6c_EAIEE_ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE

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1 6c_AI_OND LTTROMAGNTICH PIAN (ultima modifica 5//7) QUAZIONI D ONDA VTTORIALI OMOGN u t u / με H H u t sse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e J sono entrambi uguali a zero. Nei dielettrici puri sono predominanti le correnti di spostamento D H J J J s t e i dielettrici sono i materiali principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione ( trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI J s

2 Nel vuoto, (al di là dell atmosfera terrestre), u=c e le espressioni delle equazioni d onda in assenza di sorgenti diventano: dove u t H H c t c t c é la velocità di propagazione dell onda (velocità della luce) nel vuoto. H u H t c μ ε μ 4,56 7 6,56 8,856 6 H m 3 ε 8 m 3. s 8,856 F m m s M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI

3 Onde elettromagnetiche piane Si definisce fronte d onda (superficie d onda) il luogo geometrico dei punti dello spazio in cui le grandezze di campo presentano contemporaneamente la stessa fase, ossia l'insieme di tutti i punti dello spazio in cui, per un certo istante fissato t, la fase ha lo stesso valore. I fronti d onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda e sono utili per visualizzare i fenomeni di trasmissione delle onde. Ad esempio, i punti, che nello stesso istante t hanno tutti la stessa fase alla quale corrispondente la massima ampiezza, formano un fronte d onda. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3

4 Onde elettromagnetiche piane I fronti d onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, per esempio si possono avere fronti d onda piani, sferici così via. Fronte d onda piano Fronte d onda sferico M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4

5 Onde elettromagnetiche piane Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d onda è un piano. Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezze di campo e H sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alla direzione di propagazione, cioè, per il sistema di riferimento scelto, per ogni valore di z, i campi e H : in fase nel tempo e in quadratura nello spazio. Fronti d onda piani Direzione di propagazione z H z è direzione di propagazione delle onde M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5

6 Onde elettromagnetiche piane L onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione delle equazioni di Mawell e costituisce una buona approssimazione delle onde elettromagnetiche reali in molte applicazioni pratiche. Le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6

7 Onde elettromagnetiche piane Radiofrequenze a grande distanza dal trasmettitore e da oggetti, che potrebbero causare diffrazione, con curvatura trascurabile, possono essere studiate come onde piane. L approssimazione delle onde piane è molto utilizzata nell ottica. Lo studio delle onde piane è molto importante perché, onde più complesse possono essere considerate come formate dalla sovrapposizione di onde piane. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 7

8 Onde lettromagnetiche piane in regime sinusoidale Nelle regioni in cui non sono presenti sorgenti (cariche a riposo nulle ρ= e correnti elettriche nulle J ) e il mezzo non è dissipativo, le onde sono descritte dalle soluzioni delle quazioni di Helmholtz vettoriali omogenee: e H H ω ω rad u με, ω με u m f = numero d onda in un mezzo di trasmissione qualsiasi M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8

9 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 9 Onde elettromagnetiche piane nei mezzi privi di perdite Le equazione vettoriali esplicitate delle onde elettromagnetiche nel vuoto (nello spazio libero = o ), in assenza di sorgenti, sono: dove ( free space wavenumber) é il numero d onda nello spazio libero, é il reciproco della lunghezza d onda nel vuoto: m rad c ω ε μ ω H H H z H H H z

10 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI In coordinate cartesiane la prima equazione di Helmholtz espressa in forma compatta vettoriale, equivale a tre equazioni (scalari) di Helmholtz, una per ciascuna componente:, e z : z z z z z

11 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI Se si considera un onda piana uniforme, caratterizzata da una uniforme (ampiezza e fase uniforme), sulle superfici piane () perpendicolari a z, poichè = f(,,z) = f(z) l equazione diventa: con essa è una equazione differenziale ordinaria (perchè dipende da una sola variabile z ) ossia dipende solo da z, = f(z). z e z direzione di propagazione delle onde z

12 La soluzione della equazione: z é : joz z z z z e e jo o e o sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con le condizioni al contorno. Si consideri da prima solo il primo termine: usando cosωt come fasore di riferimento e assumendo costante reale ( fase = per z = ) si ha: z,t Re z Re jωt e jt joz e Re z e V m j ωt oz z e cos(ωt z) M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI z e z j o

