Interazioni Elettrodeboli. Lezione n. 13

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1 Intrazioni Elttrodboli prof. Francsco agusa Univrsità di Milano Lzion n iolazion dlla parità Polarizzazion nl dcadimnto β Esprimnto di Fraunfldr Hamiltoniana dl dcadimnto β anno accadmico

2 La violazion dlla parità La scoprta ch la parità è violata ni dcadimnti β impon una rvision dll Hamiltoniana i H = Ci( ψpγ ψn )( ψγ iψ ν ) + hc.. i= S,, AT, In particolar la richista ch i singoli trmini dbbano ssr scalari non ha più una motivazion fisica L Hamiltoniana più gnral non dv ncssariamnt consrvar la parità Ogni trmin può avr sia una part scalar sia una part psudoscalar Prtanto l Hamiltoniana risulta composta da du trmini μ H = C ( ψψ )( ψ( 1 + αγ ) ψ ) C ( ψγ ψ )( ψ ( 1 α γ ) γ ψ ) S p n S La part P dll Hamiltoniana contin trmini psudoscalari ν p n ( μ C )( ( 1 ) μν + ψγγ ψ ψ + α γ γγψ ) + C ( ψσ ψ )( ψ( 1 + α γ ) σ ψ ) A p n A μ PC P H = H + H ν T p n T P μ H = α ( ψψ )( ψγ ψ ) α ( ψγ ψ )( ψγ γψ ) SC S p n ν + C p n μ ν + μ ( )( μν + α ψγγ ψ ψ γ γ γ ψ ) +α C ( ψσ ψ )( ψ γ σ ψ ) AC A p n μ ν T T p n μν ν μ μν ν ν Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 374

3 La violazion dlla parità Il trmin PC (Parity Consrving) è qullo ch abbiamo studiato fino ad ora d è pari pr trasformazioni di invrsion Il nuovo trmin P (Parity iolating) contin prodotti di grandzz dispari pr trasformazioni di invrsion P 1 P PH P = H icordiamo ch l ampizza di transizion è costruita con una sri prturbativa in funzion di H 4 In particolar al primo ordin Afi = i d x p ν HI n Prtanto s l lmnto di matric di H' foss nullo allora la transizion sarbb proibita Considriamo du autostati di P a> b> con parità divrsa Dimostriamo ch a PH PC 1 PC P = H P a =+ a P b = b PC P H b = 0 a H b 0 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 37

4 La violazion dlla parità Cominciamo con l lmnto di matric dl trmin PC fra du autostati di P con parità divrsa a H PC b 1 PC 1 = a P PH P P b ( ) PC 1 = a + PH P ( b ) = a PH PC P 1 b ( PC ) = a +H b = a H PC b Quindi a PC H b = 0 Calcoliamo adsso l lmnto di matric dl trmin P fra du autostati di P con parità divrsa a H P b 1 P 1 = a P PH P P b ( ) P 1 = a + PH P ( b ) = a PH P P 1 b ( P ) P = a H b = + a H b int Quindi è possibil ch a P H b 0 Analogamnt si può dimostrar ch pr du autostati di P con la stssa parità, ad smpio P a =+ a P b =+ b a PC P H b 0 a H b = 0 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 376

5 Consgunz Fnomnologich L modifich introdott non altrano la part nuclar prtanto Si mantin la classificazion di vari trmini di intrazion Transizioni di Frmi transizioni di Gamov-Tllr con l rgol di slzion sugli spin nuclari ddott prcntmnt Fino a quando non si studiano procssi con polarizzazion dl nuclon inizial non si hanno trmini di intrfrnza SA, ST, A, T Gli lmnti di matric si calcolano smpr utilizzando la tcnica dll tracc In particolar ricordiamo il calcolo dll lmnto di matric di Frmi MF = CS4mNTr[ ( k/ + m )( k/ m ν )] [(/ ) γ (/ ) γ ] 4 N C m Tr k + m k m ν [ CC mtr [( k/ m)( k/ m ) 0 ν γ ]] S N Assumndo m ν = 0 divnta (ipotsi non ssnzial) M [(/ )( 1 αγ )/ ( 1 αγ )] F = CS4mNTr k + m + S k S [(/ )( + α γ ) γ / ( + α γ ) γ ] 4 N C m Tr k + m k 0 [ CC mtr[ ( k/ m)( 1 + α γ ) k/ ( + α γ ) γ ]] S N S u n u ν Γ i u p u Γ = 1 +αγ S S ( 1 ) Γ = +αγ γ μ S Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 377

