Effetti di un campo magnetico

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1 Per l autorizzazione Effetti a riprodurre di un in parte campo o in tutto la presente magnetico Lezioni di Fisica Atomica Effetti di un campo magnetico Enrico Perturbazioni Silva - proprietà II intellettuale non ceduta Non è permessa, Accoppiamento in particolare, spin-orbita la riproduzione anche parziale Effetto della Zeeman presente normale opera. Per l autorizzazione Effetto a Zeeman riprodurre anomalo in parte o in tutto la presente opera è richiesto Effetto il Paschen-Back permesso scritto dell autore (E. Silva) Effetti di un campo magnetico Ragionamento semiclassico. 1 Un elettrone circolante su un orbita (grandezza interessata: L) equivale a una corrente, Enrico che genera Silva quindi - proprietà un campo intellettuale magnetico non ceduta interno che interagisce Non con è permessa, il momento in particolare, magnetico la proprio riproduzione dell elettrone anche (grandezza parziale interessata: S): L ed S sono della accoppiati. presente Accoppiamento opera. spin-orbita. 2 Un elettrone opera è con richiesto L ed S il interagisce permesso scritto con un dell autore campo magnetico (E. Silva) esterno (analogia: barretta magnetizzata in un campo esterno), esiste una energia di interazione: effetto Zeeman. 3 un campo magnetico molto forte può distruggere l accoppiamento spinorbita, e interagire singolarmente con L ed S. Effetto Paschen-Back.

2 Richiami 1 Un elettrone circolante su un orbita (grandezza interessata: L) equivale a una corrente, Enrico che genera Silva quindi - proprietà un campo intellettuale magnetico non ceduta interno che interagisce Non con è permessa, il momento in particolare, magnetico la proprio riproduzione dell elettrone anche (grandezza parziale interessata: S): L ed S sono della accoppiati. presente Accoppiamento opera. spin-orbita. z L Richiami: Momento magnetico orbitale : m = e r 2 vr n = e 2m L = µb L m, e v Rapporto giromagnetico (solo momento orbitale): = m/l = g e µ B / N.B.: m L si ha g e = 1. (carica negativa) Esperimenti di Stern-Gerlach e di Einstein-de Haas: spin, con e si ha g e = 2. m s = e m S = 2µB S g è detto fattore di Landé Magnetone di Bohr: µ B = e 2m JT 1 Momenti angolari: quantizzazione L 2 = l(l + 1) 2 l = 0, 1, 2,..., n 1 0 L z = m l m l 1 Lx 2 notare: la lunghezza di L, l(l + 1), è sempre maggiore della grandezza di Lz, m, a indicare che la conoscenza della presente di una opera. componente non determina L. S 2 = s(s + 1) 2 Sz S z = m s ms = ±1/2 Sx Lz 1 2 L 1/2 S notare: la lunghezza di S, s(s + 1), è sempre maggiore della grandezza di Sz, m s, a indicare che la conoscenza di una componente non determina S. 1/2 Ly Sy Accoppiamento spin-orbita Esistono due momenti magnetici: m e ms. Essi interagiscono. Si possono dare i casi: m m s Enrico Silva - proprietà m mintellettuale s non ceduta essi hanno energia differente, della e quindi presente daranno opera. contributi di segno opposto all hamiltoniana Per l autorizzazione generale. a riprodurre in parte o in tutto la presente La struttura opera risultante è richiesto dei il livelli permesso è la cosiddetta scritto dell autore struttura fine. (E. Silva) NOTA: questo effetto esiste se il momento magnetico orbitale è diverso da zero, ovvero: l 0 (altrimenti, m = 0). Quindi, non riguarda gli orbitali s. L ed S sono quindi accoppiati: non danno più numeri quantici buoni, ovvero fra loro indipendenti! È necessario individuare una diversa rappresentazione, e quindi un diverso numero quantico (che sarà comunque esprimibile come funzione di l e s): il momento angolare totale.

3 Combinazione dei momenti angolari orbitali e di spin: il modello vettoriale Numerosi elettroni: momento angolare totale J = L + S. Momento magnetico totale: m J = m l + m s. ml L, e ms L, ma non necessariamente mj J: è diverso il rapporto giromagnetico: m s = e m S = 2µB S S e opera m = è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) 2m L = µb L J L J: regole di quantizzazione del momento angolare:" j(j + 1) con j = l ± s Quantizzazione lungo un asse: j z = m j " " con m j= j,...,j m l m S m J Interazione spin-orbita Interazione spin-orbita Il campo magnetico B l dovuto a L sarà B l ~ L. Allora l interazione fra il momento proprio e L sarà: V l,s = m s B l 2 µ B S L che si scrive: Enrico VSilva l,s = a a - proprietà 2 L S intellettuale = 2 L S non cos( ceduta L, S ) con il termine di proporzionalità a (costante di accoppiamento spinorbita)dato dal calcolo quantistico. Si noti che a ~ Z opera 4 : l effetto è forte in atomi con numerosi elettroni. è richiesto il permesso scritto dell autore (E. Silva) Usando la regola per cui a L 2 si sostituisce l(l+1) (e simili per J 2 e S 2 ), si ha: V l,s = a 2 L S cos( L, S ) = a 2 2 L + S 2 L 2 S 2 = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] 2 Si ricordi che, per due vettori a e b, a + b 2 = a 2 + b a b J 2 S L

