Prova scritta di Fondamenti di meccanica razionale del

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1 Prov scritt di Fondmenti di meccnic rzionle del Esercizio 1 Nel pino Oxy di un tern inerzile Oxyz un pistr omogene L, di densità σ, occup l regione definit dlle disequzioni x, y x /, dove indic un lunghezz crtteristic. Un punto mterile P, di mss m, scorre senz ttrito lungo il bordo curvo di L ed è connesso ll origine O d un moll idele di costnte elstic k > vedi figur. Il peso si può considerre trscurbile. Determinre: l mss e l posizione del bricentro di L rispetto Oxyz; b l mtrice d inerzi di L reltiv Oxyz; c il momento d inerzi di L rispetto ll rett r di equzione x =, z = ; d le equzioni pure del moto di P, usndo x come vribile indipendente; e gli equilibri di P ; f l condizione di equilibrio di P qulor il coefficiente di ttrito sttico fr P e L si µ s >. Esercizio Nel pino Oxy di un tern inerzile Oxyz un pistr qudrt omogene pesnte ABCD, di lto e mss m, h il punto medio M del lto AB vincolto scorrere lungo l sse verticle Oy. Un moll idele di costnte elstic k colleg M con l origine O. Un second moll, di costnte elstic k, congiunge O con il punto medio N del lto CD, opposto d AB. Assunti i vincoli ideli, ed introdotte le coordinte generlizzte ξ R e ϑ R in figur, determinre del sistem: gli equilibri; b le crtteristiche di stbilità degli equilibri; c l espressione dell energi cinetic; d le equzioni di Lgrnge; e le equzioni del moto dell pistr e le reltive soluzioni costnti qulor ξ fosse un funzione ssegnt ξt = ɛ cos ωt del tempo, con ɛ e ω costnti positive fisste. 1

2 Soluzione dell esercizio 1 Mss e bricentro dell pistr Mss dell pistr L mss di L si ricv integrndo l densità costnte σ sull regione occupt dll pistr: m = dx x / dy σ = σ x dx = σ [x x3 3 ] = 3 σ, risultto coerente nche dl punto di vist dimensionle. Bricentro dell pistr Il momento sttico dell pistr h componenti: mx G = e: dx my G = x / = σ dy x σ = σ dx x / dy y σ = σ [ x + x5 5 x3 3 dx x x = σ ] dx 1 = σ per cui le coordinte del bricentro risultno: x [ ] x x3 x dx = σ x = σ3 = σ x x dx = = 15 σ3, x G = σ3 e il reltivo vettore posizione vle: 3 σ = 3 8 y G = 3 15 σ3 σ = 5 G O = 3 8 ê ê. b Mtrice d inerzi in Oxyz dell pistr Poichè l pistr gice nel pino coordinto Oxy, l form dell mtrice d inerzi di L in Oxyz è l seguente: [L O ] = L xx L xy L xy L yy. L xx + L yy Il momento d inerzi reltivo ll sse Ox si scrive: L xx = dx x / dy y σ = σ dx 1 3 x 3 = σ x + 3x x6 dx = 3

3 = σ mentre quello reltivo ll sse Oy vle: L yy = = σ dx x / dy x σ = σ = σ = σ dx x x x dx = σ e l unico prodotto d inerzi non bnle risult: L xy = = σ dx Considerto che: x / dy xy σ = σ dx x x = σ x = = 15 σ x + x x dx = x + dx x5 x3 = σ = 1 1 σ. L xx + L yy = σ + 15 σ = 3 15 σ = 7 σ, l mtrice d inerzi dell pistr si riduce pertnto : 16/15 1/1 [L O ] = σ 1/1 /15. /7 Si osservi che tutti gli elementi dell mtrice sono dimensionlmente omogenei e presentno l corrett dimensione fisic. c Momento d inerzi di L reltivo ll rett x = nel pino Oxy L rett r è prllel ll sse coordinto Oy, m non pss per il bricentro G dell pistr. Considert l rett Gy, pssnte per G e prllel d r, il teorem di Huygens-Steiner porge llor le relzioni: I r = I Gy + m x G I Oy = L yy = I Gy + mx G che sottrtte membro membro conducono ll equzione: I r L yy = m x G mx G 3