6 Consgunz Fnomnologich M [(/ )( αγ )/ ( αγ )] F = CS 4mN Tr k + m 1+ S k 1 S [(/ )( α γ ) γ / ( α γ ) γ ] 4 N C m Tr k + m + k + [ CC mtr [( k/ m)( α γ ) k/ ( α γ ) γ 0 ]] S N S Far attnzion al sgno dl scondo oprator di vrtic icordiamo infatti ch la somma sugli stati di polarizzazion dava ((/ ) m l + Γ (/ ) Γ ) Tr k m k m ν Abbiamo allora l Γ = γ l ( Γ ) 0 0 γ E anch 0 ( ) ( ) 0 1+ αγ = γ 1+ αγ γ ( ) S S 0 1 S 0 = γ + α γ γ = αγ ( ) [( ) ] 0 1+ α γ γ = γ 1+ α γ γ γ = ( 1 + ) γγ αγ γ 1 S ( ) 0 = +α γ γ 1 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 378

7 Gli lmnti di matric L tracc possono ssr smplicmnt sviluppat ricordando l proprità μ ν μ, ν Tr ( I ) = 4 Tr ( γ γ ) = 4g ( ) 4 Tr ab // = a b ( μ ν α β,,,,,, ) = μ ν α β μ α ν β + μ β ν Tr g g g g g g a γ γ γ γ 4 (// //) = ( )( ) ( )( ) + ( )( ) Tr abcd 4[ a b c d a c b d a d b c ] μ μ ν δ Tr Tr Tr dispari ( γ ) = ( γ γ γ ) = ( ) = 0 μ ν μ ν δ ( γ ) ( γ γ γ ) ( γ γ γ γ ) = = = 0 Tr Tr Tr Pr gli lmnti di matric si ottin Tr Tr ( γ γ γ γ γ ) μ ν α β μ, ν, α, β ( γ γ γ γ γ ) = 4iε =+ 4iε μ ν α β μ, ν, α, β M β β β β ( 1+ )( ) ( 1+ )( ) ( 1 ) F = 16mN EEν CS αs 1 ν + C α 1 + ν + CSC αsα m E M GT 16 N = m E E ν 1 1 3C 1 + 1C + C C 3 3 ( 1+ α )( β β ) ( 1+ α )( 1 β β ) 1 ( 1 α α ) A A ν T T ν A T A T m E Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 379

8 Consgunz Fnomnologich Considriamo ad smpio l lmnto di matric di Frmi ( )( ) m MF = 16mNEEν CS 1+ αs 1 β βν + C ( 1+ α )( 1 + β βν ) + CSC ( 1 αsα ) E L assnza dl trmin di intrfrnza, ddotta dallo studio dlla forma dllo spttro, ha consgunz mno dirtt C S C ( 1 α S α ) = 0 Qusto può succdr pr una dll 3 condizioni C S = 0 C = 0 1 αα S = 0 Prtanto risulta più complicato trarr conclusioni dagli sprimnti già visti Pr l corrlazioni angolari non ci sono sostanziali diffrnz Infatti cambia solo il valor numrico dll du costanti di accoppiamnto CS CS ( 1 + αs ) C C ( 1 + α ) Occorr invntar nuovi sprimnti pr dtrminar l nuov costanti L sprimnto di Wu t al. fornisc l nuov informazioni ncssari I calcoli pr intrprtar gli sprimnti sono prò un po più lunghi I nucli sono polarizzati Non si annullano i trmini di intrfrnza Frmi/Gamov-Tllr Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 380

9 Elttroni polarizzati L ossrvazion dlla dirzion privilgiata di mission dgli lttroni nll sprimnto di Wu t al. ha una implicazion molto important sulla dirzion dllo spin (polarizzazion) dll lttron J i f = 4 60 Ni* 60 Co S = 1 Pr consrvar il momnto angolar l lttron il nutrino dvono portar via una quantità S = 1 di momnto angolar Il nutrino l lttron dvono avr gli spin parallli Dall sprimnto di Wu gli lttroni sono mssi prfribilmnt in basso Più prcisamnt in dirzion opposta allo spin dl nuclo L lttron dv quindi ssr polarizzato in dirzion opposta alla sua dirzion di moto: lttron lft-handd rifichiamo s l Hamiltoniana ch abbiamo scritto prvd qusto fnomno Calcoliamo la polarizzazion dgli lttroni nl dcadimnto β Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 381