4 Struttura fine L interazione spin-orbita risulta: V l,s = a [j(j + 1) l(l + 1) s(s + 1)] 2 Negli atomi alcalini, gli stati con l 0 sono splittati, perché si hanno vari possibili valori di j. Ad esempio, in un orbitale p è possibile p^ a/2 avere j = l ± 1/2 -> 3/2, 1/2. I due stati hanno shift di energie, rispetto allo -a p stato singolo imperturbato, dati da Vl,s come '1/2 in figura (verificare). Numero quantico principale (usualmente dell elettrone di valenza) Nomenclatura: n 2S+1 LJ Molteplicità di spin Momento angolare orbitale Momento angolare totale Esercizio: verificare Un esempio: il Na Spettro del sodio: dominato dal doppietto ( linee D del sodio ) originante dalle transizioni 3p->3s. (altre righe sono estremamente deboli). Enrico Silva Degenerazione - proprietà s intellettuale < > p rimossa: non potenziale cedutaschermato (non Non è permessa, in coulombiano). particolare, L orbitale la riproduzione s ha energia anche inferiore: parziale meno schermato, della presente più accoppiato. opera. Per l autorizzazione Due a righe: riprodurre due livelli in parte a stesso o n,l: in tutto splitting la spin-orbita. presente opera è richiesto Rimossa il permesso una degenerazione scritto dell autore in j. (E. Silva) Lunghezze d onda: nm e nm. -> luce gialla (infatti: la fiamma del gas si tinge di giallo quando ci finisce sopra il sale da cucina - NaCl, le lampade al sodio fanno una luce gialla) Figure da Identificazione di elementi Spettro di assorbimento del sole Spettro di emissione del Na C è sodio nel Sole. Spettro da Foto Christopher Jones, da

5 Identificazione di elementi Spettro di emissione del Fe (lampada ad arco di ferro) Spettro di Per assorbimento l autorizzazione del solea riprodurre in parte o in tutto la presente C è ferro nel Sole. Foto Christopher Jones, da Effetti di un campo Per l autorizzazione magnetico a riprodurre in esterno: parte o in tutto la presente effetto Zeeman, effetto Paschen-Back Effetto Zeeman z,bn Si osserva in un campo magnetico esterno B 0 Jz=mjh / j f j / ^J.2 = ^ jgj^lb 9 ^ 1 ~ ^ ^ Fig Precession of / and ^j about the direction of the applied field BQ. ordinary Zeeman effect, i.e., J = L Effetto Zeeman normale : quando il momento angolare totale origina da L oppure da S, ovvero quando J m j. Effetto Zeeman anomalo : quando il momento angolare totale origina da L e da S, ovvero quando J non è a m j.

6 Effetto Zeeman normale ^ z,bn Jz=mjh f j / Si ha quando il momento angolare totale origina da L oppure da S, ovvero quando J mj. L energia di interazione è quella di un momento di dipolo magnetico mj con il campo B0. / j V mj = m j B 0 = m j g j µ B B 0 ^J.2 = ^ jgj^lb 9 1 ~ ^ ^ Fig Precession of / and ^j about the direction of the applied field BQ. ordinary Zeeman effect, i.e., J = L fattore di Landé relativo al momento angolare J. Poiché" m j= j, j+1,..., j 1, j"la degenerazione in m j è rimossa. I (2j+1) livelli sono separati da intervalli equidistanti: E = g j µ B B 0 Splitting Zeeman nel Cadmio Effetto Zeeman normale V mj = m j B 0 = m j g j µ B B 0 Spin antiparallelo: 2S+1=1 Enrico Silva - proprietà intellettuale non fattore ceduta di Landé relativo al Non è permessa, in particolare, esiste un la livello riproduzione momento anche parziale angolare J. imperturbato Per l autorizzazione a riprodurre livelli in equispaziati parte o in tutto E la = presente g j µ B B 0 Con il solo momento angolare orbitale (possibile quando due elettroni si collocano con spin antiparallelo: ricordarsi che, in generale, i numeri quantici si riferiscono al sistema), gj = 1. Richiamo: regole di selezione. m = 0, ±1 l = ±1 Richiamo: J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1) g J = 1 + 2J(J + 1) Spin antiparallelo: S=0 Effetto Zeeman anomalo Quando il momento angolare totale origina da L e da S, ovvero quando J non è a m j. Esiste quindi anche lo spin-orbita Non è permessa, in particolare, la riproduzione (N.B.: anche è il caso parziale più usuale) V mj = m j B 0 = m j g j µ B B 0 fattore di Landé relativo al momento angolare J. Adesso g j dipende sia da l che da s, e quindi: Poiché m j= j, j+1,..., j 1, j" la degenerazione in m j è rimossa. Ma i (2j+1) livelli non sono separati da intervalli equidistanti: E mj,m j 1 = g j µ B B 0 dipende anche dai numeri quantici l e s attraverso g j.

