Fluidodinamica, martedì 13 dicembre 2011

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1 Fluidodinamica, martedì 13 dicembre 2011 Parte di Fluidodinamica I Domanda 1 Dalla parete di un serbatoio in pressione fuoriesce alla base un tubetto orizzontale di diametro D = 60 mm. Il serbatoio è pieno d acqua per un altezza H = 3.0 m rispetto alla sua base. Al di sopra della superficie libera all interno del serbatoio c è aria con una sovrapressione P = 200 kpa rispetto alla pressione atmosferica esterna. Calcolare il valore iniziale della portata volumetrica che fuoriesce dal serbatoio. Domanda 2 Un satellite avente una massa M s = 5000 kg orbita attorno alla Terra con velocità V 0. Per modificare la sua orbita, da un razzo sul satellite è scaricata nel verso opposto alla direzione del moto una massa m g = 100 kg di gas combusti per un tempo τ = 2 s, alla velocità relativa v rel g = 3000 m/s rispetto al satellite. a) Determinare la variazione di velocità del satellite. b) Calcolare l accelerazione del satellite nell intervallo di tempo τ. Esercizio 1 La velocità della corrente assisimmetrica incomprimibile fra due superfici cilindriche coassiali rotanti ha, in coordinatee cilindriche, solo la componente angolare u θ diversa da zero, che è governata dalla seguente equazione differenziale alle derivate parziali u θ t ν ( 1 ( ) ) Ruθ = 0 R R R a) Considerare il caso di corrente stazionaria relativo a due superfici di raggio R = a e R = 2a che ruotano rispettivamente con velocità angolari Ω e 2Ω e determinare l andamento della velocità u(θ). b) Ricavare l espressione della velocità nel punto medio fra le due superfici. c) Applicare il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni elementari del tipo u(r,t) = R(R)T(t), con R(R) e T(t) funzioni di una sola variabile da determinare, e ricavare l equazione differenziale ordinaria che governa la funzione R(R) del primo fattore. Che tipo di equazione è? 1

2 Parte di Aerodinamica I Domanda 3 Si consideri una corrente incomprimibile piana e stazionaria, il cui campo di velocità è dato in componenti e coordinate cartesiane dalle relazioni u(x,y) = ax + b e v(x,y) = ay + cx con a = 0.50 s 1, b = 1.5 m/s e c = 1 s 1. a) Derivare un espressione per la funzione di corrente e calcolare la portata di fluido di densità ρ = 100 kg/m 3 attraverso una qualunque curva che passi per i punti r 1 = (1, 1) e r 2 = (2, 2), essendo le coordinate espresse in metri. b) La corrente è viscosa oppure inviscida? c) Verificare che la funzione di corrente soddisfi effettivamente l equazione di Poisson che governa tale variabile. Domanda 4 Nel piano xy, un cilindro di diametro D = 2 m è investito da una corrente uniforme di velocità U = 5 m/s, parallela all asse x a grande distanza dal cilindro, che possiede una componente circolatoria attorno al cilindro. La posizione dei punti di ristagno in un determinato sistema di riferimento è data dalle coordinate (x 1 = 1,y 1 = 0) e (x 2 = 2,y 2 = 0), espresse in metri. Utilizzando un opportuna sovrapposizione lineare di correnti elementari piane incomprimibili e irrotazionali, si determini il valore della circolazione Γ. Esercizio 2 Il profilo di velocità dello strato limite su una lamina piana lambita da una corrente incomprimibile parallela alla lamina è approssimabile vicino alla parete con la legge u(η) = U e (2η 2η 3 + η 4 ), dove η = η(x,y) = y U e /(νx), x è la distanza dal bordo d attacco della lamina e U e = 2.0 m/s è la velocità della corrente esterna. Si determini la forza totale che la corrente esercita su una faccia di una lamina di apertura L = 1.5 m, nella porzione compresa tra x 1 = 1 m e x 2 = 4 m, assumendo ρ = 1.25 kg/m 3 e ν = m 2 /s. 2