13 saminando in dettaglio l equazione trovata: V z, t cos(ωt z) m si può pensare di tracciare il grafico in funzione di z, in un istante definito t. In particolare per t=, essendo: cos z) cos(z) z, cos(z) ( per cui in un dato istante t, nello spazio z, t varia come una cosinusoide con una ampiezza Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, ma traslano nella direzione positiva di z. Ciò dimostra che la curva é viaggiante nella direzione positiva di z con una velocità u p = /, che dipende da, ossia da e dalla ω rad frequenza f, essendo: ω με c m Da cui si deduce che la velocità di trasmissione u p nello spazio libero, coincide con la velocità della luce c. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3

14 z, t cos(ωt z) V m ω ω f μ ε rad s ω c rad m Onda viaggiante nella direzione positiva z, per diversi valori di t La lunghezza d'onda λ è la distanza z= λ che un'onda percorre mentre compie un ciclo completo e numero d onda, misura il numero di lunghezze d onda λ nella unità di lunghezza. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4

15 Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione, per cui: (t- o z) =A con A costante. Imponendo questa condizione : t A t- o z =A lo spazio percorso z In particolare nel vuoto al variare del tempo i piani in cui la fase è costante, ossia i fronti d onda, viaggiano alla velocità della luce c nella direzione z. Quindi derivando lo spazio percorso z rispetto al tempo, si ottiene l espressione della velocità di propagazione u p =c nel vuoto: t A d dz ω m u 8 p c 3 dt dt μ ε s πf π rad dove c c m è numero d onda, è il numero di oscillazioni di un'onda nell'unita di lunghezza. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5

16 Analogamente si può verificare che il secondo termine della relazione : joz joz z z z rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con la stessa velocità c: essa è chiamata onda riflessa. e o e Si consideri per ora solo l onda diretta assumendo l ipotesi che: anche se in presenza di discontinuità nel mezzo, devono essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6

17 Il campo magnetico associato alla sola onda diretta H può essere determinato dalla relazione che lo lega al campo elettrico: = f(z) jh splicitando la equazione di Mawell in forma matriciale: a a a z jω a H a H a H, z z z (z) dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove l unica componente diversa da zero, essendo: H H H z, z, H z j z j risulta M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 7 z H essendo f z

18 Per un onda piana uniforme, caratterizzata da una uniforme (ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, risulta che le componenti del campo elettrico e del campo magnetico H siano rispettivamente uguali a: z f ( z),,, H H H z, j z z, H z z direzione di propagazione delle onde quindi il Campo lettrico Campo Magnetico H. risulta nello spazio in quadratura con il M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8

19 splicitando la relazione che lega il campo elettrico e magnetico si ha: H con e z joz e j z j z j j z z z πf rad c c m / 36 8,854 8 m c 3 με s c è l impedenza intrinseca dello spazio libero (essa è un numero reale). H z M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 9 z

20 H z z Poichè è un numero reale H z risulta in fase con z e l espressione di H si può scrivere in funzione del campo elettrico come: + + jωt Hz,t =a H z,t =a Re H ze = + A =a cosωt- z η m Quindi per un onda piana e uniforme il rapporto delle ampiezze di e H é l impedenza intrinseca del mezzo: H con H Inoltre risulta che H é perpendicolare ad e che entrambe sono normali alla direzione di propagazione. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI

21 ω μ ε ω c rad m Campi e H di un onda piana uniforme per t= M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI

22 ffetto Doppler Quando c é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel tempo e un ricevitore, la frequenza dell onda intercettata dal ricevitore f ' tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente f. Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in acustica come nell elettromagnetismo. Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un onda armonica nel tempo di frequenza f si muova con velocità u con una deviazione di un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore-Ricevitore. T u r R M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI

23 Le onde elettromagnetiche emesse da T nell istante t = raggiungeranno il ricevitore R in ritardo nell istante r t. c T u r R ut T t = emettitore in T t = t emettitore in T Nell istante successivo t = t, l emettitore T si è spostata nella nuova posizione T e l onda emessa da T in quell istante raggiungerà il ricevitore nell istante t : ' r t t c T M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3 H r u r R