7 Effetto Zeeman anomalo D-i line on nrij m j Q j nrij rrijgj.+3/2-1-6/3 La separazione dei livelli non è la -+1/2 +2/3.+1/2 +V3.-1/2-1 ^ medesima. -1/2-2 ^ '-3/2-6/3 Enrico Silva - proprietà intellettuale gj varia con non l ed ceduta s. Non è permessa, * -If * * in particolare, la riproduzione anche parziale +1/2.1 ^1/2 +1/2 +1 Richiamo: Per --1/2 l autorizzazione -1 -I/2 a -1 riprodurre in parte J(J o + in 1) tutto L(L la + presente 1) + S(S + 1) g J = 1 + 2J(J + 1) UG D2 line G O T I T I G 0 Fig Anomalous Zeeman effect. Splitting of tlie D^ and D2 lines of the neutral Na atom, transitions '^^\/2-'^P\/2 and ^5 /2 - "^^3/2) into 4 and 6 components, respectively, in a magnetic field. Here, *S=0 and we are dealing with purely orbital magnetism. The ^^3/2 state is higher in energy than the ^P\a state; this is not shown in the figure. Compare also Fig Spin S 0 E mj,m j 1 = g j µ B B 0 Un esempio: il Na Effetto Zeeman: un campo magnetico fornisce una direzione preferenziale > rimuove la degenerazione in mj. Non è permessa, in particolare, la riproduzione Notare lo splitting anche parziale in: " due j=1/2 > m j = ±1/2 + Per l autorizzazione a riprodurre in parte " o quattro in tutto j=3/2 la > presente m j = ±3/2, ±1/2 opera è richiesto il permesso scritto dell autore ulteriori livelli (E. Silva) con tutte le combinazioni possibili di righe Figure da Effetto di un campo magnetico esterno Campo magnetico spento: la fiamma produce un ombra La Non fiamma è permessa, assorbe in particolare, la riproduzione anche parziale la luce della lampada al sodio: le righe sono le stesse. opera è richiesto il permesso scritto dell autore Campo (E. magnetico Silva) acceso: l ombra svanisce, La fiamma non assorbe la luce della lampada al sodio: le righe sono variate. Foto da

8 Effetto Paschen-Back Effetto Zeeman: campo magnetico debole : la separazione dei livelli è piccola rispetto alla struttura fine. Ovvero: permane l accoppiamento L S, che non viene distrutto dal campo Enrico magnetico. Silva - proprietà intellettuale non ceduta Effetto Paschen-Back: B0 sufficientemente intenso da produrre un accoppiamento forte fra i singoli momenti magnetici (m ed m s) e il campo stesso. L effetto spin-orbita diviene (in prima approssimazione) trascurabile. j non ha più significato: L ed S sono indipendenti. > l interazione diventa: con la separazione: V ms,m l = ( m + m s ) B 0 = (m + 2m s )µ B B 0 E = ( m + 2 m s )µ B B 0 3/2 1/2 m-, + 3/2- ^+ 1/2 " Effetto Paschen-Back L interazione diventa: V ms,m l = (m + 2m s )µ B B 0 ' - 1 / *\l2 Enrico Silva - proprietà intellettuale con la separazione: -3/ /2 non ceduta 0-1/2 E = ( m + 2 m s )µ B B 0 + 1/2. ~-1/ /2 Per l autorizzazione a riprodurre in Il parte numero o in di tutto transizioni la presente è come opera è richiesto il permesso scritto nell effetto dell autore Zeeman (E. Silva) normale (ma 0 +1/2 non le frequenze: la separazione non.1/2. è uguale per ciascun livello, alcune 1/2- righe provengono da più transizioni) a Zeeman anomalo Paschen- Back C Tl /2 0 +1/2 0-1/2 Fig a - c. Paschen-Back effect (c) and Zeeman effect (b) with the Dj and D2 Hnes of the neutral sodium atom (a). In the limiting case of strong magnetic fields, one observes one unshifted and two symmetrically split lines, as in the ordinary Zeeman effect