3 Soluzioni: Parte di Fluidodinamica I Domanda 1 Dalla parete di un serbatoio in pressione fuoriesce alla base un tubetto orizzontale di diametro D = 60 mm. Il serbatoio è pieno d acqua per un altezza H = 3.0 m rispetto alla sua base. Al di sopra della superficie libera all interno del serbatoio c è aria con una sovrapressione P = 200 kpa rispetto alla pressione atmosferica esterna. Calcolare il valore iniziale della portata volumetrica che fuoriesce dal serbatoio. Soluzione Domanda 1 La portata volumetrica Q dipende dalla velocità u con cui l acqua del serbatoio fuoriesce attraverso il tubo posto alla sua base Q = π 4 D2 u dove D = m è il diametro della sezione del tubo. La velocità si può ricavare dal teorema di Bernoulli per una corrente incomprimibile stazionaria di un fluido supposto non viscoso e di densità uniforme ρ P 1 ρ + u gz 1 = P 2 ρ + u gz 2 dove i due pedici 1 e 2 indicano due punti sulla stessa linea di corrente e g = 9.81 N/kg è in campo di gravità terrestre. Supponendo che la larghezza trasversale del serbatoio rispetto all asse verticale sia molto maggiore del diametro D del tubo, nella fase iniziale dello scaricamento la corrente può essere considerata stazionaria e la velocità dell acqua sulla superficie libera può essere considerata nulla. Naturalmente, l uso del teorema di Bernoulli significa che la corrente è supposta non viscosa anche nel tubo di uscita, che si suppone quaindi essere molto corto. Prendiamo allora il punto 1 in corrispondenza del pelo libero dell acqua e il punto 2 all uscita del tubo. Supponendo di porre l origine dell asse verticale z alla superficie del pelo libero dell acqua avremo z 1 = 0 e z 2 = H = 3.0 m e inoltre risulta, come si è detto, u 1 = 0. Il teorema di Bernoulli diventa quindi P int ρ = P ext ρ + u2 2 2 gh dove P int = Pa è la pressione dell aria all interno del serbatio mentre P ext = Pa è la pressione atmosferica esterna. Risolvendo l equazione rispetto alla velocità u 2 dell acqua nel tubo si ottiene u = P ρ + gh 3

4 dove P = P int P ext = Pa, ovverosia ( ) P u 2 = 2 ρ + gh Sostituendo i valori numerici e la densità dell acqua ρ = kg/m 3 si ottiene u 2 = 21 m/s. La portata volumetrica risulta quindi Q = m 3 /s. 4

5 Domanda 2 Un satellite avente una massa M s = 5000 kg orbita attorno alla Terra con velocità V 0. Per modificare la sua orbita, da un razzo sul satellite è scaricata nel verso opposto alla direzione del moto una massa m g = 100 kg di gas combusti per un tempo τ = 2 s, alla velocità relativa v rel g = 3000 m/s rispetto al satellite. a) Determinare la variazione di velocità del satellite. b) Calcolare l accelerazione del satellite nell intervallo di tempo τ. Soluzione Domanda 2 Trascurando le variazioni della velocità (vettoriale) del satellite dovute all azione del campo gravitazionale terrestre agente su di esso, il sistema può essere considerato isolato e pertanto vale il principio della conservazione della quantità di moto totale del sistema. Prendiamo come sistema di riferimento (inerziale nell approssimazione considerata) un sistema che si muove con la velocità iniziale V 0 del satellite. In tale riferimento la quantità di moto totale del sistema è nulla prima dell emissione dei gas e lo sarà anche dopo che i gas sono stati emessi dal razzo. Per chiarezza indicheremo con u la velocità di un corpo in tale sistema di riferimento. La relazione di trasformazione delle velocità fra i due sistemi di riferimento è la ben nota legge di somma delle velocità di Galilei v = u + V 0 dove v indica la velocità del corpo nel sistema di riferimento terreste mentre V 0 è la velocità costante con cui tarsla di moto uniforme il sistema di riferimento mobile rispetto a quello solidale con la Terra. Nel nuovo sistema di riferimento la velocità iniziale del satellite è nulla mentre quella finale U s sarà positiva. Al contrario la velocità finale dei gas di scarico u g sarà negativa. Per il principio di conservazione della quantità di moto del sistema avremo pertanto Ptot fin = p fin s + p fin g = 0 dove p fin s = Ms fin U s = (M s m g )U s è la quantità di moto del satellite dopo l espulsione dei gas nel sistema di riferimento scelto, e analogamente p fin g = m g u g. D altra parte il valore assoluto di u g è proprio la velocità relativa vg rel = 3000 m/s con cui sono scaricati i gas dal razzo in direzione opposta al moto del satellite, ovverosia si ha u g = vg rel. a) Sostituendo questi risultati nella relazione precedente si ottiene (M s m g )U s m g v rel g = 0 5

