Rappresentazione di una sequenza a durata finita come un periodo di una sequenza periodica.

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1 La Trasformata di Fourier Discreta (DFT) 1. Sequenza x(n) lunga N è rappresentabile con sequenza periodica x(n) di periodo N, con andamento nel periodo identico a x(n); 2. x(n) è esattamente rappresentabile dai campioni della sua Z-trasformata X(z), in quanto la sequenza periodica costruita campionando X(z) in N punti equispaziati sul cerchio unitario è identica ai coefficienti della DFS di x(n). La sequenza che corrisponde a tali campioni di X(z) è una versione di sequenza originale x(n) ripetuta periodicamente in modo che non vi è aliasing Rappresentazione di una sequenza a durata finita come un periodo di una sequenza periodica. 107 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

2 La Trasformata di Fourier Discreta (DFT) Sequenza periodica corrispondente a x(n): x(n) = r x(n + rn) di periodo N non c è sovrapposizione tra gli x(n + rn) x(n) = x(n modulo N) = x((n)) N x(n) = { x(n) 0 n N 1 0 altrove = x(n) R N (n) } {{ } R N (n) = sequenza rettangolare { 1 0 n N 1 = 0 altrove 108 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

3 La Trasformata di Fourier Discreta (DFT) Si è visto che: x(n) periodo N X(k) periodo N Per mantenere la dualità dei domini tempo-frequenza: x(n) un periodo di x(n) X(k) coefficienti di Fourier un periodo di X(k) cioè: X(k) = X((k)) N X(k) = X(k)R N (k) 109 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

4 La Trasformata di Fourier Discreta (DFT) (analisi) X(k) = (sintesi) x(n) = N 1 n=0 x(n)w kn N 0 k N 1 0 altrove 1 N N 1 k=0 X(k)W kn N 0 n N 1 0 altrove Questa è: Trasformata discreta di Fourier (DFT - Discrete Fourier Transform) x(n) DFT X(k) 110 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

5 Proprietà della DFT Sono sostanzialmente analoghe al caso DFS, derivando dalla periodicità implicita nella rappresentazione di sequenze di durata finita con la DFT. Linearità x 3 (n) = ax 1 (n) + bx 2 (n) DFT X 3 (k) = ax 1 (k) + bx 2 (k) Se x 1 (n) ha durata N 1 e x 2 (n) N 2 x 3 (n) dura N 3 = max{n 1, N 2 } Le DFT vanno calcolate con N = N 3 P.E. se N 1 < N 2 X 1 (k) è DFT di x 1 (n) allungata con N 2 N 1 zeri: N 1 1 X 1 (k) = x 1 (n)wn kn 2 0 k N 2 1 X 2 (k) = n=0 N 2 1 n=0 x 2 (n)w kn N 2 0 k N A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

6 Proprietà della DFT Traslazione circolare di una sequenza x(n) m = x 1 (m) Confronto tra (1) e (4), cioè x(n) e x 1 (n), mostra che x 1 (n) non corrisponde a una traslazione lineare di x(n) 112 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

7 Proprietà della DFT In passaggio da x(n) a x(n+m): traslando x(n) e considerando intervallo (0, N 1], quando un campione esce dall intervallo, un campione identico entra dall altra parte Si può pensare di costruire x 1 (n) traslando x(n) in modo tale che ogni campione che esce dall intervallo [0, N 1] da una parte vi entra dall altra x(n) di durata finita è immaginabile disposta lungo la circonferenza di un cilindro di esattamente N punti. Percorrendo più volte la circonferenza, si vede la sequenza x(n) traslazione lineare di x(n) equivale a rotazione del cilindro (traslazione circolare ) 113 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

8 Proprietà della DFT Dunque, per la traslazione circolare: x 1 (n) = x(n + m) = x((n + m)) N x(n) = x(n)r N (n) x 1 (n) = x 1 (n)r N (n) = x((n + m)) N R N (n) Per trovare la relazione tra DFT{x(n)} e DFT{x 1 (n)}: se x(n) DFS X(k) e x 1 (n) = x(n + m) DFS X 1 (k) = X 1 (k) = W km N X(k) = = X 1 (k) = W km N X(k) per la dualità tra i domini tempo-frequenza. Si ha: Se è X 1 (k) = X((k + l)) N R N (k) x 1 (n) = W ln N x(n) 114 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