24 T u r R ut T t = r' r' HR T ' H t t t t t c c c t r ut cos ut sin c t r r u t cos u t cos u t sin c t r r ut cos ut c M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4 T H r u t = t r R

25 Se TT ' ut r l equazione precedente diventa: t t ut cos. r Quindi il ritardo temporale in R pari a t =t -t é: r c r uδt r u Δt'=t -t =Δt+ - cosθ - =Δt - cosθ, c r c c che non è uguale al t. Se t rappresenta un periodo della sorgente armonica nel tempo, cioè t =/f, allora la frequenza f dell onda ricevuta da R per la condizione più comune (u/c) << é: f ' t' f u cos c f cos M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5 u c

26 Questa é una formula approssimata che non é valida quando é prossimo a /, e in base a questa relazione si può dire che: f ' f u c cos quindi si può avere che t' f > f : la frequenza in ricezione é maggiore della frequenza di trasmissione, quando T si muove avvicinandosi a R ( cosϑ > ). Il massimo incremento di f si ha per =, infatti per cos f ' f u cos c f < f : la frequenza in ricezione é minore della frequenza di trasmissione, quando T si muove allontanandosi da R ( cosϑ < ) Il massimo decremento di f si ha per =, infati per cos f ' f u c f cos u c f u c f ' f f ' f M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6

27 Risultati simili si ottengono se si muove il ricevitore R e il trasmettitore T rimane fermo. L effetto Doppler si verifica ogni volta che esiste movimento relativo tra un ricevitore e un emettitore. L effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo. Il funzionamento del Radar Doppler è basato sul fatto che la variazione di frequenza dell onda di ricezione riflessa dal movimento del veicolo è proporzionale alla velocità del veicolo e può essere misurata e visualizzata nell unità di misura stabilita, infatti: f' f u cos θ c f' u cosθ c M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 7 f

28 L effetto Doppler è anche la causa, in astronomia, della cosiddetta red shift (variazione rossa) dello spettro della luce emessa da una stella distante che si allontana. Quando la stella si allontana ad alta velocità rispetto ad un osservatore sulla terra, la frequenza del segnale luminoso nel punto di ricezione trasla verso una frequenza più bassa dello spettro (si verifica un allungamento della lunghezza d onda). v f M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8

29 Onde elettromagnetiche trasversali Un onda piana uniforme caratterizzata da a nella direzione + z è associato a un campo magnetico H che si propaga H a H. Quindi e sono perpendicolari uno con l altro ed entrambi sono trasversali alla direzione di propagazione. Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TM wave). Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo un singolo asse di coordinate. Si considera ora la propagazione di un onda piana uniforme lungo una direzione arbitraria, che non coincide necessariamente con un asse delle coordinate. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 9

30 L intensità del fasore campo elettrico per un onda piana uniforme che si propaga nella direzione +z è: dove ( z) e j z z è un vettore costante. con c L espressione più generale per un onda che si propaga in una direzione generica sarà: j (,, ) j z e e e jzz o Si dimostra facilmente per sostituzione diretta che questa espressione soddisfa l equazione omogenea di Helmholtz e che: z M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3

31 Definendo un vettore numero d onda come: e un vettore radiale dall origine (vettore posizione) che definisce posizione del punto in cui si vuole valutare il campo: R a a a zz La relazione precedente può essere scritta in forma compatta: con a n ( R) a e versore nella direzione di propagazione. a jr a e z z ja n a j (,, ) j z e e e jzz o R n V m M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3

32 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 3 Per la relazione: per cui: è l equazione di un piano normale ad, direzione di propagazione. n z z a a a a z n z z n n a a a a a a a a a length OP R a n a n z P Piano con fase costante R a n

33 Se un onda si propaga nella direzione z, nel piano z = costante il jz campo ( z ) e ha fase costante e ampiezza uniforme. Analogamente si dimostra che l onda che si propaga in una direzione generica definita dalla relazione: jr janr ( R) e e ha fase costante e ampiezza uniforme nel piano an R cos tante Infatti in una regione dello spazio priva di cariche, per cui janr janr ( R) e e, essendo un vettore costante. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 33

34 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 34 Ma per cui l equazione diventa : ciò implica che il campo sia trasversale alla direzione di propagazione delle onde., e ja e a a a j e a a a e R ja n z z z z R ja n z z n e R ja n a e a j n R ja n n