4 e consentono così di esprimere il momento d inerzi incognito in termini di L yy : I r = L yy + m x G = L yy + m 1 x G = = 15 σ + 3 σ = 15 σ + 3 σ 1 = σ = 3 1 σ. d Equzioni pure del moto di P L posizione del punto lungo il bordo curvo dell pistr è individut per mezzo dell ovvi prmetrizzzione: con derivt prim non null: e versore tngente ssocito: P x O = xê 1 + x ê, x [, ], P x = ê 1 x ê ˆτ x = P x P x = ê 1 x ê 1 + x. L velocità istntne di P si scrive: P = ê 1 x ê ẋ e derivndo in t un second volt fornisce l espressione dell ccelerzione: P = ê 1 x ẍ ê ẋ ê. L ipotesi di vincolo liscio utorizz scrivere l equzione pur del moto proiettndo il postulto delle rezioni vincolri: lungo l direzione tngente: m P = kp O + Φ m P P x = kp O P x, in modo che risult: m 1 + x ẍ + mxẋ [ = k x x ] x

5 ossi: m 1 + x ẍ + mxẋ = kx 1 + x. 1 e Equilibri di P Le posizioni di equilibrio del punto corrispondono lle soluzioni costnti delle equzioni 1, e si ottengono perciò risolvendo l equzione lgebric: = kx 1 + x nell intervllo x [, ]. Se ne deducono le rdici: x = x = x =, delle quli però soltnto le prime due sono ccettbili l terz non pprtiene evidentemente ll intervllo di definizione dell vribile indipendente. Gli equilibri del sistem si hnno dunque per: x = x =. f Condizione di equilibrio per P nel cso di ttrito rdente fr L e P Se µ s è il coefficiente di ttrito rdente sttico fr L e P, l condizione necessri e sufficiente ffinchè l posizione di sciss x [, ] si di equilibrio per il punto P è che l quiete in tle posizione soddisfi l legge di Coulomb-Morin dell ttrito rdente sttico, ossi che vlg l diseguglinz: F ˆτ µ s F F ˆτ ˆτ dove F = kp O, mentre F ˆτ ˆτ e F F ˆτ ˆτ indicno le componenti dell forz ttiv rispettivmente tngente e ortogonle ll curv L nell posizione considert. Nell fttispecie si h: x x 1 x 1 x F ˆτ = k = k 1 + x 1 + x per cui: e quindi: x 1 x F ˆτ ˆτ = k 1 + x F F ˆτ ˆτ = kxê 1 k x ê 1 x ê x 1 x ê k x ê 1 x ê =

6 = kxê x = kxê x = kxê x 1 + x 1 + x kê + 1 x kê 1 + x 1 + x kê 1 + x [ 1 x + x 1 ] x x 1 + x [ ] 1 x 1 + x x 1 x = 1 + x = kxê 1 + ê 1 + x 1 + x Per eliminre le rdici qudrte conviene esprimere l condizione di equilibrio nell form: F ˆτ µ s F F ˆτ ˆτ che sostituendo le espressioni precedenti divent: ed equivle : ossi: k x 1 x 1 + x µ sk x + x 1 x µ s 1 + x x 1 x 1 + x µ s 1 + x 1 + x, x [, ]. Osservzione. Insieme delle configurzioni di equilibrio in presenz di ttrito Per determinre l insieme delle configurzioni di equilibrio conviene porre x / = u [, 1] e riscrivere l condizione come: u1 u 1 + u µ s, u [, 1]. Si consideri llor l funzione usiliri non negtiv:. Φu = u1 u 1 + u, u [, 1] con derivt prim: Φ u = u 1u + 7u u 3, u [, 1]. 6

7 I punti critici di Φ si hnno per u = 1/ e per: vle dire: u + 7u 1 = u = 7 ± = 7 ± 57 Di questi, sono ricompresi nell intervllo u [, 1] soltnto i seguenti:. dove perltro risult: Φ1/ = u = Φ u = = = mentre Φ soddisf le condizioni l contorno: Φ = Φ1 = 1. Il grfico di Φu h dunque l ndmento illustrto nell figur seguente: Per µ s = si ricde nel cso di vincolo liscio e i soli equilibri corrispondono u = e u = 1/, come già stbilito. Al crescere di µ s gli equilibri sono individuti dll disequzione Φu µ s e costituiscono intervlli di mpiezz crescente intorno u = e u = 1/, visto che x = u [, ]. Si osservi che se µ s 1/ tutte le configurzioni risultno di equilibrio per il sistem, vendosi: 1 = sup Φu µ s. u 1 7

