1. sì ; ξ = - 2 / 3 2. no 3. sì ; ξ = - arctg 1/2 4. sì per a = 1, no per a 1 ; ξ = -1/2. log cosx 2. = exp. tg x 4. sen x ( sen2 x + 3 log cos x ).

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1 Calcolo differenziale soluzioni degli esercizi proposti N ma per π / 4 min 0 per π / 4. ma 1 per π / 6 min 0 per π /. sup + min 15 / ( ) per ma 1 per π inf - 5. sup + min e per e 6. ma π / per 0, min 0 per 1 7. ma arctg5 per inf - π / 8. ma / per π / 6, 5 π / 6 ( + k π ) min - per π / ( + k π ) 9. sup min 0 per 1 / 4, ma per inf π 1. sì ; ξ - /. no. sì ; ξ - arctg 1/ 4. sì per a 1, no per a 1 ; ξ -1/. log cos log cos f ( ) ep ep. tg tg log cos cos f ( ) - ep. tg 4 sen ( sen + log cos ). Limite per 0 + log cos log ( 1 - / ) - / - - tg f ( ) 0 Limite per π/ - log cos - cos log cos 0 tg (abbiamo sostituito sen con il suo limite -1; inoltre, poiché cos 0, ci riconduciamo a calcolare il limite di t log t per t 0 ; questo è un limite notevole e vale 0 ) f ( ) 1. In conclusione, la funzione data può essere prolungata per continuità agli estremi dell intervallo ; poiché f ( 0 ) f ( π / ), non vale l ipotesi del teorema di Rolle.

2 4. 1. no ; ξ - 1 /. sì ; ξ ( 4 - π ) / π. no ; ξ ± 1/ 7 4. sì ; ξ e / ( sgn ) ( + ) ( ) - 1 ( + 1 ). e - sgn ( 4 - ) ( ). cos (1-4 sen ) (1 ) sgn ( -1) (1- )

3 6. e sgn ( -1-1) Indicata con H la lunghezza ( data ) dell ipotenusa e con quella di uno dei cateti, l altro cateto misura H - e dunque l area è espressa dalla funzione A ( ) H - /, con [ 0, H ]. Il valore massimo si ottiene per H /, in corrispondenza del triangolo isoscele.. Scritta la retta nella forma y + m ( 1 ) (con m < 0), i punti di intersezione con gli assi sono ( ( m ) / m, 0 ), ( 0, m ) ; l area è data da A ( m ) - ( m ) / ( m ), definita per m < 0. Il minimo si ottiene per m -.. La circonferenza di base misura e dunque il raggio di base è / π. Tenendo conto che + y H, l altezza del cilindro vale H. Il volume è dunque V ( ) ( H ) / 4 π, con 0 H. Il volume è massimo per Indichiamo con la distanza tra il punto di appoggio della trave dal muro e con y l altezza del punto di appoggio della trave all edificio. ( v. fig. ). Dalla similitudine dei triangoli ricaviamo y : b ( a + ) : cioè y b ( 1+ a / ). La lunghezza della trave si ottiene dal teorema di Pitagora : l ( ) + ( a + ) + b (1 ( a / ) ) con 0. La lunghezza è minima per a b. 5. Il generico punto della semiretta è P (, 16 - ), con 4 4. La funzione di cui dobbiamo calcolare valore massimo e minimo è data da :

4 S ( ) + ( ) + ( - 8 ) ( ) La funzione è minima per (in questo caso P è il punto che sta sulla bisettrice del I quadrante), massima per -4 (in questo caso P ( - 4, 0 )) 6. Indichiamo con la distanza con segno dal centro (v. fig.) : è considerato positivo se la base sta al di sotto del centro ; dunque R R. Il solido generato è costituito da due coni con raggio di base R + e altezza R -. Il volume complessivo è dunque dato da V ( ) π ( R + ) R - /. Questo è massimo per R /. 7. n n+1 n n e - 1 Per risolvere la disequazione, possiamo studiare graficamente il segno della funzione f ( ) e 1 ; si trova che questa è sempre positiva, eccetto che per 0 dove si annulla. Dunque la successione è crescente ed ha come unico punto fisso 0. In conclusione : se k 0 la successione è costantemente nulla se k < 0 la successione tende a 0 crescendo se k > 0 la successione tende a + crescendo. 8. La funzione f 1 è definita in [ -1, 1 ] ; la sua derivata 1 ( 1 ) 1/ è negativa e dunque la funzione è decrescente, condizione che assicura l invertibilità. Poiché f 1 ( ) 0 per 1, la derivata della funzione inversa in y 0 è l inverso della derivata della funzione in 1 ; però 1 è un punto a tangente verticale per la funzione e dunque y 0 è un punto a tangente orizzontale per l inversa ; in altre parole f 1-1 ( 0 ) 0. La funzione f è definita in R ; la sua derivata sen è positiva e dunque la funzione è crescente, condizione che assicura l invertibilità.

5 Poiché f ( ) 1 per 0, la derivata della funzione inversa in y 1 è l inverso della derivata della funzione in 0 : f -1 ( 1 ) 1 /.