35 Il campo magnetico H R associato al campo elettrico: ( R) e j a n R può essere ottenuto dalla equazione di Mawell: jω H o H H jω R R A m - janr R a n R a n e ωμ μ dove: η ε l impedenza d onda. Ω è l impedenza intrinseca del mezzo o M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 35

36 Dalla espressione trovata per il campo magnetico: H A m - janr R a n R a n e appare chiaramente come un onda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria a n sia un onda trasversale elettromagnetica TM con il campo elettrico e il campo magnetico H perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione dell onda, ossia la direzione del versore a n. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 36

37 Analogamente assumendo il campo magnetico: H( in base alla equazione di Mawell; H jω R) H e si ottiene: janr j j V m R HR - j a n HR o V m R a n HR Dalle quali sono deducibili le stesse considerazioni fatte in base alle espressioni del campo magnetico H( R). M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 37

38 Polarizzazione delle onde piane La polarizzazione di un onda piana uniforme, caratterizza l onda e descrive come variano l ampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico in un dato punto dello spazio, al variare del tempo. ssa indica come il campo elettrico e quindi il campo magnetico H oscilla durante la propagazione dell onda. Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare ed ellittica in base al fatto che l estremità del vettore campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su un ellisse. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 38

39 Polarizzazione delle onde piane Poiché l equazione delle onde è una equazione lineare, qualunque sua soluzione può essere espressa come somma di altre soluzioni. Ciò comporta che distribuzioni complesse di onde elettromagnetiche possano essere considerate come costitute dalla sovrapposizione di un gran numero di semplici onde piane con differenti ampiezze, fasi e direzioni di propagazione. Ciascuna onda può essere studiata separatamente, per poi analizzare l onda risultante dalla sovrapposizione delle singole onde piane. In particolate lo studio della polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando l onda come la sovrapposizione di due onde lineari. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 39

40 Onda polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Se il vettore campo elettrico ha sempre la stessa direzione si dice che l onda è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni, ma esattamente la stessa fase. Onda polarizzata ellitticamente. Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice essere un onda polarizzata ellitticamente. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4

41 Se il vettore dell onda piana è fissato nella direzione : a dove può essere positivo o negativo, l onda è detta polarizzata linearmente nella direzione. Una descrizione separata del campo magnetico H non è necessaria, poiché la direzione di H è legata a quella del campo elettrico. H z direzione di propagazione delle onde z M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4

42 In diversi casi la direzione di dell onda piana in un dato punto varia nel tempo e il campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde lineari che si propagano nella direzione z:. una polarizzata nella direzione di ampiezza e. l altra polarizzata nella direzione e ritardata di 9 (o / rad) nella fase temporale e di ampiezza. La notazione fasoriale sarà: ( z) a ( z) a ( z) a e a j e jz jz dove e, che indicano le ampiezze delle due onde polarizzate linearmente, sono numeri reali. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 4

43 ( z) a ( z) a ( z) a e a j e jz L espressione istantanea di è : jz ( z, t) Re a jt (z) e Re a a z j z cos( t z) a cos( t z e ) jt Per studiare la variazione di direzione di in un punto dato al variare di t, è conveniente considerare il punto per il quale z = : ( t) a (, t) a (, t) a cost a sint come t varia da a, l estremità del vettore luogo ellittico in senso antiorario. (,t ) percorre un M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 43

44 ( t) a (, t) a (, t) a cost a sint Infatti uguagliando gli addendi corrispondenti, analiticamente si ha: cost sint,t,t,t e cos t che porta alla seguente equazione di una ellisse:,t,t M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 44

45 Quindi il campo elettrico, ottenuto come la somma di due onde polarizzate sia nello spazio che nel tempo, è polarizzato ellitticamente se e polarizzato circolarmente se =. Quando = l angolo istantaneo che per z = è: (, t) tan t, (, t) ossia ruota con velocità angolare uniforme in senso antiorario. forma con l asse (,t ) M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 45