6 che può essere risolta rispetto alla velocità finale U s del satellite : U s = m gvg rel = M s m g v rel g M s /m g 1 Sostituendo i valori noti risulta U s = 61 m/s, che rappresenta anche la variazione di velocità V = V s V 0 = 61 m/s del satellite nel sistema di riferimento terrestere. b) L accelerazione media del satellite nel tempo τ è semplicemente A s = U s τ = v rel g (M s /m g 1)τ ed è la stessa anche nel sistema ririferimento terrestre, essendo l accelerazione una grandezza invariante per trasformazioni fra sistemi inerziali. Sostituendo i valori noti, l accelerazione del satellite nell intervallo di tempo τ risulta essere A s = 30.5 m/s 2 6

7 Esercizio 1 La velocità della corrente assisimmetrica incomprimibile fra due superfici cilindriche coassiali rotanti ha, in coordinate cilindriche, solo la componente angolare u θ diversa da zero, che è governata dalla seguente equazione differenziale alle derivate parziali u θ t ν R ( 1 ( ) ) Ruθ = 0 R R a) Considerare il caso di corrente stazionaria relativo a due superfici di raggio R = a e R = 2a che ruotano rispettivamente con velocità angolari Ω e 2Ω e determinare l andamento della velocità u(θ). b) Ricavare l espressione della velocità nel punto medio fra le due superfici. c) Applicare il metodo di separazione delle variabili cercando soluzioni elementari del tipo u(r,t) = R(R)T(t), con R(R) e T(t) funzioni di una sola variabile da determinare, e ricavare l equazione differenziale ordinaria che governa la funzione R(R) del primo fattore. Che tipo di equazione è? Soluzione Esercizio 1 a) Nel caso di corrente stazionaria l equazione che governa la velocità u θ (R) assume la forma ( d 1 d ( ) ) Ruθ = 0 dr R dr ed è completata dalle due condizioni al contorno u θ (a) = aω e u θ (2a) = 2a2Ω = 4aΩ L integrazione dell equazione differenzaile ordinaria è immediata e fornisce u θ (a) = 1 2 KR + H R dove K e H sono le due costanti d integrazione da determinare imponendo le condizioni al contorno. Si ottiene il sistema lineare { ak + 2H/a = 2aΩ 2aK + H/a = 8aΩ la cui soluzione è K = 14Ω e H = a2 Ω. L andamento della velocità nel caso considerato è pertanto u θ (R) = 7 3 ΩR 4 a 2 Ω 3 R = aω ( 7R 3 a 4a ) R 7