10 Polarizzazion nl dcadimnto β La polarizzazion dgli lttroni è dfinita com N = N Il numro dgli lttroni ight-handd è N N + N L L Il numro dgli lttroni Lft-Handd è N L I numri N N L sono proporzionali all larghzz di dcadimnto N dγ L, L, 1 L, dγ L, = M dφ m N Com in prcdnza l lmnto di matric contin intrazioni S,,A,T L, L, L, L, L, = S A T M M M M M Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 38

11 Polarizzazion nl dcadimnto β L, L, L, L, L, = S A T M M M M M ivdiamo i singoli trmini Ossrviamo in particolar la polarizzazion dgli spinori dll lttron Scalar ttorial ttorial assial Tnsorial ( )( ) ( ) L M, S = CS 1 u k, s, L 1+ αsγ vν k ( )( ) ( ) L M, = C 1 u k, s, L 1+ αγ γ 0 vν k j (, )( 1 ) ( ) L M, A j, L A A = C σ u k s + α γ γ γ vν k j ( )( ) ( ) L M, T = CT σj u k, s, L 1+ αtγ Σ vν k Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 383

12 Polarizzazion nl dcadimnto β Il calcolo dl quadrato dl modulo procd in manira analoga a quanto fatto prcdntmnt sommando su tutti gli stati di polarizzazion non ossrvati ( n, p, ν ) Dato ch sommiamo sulla polarizzazion inizial (dl nutron) non ci sono trmini di intrfrnza SA, ST, A, T Di nuovo abbiamo i du lmnti di matric di Frmi di Gamov-Tllr L somm sugli stati di polarizzazion si fanno con la tcnica dll tracc La polarizzazion dgli lttroni si introduc tramit i proittori di spin L lmnto di matric di Frmi è prtanto n p M L, F CSmNTr k m 1 s L 1 S k 1 S (/ )( γ /, )( α γ )/ ( α γ ) = (/ )( /, )( ) / ( ) + C mntr k + m + γ s L + αγ γ k + αγ γ + (/ )( /, )( )/ ( ) 0 + CC S mtr N k+ m 1+ γ s L 1+ αsγ k 1+ αγ γ Γ ν k k' ( k/ + m )( 1 + γ s/ ) ( k/ ) m ν L Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 384

13 Polarizzazion nl dcadimnto β Occorr dfinir i vttori di polarizzazion Il vttor s dfinisc una polarizzazion parallla alla dirzion di moto: polarizzazion ight-handd Il vttor polarizzazion ξ (nl sistma di riposo) è paralllo a p ( ξ = 1) s 0 = k ξ m ( ξ k) k s = ξ + m ( E + m ) s s 0 k ξ k = = m m k k k = + k m ( E + m ) m( E + m ) + k = m ( E + m ) k k = me + E m ( E + m ) k k = E m k k s k E k =, m m k Il vttor s L si ottin smplicmnt cambiando ξ ξ quindi s L = s Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 38

14 Polarizzazion nl dcadimnto β icordiamo la dfinizion di polarizzazion N NL = N + NL Il numro di lttroni pr l du polarizzazioni è dato da 1 L, NL, dγ dγ L, L, = M dφ m Prtanto la polarizzazion è data da L intgral sullo spazio dll fasi è su tutt l variabili cinmatich scluso E drmo ch dipnd dall nrgia Calcoliamo il numrator icordiamo ch s/ = s/ L N = ( + γ s/ ) ( + γ s/ ) 1 ( M L M ) ( M L M ) 1 L dφ + dφ sl = γ γ / s/ = γ s/ M L F M 1 F C S m N Tr k m S k S [(/ ) γ s/ ( α γ )/ ( 1 α γ )] = [(/ 0 ) γ s/ ( α γ ) γ / ( α γ ) γ ] N C m Tr k + m + k + + [ CC mtr [( k/ + m) γ s/ ( αγ ) k/ ( αγ ) γ 0 ]] S N S Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 386