9 Convoluzione circolare Se x 1 (n) DFT X 1 (k) e x 2 (n) DFT x 3 (n) = X 2 (k) con x 1 (n) e x 2 (n) di durata N: ] [ N 1 m=0 x 1 (m) x 2 (n m) R N (n) } {{ } convoluzione circolare DFT X 3 (k) = X 1 (k)x 2 (k) 115 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

10 Convoluzione circolare Differenza con convoluzione lineare : caso lineare: le due sequenze sono traslate (dopo il ribaltamento di una delle due) successivamente l una rispetto all altra caso circolare: una sequenza si può immaginare di disporla lungo la circonferenza di un cilindro di N punti. L altra sequenza, rovesciata, è disposta anch essa su circonferenza di un cilindro con N punti. Immaginando di porre un cilindro dentro l altro, i successivi valori della convoluzione si ottengono moltiplicando i valori su un cilindro per i corrispondenti valori sull altro e sommando poi gli N prodotti risultanti. 116 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

11 Convoluzione circolare Circolare convoluzione equivale alla costruzione di due sequenze periodiche e alla effettuazione di una convoluzione periodica convoluzione circolare, si indica con: x 1 (n) N x 2 (n) 117 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

12 Convoluzione circolare Esempio n A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

13 Convoluzione circolare Esempio n. 2 x 1 (n) = x 2 (n) = { 1 0 n N 1 0 altrove x 3 (n) =? X 1 (k) = X 2 (k) = N 1 n=0 W kn N = { N k = 0 0 altrove (propr. ortog.) X 3 (k) = X 1 (k)x 2 (k) = { N 2 k = 0 0 altrove x 3 (n) = N, 0 n N 1 Il risultato è molto diverso da una convoluzione lineare!! (due rettangoli generano un triangolo di estensione pari alla somma delle due estensioni) 119 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

14 Convoluzione circolare Se si considerano x 1 (n) e x 2 (n) allungate a 2N punti (in realtà basta meno): Convoluzione circolare su 2N punti di due sequenze rettangolari di durata N. 120 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

15 Interpretazione della convoluzione circolare Se x 1 (n) e x 2 (n) di durata finita hanno trasformata di Fourier: X 1 (e jω ) e X 2 (e jω ) e X 3 (e jω ) = X 1 (e jω )X 2 (e jω ) = Le DFT: = x 3 (n) } {{ } F 1 {X 3 (e jω )} X 1 (k) = X 2 (k) = = N 1 n=0 N 1 n=0 N 1 m=0 x 1 (m)x 2 (n m) } {{ } Convoluzione lineare di x 1 (n) e x 2 (n) lunga 2N 1 campioni x 1 (n)w kn N x 2 (n)w kn N = X 1 (e jω ) ω= 2πk N = X 2 (e jω ) ω= 2πk N Con frequenze ω = 2πk/N costituenti un adeguato campionamento delle trasformate di Fourier per rappresentare x 1 (n) e x 2 (n) nel tempo senza aliasing. 121 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

16 Interpretazione della convoluzione circolare x 4 (n): X 4 (k) = X 1 (k)x 2 (k) è data da [ ] x 4 (n) = x 3 (n + rn) R N (n) x 3 (n) lunga 2N 1 x 4 (n) è una versione affetta da aliasing. r 122 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