8 b) La velocità nel punto medio far le due superfici cilindriche si ottiene valutando la velocità trovata per R = 3a e risulta essere u 2 θ( 3 47 a) = aω c) Nel caso di corrente dipendente dal tempo, le soluzioni elementari del tipo u(r,t) = R(R)T(t) si possono trovare sostituendo il prodotto delle due funzioni di una sola variabile nell equazione originaria alle derivate parziali. Si ricava la relazione ( ) 1 ( RT νt RR) = 0 R ovverosia, dividendo per RT, T T ν ( ) 1 ( RR) = 0 R R dove l apice indica la derivata (ordinaria) rispetto alla variabile propria di ognuna delle due funzioni. Ma il primo termine è una funzione della sola variabile t mentre il secondo è una funzione della sola R. Pertanto il solo modo di potere soddisfare questa relazione consiste nell essere entrambi i termini costanti e con le costanti uguale ed opposte, ovverosia, ad esempio, ( ) T T = kν e 1 1 ( RR) = k R R dove k è la cosiddetta costante di separazione. La prima equazione è semplicemente T = kνt, che si integra immediatamente T(t) = T 0 e kνt. Ma la soluzione deve rimanere limitata per t, per cui essere necessariamente k < 0. L equazione per la funzione R(R) si può riscrivere come e con semplici passaggi diventa ( ) 1 ( RR) = kr R R 2 R + RR (1 + kr 2 )R = 0 con k < 0. Questa è un equazione differenziale del secondo ordine, lineare e a coefficienti variabili, ma non di tipo equidimensionale. 8

9 Soluzioni: Parte di Aerodinamica I Domanda 3 Si consideri una corrente incomprimibile piana e stazionaria, il cui campo di velocità è dato in componenti e coordinate cartesiane dalle relazioni u(x,y) = ax + b e v(x,y) = ay + cx con a = 0.50 s 1, b = 1.5 m/s e c = 1 s 1. a) Derivare un espressione per la funzione di corrente e calcolare la portata di un fluido di densità ρ = 100 kg/m 3 attraverso una qualunque curva che passi per i punti r 1 = (1, 1) e r 2 = (2, 2), essendo le coordinate espresse in metri. b) La corrente è viscosa oppure inviscida? c) Verificare che la funzione di corrente soddisfi effettivamente l equazione di Poisson che governa tale variabile. Soluzione Domanda 3 Il campo di velocità considerato è effettivamente incomprimibile dato che risulta u x + v = a a = 0 e la condizione d incomprimibilità è soddisfatta identicamente. a) Per determinare la funzione di corrente ψ(x, y) si può procedere integrando le due equazioni differenziali che legano questa variabile con le componenti della velocità u = ψ e v = ψ x Si integra la prima nella direzione della variabile y, ottenendo ψ(x,y) = u(x,y)dy = (ax + b)dy = axy + by + F(x) dove F(x) è una funzione da determinare. Similmente, integrando la seconda relazione lungo la direzione x si ottiene ψ(x,y) = v(x,y)dx = ( ay + cx)dx = axy 1 2 cx2 + G(y) dove G(y) è un altra funzione da determinare. Le due espressioni di ψ trovate possono essere entrambe valide assumendo che F(x) = cx 2 /2 e G(y) = by, 9