15 Polarizzazion nl dcadimnto β Esaminiamo adsso un gnrico trmin Ad s. il trmin scalar L M 1 1 F = S N + + S S Possiamo trasportar ( 1 α S γ ) a sinistra trasformandolo in ( 1 + α S γ ) icordiamo ch ( γ ) = I Ottniamo prtanto ( ) 1+ αγ S = 1+ αγ S + αs Introduciamo qusti risultati nl calcolo M L 4 ( ) ( 1 ) F M = C m Tr k/ m γ s α γ k/ F S N / S ( ) ( ) CmNTr k/ + m γ s 1+ αγ γ k/ γ / + Possiamo ancora anticommutar γ con [(/ ) γ / ( α γ )/ ( α γ )] MF C m Tr k m s k [ CC mtr [( k/ m) γ s/ ( α γ )( α γ ) k/ γ 0 ]] S N S ( + ) = γ ( + α γ + α ) ( ) 1 S, γ α γ s/ 1 S, S, anticommuta con S, S, = 1+ α γ + α commuta con k/ k/ Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 387

16 Polarizzazion nl dcadimnto β Pr il trzo trmin ( 1+ )( 1 ) = γ ( α γ + α γ α α ) S γ α γ α γ 1 S S Introducndo nll sprssion M L 4 1 F S N S S E finalmnt [(/ )/ (( α ) γ α )/ ] MF = C m Tr k + m s + + k + [(/ )/ (( α ) γ α ) γ / γ ] N 0 0 4C m Tr k + m s 1+ + k + [ CC mtr [( k/ m) s/ (( αα ) γ ( α α )) k/ γ 0 ]] S N S S ks // γ k/ ks // k/ L M F = 4 S N S / [ α / ] MF C m Tr m s k s/ γ 0 k/ S S 0 0 ks // γγk/ γ 0 0 ks // γ k/ γ s/ 1 S S = γ ( α α ) + γ ( α α ) γ = ( αα ) γ + ( α α ) 0 0 γγ [ α / γ / γ ] 0 0 N S 4C m Tr m s k 8[ CC mtr [( 1 αα ) γ ksk // / γ 0 + ( α α ) ksk // / γ 0 ]] S N S S 0 k/ γ 0 0 s/ γ 0 0 / γ s/ k k/ γ 0 0 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 388

17 Polarizzazion nl dcadimnto β Siamo quasi alla fin!!! L F S N S 4 [ α / 0 0 M M = / ] 4C m Tr[ α m s/ γ k/ γ ] F C m Tr m s k S N S ( ) = 8C m α m 4 s k N 8[ CC mtr [( 1 αα ) γ ksk // / γ 0 + ( α α ) ksk // / γ 0 ]] S N S S (// //) = ( )( ) ( )( ) + ( )( ) Tr abcd 4[ a b c d a c b d a d b c ] Tr ( γ γ γ γ γ ) μ ν α β μ, ν, α, β = 4iε ( ) 0 N ν 8C m α m 4 s E s k 0 ( α α ) CC m ( s ke k ks Es k ) S S N ν icordiamo la proprità dl vttor s μ : s k = 0 Pr finir, ricordiamo ch s, k, k sono k = ( E k E k, k) Introduciamoli nl calcolo s =, m m k k = ( E ν, k ν ) L M M = 8C m α 4E E ( β cosθ ) 8C m α 4E E ( β + cosθ ) F F S N S ν ν N ν ν ( αs α ) CC S mn me ν θν cos μνα,,,0 [ 4iε k ( s ) k ] = 0 μ ν α Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 389

18 Polarizzazion nl dcadimnto β M M dφ icordiamo ch = L ( M + M ) dφ L intgral sull dirzioni dll lttron dl nutrino limina i pzzi dipndnti da cosθ ν Il numrator L ( ) L F MF 8CSmNαS4EνE β cosθν 8CmNα4EνE β cosθν ( αs α ) CC S mn me ν θν M = ( ) ( + ) cos 8Cm Divnta S NαS4EE ν β 8CmNα4EE ν β Pr qul ch riguarda il dnominator notiamo ch i trmini M M L contngono rispttivamnt 1 ( 1 1 γ s/ ) ( 1 + γ s/ ) La somma di qusti du trmini è prtanto 1 Il dnominator (intgrato sull dirzioni) risulta ugual al risultato trovato pr la distribuzion dll nrgia [ ( + ) + ( + )] N ν S αs α 16m E E C 1 C 1 Abbiamo usato il risultato sprimntal ch l intrfrnza di Firz è 0 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 390