46 Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di, il pollice indica la direzione della propagazione dell onda. Questa è un onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa. Se (z) è sfasata nel tempo di 9 in anticipo rispetto a (z): ( z ) a (, t ) a a cost a e sin t anche in questo caso risulta ellitticamente polarizzato e se =, ruota in senso orario con velocità angolare -. Questa è un onda polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa. e jz j e jz j M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 46

47 Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa (direzione della propagazione entrante nel foglio) Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa (direzione della propagazione uscente nel foglio) Agendo sullo sfasamento di rispetto a si può invertire il senso di propagazione dell onda. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 47

48 Se e sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo, la loro somma sarà polarizzata linearmente lungo una linea che forma un angolo tan con l asse e l espressione istantanea di per z = è: L estremità di (,t ) sarà nel punto P quando t =. La sua ampiezza decrescerà verso zero come t aumenta verso /. Quindi (,t ) inizia ad aumentare di nuovo, in direzione opposta verso il punto P dove t =. a a cos t (,t ) M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 48 P P tan

49 Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ qualsiasi rispetto all asse delle, essendo: tan Nel caso generale e sono in quadratura nello spazio ma hanno ampiezza diversa e possono avere una differenza di fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /. La loro somma sarà: polarizzata ellitticamente e gli assi principali dell ellisse di polarizzazione non coincideranno con gli assi delle coordinate. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 49

50 Si noti che le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM dalle loro torri di antenne sono linearmente polarizzate con il campo perpendicolare al suolo. Per la massima ricezione l antenna ricevente dovrà essere parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione. I segnali televisivi al contrario, sono polarizzati linearmente nella direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle antenne riceventi sui tetti sono orizzontali. Le onde FM irradiate da stazioni radio sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi l orientazione di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale alla direzione del segnale. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5

51 sempi di polarizzazione Polarizzazione lineare : Si ottiene dalla composizione di due onde in fase polarizzate linearmente in due piani ortogonali (= e =). L onda risultante è ancora un onda polarizzata linearmente con piano di vibrazione obliquo, ovvero risulta essere obliqua sul piano - quando l onda stessa viaggia lungo la direzione z. θ M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5

52 sempi di polarizzazione Polarizzazione circolare: Si ottiene dalla composizione di due onde sfasate di π/, polarizzate linearmente in due piani ortogonali (= e =). L onda risultante è un onda polarizzata circolarmente in senso orario. Si noti che le ampiezze delle due componenti e sono uguali. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 5

53 sempi di polarizzazione Polarizzazione ellittica : Si ottiene dalla composizione di due onde sfasate di π/ polarizzate linearmente in due piani ortogonali.. L onda risultante è un onda polarizzata ellitticamente in senso orario. In questo caso le ampiezze delle due componenti e non sono uguali. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 53

54 Confronto tra Polarizzazione ellitica z e Polarizzazione lineare z -- onda componente polarizzata nella dir. -- onda componente polarizzata nella dir. -- onda risultante polarizzata M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 54

55 Proiezioni (color viola) sul piano - dello spostamento dell estremo del vettore di campo al variare del tempo per i 3 tipi di polarizzazione z z z M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 55

56 Onde piane nei mezzi dissipativi In un mezzo dissipativo privo di sorgenti σ, nelle equazioni d onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d onda deve essere complesso, infatti σ " F essendo εc ε -j ' j ω m e diventa : c Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo c a. Inoltre si definisce una costante di propagazione tale che: j c j M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 56 c c - m c ' j"

57 Poichè la costante di propagazione é un numero complesso: j j c j c j j c " c j j ' j j ' ; c l equazione di Helmholtz diventa: e la soluzione é un onda piana uniforme che si propaga nella direzione z. Nella ipotesi che l onda sia linearmente polarizzata nella direzione : c a a e z a e z e jz fattore e costante di attenuazione in [Np/m] fattore e costante di fase in [rad/m] equivale l attenuazione in ampiezza per m di propagazione equivale allo sfasamento dell onda per m di propagazione. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 57

58 Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione di una grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una grandezza assume in due punti diversi, dove il termine a denominatore è assunto come valore di riferimento: Np = ln =ln -ln il valore corrispondente in decibel: Np = db = db ln Il neper è utile quando si devono confrontare valori molto diversi fra loro, poiché sfruttando la scala logaritmica si comprime il campo di variazione della grandezza. L attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel db db= log per le potenze db= log = log per le tensioni e le correnti M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 58

59 l attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell onda per ogni metro di propagazione dipendono: dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente e dai parametri costitutivi, e e possono essere così espressi: j j c j " j ' j j ' In particolare per i mezzi:. dielettrici con basse perdite. buoni conduttori 3. gas ionizzati si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per molte applicazioni pratiche. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 59

60 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6. Dielettrici a basse perdite ( >> ) fase di velocità s m ' " 8 ' u intrinseca impedenza ' " ' fase fattore di m rad ' " 8 ' attenuazione fattore di m Np ' p c " j ' " ' j j j j j j c

61 . Buoni conduttori ( >> ) fattore di f Np m attenuazione e fattore di fase variabili con f e c c impedenza j intrinseca j con fase di 45 *** u p m s velocità di fase proporzionali a f e *** il campo magnetico é traslato di 45 rispetto a quello elettrico M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6

62 Per i conduttori si definisce la sin depth o depth of penetration: δ α πfμσ essa è uguale all inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la distanza lungo la quale l ampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce di un fattore pari a e - =/(.788 )=.3679 ( 37%) Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto rapidamente, essendo sia f che valori molto grandi. In particolare alle frequenze delle microonde ( 3MHz 3GHz) la sin depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della superficie del conduttore. λ π m M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 6

63 sin depth o depth of penetration per alcuni conduttori confrontata con quella dell acqua δ [mm]. Materiale [S/m] f = 6Hz f= MHz f=ghz argento [mm].64 [mm]. [mm] rame oro alluminio ferro acqua di mare 4 3 [m].5 [m] M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 63

64 Trasmissione delle onde nella ionosfera L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas (termine generico aria) che riveste il pianeta Terra, principalmente: azoto (N), ossigeno (O) argon, anidride carbonica e tracce di altri elementi. Possiede una struttura complessa e suddivisa in più strati, con caratteristiche differenti (densità, temperatura, proprietà chimiche, spessori etc..). 3. Gas ionizzati Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra 5 e 5 m di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che costituiscono la ionosfera. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 64

65 Ionosfera La ionosfera è ulteriormente divisa in strati (D,, F, F ) per evidenziare le diverse proprietà elettriche, dovute: alle variazioni della composizione e dell'intensità di radiazione solare ricevuta. miglia=,6934m D= m = m F =5 5 m F = 3 4 m M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 65

66 Gas ionizzati Gli strati più alti della dell ionosfera, la radiazione solare è molto forte ma ci sono pochi atomi con i quali interagire, quindi la ionizzazione è minima. Come la quota diminuisce, aumenta sensibilmente il numero di atomi di gas e il processo di ionizzazione aumenta. Contemporaneamente inizia a verificasi un processo chiamato ricombinazione; un elettrone libero è "catturato" da uno ione positivo se si muove abbastanza vicino ad esso. A bassa quota, all'aumentare della densità del gas, il processo di ricombinazione aumenta in quanto le molecole di gas e ioni sono più vicini. Il punto di equilibrio tra questi due processi determina il grado di "ionizzazione" presente in un dato momento a una certa quota. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 66

67 Gas ionizzati Lo strato F ( F e F ) presenta una densità elettronica superiore a. volte a quella dello strato D. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 67

68 Le radiazione solari ultraviolette*** proveniente dal sole investono gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della ionosfera, dove la densità è più alta, rispetto agli strati superiori. Quindi gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata alla radiazione solare e ciò comporta la produzione di un elettrone libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati, con uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi: la ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un plasma. *** La radiazione solare è l energia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a varie frequenze o lunghezze d onda, le quali si propagano poi nello spazio alle velocità tipiche di queste onde. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 68

69 Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere, anche se per brevi periodi di tempo, prima di essere catturati da uno ione positivo vicino, formando nuovamente un l atomo neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete. Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita: da elettroni liberi e ioni positivi e in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno neutri) con percentuali dei componenti che variano con la quota degli strati e durante l arco della giornata. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 69