17 Riassunto proprietà DFT Sequenze di lunghezza finita (N) x(n) y(n) ax(n) + by(n) x((n + m)) N R N (n) WN lnx(n) [ N 1 DFT X(k) Y (k) ax(k) + by (k) W kn N X(k) X((k + l)) N R N (k) m=0 x((m)) N y((n m)) N ] R N (n) X(k)Y (k) 1 N [ N 1 x(n)y(n) l=0 ] Y ((k l)) N R N (k) X((l)) N x (n) X (( k)) N R N (k) x (( n)) N R N (n) X (k) R[x(n)] X ep (k) = 1 2 [X((k)) N + X (( k)) N ]R N (k) ji[x(n) X op (k) = 1 2 [X((k)) N X (( k)) N ]R N (k) x ep (n) R[X(k)] x op (n) ji[x(k)] Le proprietà seguenti valgono solo quando x(n) è reale: X(k) = X (( k)) N R N (k) R[X(k)] = R[X(( k)) N ]R N (k) x(n) reale qualsiasi I[X(k)] = I[X(( k)) N ]R N (k) X(k) = X(( k)) N R N (k) arg[x(k)] = arg[x(( k)) N ]R N (k) 123 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

18 Convoluzione lineare basata sulla DFT Per DFT: esistono algoritmi di calcolo veloci ( ) per calcolare convoluzione può convenire 1. calcolare DFT delle due sequenze 2. fare il prodotto delle DFT 3. calcolare la DFT inversa del prodotto Nella maggior parte delle applicazioni interessa calcolare la convoluzione lineare (p.e. filtraggio segnale vocale o radar) Poiché metodo ( ) porta a calcolo di convoluzione circolare, ci si deve accertare che tale convoluzione circolare produca l effetto della desiderata convoluzione lineare 124 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

19 Convoluzione lineare basata sulla DFT Se x 1 (n) e x 2 (n) sono lunghe N: x 3 (n) = N 1 m=0 x 1 (m)x 2 (n m) convoluzione lineare Con x 3 (n) che può avere 2N 1 punti diversi da zero (lunghezza pari a 2N 1) Se x 3 (n) si pensa ottenuta moltiplicando le DFT X 1 (k) e X 2 (k) di x 1 (n) e x 2 (n) anche X 1 (k) e X 2 (k) devono essere calcolate sulla base di 2N 1 punti X 1 (k) 2N 2 n=0 x 1 (n)w 2N 1, X 2 (k) 2N 2 n=0 x 2 (n)w 2N 1 x 3 (n) = 1 2N 1 2N 2 k=0 [ X1 (k)x 2 (k)w nk 2N 1] R2N 1 (n) con x 3 (n), dunque, convoluzione lineare di x 1 (n) e x 2 (n). 125 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

20 Convoluzione lineare basata sulla DFT Si otterrebbe una convoluzione lineare anche se le DFT fossero calcolate sulla base di più di 2N 1 punti Convoluzione di due sequenze di durata diversa: se x 1 (n) lunga N 1 x 2 (n) lunga N 2 convoluzione è lunga N 1 + N 2 1 X 1 (k) e X 2 (k) vanno calcolate sulla base di N 1 + N 2 1 punti. 126 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

21 Convoluzione lineare basata sulla DFT Convoluzione tra una sequenza a durata finita e una a durata infinita Note: è generalmente impossibile il calcolo di una DFT su un numero elevato di punti in modo da riutilizzare il caso di prima (sostituendo a sequenza di durata una di durata molto elevata N 2 N 1 ) in tal modo non si potrebbe calcolare alcun punto della sequenza filtrata prima di aver raccolto tutti i punti della sequenza d ingresso! Tali ritardi nella elaborazione sono, invece, generalmente da evitare. Per evitare ritardi ma usare ancora la DFT: si segmenta il segnale da filtrare in sezioni lunghe L 127 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

22 Metodo di sovrapposizione e somma Ogni segmento può essere quindi convoluito con la h(n) finita e i segmenti filtrati congiunti infine uno all altro in modo opportuno Questo filtraggio a blocchi può essere attuato usando DFT. Pertanto: x (n) (LUNGH. ) 1. x(n) scomposto in: h(n) LUNGA M x k (n) = { x(n) kl n (k + 1)L 1 0 altrove 2. x k (n) h(n) 3. x(n) h(n) = x(n) = x k (n) k=0 x k (n) h(n) k=0 128 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

23 Metodo di sovrapposizione e somma Risposta all impulso h(n) di durata finita e segnale x(n) da filtrare. 129 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