19 Polarizzazion nl dcadimnto β La polarizzazion dgli lttroni è prtanto S NαS ν β Nα ν β N ν [ S ( + αs ) + ( + α )] 8Cm 4EE 8C m 4EE = 16m E E C 1 C 1 = β C CSαS + Cα S S ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) drmo fra poco ch gli studi sprimntali dlla polarizzazion dgli lttroni ch hanno mostrato ch = β Prtanto l misur sprimntali richidono ch C CSαS + Cα S S ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) C = 1 ( ) ( ) S ( αs ) C ( α ) = 0 ( ) ( ) SαS + α = S + αs + + α C C C 1 C 1 S αs SαS α α C 1+ C + C 1+ C = 0 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 391

20 Polarizzazion nl dcadimnto β icordiamo ch dalla misura dlla distribuzion dll nrgia si conclud ch il trmin di intrfrnza di Firz è assnt L implicazion di qusto risultato sull costanti di accoppiamnto è Abbiamo già notato non possiamo trarr conclusioni solo da qusto risultato D altro canto, dalla misura dll corrlazioni angolari Qusto risultato implica a F CC ( αα ) 1 = 0 S S ( 1+ α ) C ( 1+ α ) ( 1+ α ) + C ( 1+ α ) S S S S C = = C ( 1+ α ) ( 1+ α ) = ( 1+ α ) + ( 1+ α ) S S S S C C C C ( 1 α ) C ( 1 α ) S S S S C + = + + Da cui, com prima dll introduzion dlla violazion dlla parità C S = 0 Combinando qusto risultato con la misura dlla polarizzazion C S ( αs ) C ( α ) = 0 C ( 1 α ) = 0 α = 1 1 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 39

21 Misura dlla Polarizzazion Pr misurar la polarizzazion di un lttron occorr chidrsi s ci sono fftti misurabili dipndnti dalla polarizzazion nlla intrazion di un lttron o con un campo coulombiano o con un lttron atomico Fra i mtodi principali Mott scattring Scattring con il campo Coulombiano dl nuclo di un atomo psant Snsibil solo polarizzazion trasvrsal alla dirzion di moto Møllr scattring Intrazion dll lttron ch si vuol analizzar con un lttron atomico L lttron atomico dv ssr polarizzato Bhabha scattring Com il prcdnt ma pr analizzar la polarizzazion di positroni Analizzrmo solo un sprimnto ch usa il primo mtodo Purtroppo lo scattring Coulombiano dipnd dalla polarizzazion solo al scondo ordin dll approssimazion di Born L fftto è piccolo: si usano nucli psanti Inoltr, com già ossrvato, è snsibil solo ad una polarizzazion trasvrsal Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 393

22 otazion dl ttor di Polarizzazion Com trasformar la polarizzazion longitudinal in trasvrsal? Ovviamnt con un campo lttromagntico Pr dscrivr l fftto di un campo lttromagntico classico sullo spin di una particlla si può utilizzar l quazion smiclassica ( Bargman,Michl,Tlgdi ) μ ds μν μ νλ = mf sν u m F u s dτ ν λ m = mc L quazion dscriv il moto dl vttor di polarizzazion s μ sotto l fftto di un campo lttromagntico Il campo non dv ssr troppo intnso al pr qualunqu campo macroscopico Solo pr campi a livllo microscopico potrbb ssr non valida Ė più intuitivo utilizzar una quazion ch dscriva il moto dl vttor ξ nl sistma di riposo istantano dlla particlla In qusto sistma l quazion divnta (pr l lttron si può assumr m'= 0) Landau, Lifshitz Quantum Elctrodynamics 41p,11 Prgamon Prss 198 momnto magntico Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 394 m d m m = B + ( E β ) dt γ γ + 1 momnto magntico anomalo