70 Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo magnetico terrestre. L altezza e le caratteristiche degli strati ionizzati dipendono dalla natura della radiazione solare ( energia radiante) e dalla composizione della ionosfera. Gli strati della ionosfera variano con il ciclo di sunspot, la stagione e l ora del giorno e i paralleli terrestri in modo molto complicato. Per ciascuno strato ionizzato la densità degli elettroni e la densità degli ioni è essenzialmente uguale. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 7

71 Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che attraversano la ionosfera. La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influisce sulla telecomunicazione. Per comprendere e valutare qualitativamente l entità di questa influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore a quello degli elettroni), ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi e si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole del gas si ipotizza un campo elettrico armonico con pulsazione. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 7

72 Frequenza del plasma o frequenza di taglio Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo elettrico armonico nel tempo agente nella direzione con frequenza angolare, agisce una forza di campo: F=q= e, che lo allontana da uno ione positivo di una distanza tale che: F d dt ma j e d dt e - per i campi da cui ricava lo spostamento : e m dove e sono fasori. d m dt m armonici ione + M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI -e 7

73 La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza fa nascere un momento di dipolo elettrico: e p e e m Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di polarizzazione P è: Ne P N p m Nella precedente equazione è stato trascurato implicitamente l effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri elettroni. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 73

74 M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 74 In base alle leggi dell elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a nel plasma: s rad con angolare del plasma pulsazione m N e plasma permettività assolutadel D m Ne P D p p p p p p m Ne N p P D P

75 Dalla pulsazione ω p si definisce la frequenza del plasma : N e p Ne p f p Hz m m e la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta p ( f ): p p f f p F m da cui si ottiene la costante di propagazione: e l impedenza intrinseca: p j p p j f p f dove M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 75 f p f

76 D f p f p P D essendo p p f f Dalla espressione di ε p si vede come per f f p, la permettività equivalente ε p. Quando la permettività diventa nulla ε p ( f p =f ), lo spostamento elettrico D (che dipende solo dalle cariche libere è nullo, anche quando l intensità del campo elettrico (che dipende sia dalle cariche libere che dalla polarizzazione) non lo è. In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 76

77 f p costantedi propagazione γ p j j p f impedenza intrinseca p p Ne f p p m f Quando f < f p : l argomento sotto radice è negativo e quindi diventa puramente reale =α e β =, ciò comporta una attenuazione senza propagazione ; contemporaneamente p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si verifica trasmissione di potenza attiva.: il segnale viene riflesso. Perciò f p é anche indicata come frequenza di taglio. Quando f > f p : l argomento sotto radice è positivo e quindi f Hz é puramente immaginario reale =j β, e le onde elettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel plasma essendo α= (nella ipotesi di perdite di collisione trascurabili). La riflessione si verifica con angolo di incidenza, che dipende dalla frequenza. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 77

78 Se si sostituisce l espressione di ω p in funzione dei valori numerici di e, m e nella espressione della f p, si ottiene una formula molto semplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma: p N e m f p p Ne m 9 N Hz Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle onde attraverso la ionosfera. Poichè la densità elettronica della ionosfera N (N espressa come n di elettroni per unita di volume ) varia da: N= /m 3 ( stati inferiori) /m 3 ( stati superiori) 4 /cm 3 ( stati inferiori) 6 /cm 3 ( stati superiori) Per cui f p varia da.9 a 9MHz. ssa è una misura della densità di ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 78

79 Quindi se f p =.9 9 MHz, dovendo essere f > f p, per la comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz. Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza. La situazione reale è più complessa Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità elettronica N variabile da punto a punto e per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste differentemente da punto a punto della spazio. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 79

80 Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono : I segnali con frequenze superiori a di 9 MHz penetrano la ionosfera I segnali con frequenze tra,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove N é più grande. I segnali con frequenze minori di.9 MHz non possono penetrare nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e potranno propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8

81 Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono: f > 9 MHz f < 9 MHz f =.9 9 MHz M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8

82 Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si utilizzano frequenze alte legate alle condizioni della ionosfera nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione, dal l ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle sunspots. Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura acurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo militare. La frequenza di taglio f p può raggiungere 5 MHz a mezzogiorno e nell'immediato pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie solari (sunspots), può diminuire a MHz nelle prime ore del mattino e diminuire sino a a MHz durante la notte. M. Usai 6c_AI_QUAZIONI D ONDA VTTORIALI 8