24 Metodo di sovrapposizione e somma Poiché x k (n) lunga L e h(n) lunga M [x k (n) h(n)] lunga L + M 1 la convoluzione lineare x k (n) h(n) ottenibile usando una DFT di (L + M 1) punti Inoltre: distanza tra i campioni iniziali di due segmenti d ingresso adiacenti è di L punti ogni segmento filtrato ha lunghezza L + M 1 + i punti diversi da zero nei segmenti filtrati si sovrappongono - nello svolgimento della: x(n) h(n) = x k (n) h(n) k=0 di (M 1) punti 130 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

25 Metodo di sovrapposizione e somma Il metodo è detto di sovrapposizione e somma poiché: 1. i segmenti filtrati sono sovrapposti, dal momento che la convoluzione lineare x(n) h(n) è, in generale, più lunga del segmento k-simo; 2. sommati per ottenere l uscita. 131 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

26 Metodo di sovrapposizione e somma (a) Scomposizione di x(n) in segmenti non sovrapponentisi di lunghezza L; (b) risultato della convoluzione di ogni segmento con h(n). 132 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

27 Metodo di sovrapposizione ed estrazione Metodo alternativo: di sovrapposizione e estrazione consiste nel calcolo di convoluzione circolare tra x k (n) e h(n), identificandone la parte corrispondente a una convoluzione lineare. In particolare: se h(n) è lunga M e se ne effettua la convoluzione circolare con un segmento di x(n) lungo N i primi (M 1) punti di tale convoluzione non sono corretti, mentre i rimanenti sono gli stessi che si otterrebbero dalla convoluzione lineare conviene segmentare x(n) in blocchi di lunghezza N in modo che ogni segmento di ingresso si sovrapponga al precedente per M 1 punti 133 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

28 Metodo di sovrapposizione ed estrazione si definiscono gli x k (n) come: x k (n) = x 0 (n+k(n M+1)) 0 n N 1 con x 0 (n) ottenuta da x(n) ponendovi M 1 zeri iniziali x 0 (n) = x(n M + 1) N.B. l origine temporale di ogni segmento è posta all inizio del segmento stesso piuttosto che coincidente con l origine di x(n), effettuando dunque traslazioni a sinistra di k[n (M 1)] = k(n M + 1) posizioni se y k (n) indica la convoluzione circolare del k-mo segmento di x(n) con h(n) in ogni sequenza d uscita; si scarta la parte per 0 n M A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

29 Metodo di sovrapposizione ed estrazione Perché vanno scartati i primi M 1 punti? con 1. h(n) di durata M (p.e. M = 3) 2. segmentazione di x(n) in tratti lunghi N > M Finché non escono dall intervallo 0 (N 1) i due campioni della replica C cerchiati non si hanno valori corretti di convoluzione ( con M = 3 devono uscire 2 = M 1 campioni c.v.d.) 135 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

30 Metodo di sovrapposizione ed estrazione Punti che restano dalle sequenze di uscita devono essere congiunti gli uni agli altri per ottenere l uscita filtrata finale = y(n) = y k [(n k(n M + 1)) ( ) + (M } {{ 1 } )] k=0 ( ) ( ) si effettuano, dunque, traslazioni a destra delle y k (n) di k[n M + 1] posizioni ( ) ritraslati a sinistra per eliminare zeri di y 0(n) { y con y k (n) = k (n) M 1 n N 1 } {{ } 0 altrove ( ) ( ) durata: N 1 M = N M A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

31 Metodo di sovrapposizione ed estrazione Il nome del metodo deriva dal fatto che ogni successivo segmento di ingresso consiste in N M + 1 nuovi punti e M 1 conservati dal segmento precedente. (a) Scomposizione di x(n) in segmenti sovrapponibili di lunghezza N; (b) risultato della convoluzione circolare di ogni segmento con h(n). Sono anche indicate le porzioni da scartare per ogni segmento filtrato allo scopo di ottenere la convoluzione lineare. 137 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

32 Metodo di sovrapposizione ed estrazione 138 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi