Forze di attrito e Viscosità

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1 Forze di attrito e Viscosità prof. Chiefari Marzo 2014

2 Capitolo 6 Le forze di attrito. Viscosità 6.1 Le forze di attrito Le forze di attrito si manifestano quando un corpo viene poggiato ( o anche premuto ) sopra un altro corpo e si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo. Una superficie che presenta attrito viene detta scabra. Le prime esperienze precise sul comportamento delle forze di attrito sono dovute a C.A.Coulomb Attrito statico m g = N f t = f a finchè f t f max Quando f a raggiunge il valore f max, il corpo comincia a muoversi. Fig.1 Sperimentalmente si trova : f max è indipendente dalla superficie di contatto entro certi limiti. f max = μ s N con μ s coefficiente di attrito statico. 1

3 Da questo deriva che ( vedi fig.2 ) f t μ s N = tg θ = f t N μ s dove θ è la semiapertura del cono di attrito, ossia l angolo formato dalla reazione vincolare R con la normale al piano di appoggio. Fig Attrito cinematico radente Quando un oggetto si muove strisciando contro un vincolo, sul moto agisce una forza tangenziale f t opposta alla direzione del moto.empiricamente si trova f t = μ c N ˆv dove N è la componente normale della reazione vincolare, ˆv è il versore della velocità dell oggetto relativamente al vincolo e μ c è il coefficiente di attrito cinematico ( o dinamico), che è un parametro caratteristico dei materiali a contatto Altre forme di attrito attrito volvente : si ha quando un corpo rotola su una superficie. attrito interno : si esplica fra le varie parti di un gas o di un liquido. attrito del mezzo : è la resistenza di un gas o liquido al moto dei corpi che vi sono immersi. L attrito interno e l attrito del mezzo sono aspetti diversi di un unico concetto, quello di viscosità. 6.2 Viscosità Consideriamo un fluido che scorre lentamente eincondizionidiregimeinuntubo:ilmoto avviene in modo ordinato e per strati ( moto laminare ), ossia un arbitrario piccolo volume di liquido si muove parallelamente all asse del tubo ( vedi fig.3 ). Lo strato di liquido in contatto con la superficie del tubo è fermo, mentre la velocità di scorrimento del liquido è massima lungo l asse centrale. Nasce allora una forza di attrito fra due strati adiacenti, ma in moto relativo l uno rispetto all altro. 2

4 Fig.3 Newton osservò che per la maggior parte dei liquidi ( liquidi newtoniani ) la forza di attrito A agente sopra uno strato di liquido sufficientemente piccolo ( in modo tale che si possa considerare costante la velocità in tutti i punti dello strato ) ha direzione opposta al moto e intensità proporzionale alla superficie S dello strato e alla variazione di velocità lungo la normale h allo strato di liquido considerato: A = ηs v h con η coefficiente diviscosità. Ne consegue che il coefficiente di viscosità ha le dimensioni di ( una forza per un tempo diviso una superficie ), ossia ha le dimensioni di una pressione per un tempo. Nel S.I. l unità di misura della pressione èilpascal ( simbolo Pa ), per cui il coefficiente di viscosità simisura in Pa s. Nel Sistema C.G.S. l unità dimisuradiη èilpoise, abbreviazione di Poiseuille, celebre per la formula sulla portata dei liquidi. 1Pas=1Nm 2 s=1kgm 1 s 1 = gcm 1 s 1 =10poise Se il fluido è un liquido, η diminuisce rapidamente al crescere della temperatura. Ad es. il coefficiente di viscosità della glicerina pura vale Pa s a 20 C, Pa s a 25 Ce Pa s a 30 C. Inoltre la presenza, sia pur minima, di acqua fa variare notevolmente η. Per esempio, nel caso della glicerina a 20 C, un 5% di acqua abbassa η da Pa s a Pa s!!. Da notare che, a 20 C, η acqua vale 10 3 Pa s. Se il fluido èunaeriforme, η aumenta al crescere della temperatura ( vedi Teoria Cinetica dei Gas ). Per l aria a 20 C η = Pa s, mentre vale Pa s a 0 C Forze di attrito nei fluidi Un corpo, quando si muove in un fluido, a causa dell attrito tra la sua superficie ed il fluido circostante, risente l effetto di una forza frenante F A, opposta alla velocità v che esso ha rispetto al fluido. F A = β v = γη v se il moto è laminare 3

5 in cui η è sempre il coefficiente di viscosità e γ dipende dalla forma del corpo. Stokes ha trovato che, per un corpo sferico di raggio R, γ è uguale a 6πR, per cui ( legge di Stokes ) F A = 6πRη v per una sfera Questa equatione è alla base del metodo della sfera cadente, usato per determinare sperimentalmente il valore di η dei fluidi. Da notare che, se il moto non è laminare, FA può contenere dei termini che dipendono dal quadrato, dal cubo,... della velocità Metodo della sfera cadente Supponiamo di avere un tubo cilindrico di vetro, contenente del liquido di cui si vuole determinare η, e di lasciar cadere nel tubo una sferetta di raggio R con velocità inizialev 0. Fissiamo un sistema di riferimento come in figura 1 : z=0 corrisponde al pelo libero del liquido. Fig.4 Le forze agenti sulla sferetta sono : la forza peso, m g, diretta verso il basso la forza viscosa, 6πRη v, diretta verso l alto la spinta di Archimede, diretta verso l alto, che vale 4 3 πr3 ρ l g,incuiρ l èladensitàdel liquido ( da notare che, se la sferetta è omogenea, il centro di spinta coincide con il centro di massa della sferetta ) Il II Principio della Dinamica di scrive allora ma = m z = mg 4 3 πr3 ρ l g 6πRηż 4

6 Indicando con ρ la densità della sferetta, possiamo anche scrivere z = g 4 3 πr3 ρ l g 4 3 πr3 ρ 6πRηż 4 3 πr3 ρ ossia [ z = g 1 ρ ] l 9 η ρ 2 ρ R 2 ż Questa equazione differenziale, contenente termini in z eż, è risolubile per separazione di variabili : z = dv e ż = v dt Ponendo, per semplicità di notazione, ( a = g 1 ρ ) l ρ si ottiene Quindi e b = 9 η 2 ρ R 2 dv dt = a bv ossia dv a bv = dt bdv a bv = bdt ossia d (a bv) = bdt a bv per cui d [ln(a bv)] = bdt Integrando a sinistra fra v 0 e v(t) eadestrafra0et, ln(a bv) ln(a bv 0 )= b(t 0) = bt ; ln a bv a bv 0 = bt a bv ln a bv e 0 = a bv a bv 0 = e bt Infine ( a ) ( a ) b v = b v 0 Per t, a/b v 0 e quindi ( vedi Fig.5 ) e bt Fig.5 v v =(v v 0 )e bt 5

7 La grandezza 1/b ha le dimensioni di untempoevienechiamata costante ditempo del fenomeno ( τ ). Dopo un tempo pari a 3τ, e 3τ/τ = e 3 =0.05 e l esponenziale può essere considerato circa nullo. La sferetta raggiunge in pratica la velocità limite, a patto che sia abbastanza piccola la differenza in modulo fra v e v 0 : diversamente, bisogna aspettare per un tempo maggiore. Ricordando le espressioni di a edib, v = 2 9 g (ρ ρ l) R 2 η Quindi, se si conosce il valore di g,ρ,ρ l e R e si determina sperimentalmente v,è possibile determinare il valore di η. L espressione per v poteva essere ottenuta, in modo formalmente più semplice, cercando per la nostra equazione differenziale una soluzione con ż = cost = v. Essendo z =0in questo caso, si ricava immediatamente per v la relazione che è stata scritta poco prima. Per determinare η sperimentalmente con il metodo descritto, si usa un insieme di sferette, aventi raggio diverso. Si determina, per ogni fissato R, la corrispondente v,sicostruisceun grafico di v in funzione di R 2,sifailfit dei minimi quadrati e dalla pendenza della retta si ottiene il valore di η. È opportuno notare che, essendo τ = 2ρ 9η R2, sferette di raggio sempre più piccolo raggiungono sempre più presto la condizione limite. Il problema sperimentale più serioè determinare v,ossiamisurarelavelocità di caduta in più punti della traiettoria e determinare la quota, a partire dalla quale, la velocità si possa considerare costante. Può essere di aiuto la seguente considerazione. Supponiamo, per maggior semplicità, che le sferette vengano fatte cadere da ferme ( v 0 = 0 ), lasciandole libere una volta posizionate a pelo del liquido. In tal caso v(t) =v (1 e t/τ ) da cui e quindi z(t) = t 0 t t v(t)dt = v dt v e t/τ dt = v t τv (1 e t/τ ) 0 z(t 3τ) v (t τ) ossia la quota z(3τ), a partire dalla quale in pratica la sferetta cade con velocità costante, vale z(3τ) 2v τ = 8 81 gρ(ρ l ρ) R 4 η 2 La conclusione è che, se si determina, per il campione di sferette avente R maggiore, la quota a partire dalla quale si ha velocità limite, sicuramente le sferette, aventi raggio minore, raggiungeranno ad una quota minore la corrispondente velocità limite. 0 6

8 6.3 Determinazione del coefficiente di viscosita η della glicerina con il metodo della sfera cadente Materiale a disposizione ; un cilindro di vetro, riempito di glicerina ( ρ l = kg/m 3 a temperatura ambiente ), alto circa 60 cm, il cui diametro interno può essere misurato con un calibro a scorrimento, e tenuto il più verticale possibile, per motivi che vedremo fra breve un insieme di sferette di acciaio ( ρ = kg/m 3 ) di diametro diverso, suddivise per diametro in diversi scatolini di plastica, delle quali è bene controllare il diametro con il calibro Palmer un cronometro una scala graduata Laprimacosadafareèdeterminare la quota critica. procedere nel seguente modo : Per ottenere ciò, si potrebbe 1. con l aiuto di una scala graduata, si fissano dei traguardi equidistanti sul tubo di vetro ( tipicamente ogni 10 cm e la distanza può essere misurata allora con un calibro a scorrimento ) 2. si misurano gli intervalli di tempo, necessari affinchè la sferetta di raggio maggiore percorra lo spazio fra il primo e l ultimo traguardo, tra il secondo e l ultimo e così via 3. si ottiene in questo modo una successione di valori della velocità media, che a partire da un certo traguardo in poi apparirà costante entro gli errori 4. per le sferette di raggio minore basta misurare l intervallo di tempo intercorrente fra il passaggio delle sferette per il traguardo determinato nel punto 3) e l ultimo traguardo. Una più rapida alternativa al punto 2) è di misurare gli intervalli di tempo compresi fra il passaggio della sferetta per il primo traguardo e fra il passaggio per il secondo traguardo,... secondo e terzo, terzo e quarto e così via e controllare se questi intervalli di tempo sono uguali fra di loro entro gli errori. In realtà, a posteriori, si ricava che, sfruttando il valore di η della glicerina noto in letteratura, per una sferetta di acciaio, avente 8 mm di diametro, la quota critica supera di poco il centimetro. Le differenze di velocità che allora si possono trovare sono dovute ad altri effetti. Ad esempio la legge di Stokes vale nell ipotesi di una sferetta che si muove in un fluido di dimensioni infinite. Per una sferetta che si muove in un cilindro pieno di fluido, bisogna tener conto di due effetti. Il primo è dovuto agli estremi del cilindro e può essere minimizzato, utilizzando solo la parte centrale del tubo. Il secondo è dovuto alle dimensioni finite del diametro D del cilindro e provoca una diminuzione del valore sperimentale della velocità limite, rispetto a quello trovato per un fluido infinito. Una espressione più corretta 7

9 per η è stata data da Faxen ( 1922) per una sferetta che cade esattamente lungo l asse centrale del tubo : [ η = 2 9 g (ρ ρ ( ) ( ) 3 ( ) ] 5 l) d d d R v D D D dove d è il diametro delle sferette. Si vede allora che solo se si grafica v in funzione di R [ ( ] d D) +... si ottiene un andamento lineare. Da notare che se D =3cme d =0.3 cm, il fattore correttivo vale 0.79!!!!. C è da notare inoltre che le v sono determinate dividendo una stessa quantità L, distanza fra i traguardi di riferimento, e i tempi t corrispondenti. Questo fatto introduce uan correlazione fra i diversi valori di v : infatti, se il valore vero di L è stato sottostimato, allora tutte le v sono sottostimate e se il valore vero di L è stato sovrastimato, allora tutte le v sono sovrastimate. Si può ovviare a questo inconveniente ad es. conglobando il termine L nella pendenza della retta 1 R 2 [ ] t C e da notare ancora che in laboratorio vengono misurati i diametri d delle sferette. Uno si aspetta allora : o, equivalentemente, 1 t = g 18L t = 18L g (ρ ρ l ) d 2 eff η η (ρ ρ l ) dove d 2 eff = d2 [ ]. Potrebbe sembrare superfluo ricordare che, avendo a disposizione per un fissato diametro un campione di sferette, è possibile determinare, dalla distribuzione dei tempi di caduta delle sferette aventi uguale diametro, una media aritmetica e una sigma della media, per cui l errore su t può essere considerato di tipo statistico, mentre rimane di tipo massimo quello su d 2 eff. Le formule precedenti suggeriscono che la variabile dipendente sia t : infatti questa è l unica scelta possibile, visto che non si possono ritenere costanti fra di loro gli errori statistici sconosciuti su d 2 eff e quindo non si può fare un fit non pesato di 1 in funzione di d 2 ef f t. Tuttavia bisogna aspettarsi un aumento del χ 2 per aver trascurato l errore su d 2 eff. Cè da notare però che la presenza di D in d 2 eff introduce una certa correlazione fra i diversi valori di d 2 eff. Questo vuol dire che, se l effetto non è trascurabile, bisogna fare 3 fit, ilprimocond dato dalla nostra migliore stima e gli altri due variando D di ±ΔD e vedendo l effetto sulle stime dei parametri del fit. Questo vuol dire anche che, per ogni fit, nella stima dell errore massimo su d 2 eff, il diametro del tubo deve essere considerato privo di errore. Tuttavia, prima di fare tre fit, si può effettuare un controllo sull errore di d 2 eff,dato da { } Δd 2 1 Δd eff =2d 3.156(d/D) (d/D) 2 ΔD 1 d 2 eff Se il secondo termine di questo errore è molto minore del primo, si può dedurre che la correlazione sia trascurabile e che quindi sia inutile effettuare tre fit. 8

10 Per concludere : dalla pendenza b della retta ( nota con errore di tipo statistico ) è possibile ottenere η e il suo errore, ricordando che L tuttavia è affetta da errore di tipo massimo. 9