8 Soluzione dell esercizio Equilibri Le sollecitzioni ttive pplicte l sistem sono tutte posizionli conservtive e vnno perciò descritte d ppropriti potenzili, quello grvitzionle dell pistr e quello elstico ssocito lle due molle ideli. Per determinre i potenzili conviene ricvre preliminrmente i vettori posizione dei punti M ed N: M O = ξê N O = M O + N M = ξê + sin ϑ ê 1 cos ϑ ê = = sin ϑ ê 1 ξ + cos ϑê e quello del bricentro G dell pistr, che coincide con il centro geometrico di quest: G O = M O + N M = sin ϑ ê 1 ξ + 1 cos ϑ ê. 3 Potenzile grvitzionle Il potenzile delle forze peso genti sull pistr è dto dll formul: U g = mgê G O = mg ξ + 1 cos ϑ. Potenzile elstico Il potenzile elstico è l somm dei contributi reltivi lle due molle: U el = k M O k N O = k M O k N O dove: per cui: M O = ξê = ξ N O = sin ϑ ê 1 ξ + cos ϑê = = sin ϑ + ξ + cos ϑ + ξ cos ϑ = ξ + ξ cos ϑ + 1 U el = k ξ k ξ + ξ cos ϑ + 1 = k 3ξ + ξ cos ϑ +. Potenzile del sistem L somm dei potenzili grvitzionle ed elstico fornisce il potenzile del sistem: Uξ, ϑ = U g + U el = mg ξ + 1 cos ϑ k 3 ξ + ξ cos ϑ

9 Conviene considerre l form dimensionle del potenzile, omettendo l costnte dditiv: Uξ, ϑ = 1 mg Uξ, ϑ = ξ cos ϑ λ ξ + ξ cos ϑ ξ, ϑ R ed introducendo il prmetro d ordine dimensionle: λ = k/mg >. Equilibri Gli equilibri del sistem sono i punti critici del potenzile dimensionle e si ottengono imponendo l nnullrsi delle derivte przili prime: U U ξ, ϑ = 1 3λξ λ cos ϑ ξ ϑ ξ, ϑ = 1 sin ϑ + λξ sin ϑ ossi risolvendo il sistem di equzioni: 1 3λξ λ cos ϑ = 1 sin ϑ + λξ sin ϑ = che equivle : 1 3λξ λ cos ϑ = 1 + λξ sin ϑ =. Dll prim equzione di equilibrio si può ricvre ξ in funzione dell vribile ngolre: per cui l second equzione divent: ξ = 1 3λ 3 cos θ λ cos ϑ sin ϑ =. Soluzioni definite incondiziontmente si ottengono per sin ϑ = : e corrispondono gli equilibri: ξ, ϑ = ϑ = 1 3λ 3, Altre due soluzioni si hnno per: ϑ = π ξ, ϑ = 1 3λ + 3, π λ cos ϑ = cos ϑ = 3 8λ 9

10 e risultno definite e distinte dlle precedenti condizione che si λ > 1/8: ϑ = rccos 1/8λ := ϑ ϑ = rccos 1/8λ = ϑ individundo sotto l stess condizione gli ulteriori equilibri: ξ, ϑ = 1/λ, ϑ ξ, ϑ = 1/λ, ϑ. b Stbilità degli equilibri Il sistem è scleronomo posizionle e conservtivo, vincoli bilterli ideli. Ricorrono perciò le condizioni per nlizzre le proprietà di stbilità degli equilibri fcendo uso dei teoremi di Lgrnge-Dirichlet e di inversione przile. Serve clcolre le derivte przili seconde di U: U ξ, ϑ = 3λ ξ U ξ, ϑ = λ sin ϑ ξ ϑ U ξ, ϑ = λ sin ϑ ϑ ξ U ϑ ξ, ϑ = 1 cos ϑ + λξ cos ϑ e quindi l corrispondente mtrice hessin: H U ξ, ϑ = 3λ λ sin ϑ λ sin ϑ 1 cos ϑ + λξ cos ϑ di cui si devono crtterizzre le proprietà spettrli in ciscun configurzione di equilibrio. 1 Configurzione ξ, ϑ = 3λ 3, In questo equilibrio l mtrice hessin del potenzile ssume l form digonle: 1 H U 3λ 3, = 3λ λ m mentre l utovlore 3λ h certmente segno negtivo, null può dirsi sul segno del secondo, che obblig perciò distinguere tre diversi csi: per λ > 1/8 si h 1 6 λ < e l mtrice risult definit negtiv. L configurzione 3 costituisce un mssimo reltivo proprio del potenzile, l cui stbilità è ssicurt dl teorem di Lgrnge-Dirichlet; se λ < 1/8 l mtrice hessin present l utovlore positivo 1 6 λ >, grntendo 3 così l instbilità dell equilibrio in forz del teorem di inversione przile di Lgrnge- Dirichlet; 1

