FISICA DELLA MATERIA CONDENSATA. Proff. P. Calvani e M. Capizzi. II prova di esonero - 24 gennaio 2012

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1 FISIC ELL ERI CONENS Proff. P. Clvni e. Cpizzi II prov di esonero - 4 ennio 0 Esercizio. Un cristllo di Pb, l cui densità è 40 /m, h un struttur cubic fcce centrte con bse monotomic. L bnd custic, che si ssume triplmente deenere, è descritt d C & '( ) sin$, % dove C,4 N/m e 07 u. m.. è l mss tomic del Pb. ) Clcolre l velocità del suono v s. ) Clcolre il vlore del vettore d'ond di ebye ( 6 n) (dove n è il numero di tomi per m ) e commentrne il vlore in relzione lle dimensioni dell prim zon di rillouin (vedi Fiur). eterminre il vlore di tle vettore d ond nel cso di bse bitomic con prmetro reticolre immutto. b) Clcolre l tempertur di ebye del Pb. ) Clcolre l cpcità termic per unità di mss del piombo K, ssumendo che 0, K i contributi ll cpcità termic del reticolo e deli elettroni sino uuli: C r C el Si ricord che l formul del contributo reticolre per unità di volume è c v 4 & % ( n 5 $ ' J K - ; ħ J s; u.m

2 Esercizio. ) Nell Ins intrinseco l concentrzione dei porttori liberi due temperture è dt d n i (00)7.6 0 cm - ; n i (00) cm - mentre l p interbnd vri con l tempertur secondo l lee E ( ) E0. 8 Si determini il vlore dell p (in K) 400 K, spendo che nell formul che fornisce l dipendenz esponenzile di n i dll tempertur si h N c ().68 0 / cm - ; N v () / cm - ) L mobilità totle µ t delle lcune è let l contributo µ imp dell diffusione dlle impurezze e quello µ ret dell diffusione di fononi dll lee (dell composizione delle probbilità di eventi indipendenti) /µ t / µ imp / µ ret. Queste loro volt vrino con l tempertur come µ imp / m V - s - ; µ ret -/ - m V - s dove,0 0-4 e,0 0 nelle unità del SI. eterminre: ) l tempertur ll qule l mobilità totle µ t ssume il suo vlore mssimo; b) il vlore di µ t ( ). ) (Solo per li studenti del Prof. Cpizzi) In un semiconduttore droto, l tempertur vri con il droio. tre diverse concentrzioni di ccettori si trov 70 K per N m - 00 K per N.6 0 m - 00 K per N m - sndosi su questi dti, determinre l dipendenz di µ imp dll concentrzione di impurezze N e (fcolttivo) commentrl.

3 Soluzioni Esercizio ) 07,67 0 $7,46 0 $5 4,8 0$5 0, 0 $7 0,496 0 $9 m 40 v s d d C,4 0,496 0 $9 $4 900 m/s 0,46 0 ) ( 6 n) ( 4 / ),97 è prticmente uule l vettore di bordo zon nell direzione [00] ed equivlenti. le risultto er prevedibile in qunto l Z dell'fcc è circ isotrop (vedi fiur), di form simile un sfer, e con soli modi custici, essendo l bse monotomic. Pertnto, l sfer di ebye, costruit prtire d soli modi custici, deve vere contenere tutti li stti possibili nell Z e quindi vere rio pressoché equivlente quello di bordo zon. Nel cso di bse bitomic, l formul prevede che prmetro reticolre invrito tle rio dovr umentre di un fttore / in modo d rddoppire il volume dell sfer di ebye e tenere conto del rddoppio dei modi di vibrzione ( custici e ottici) del cristllo. $ v,05 0 0, ,97,8 0 4 s 9 85,4 K ) 0. K il contributo reticolre è Cr 4 4 ) % ) ( 0, % 4 4 n,8 0, & * ,4 (0,496 0 ) ( & ' $ ' $ Ce J/K K, C e è cresciuto di 5 volte, mentre C r è cresciuto di 5 volte. Quindi C tot (K) 0 C r(0,k),56 0 J/K Esercizio ) n ( ) N ( ) N ( ) i C V e E ( )/( ) E ( )/( ) / E 00 ( ) 600ln / K e

4 E ( 00) 400ln / K E0 ' 8 & 00 46' 406 $ % 8.9 E ( 400) E 754K 0.eV E0 ' 8 00 ' K ) µ / / / / I mssimi e minimi di un funzione si sovrpponono i mssimi e minimi dell su funzione invers, per cui ) ) & $ ( ) % µ ( 5 / / 0 ( ' ( 0 ' & $ % ( / 00K b) µ ( ) 0, ,0 0 0 µ 0.05 m V s ) L diffusione d reticolo non dipende dll concentrzione di impurezze, per cui si h cost e K N, si ottiene ln K / K ln N ( K N ) cost / K N /

5 cost cost cost Pertnto α ~ - e l mobilit dovut lle impurezze dipende dll inverso dell loro concentrzione. In un modello semplice di diffusione ll Rutherford, tle dipendenz dovrebbe essere dll inverso dell rdice cubic dell concentrzione, ossi dll distnz medi fr le impurezze. L discrepnz con il modello teorico suerisce che ltri meccnismi di diffusione, non considerti qui, intervenno determinre l dipendenz dll tempertur e concentrzione di impurezze dell mobilit delle lcune nell Ins.