23 otazion dl ttor di Polarizzazion Il sistma utilizzato pr ruotar la polarizzazion fu invntato nl 191 da Tolhok d Groot Una guida circolar ralizza un campo lttrico radial (B = 0) Gli lttroni di nrgia opportuna sguono una traittoria circolar Il campo lttrico fornisc una forza cntripta S l nrgia dll lttron non è lvata ( γ 1) Il moto è praticamnt non rlativistico drmo ch la polarizzazion non risnt dl campo lttrico La dirzion dllo spin riman invariata S l nrgia dll lttron è lvata (γ 1) Lo spin snt l fftto dl campo lttrico prcssa Calcoliamo adsso la rotazion dl vttor polarizzazion snza assunzioni sulla vlocità dll lttron Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 39

24 otazion dl ttor di Polarizzazion Iniziamo calcolando il raggio dll orbita in funzion dl campo lttrico E dlla vlocità La lgg di Nwton dp dt = E La variazion di quantità di moto dll lttron quando ha prcorso una lunghzza dθ è dp = pdθ Prtanto d dθ = p dt = F p p La vlocità angolar è Il priodo T π = ω p ω p dθ = = dt = mc γβ π E Edt Edt = = p mcγβ E mcγβ θ dp p dθ A qusto punto calcoliamo il raggio dll orbita π = βct = πβmc E γβ = mc E γβ Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 396

25 otazion dl ttor di Polarizzazion Studiamo adsso la prcssion dllo spin icordiamo l quazion Bargman, Michl, Tlgdi d m m = B + ( E β ) dt γ γ + 1 Pr B = 0 divnta d m = ( E β ) dt γ + 1 Il vttor E β è prpndicolar al piano individuato da E β Il vttor ξ (E β) è sul piano d è prpndicolar a ξ iscriviamo l quazion di BGT d = Ωξ dt Dscriv una prcssion ξ = m Ω Lo spin quindi prcssa ( γ + 1) E β La variazion dllo spin dξ è sul piano dθ d ξ = = Ω dt dθ dt = ω = Ω = ξ ωξ ξ m ( γ + 1) E E = β mc ( γ + 1) β m = mc β = mc ( γ + 1) E β E Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 397

26 otazion dl ttor di Polarizzazion Supponiamo adsso ch l lttron abbia prcorso un tratto Δ dll arco Δ = Δα = mc E γβ Δα ogliamo calcolar l angolo fra mc La quantità di moto p = E γβ Il vttor di polarizzazion ξ Pr prcorrr la distanza Δ l lttron impiga un tmpo α Δ Δ T = βc = mc E γβδα E icordiamo la vlocità dlla prcssion dllo spin ωξ = β mc ( γ + 1) Prtanto il vttor di polarizzazion ξ il vttor p ruotano rispttivamnt E mc γβ Δ θp = Δα Δ θξ = ωξδt = β γβδα = Δα mc ( γ + 1) E ( γ + 1) Eliminiamo β Concludndo 1 γ 1 = γ + 1 γ 1 γ 1 = β γ 1 Δ θξ = Δα γ = γ 1 γβ Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 398

27 otazion dl ttor di Polarizzazion Prtanto dopo avr prcorso uno spazio Δ = Δα l angolo fra i du vttori è γ 1 Δθpξ Δθp Δ θξ = 1 Δα γ Δ θ = pξ Δα γ Prtanto, affinché la quantità di moto lo spin siano prpndicolari dv ssr π Δ θpξ = = Δα γ α Dato un lttron di nrgia mc γ la guida dv avr una lunghzza Δα L angolo Δα è dato da Δ α = γ π Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 399

28 Szion d urto Mott La szion d urto Mott è rlativa all intrazion di un lttron con il campo Coulombiano p i Il brsaglio ha massa infinita Si tin conto dllo spin dll lttron con la toria di Dirac Abbiamo fatto qusto calcolo al primo ordin dlla toria prturbativa A qusto ordin non appaiono fftti lgati alla polarizzazion Una dipndnza dalla polarizzazion compar al scondo ordin Diamo solo il risultato dl calcolo p f p 1 p ξ θ σ θ, ξ I θ ( ) ( ) D ( θ ) + p1 p sin θ ξ Pr l funzioni I(θ) D(θ) vdi Landau vdi Landau Lifshitz Quantum Elctrodynamics 1.1 pag 34 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 400

