Deposito legale in Spagna: MU

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2 Deposito legale in Spagna: MU

3 Giuseppe Ragunì I CONFINI LOGICI DELLA MATEMATICA

4 Copyright MMX ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: maggio 2010

5 Se non si sa spiegare qualcosa in modo semplice e chiaro è perché non la si è ben capita.

6 Indice Prefazione 13 I Sistemi assiomatici Sistemi assiomatici formali La metamatematica Deduzioni metamatematiche Definizioni Obiettivi, desideri e Sistemi ben definiti Il Calcolo logico classico Coerenza e completezza sintattica Le implicazioni della Logica classica Sistemi classici ben definiti Dimostrazioni per assurdo Frutti basilari del metodo assiomatico Non individuabilità di esistenti in Logica classica Verità indimostrabili II Completezza semantica e Teoria degli insiemi Teoria aritmetica di Peano Metateorema di correttezza. O no? Metateorema di completezza semantica Paradosso di Russell Teoria assiomatica degli insiemi Insieme dei numeri naturali L unificazione della Matematica Teorema di correttezza

7 8 Indice 2.9. Completezza sintattica e completezza semantica La coerenza dell ordinaria Matematica Isomorfismo I numeri dell infinito I numeri della metamatematica I numeri dei Sistemi assiomatici classici Sistemi innumerabili Teorema di completezza semantica e sue prime conseguenze Altre conseguenze del Teorema di completezza semantica Limiti espressivi dei Sistemi formali Limiti espressivi fondamentali per la Matematica L uso intrinsecamente semantico dei Sistemi formali e di TI III Incompletezza e indecidibilità Sistemi classici effettivamente assiomatizzabili Esempi di Sistemi classici eff. ass.. Due conseguenze dell assioma di scelta La Tesi di Church-Turing Metateorema di Church-Turing Primo Teorema di incompletezza di Gödel Conseguenze del Teorema di incompletezza Gloria di Chaitin Vanagloria di Chaitin Altri equivoci Coerenza Riepilogo conclusivo Congedo Bibliografia 255 WEB-Bibliografia 261

8 Elenco delle figure 1.1 Due modelli di uno stesso Sistema matematico Modello iperbolico di Poincaré Schema del sillogismo Festino Corrispondenza biunivoca tra i punti di un segmento e quelli di una semiretta Macchina generica M e macchina decisionale D Paradosso della fermata di Church-Turing

9 Elenco delle tabelle 1.1 Sistemi assiomatici Assiomatizzazione di A B in Logica classica

10 Prefazione Se ora Dio entrasse da quella porta, non potrebbe obiettare nulla a questa deduzione. Questa frase, pronunciata dal mio professore di matematica 1 al IV ginnasio, mi fece rimuginare. Non che elucubrassi sul divino, ma si poneva una semplice, difficile domanda: fino a che punto si può essere sicuri della correttezza e inconfutabilità delle deduzioni matematiche? L ultimo limite di dubitabilità di ogni linguaggio è costituito dalle convenzioni sul significato dei termini. Ma quali e quante sono queste convenzioni nel caso di una Disciplina matematica? Potrebbero essere infinite? Alcuni anni dopo, grazie alla rivista «Le Scienze», venni a conoscenza del Teorema d incompletezza. Lo choc, più che all enunciato in sé, fu dovuto all impossibilità di comprendere ciò che esattamente volesse dire, per quante volte lo rileggessi. In effetti, ciò che spesso succede con argomenti di questo tipo è che ogni sintetica esposizione divulgativa, non potendo chiarire tutti i dettagli, rischia solo di confondere pericolosamente le idee al lettore per cui normalmente è concepita, cioè inesperto. Il percorso che mi ha portato alla sua comprensione si è reso particolarmente difficoltoso essenzialmente per tre motivi. Il primo è che il tema, come spesso succede in Matematica, non si presta ad essere isolato: per comprendere bene ogni particolare, bisogna prima aver chiaro cos è il modello di una Teoria, la metamatematica, il Teorema di completezza semantica, le funzioni ricorsive... ; in breve, avere almeno un idea approssimativa, ma solida, dei fondamenti della Logica. 1 Il rinomato e compianto prof. Tullio Caponnetto del Liceo classico Cutelli di Catania. 13

11 14 Prefazione Il secondo motivo è dovuto all ambiguità della terminologia usata; sembra davvero incredibile che in un argomento così delicato, che richiederebbe il massimo della precisione, si continui ad adoperare un linguaggio così propenso alla confusione: la completezza, ad esempio, può indicare quattro differenti proprietà (noi, per fortuna, ne useremo soltanto due); e la decidibilità per un Sistema, non significa che esso non possa contenere enunciati indecidibili. Inoltre, non si distingue quasi mai, chiaramente, tra teorema e metateorema. Le ragioni di tale imprecisione sono in buona parte storiche; ma ciò non può giustificare la passività per la ricerca di espressioni più inequivocabili che si riscontra nella maggior parte dei testi. C è da ritenere che fino a quando tale terminologia non evolverà, l argomento resterà terreno di pochi e non potrà diffondersi adeguatamente come finalmente meriterebbe a circa ottant anni dalla sua nascita. In effetti, una delle ambizioni di questo libro è l uso di alcuni nuovi termini e concetti. Il terzo motivo è costituito dagli equivoci, scorrettezze ed errori che abbiamo creduto di riscontrare in diversi temi. Per andare avanti, dopo mesi di riflessioni e ricerche di nuove pubblicazioni, non restava che avere la presunzione di correggerli o rassegnarsi a non comprendere; ovviamente, esponendosi alla possibilità di trovarci noi stessi in errore. Alcune di tali revisioni e correzioni hanno un carattere marginale, altre più fondamentale. Tutto ciò giustifica le ragioni stesse del libro; che dunque, seppur scritto con l obiettivo irrinunciabile di essere pienamente comprensibile al lettore inesperto, introduce anche alcune novità in Logica.