre spose ed i loro mariti gelosi: Tre bellissime spose con i loro mariti giungono nei pressi di un fiume. La barca che li trasporterà sull altra riva può ospitare soltanto due persone. Per evitare situazioni compromettenti, gli attraversamenti devono essere organizzati in modo che nessuna donna venga lasciata sola con un uomo a meno che non sia presente anche suo marito. Come si può ottenere questo risultato, sapendo che la barca può essere condotta da qualsiasi uomo o qualsiasi donna? Due secoli dopo, il genio svizzero Leonardo Eulero ( ) risolse un quesito matematico ispirato ad una situazione concreta: il problema dei sette ponti di Konigsberg.

5 La città di Konigsberg, facente parte in passato della Prussia Orientale ed ora della Repubblica Russa, con il nome di Kaliningrad, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant ( ), è percorsa dal fiume Pregel e dai suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. Ci si pone la questione se sia possibile seguire un percorso che attraversa ogni ponte un unica volta e ritornare al punto di partenza. Nel 1736 Eulero lavorò al problema, dimostrando in modo rigoroso che il percorso ipotizzato era impossibile. Il grande merito del matematico svizzero fu quello di aver riformulato il problema astraendo dalla situazione specifica di Konigsberg, dando un prezioso contributo alla nascita di una nuova branca della matematica, nota come teoria dei grafi. Oltre al problema dei sette ponti, Eulero affrontò anche per il problema dei 36 ufficiali, che può essere così formulato: È possibile disporre 36 ufficiali, provenienti a sei a sei da sei diversi reggimenti ed aventi, in ognuno di essi, sei gradi militari differenti, in 6 righe e 6 colonne di 6 ufficiali ciascuna, in modo tale che in ogni riga e in ogni colonna ci sia un ufficiale di ogni reggimento e di ogni grado? Eulero congetturò che il problema non avesse soluzione, ma ad una dimostrazione rigorosa si arriverà solo nel 1901, ad opera del matematico francese M. Tarry. Eulero riteneva inoltre che tale congettura valesse anche per ogni n = 4 k +, k N; tale ipotesi venne smentita nel 1960 dai matematici Bose, Parker e Shrikhande che provarono che la congettura di Eulero è falsa per tutti i valori n = 4 k + con n > 6. Nel 1800, il matematico francese Edouard Lucas ( ) propose il rompicapo della torre di Hanoi, che verrà approfondito in seguito, e il problema delle otto regine; quest ultimo, consisteva nel trovare il modo di disporre otto regine su una scacchiera in modo tale che nessuna regina fosse minacciata dalle altre, ovvero in modo tale che ogni riga, ogni colonna ed ogni diagonale contenesse esattamente una regina (poichè la regina può spostarsi in orizzontale, in verticale e in diagonale di un qualsiasi numero di caselle.) Sempre del 1800 è il famoso gioco del quindici, creato nel 1870 da Sam Loyd. Esso consiste di quindici caselle, numerate da 1 a 15 che possono scivolare liberamente in un piano, all interno di un quadrato 4 4. Le quindici tessere sono disposte in serie numerica regolare, ma con i numeri 14 e 15 scambiati.il gioco consiste nello scambiare le tessere, muovendole una alla volta, fino ad arrivare ad una configurazione con tutte le caselle in serie numerica crescente.

6 Loyd offrì un premio di mille dollari a chi fosse riuscito a trovare la soluzione del gioco, ben sapendo che questa non esisteva. Infatti, ricorrendo alla teoria delle permutazioni, se definiamo scambio ogni situazione in cui un numero è preceduto da un numero più grande, data una configurazione qualsiasi è sufficiente contare il numero di scambi necessari per arrivare alla soluzione finale: soltanto se il numero di scambi è pari il gioco è risolubile. Poichè non è possibile passare da una configurazione pari ad una dispari, il gioco proposto da Loyd risulta impossibile, in quanto la configurazione iniziale presenta un unico scambio (15 14), mentre quella finale non ne ha. Se, invece, il 14 ed il 15 sono in ordine crescente, il gioco è risolubile. Un secolo dopo la nascita del gioco di Loyd, l architetto ungherese Erno Rubik creò un rompicapo ancora più sofisticato, che è diventato il giocattolo più venduto della storia. Il cubo di Rubik è composto da cubi più piccoli; le facce di quest ultimi sono di diverso colore e quelle del cubo più grande sono imperniate in modo da poter ruotare in varie dimensioni. Lo scopo è ottenere una configurazione in cui ogni faccia del cubo più grande sia tutto dello stesso colore. In questa tesina, analizzeremo più in dettaglio i problemi dei quadrati magici e della torre di Hanoi. Nel prossimo capitolo introdurremo il Principio di induzione matematica, che ci servirà per risolvere entrambi i rompicapi.