10 ovvero, più in generale, potendo prendere F(x) = cx 2 /2 + C e G(y) = by + C, con C che rappresenta una costante arbitraria. Pertanto abbiamo trovato ψ(x,y) = axy + by c 2 x2, avendo scelto per semplicità C = 0. Le linee di corrente sono le curve y = y(x;ψ) date dalla funzione y = ψ + cx2 /2 ax + b e possono essere agevolmente tracciate nel piano (x,y). La quantità volumetrica di fluido che attraversa una (qualunque) curva passante per i punti r 1 = (1, 1) e r 2 = (2, 2), per unità di spessore della corrente piana, è data dalla differenza ψ(r 2 ) ψ(r 1 ). La portata in massa di un fluido di densità ρ (uniforme) per unità di spessore trasversale sarà allora data da Ṁ = ρ[ψ(2, 2) ψ(1, 1)] = ρ(3a + b 3c/2) Sostituendo i valori numerici si ottiene Ṁ = 150 kg/(s m). b) Per stabilire se la corrente è viscosa o meno si può valutare inizialmente la vorticità. Nelle correnti piane la vorticità ha solo la componente z e nel caso considerato risulta ω = ω z = v x u = c 0 = c per cui la corrente è rotazionale, essendo c 0. Tuttavia, affinché la viscosità possa giocare un ruolo nella corrrnte in questione occorre verificare che il termine viscoso ν 2 u nell equazione di bilancio della quantità di moto (ovvero il corrrispondente ν 2 ω nell equazione di straporto-diffusione della virticità) sia diverso da zero. Il calcolo diretto mostra che entrambi i termini sono nulli, per cui la corrente è non viscosa pur essendo rotazionale. c) L equazione che governa la funzione di corrente è l equazione di Poisson 2 ψ = ω dove 2 = 2 x + 2 y è l operatore di Laplace in due dimensioni. Un calcolo diretto mostra che 2 ψ = 2 (axy +by c 2 x2 ) = ( 2 x + 2 y)(axy +by c 2 x2 ) = 2 x(axy + by c 2 x2 ) + 2 y(axy + by c 2 x2 ) = c + 0 = c. Essendo ω = c, l equazione di Poisson della funzione di corrente è quindi identicamente soddisfatta. 10

11 Domanda 4 Nel piano xy, un cilindro di diametro D = 2 m è investito da una corrente uniforme di velocità U = 5 m/s, parallela all asse x a grande distanza dal cilindro, che possiede una componente circolatoria attorno al cilindro. La posizione dei punti di ristagno in un determinato sistema di riferimento è data dalle coordinate (x 1 = 1,y 1 = 0) e (x 2 = 2,y 2 = 0), espresse in metri. Utilizzando un opportuna sovrapposizione lineare di correnti elementari piane incomprimibili e irrotazionali, si determini il valore della circolazione Γ. Soluzione Domanda 4 Una corrente piana incomprimibile irrotazionale stazionaria attorno a un cilindro di sezione circolare, uniforme a grande distanza dal cilindro, può avere dei punti di ristagno sulla superficie del cilindro. Nel caso in esame, la distanza x 2 x 1 = 1 m fra i due punti di ristagno è minore del diametro D = 2 m del cerchio della sezione del cilindro. Di conseguenza, la corrente deve possedere una componente rotatoria non nulla attorno al cilindro, dato che i punti di ristagno di una corrente senza circolazione devono essere gli estremi di un diametro del cerchio. La corrente uniforme è diretta come l asse x per cui i due punti di ristagno P 1 = (x 1,y 1 ) e P 2 = (x 2,y 2 ) si troveranno dalla stessa parte rispetto alla retta parallela alla direzione di U e passante per il centro del cerchio. I punti si trovano sotto oppure sopra tale retta a seconda del verso della circolazione Γ della componente rotatoria della corrente: se la circolazione è oraria (Γ < 0) i punti saranno sotto (corrente portante), mentre se la circolazione è antioraria (Γ > 0) essi saranno sopra (corrente deportante). In ogni caso, dato che la distanza x 2 x 1 = 1 m fra i punti di ristango è uguale al raggio D/2 = 1 m della circonferenza, essi formeranno con il centro un triangolo equilatero. Prendiamo allora un sistema di riferimento cartesiano (x,y ) con origine nel centro del cerchio e supponiamo di considerare la situazione portante con Γ < 0 per cui i punti sono nella parte inferiore, le coordinate di tali punti, espresse in metri, saranno: P 1 = ( x 1 = 1 2,y 1 = ) 3 2 e P2 = ( x 2 = 1 2,y 2 = ) 3 2. In coordinate polari con origine nel centro del cerchio la corrente incomprimibile irrotazionale attorno al cilindro di sezione circolare è espressa dalla relazione ) [ ) u(r,θ) = U (1 a2 cos θ R ˆR + U (1 + a2 sin θ + Γ ] ˆθ 2 R 2 2πR dove a = D/2 è il ragggio del cilindro. Questo campo di moto può essere determinato mediante la separazione delle variabili oppure come sovrappo- 11