11 qulor si bbi infine λ = 1/8, l mtrice hessin h un utovlore negtivo e uno nullo. In questo cso l posizione di equilibrio divent ξ, ϑ =, e il potenzile dimensionle si riduce : Uξ, ϑ = ξ + 1 cos ϑ 3 16 ξ 1 ξ cos ϑ. Posto ξ, ϑ = + δξ, δϑ, si ottiene llor: U + δξ, δϑ = + δξ cos δϑ 16 + δξ + δξ 1 + δξ cos δϑ = = + δξ + 1 cos δϑ δξ 3 δξ 1 cos δϑ 1 δξ cos δϑ = = δξ 1 3 δξ cos δϑ 16 δξ = = δξ δϑ sin 3 16 δξ = = 5 3 δξ δξ δϑ sin = = 5 3 δξ δϑ sin + 16 = 5 3 δξ δϑ 16 3 sin sin δϑ 16 9 sin δϑ = per cui ppre evidente che l equilibrio non è un mssimo reltivo proprio del potenzile. Tecnicmente, quello individuto è un cso critico di stbilità. Nondimeno, per i sistemi grdi di libertà posizionli conservtivi Pinlevé h dimostrto l instbilità delle configurzioni di equilibrio che non sino mssimi reltivi propri del potenzile supposto funzione nlitic, cioè sviluppbile in serie di Tylor, in un intorno del punto di equilibrio, nel cso in cui un utovlore dell hessino si negtivo e l ltro si nullo. Condizioni che ricorrono nell circostnz presente e ssicurno l instbilità dell configurzione. 1 Configurzione ξ, ϑ = 3λ + 3, π Anche in questo punto critico l mtrice hessin risult digonle: H U 1 3λ + 3, π = 3λ λ m present or due utovlori negtivi. L configurzione costituisce pertnto un mssimo reltivo proprio del potenzile, stbile per Lgrnge-Dirichlet. Configurzione ξ, ϑ = 1/λ, ϑ Nell fttispecie l mtrice hessin del potenzile si scrive: 1 3λ λ sin ϑ 3λ λ sin ϑ H U λ, ϑ = λ sin ϑ 1 cos ϑ + λ 1 = λ sin ϑ cos ϑ λ 11

12 e h determinnte negtivo: det H U 1 λ, ϑ = λ sin ϑ < risultndo perciò indefinit. Il teorem di inversione przile di Lgrnge-Dirichlet implic l instbilità dell equilibrio, cus l presenz di un utovlore positivo. Configurzione ξ, ϑ = 1/λ, ϑ L mtrice hessin del potenzile è nlog quell clcolt nell equilibrio simmetrico precedente: 1 H U λ, 3λ λ sin ϑ ϑ = λ sin ϑ e con lo stesso determinnte: det H U 1 λ, ϑ = λ sin ϑ <. Anche questo equilibrio risult instbile per il teorem di inversione przile di Lgrnge- Dirichlet. c Energi cinetic Non essendo presenti punti fissi, l energi cinetic dell pistr deve essere determint fcendo uso dell formul di König: T = m Ġ + 1 I Gz ω. L velocità del bricentro si ottiene derivndo in t il vettore posizione 3 di G: e h modulo qudrto: Ġ = cos ϑ ϑ ê 1 + ξ + 1 sin ϑ ϑ ê Ġ = cos ϑ ϑ + ξ + 1 sin ϑ ϑ sin ϑ ξ ϑ = ξ + 1 ϑ sin ϑ ξ ϑ. Il momento d inerzi rispetto ll sse Gz e l velocità ngolre dell pistr vlgono invece: I Gz = m 6 ω = ϑê 3. L energi cinetic del sistem divent così: T = m ξ + 1 ϑ sin ϑ ξ ϑ + 1 m 6 ϑê 3 = m 1 ξ ϑ sin ϑ ξ ϑ.