29 Esprimnto di Fraunfldr La figura mostra schmaticamnt l apparato dll sprimnto di Fraunfldr pr la misura dlla polarizzazion dgli lttroni di un dcadimnto β 3 p 1 ξ 1 p θ σ θ, ξ I θ ( ) ( ) D ( θ ) + p1 p sin θ ξ Notiamo ch s l angolo di dflssion θ va a sinistra il prodotto vttorial p1 p cambia sgno (cambia il sgno dlla componnt 1 di p ) = ε j k = ε pp 1 p p ( ) 1 3 3jk pp Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 401

30 Esprimnto di Fraunfldr Supponiamo adsso ch gli lttroni siano compltamnt polarizzati In un caso parallli alla quantità di moto (H) Nll altro caso antiparallli (LH) Dopo la rotazion gli lttroni sono ancora compltamnt polarizzati Nl primo caso vrso l alto Nl scondo vrso il basso D ( θ ) icordiamo la formula dlla szion d urto σ( θ, ξ) I ( θ) + p1 p sin θ ξ L misur da far sono La szion d urto pr un angolo θ Spin up Spin down σ( θ, ) I( θ ) D( θ ) σ( θ, ) I( θ ) + D( θ ) ξ ξ p 1 p p 1 p La szion d urto pr un angolo θ L opposto a θ Spin up Spin down σ( θ, ) I( θ ) + D( θ ) L L L σ( θ, ) I( θ ) D( θ ) L L L ξ ξ p 1 p p p 1 L Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 40

31 Esprimnto di Fraunfldr Nll sprimnto gli lttroni non sono compltamnt polarizzati La misura dlla polarizzazion è l obbittivo dll sprimnto La polarizzazion dgli lttroni è data da N N+ N + N + polarizzati up (probabilità ) = N = N + N N N+ + N N N polarizzati down (probabilità ) N La szion d urto ossrvata pr un angolo θ è σ ( θ N+ N ) (, ) (, ) N σ θ = + N σ θ σ( θ ) I( θ ) D( θ ) Analogamnt, pr un angolo θ L si ossrva σ ( θ N+ N L ) ( L, ) ( L, ) N σ θ = + N σ θ σ( θl ) I( θl ) + D( θl ) + Dfiniamo l asimmtria δ δ = Ci mttiamo nlla condizion θ = θ θ Si può vrificar ch L I D θ σ( θl ) σ( θ ) σ( θ ) + σ( θ ) L = I θ ( ) ( ) θ = D θ ( ) ( ) δ D I θ θ ( ) = S ( θ) ( ) Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 403

32 Esprimnto di Fraunfldr S(θ) è noto: la misura di δ prmtt di misurar D ( θ ) δ = S ( θ) Ossrvazioni I ( θ ) S(θ) dipnd anch dall nrgia dll lttron È ncssario ch gli angoli θ θ L siano prfttamnt simmtrici L sprimnto è snsibil solo alla polarizzazion trasvrsal Un rror nlla rotazion dllo spin porta ad un rror sistmatico su L fftto aumnta al crscr di Z Si usano mtalli psanti com l oro Pr ottimizzar l sprimnto si può crcar l angolo al qual l fftto è più grand Occorr prò tnr prsnt ch al crscr dll angolo la szion d urto diminuisc Occorr prtanto trovar un compromsso tra la dimnsion dll fftto misurato l rror statistico con cui sso vin dtrminato Il risultato dll sprimnto è + 00 S( ) = β Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 404

33 Dtrminazion di C A C Abbiamo già visto ch la misura dlla vita mdia di nucli prmtt di dtrminar la costant di accoppiamnto G β 1 Gβ λf = = ξ 3 f τ π Tuttavia, il paramtro ξ contin una dipndnza dal rapporto C A /C C A ξ = 1 + C σ C A /C I dcadimnti di Frmi contngono solo il trmin <1> prmttono prtanto la dtrminazion di G β snza ultriori informazioni G β = ± G Ultriori misur di su transizioni di Gamov-Tllr o mist prmttono la dtrminazion di C A /C CA C = ± Bluchr, Marciano PDG 006 J. Phys. G 33 pag. 677 Cccucci, Ligti, Sakai PDG 006 J. Phys. G 33 pag. 138 Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 40