7 Capitolo 1 Il principio di induzione matematica Il Principio di induzione matematica è una tecnica dimostrativa che fa esplicito riferimento ai numeri naturali. PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA (PRIMA FORMA): Proposizione Sia (P (n)) una successione di proposizioni tali che 1) P (n 0 ) è vera (passo base dell induzione) ) La verità di P (k) implica la verità di P (k + 1), k n 0 (ipotesi induttiva) Allora P (n) è vera, n n 0 Dimostrazione. Sia {S = x > n 0 /P (x)èfalsa}. Supponiamo per assurdo che S non sia vuoto. Per l assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento, che indichiamo con m. Consideriamo ora la proposizione P (m) : poichè m S, P (m) è falsa; inoltre, poichè m è il primo elemento di S, m 1 / S (e m 1 n 0 ), quindi la proposizione P (m 1) è vera e la ) ci dice allora che P (m) è vera. Abbiamo una contraddizione, dunque S è vuoto. PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA (SECONDA FORMA): Proposizione Sia (P (n)) una successione di proposizioni tali che 1) P (n 0 ) è vera (passo base dell induzione) ) La verità di P (k), 0 k m, implica la verità di P (m) (ipotesi induttiva) Allora P (n) è vera, n n 0 7

8 Capitolo I quadrati magici.1 La leggenda del Lo Shu Un quadrato magico di ordine n è una tabella quadrata contenente i primi n numeri interi, in modo tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero, che viene detto costante magica. Il primo quadrato magico risale all antica Cina, ai tempi della dinastia Shang (000 a.c. circa) quando, secondo la leggenda, ci fu una grande inondazione. Per placare l ira del fiume Lo, la popolazione locale offrì sacrifici al dio del fiume. Malgrado ciò, ogni volta appariva una tartaruga che scivolava fuori dal fiume e passava con noncuranza vicino al sacrificio. La popolazione considerava la tartaruga un segno del dio che continuava a rifiutare i sacrifici offerti. Un giorno un bambino notò che c era un quadrato sul guscio della tartaruga. Al suo interno vi erano i primi nove numeri sistemati in tre righe e tre colonne. Il bambino osservò anche che i numeri distribuiti nelle righe, nelle colonne e nelle due diagonali, se sommati, davano tutti 15 come risultato. E fu così che la popolazione capì che quello era il numero di sacrifici da raggiungere per placare il dio del fiume. Il quadrato descritto nella leggenda, noto come Lo Shu è un quadrato magico di ordine 3, la cui costante magica è 15:

9 Infatti: Somma delle righe: (1) = 15 () = 15 (3) = 15 Somma delle colonne: (1) = 15 () = 15 (3) = 15 Somma delle diagonali: (1) = 15 () = 15 Dalla Cina, i quadrati magici viaggiarono verso il Giappone e l India, dove apparve la prima traccia di quadrato magico di ordine 4. L introduzione dei quadrati magici in Europa si deve a Emmanuel Moschopulos (165 c.a.-1316), ma il primo ad approfondire l argomento fu Cornelio Agrippa ( ). Molti quadrati magici si supponevano dotati di particolari virtù magiche e venivano utilizzati per costruire talismani. Nel XVI secolo questi particolari quadrati connobbero un connubio con l arte, come nel caso del celebre quadrato di Albrecth Durer ( ) nella sua incisione Melancholia:

10 Il quadrato magico rappresentato in quest opera è il seguente: Come si può facilmente verificare, la costante magica di questo quadrato è 34. Nel Seicento, il matematico francese Frenicle de Bessy ( ) calcolò il numero dei quadrati magici di ordine 4: sono 880, con somma costante 34 su righe, colonne e diagonali. Si dovette invece attendere l avvento del computer per allargare l indagine a quadrati magici di ordine superiore e scoprire così, nel 1973, che i quadrati magici di ordine 5 sono Ancora oggi non è noto il numero esatto dei quadrati magici di ordine 6, che dovrebbe essere dell ordine di 1,

11 . Metodi per costruire quadrati magici Per costruire un quadrato magico è necessario anzitutto trovare una formula generale per determinare la costante magica. Un quadrato magico si ottiene da una serie di n numeri interi consecutivi. L ultimo numero della serie è quindi n, dove n è l ordine del quadrato. Calcoliamo prima di tutto la somma dei primi n numeri interi, ricordando che la somma dei primi n interi è data dalla formula n = n (n + 1) Proviamo la validità di tale formula utilizzando il principio di induzione matematica (vedi Proposizione 1.0.1): Proposizione..1. La somma dei primi n interi è n = n (n + 1) Dimostrazione. Dobbiamo verificare che sono soddisfatte le condizioni 1) e ) della proposizione 1.0.1: 1) P (1) è vera, infatti 1 1 = 1 ) Supponiamo ora che P (n) sia vera, cioè che n = n (n+1) e proviamo che anche P (n+1) è vera, cioè n+(n+1) = (n+1) (n+), usando l ipotesi induttiva: n + (n + 1) = n (n + 1) + (n + 1) = (n + 1) (n + ) La somma dei primi n interi sarà dunque n (n + 1 ) Per trovare la costante magica, basterà dividere la somma dei primi n interi appena trovata per n. La formula generale è quindi n (n + 1 ) n = n (n + 1 )

12 Nel caso del Lo Shu la costante magica è proprio 15, infatti n (n + 1 ) = 3 (3 + 1 ) = 3 10 = 15 Per costruire quadrati magici si procede in gran parte per tentativi ed errori, ma in alcuni casi è possibile derivare un algoritmo. Analizzeremo questi casi nelle pagine seguenti. Costruzione di quadrati magici di ordine dispari Per capire come bisogna procedere per costruire quadrati di ordine dispari, ritorniamo all esempio del Lo Shu. Tutti i quadrati di ordine dispari hanno una cella centrale; il numero che occupa questa cella può essere determinato calcolando su quante righe, colonne e diagonali si ripete all interno del quadrato. Nel caso del Lo Shu è presente in una riga, in una colonna e nelle due diagonali, cioè quattro volte. Contiamo ora quante sono le possibili terzine di numeri compresi tra 1 e 9 (senza ripetizione) la cui somma sia 15. Abbiamo: Abbiamo stabilito che il numero centrale compare in quattro terzine. L unico numero che nella lista precedente compare quattro volte è il 5, che è quindi il numero centrale. Un algoritmo per costruire un quadrato magico di ordine dispari viene attribuito al matematico Simon de la Loubère ( ) che lo ideò nel 1693, benchè probabilmente lo studioso ne fosse venuto a conoscenza nel corso di uno dei suoi viaggi in Asia. Serviamoci del suo algoritmo su un quadrato di ordine 5, cioè un quadrato che contiene i primi 5 numeri, con costante magica

13 pari a 65: 1. Posizioniamo l 1 nella cella centrale in alto:. Procediamo in diagonale verso destra e verso l alto, e posizioniamo la cifra successiva, il, in un quadrato immaginario al di fuori del quadrato vero. Visto che il si trova al di fuori del quadrato, portiamolo alla fine della colonna alla quale allineato: 3. Mettiamo la cifra successiva, il 3, verso l alto in diagonale, alla destra del :

14 4. Iteriamo il procedimento per il numero successivo, il 4, inserendolo nella cella immaginaria che si trova in alto e alla destra del 3 e poi spostiamolo all estremità oppsta della riga: 5. Inseriamo il numero 5 in alto a destra rispetto al numero 4: 6. Lo stesso tipo di movimento non può essere eseguito per inserire il numero 6, in quanto la cella che si trova diagonalmente verso l alto alla destra del 5 risulta già occupata. Il 6 viene quindi scritto al di sotto del 5:

15 7. Procedendo allo stesso modo per i numeri rimanenti si otterrà il seguente quadrato: Il procedimento è lo stesso per ogni altro quadrato di ordine dispari. Riportiamo di seguito i passaggi che si devono compiere per costruire il Lo Shu:

16 Costruzione di quadrati magici di ordine pari, multiplo di 4 Per costruire un quadrato di ordine 4, per prima cosa disegnamo le linee di intersezioni attraverso le diagonali: Disponiamo quindi i numeri come se fossero in successione, lasciando in bianco le celle attraversate dalle linee di intersezione. Iniziamo con l 1 nella cella in alto a sinistra: poichè tale cella è attraversata dalla diagonale, non scriviamo nulla. Passiamo a quella successiva alla sua destra e scriviamo il numero successivo, cioè il. Anche la terza cella è vuota, quindi inseriamo il numero 3. La quarta cella è attraversata dalla diagonale, pertanto non scriviamo alcun numero. Passiamo quindi alla seconda riga del quadrato e procediamo in modo analogo a quanto visto per la prima riga fino a raggiungere l ultima cella nell angolo in basso a destra.

17 Iniziamo ora dall angolo in basso a destra e spostiamoci in orizzontale verso sinistra, inserendo i numeri soltanto nelle celle attraversate dalle diagonali. Cominciamo quindi mettendo l 1 nella cella in basso a destra. Le due celle alla sua sinistra sono piene, quindi raggiungiamo l angolo in basso a sinistra e inseriamo il numero successivo, che è il 4, poichè il e il 3 sono già stati inseriti. Procedendo nel modo indicato, si ottiene il seguente quadrato: Un quadrato di ordine 8, invece, andrà considerato come l insieme di quattro quadrati di ordine 4. Quindi, in questo caso, bisogna disegnare le diagonali in ognuno dei quattro quadranti. Dopo averle disegnate, si procede nel modo indicato per un quadrato di ordine 4, e si ottiene il quadrato seguente: In generale, quindi, un quadrato di ordine 4 n con n, andrà considerato come l insieme di n quadrati di ordine 4. Quindi, una volta disegnate le diagonali di ogni quadrante, si procede nel modo indicato per un quadrato di ordine 4.

18 Capitolo 3 La torre di Hanoi 3.1 La leggenda della torre di Brahma Narra una leggenda indiana che all inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d oro che si trova nel centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d oro, collocati su una di queste colonnine e ordinati dal più grande in basso al più piccolo in alto. È la sacra torre di Brahma che vede impiegati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio a trasferire la torre di dischi dalla prima alla terza colonnina. Essi devono seguire regole precise, dettate dallo stesso Brahma, che richiedono di spostare un disco alla volta, facendo in modo che nessun disco sia mai posato su uno di diametro inferiore. Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e l intera torre sarà trasferita sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e il mondo avrà fine. Questa suggestiva leggenda è in realtà un invenzione del matematico francese Edouard Lucas, che se ne servì nel 1883 per lanciare nel modo più originale il rompicapo da lui inventato: la torre di Hanoi. 18

19 Il gioco, che nella versione originale consta di tre colonnine e otto dischi infilati in una di queste in ordine decrescente, consiste nello spostare la torre di dischi dalla colonnina in cui si trova ad una delle colonnine libere, utilizzando la colonnina rimanente come supporto. Le regole del gioco sono quelle imposte da Brahma nella leggenda: si può spostare soltanto un disco alla volta e ogni disco non può mai avere sopra di sè un disco più grande. Ci chiediamo quale sia il numero minimo di mosse m n necessario per spostare l intera torre. Nel caso banale di un solo disco, basta una mossa per spostare il disco dal piolo A al piolo B, cioè m 1 = 1. Se abbiamo due dischi, sono necessari tre movimenti: si sposta il disco superiore sul piolo C, il disco più grande sul piolo B e quindi il disco più piccolo sopra quello più grande, quindi m = m Vediamo ora in dettaglio quante mosse bisogna compiere nel caso di una torre formata da tre dischi. Innanzitutto, dobbiamo spostare il disco superiore su B e quello di mezzo su C

20 Spostiamo poi il disco in B sopra quello in C e il disco in A sul piolo B Spostiamo ora il disco superiore di C in A

21 il disco in C su B ed infine il disco in A su B Per una torre di tre dischi occorrono quindi sette mosse, cioè m 3 = m + 1. Se sappiamo risolvere il problema con tre dischi, lo sapremo risolvere anche con quattro: sarà infatti sufficiente spostare dapprima i tre dischi superiori sulla seconda colonnina con il procedimento già noto, poi il quarto disco sulla terza colonnina ed infine si collocheranno su quest ultimo gli altri tre dischi, cioè m 4 = m

22 In generale, nel caso di una torre di n dischi, il procedimento è del tutto analogo: si spostano i primi n 1 dischi sulla terza colonnina si sposta l n-esimo disco dalla prima alla seconda colonnina infine si sposta la torre di n 1 dischi sulla seconda colonnina Detto n il numero dei dischi, avremo quindi che il numero minimo di mosse necessario per spostare l intera torre è: m n = m n 1 + 1

23 Per ottenere una formula esplicita per n procediamo per iterazione: m n = m n = = ( m n + 1) + 1 = = m n = = ( m n 3 + 1) = = 3 m n = =... = n 1 m n (n 1) + n = = n 1 m 1 + n = = n 1 + n = = n 1 dove l ultima uguaglianza discende dalla formula della somma dei primi n termini di una successione geometrica. Pertanto, il minimo numero di mosse necessario per spostare una torre di n dischi è n 1 (3.1) Per la torre di Brahma, formata da 64 dischi, occorrerebbero quindi 64 1 = movimenti. Se calcoliamo un movimento al secondo e se teniamo presente che in un secolo ci sono , , secondi, per portare a termine l operazione i sacerdoti del tempio di Benares impiegherebbero più di cinque miliardi di secoli.

24 3. Dimostrazione per induzione Dimostriamo la validità della (3.1) utilizzando il principio di induzione matematica (vedi Proposizione 1.0.1): Proposizione Il numero minimo di mosse necessario per spostare una torre di n dischi è n 1 Dimostrazione. Indichiamo con M(n) il numero minimo di mosse. Dobbiamo verificare che sono soddisfatte le condizioni 1) e ) della proposizione 1.0.1: 1) La formula è chiaramente vera quando n = 1. Infatti, M(1) = 1 1 = 1. ) Supponiamo ora che la formula valga per n dischi, cioè che M(n) = n 1 e proviamo che è verificata anche per n + 1, cioè che M(n + 1) = n+1 1. Nel caso di n + 1 dischi, incominciamo a spostare gli n dischi superiori dalla prima alla seconda colonnina: per effettuare questo spostamento, abbiamo supposto che siano necessari M(n) = n 1 movimenti. Spostiamo poi il disco più grande dalla prima alla terza colonnina (operazione che richiede un unico movimento), quindi spostiamo gli n dischi dalla seconda alla terza colonnina, con un procedimento che richiede M(n) = n 1 movimenti. In totale, il numero minimo di mosse per spostare una torre di n + 1 dischi sarà quindi: M(n + 1) = M(n) M(n) = n n 1 = n 1 = n+1 1

25 Bibliografia [1] M. Danesi, Labirinti, quadrati magici e paradossi logici. I dieci più grandi enigmi matematici di tutti i tempi, Dedalo, 006 [] I giochi matematici. Rompicapi o divertimenti?, Traduttore: A. Lissoni, Kangourou Italia, 007 [3] D. Romagnoli, Laboratorio di Combinatorica, Università di Torino, Dipartimento di Matematica, Anno Accademico [4] D. Romagnoli, Elementi di Matematica Discreta, Università di Torino, Dipartimento di Matematica, Quaderno n. 3, Gennaio 004 [5] F. Peiretti, Le tre torri di Hanoi da Fibonacci a Lucas, Articolo tratto da Tuttoscienze di mercoledì 8 novembre 001 5

26 Sitografia [1] [] [3] 6