13 d Equzioni di Lgrnge Le equzioni di Lgrnge del sistem si scrivono: d L dt ξ L ξ = d L dt ϑ in termini dell lgrngin L = T + U definit d: L = m ξ ϑ sin ϑ ξ ϑ + mg ξ + 1 cos ϑ L ϑ = 3 k ξ + ξ cos ϑ. Ricordndo che nel clcolo delle derivte przili dell lgrngin i prmetri lgrngini ξ, ϑ e le velocità generlizzte ξ, ϑ vnno rigurdte come vribili indipendenti, è immedito ricvre le relzioni: L ξ L ξ d L dt ξ L ϑ L = mg k 3ξ + cos ϑ = m ξ sin ϑ ϑ = m ξ 1 sin ϑ ϑ = m ξ 1 sin ϑ ϑ 1 cos ϑ ϑ = m cos ϑ ξ ϑ 1 mg sin ϑ + k ξ sin ϑ ϑ = m 5 6 ϑ sin ϑ ξ = m 5 1 ϑ 1 sin ϑ d L dt ϑ = m 5 1 ϑ 1 sin ϑ ξ 1 cos ϑ ϑ ξ. Le equzioni del moto diventno pertnto: m 1 ξ sin ϑ ϑ 1 cos ϑ ϑ mg + k 3ξ + cos ϑ = 5 m 1 ϑ 1 sin ϑ ξ + 1 mg sin ϑ k ξ sin ϑ =. ξ e Equzioni del moto e soluzioni costnti nel cso ξ = ɛ cos ωt L vere ssegnto l vribile ξ come funzione not del tempo equivle d imporre un ulteriore vincolo l sistem, che divent così reonomo e d un solo grdo di libertà descritto dl prmetro lgrngino residuo ϑ. I clcoli per scrivere l energi cinetic e il potenzile del sistem sono formlmente gli stessi già considerti in precedenz, slvo dover porre: ξ = ɛ cos ωt ξ = ωɛ sin ωt per ottenere l lgrngin: L = m ω ɛ sin ωt ϑ + ωɛ sin ωt sin ϑ ϑ + + mg ɛ cos ωt cos ϑ k ɛ cos ωt + ɛ cos ωt cos ϑ 13

14 e l unic equzione di Lgrnge: d L dt ϑ Si hnno dunque le relzioni przili: L ϑ =. L ϑ = m ωɛ sin ωt cos ϑ ϑ 1 mg sin ϑ + k ɛ cos ωt sin ϑ L m 5 = ϑ 6 ϑ 5 + ωɛ sin ωt sin ϑ = m 1 ϑ + 1 ωɛ sin ωt sin ϑ d L 5 dt ϑ = m 1 ϑ + 1 ωɛ sin ωt cos ϑ ϑ + 1 ω ɛ cos ωt sin ϑ dlle quli segue l equzione del moto richiest: m 5 1 ϑ + 1 ωɛ sin ωt cos ϑ ϑ + 1 ω ɛ cos ωt sin ϑ m ωɛ sin ωt cos ϑ ϑ + 1 mg sin ϑ k ɛ cos ωt sin ϑ = vle dire: m 5 1 ϑ + 1 ω ɛ cos ωt sin ϑ + 1 mg sin ϑ k ɛ cos ωt sin ϑ = e rccogliendo i termini simili: [ 5 1 mω ] 1 m ϑ + mg + ɛ k cos ωt sin ϑ =. Le soluzioni costnti di quest equzione si hnno chirmente per sin ϑ = e risultno perciò: ϑt = t R e ϑt = π t R. 5 D sottolinere come nessun di queste soluzioni sttiche poss essere ssocit d un equilibrio del sistem, dl momento che per ξ = ɛ cos ωt l pistr non mmette lcuno stto di quiete comptibile con i vincoli l pistr non può rimnere in quiete se il suo punto M è forzto muoversi. Osservzione. Stbilità delle soluzioni costnti L nlisi di stbilità delle soluzioni costnti 5 è tutt ltro che bnle, cus dell dipendenz esplicit dl tempo. L equzione del moto equivle inftti quell di un pendolo semplice modulto periodicmente nel tempo con legge sinusoidle: ϑ + [ 6g 5 + ɛ6 5 ω k m cos ωt ] sin ϑ =, slvo il cso prticolre di ω = k/m, in cui l modulzione sinusoidle si nnull e l stbilità di ϑ = segue immeditmente dl teorem di Lgrnge-Dirichlet, come l instbilità di θ = π d quello di inversione przile. Nel cso generle, le proprietà di stbilità delle soluzioni costnti ϑ = e ϑ = π sono pesntemente condizionte dl fenomeno dell risonnz prmetric. 1