34 Dtrminazion di C A C Il sgno rlativo dll du costanti si può dtrminar con la misura di un ossrvabil ch dipnda dal prodotto C A C quindi dall intrfrnza fra trmini di Frmi Gamov-Tllr Occorr prtanto studiar transizioni di nucli polarizzati Pr nucli non polarizzati l lmnto di matric contin il trmin 1 + a β β ν Ossrvabili ch dipndono dal vttor di polarizzazion dl nuclo σ contngono trmini dl tipo Pr nutroni polarizzati si trova b 1 + aβ β + bσˆ β + cσˆ β ν + A A A A c A A C C C C C C = = C C C C Misur di corrlazion angolar fra la dirzion dll lttron (o dl nutrino) lo spin nuclar mostrano ch il sgno rlativo è positivo CA C =+ ± ν Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 406

35 L Hamiltoniana dl Dcadimnto β Gli sprimnti dscritti hanno prmsso la dtrminazion dlla forma dll Hamiltoniana dl dcadimnto β Sono stati sclusi i trmini Scalar Tnsorial CS = CT = 0 Sono stat dtrminat l costanti dgli accoppiamnti ttorial Assial Gβ = GC L Hamiltoniana prtanto contin solo i trmini A Il trmin assial può ssr smplificato utilizzando (γ ) = I μ [ ( )( ( ) ) ( μ ψγ ψ ψ 1+ γ γ ψ C ψγγ ψ )( ψ ( 1+ γ ) γ ψ )] H = GC + I p n μ ν A p n C C Infin raccogliamo la part lptonica A = κ α = α = 1 μ [ ( )( ( ) ) ( μ ψγ ψ ψ 1+ γ γψ C ψγγ ψ )( ψ( 1+ γ ) γγ ψ )] H = GC + I p n μ ν A p n μ ν μ μ [ ( ) C ( ψγγ ψ )]( ψ ( 1 + γ ) ψ ) H I = GC ψγ p ψn + A p n γ μ ν A μ ν Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 407

36 L Hamiltoniana dl Dcadimnto β Possiamo ultriormnt smplificar μ μ [ ( ) C ( ψγγ ψ )]( ψ ( 1 + γ ) ψ ) H I = GC ψγ p ψn + A p n γ μ ν μ ( ψ ( C + C γ ) γ ψ )( ψ ( 1 γ ) γ ψ ) H = G + I p A n μ ν E ancora μ ( ψ ( 1 + κγ ) γ ψ )( ψ ( 1 γ ) γ ψ ) H = GC + I p n μ ν Com abbiamo già dtto κ = 1.7 GC G β Il valor di κ divrso da 1 dipnd dal fatto ch il nuclon non è una particlla puntiform Il proton ha una struttura itornrmo su qusto punto in sguito Pr il momnto trascuriamo qusto asptto assumiamo κ = 1 μ ( 1 ) ( 1 ) H = G ψ + γ γ ψ ψ + γ γ ψ I β p n μ ν In una notazion più modrna è divntato abitual spostar la matric γ μ a sinistra μ H = G ψγ 1 γ ψ ψγ 1 γ ψ ( ) ( ) I β p n μ ν Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 408

37 L Hamiltoniana dl Dcadimnto β Dfiniamo du gnrich corrnti ( sia adronica ch lptonica) Una corrnt ttorial J μ μ = ψγ ψ Una corrnt Assial A = ψγ γ ψ L du corrnti (adronica lptonica) compaiono nll Hamiltoniana nlla combinazion μ μ μ J = J J J μ A. Ė qusta la famosa forma A dll corrnti dboli ( carich ) Infin, pr uniformarci all notazioni maggiormnt utilizzat ridfiniamo la costant di Frmi La costant G è stata dfinita da Frmi prima dlla scoprta dlla violazion dlla parità La gnralizzazion dll intrazion di Frmi l introduzion dlla violazion dlla parità hanno condotto ad una Hamiltoniana ch contin du corrnti ( A) Pr mantnr la stssa dfinizion di Frmi è ncssario dividr G pr μ G β μ ( 1 ) ( 1 ) H I = ψpγ γ ψn ψγμ γ ψ ν Intrazioni Elttrodboli Francsco agusa 409