12 sizione della corrente uniforme, di una doppietta e del vortice rettilineo di intensità Γ. Per le considerazioni geometriche precedenti, l angolo θ r che la retta dal centro al punto di ristagno P 2 forma con l asse x è pari a 60. L angolo θ r è legato ai parametri del problema dalla relazione che risolta rispetto a Γ fornisce: 2U sin θ r + Γ 2πa = 0 Γ = 4πUa sin θ r. Sostituendo θ r = 60 e i valori numerici noti si ottiene immediatemente 3 Γ = 4πUa sin 60 = 4π 2 U D 2 = 3π 5 2 = 54.4 m2 s. 12

13 Esercizio 2 Il profilo di velocità dello strato limite su una lamina piana lambita da una corrente incomprimibile parallela alla lamina è approssimabile vicino alla parete con la legge u(η) = U e (2η 2η 3 + η 4 ), dove η = η(x,y) = y U e /(νx), x è la distanza dal bordo d attacco della lamina e U e = 2.0 m/s è la velocità della corrente esterna. Si determini la forza totale che la corrente esercita su una faccia di una lamina di apertura L = 1.5 m, nella porzione compresa tra x 1 = 1 m e x 2 = 4 m, assumendo ρ = 1.25 kg/m 3 e ν = m 2 /s. Soluzione Esercizio 2 La corrente considerata rappresenta l andamento di una corrente di tipo strato limite parallela a una lastra semi-infinita posta parallelamente alla corrente incidente. Per determinare la forza agente sulla lamina è necessario calcolare lo sforzo viscoso sulla superficie della lamina. Dato che la lamina è ferma potremo usare l espressione del vettore sforzo viscoso s lastra agente sulla superficie superiore della lastra, la cui normale uscente è il versore ŷ, s lastra = µŷ [ u] lastra. Essendo la corrente piana, la vorticità u ha solo la componente z per cui avremo [ v s lastra = µŷ x u ] lastra [ v ẑ = µ x u ] lastra ˆx. Ma sulla lastra la componente verticale della velocità v è nulla, v(x, 0) = 0, per cui s lastra u(x, 0) (x) = µ ˆx. Per la corrente considerata risulta u(x,y) = u(η(x,y)) = U e (2η 2η 3 + η 4 ) [con il ben noto leggero abuso di notazione] per cui la derivata di u(x,y) rispetto a y si calcola mediante la regola di derivazione delle funzioni composte: da cui si ricava u(x, y) u(x, y) = du(η(x,y)) dη η(x, y) = d [ Ue (2η 2η 3 + η 4 ) ] ( ) Ue y dη νx ovverosia u(x, y) = U e (2 6η 2 + 4η 3 ) 13 Ue νx,

14 dove naturalmente η = η(x,y). Ma sulla lastra y = 0 e anche η = 0, per cui il vettore sforzo viscoso considerato diventa s lastra (x) = 2µU e Ue νx ˆx. Per determinare la forza F agente sul una sola faccia della porzione di lastra di larghezza L = 1.5 m e compresa fra x 1 = 1 m e x 2 = 4 m si deve valutare l integrale seguente x2 x2 F = L s lastra (x)dx = L 2µU e x 1 x 1 Ue L integrazione è elementare per cui otteniamo F = 4LU e µ Ue ν νx dx ˆx = 2LU eµ x2 Ue x x 2 x 1 ˆx = 4LU e ρ U e ν [ x2 x 1 ] ˆx ν x 1 dx x ˆx. dove nell ultimo passaggio si è anche espressa la viscosità dinamica in funzione di quella cinematica e della densità, sostituendo µ = ρ ν. Sostituendo i valori numerici si ottiene F = = N ˆx. 14