DERIVATA E INTEGRALE.

Transcript

1 Derivt e Interle Pe o 8 0/03/00 Serch: The We Tripo Report Ause «Previous Top 00 Net» shre: el.icio.us i reit erivte einterli url ceook DERIVATA E INTEGRALE. Quello che istinue le rette tnenti lle ltre è che nelle immeite vicinnze el punto i conttto, esse qusi si cononono con l curv cui sono tnenti. Geometricmente, l erivt m i in è esttmente l penenz ell rett tnente l rico i nel punto i sciss : un unzione è erivile nel punto se esiste un numero rele tle che: comunque si issi un ritrrio numero positivo ε si trov un numero >0 tle che per oni h con vlore ssoluto h si h cioè: { mh} h h m ove h h è etto rpporto incrementle o quoziente i Newton, esso rppresent eometricmente l penenz ell rett che pss per i punti: m, e h,h nell ormul ei tre punti, per ricvrsi l erivt con metoo lerico, i clcol il rpporto incrementle prim con h e poi con h, e poi si ivie per ue. h h ε h h { mh} ε h m Teorem L erivt i un rett r m q in un qulunque punto è sempre l stess e uule l coeiciente nolre o penenz m. In prticolre l erivt i un unzione costnte rett orizzontle in un qulunque punto è uule zero. L unzione erivt i è un unzione che ssoci il coeiciente nolre tnente ll curv. : l unzione erivt i un ormul, come esempio i 7 si scrive: per un unzione, l reol ei tre punti ci à l ormul pprossimt per l unzione erivt: h h h m ell rett r Derivt i

2 Derivt e Interle Pe o 8 0/03/00 L unzione con 0 è erivile in oni e l su erivt è t ll ormul Dim. : issimo e un ε 0, prenimo ε, per oni h che veriichi l isuulinz h ε imo llor che con m si h h { mh} h h h h h ε h Derivt i L unzione è erivile in oni 0 e l su erivt è t ll ormul Dim. : Derivt i e Esiste un numero rele e, etto numero i Nepero tle che l erivt e ell unzione esponenzile i se e è uule ll unzione stess, ovvero: e e. Il numero i Nepero è un numero compreso tr e 3, in prtic e Derivt i L erivt ell unzione esponenzile i se >0 è uule ll unzione stess moltiplict per il loritmo nturle ell se, in ormule: ln Derivt i sin L erivt ell unzione seno è uule ll unzione coseno: sin cos

3 Derivt e Interle Pe 3 o 8 0/03/00 Derivt i cos L erivt ell unzione coseno è uule ll unzione - seno: cos sin Derivt ell somm { } Derivt el prootto { } L erivt ell somm è uule ll somm elle erivte L erivt i un prootto è uule ll erivt el primo ttore per il secono più il primo ttore per l erivt el secono Derivt elle potenze n n n n n... n L unzione compost i e è: Teorem Se e sono erivili e esiste l compost. o o, llor nche l compost è erivile e si h: Derivt i Il reciproco ell unzione è erivile per, e l su erivt è: 0 Dim. : consierimo come unzione compost i e y, llor si h che: Derivt i - l su erivt è t ll ormul

4 Sino te ue unzioni e, il loro quoziente può essere scritto come il prootto i per, llor si h: L erivt è su volt erivile, ess è inict con, si chim erivt secon i. L erivt secon i un rett è zero, questo poiché l erivt prim è un costnte. L erivt i L soluzione i un equzione è un numero tle che 0. Soluzione elle equzioni: metoo elle tnenti. Il metoo elle tnenti si s sul principio i sostituzione i tutt l curv con un line rett, l tnente, nelle immeite vicinnze el punto i conttto, pertnto in quest zon possimo sostituire l rico i l rett tnente nel punto, che h equzione: l cui soluzione è Dim. : Derivt i - l su erivt è t ll ormul Dim. : Derivt i ln L erivt loritmo nturle è uule : ln Derivt i ln L erivt loritmo in se è uule : ln ln n e e α α, y Pe 4 o 8 Derivt e Interle 0/03/00

5 Derivt e Interle Pe 5 o 8 0/03/00 Interpolzione: Lemm i Rolle Se F è un unzione erivile, e in ue punti < ess vle zero, cioè punto c compreso tr e, <c< tle che F c F F 0, llor esisterà un Vuol ire che se un unzione F pss per ue punti ell sse elle X, llor in lmeno un punto l rett tnente ll curv è prllel ll sse elle X. 0 Se conoscimo solo un unico vlore ell unzione in un punto,, per poter stimre il vlore i in un punto iverso oimo ricorrere ll interpolzione costnte, ove in quest pprossimzione l errore è i ε ω oppure ω, { } introucimo φ t t ω t si h un punto c r e tle φ c 0, cioè φ c c ω 0. che è uule zero si in che in, llor, per il lemm i Rolle, Quest è un stim ell errore nell interpolzione costnte: l errore è il vlore ell erivt i clcolt in un punto c r e moltiplicto per -. Teorem ell interpolzione costnte Se è un unzione einit su un intervllo e erivile, ti ue punti istinti e ell intervllo, si h c, ove c è un punto situto r e. Se conoscimo con esttezz i vlori e i un unzione in ue punti istinti, e, e oveno trrre quest unic inormzione un stim per il vlore ell unzione in un punto iverso e. Se è compreso tr e, l soluzione llor è t un interpolzione linere: ove r è l rett che pss per i punti, e.. L eerore i quest pprossimzione è ω r r e è proporzionle si ll istnz - che - tle che: ε ω ovvero r ω, e se consierimo l unzione φ come: { r t t t } φ t t ω tle unzione è zero si in che in poiché il rico e l rett pssno entrmi per per lo stesso punto, e,, si in, per l einizione i ω.

6 Derivt e Interle Pe 6 o 8 0/03/00 Pertnto, per il lemm i Rolle, si h che esistono ue punti c e c in cui φ t 0, ciò conseue che esiste un punto c tr c e c, ovvero tr e tle che l erivt secon i φ si: φ c c ω pertnto si h il Teorem ell interpolzione linere Se è un unzione einit su un intervllo e erivile ue volte, ti tre punti << ell intervllo, si c h, ove c è un punto situto tr e. Funzioni crescenti e ecrescenti Se è un unzione einit in un intervllo e erivile, con erivt in oni punto ell intervllo I, llor è crescente in I, nlomente, se 0, l unzione è ecrescente in I. Dimostrzione: oimo provre che, ti ue punti e tli che >, si h teorem ell interpolzione costnte, si h un punto c tle che > 0 in oni, pertnto c > 0, poiché >, si h 0, ciò si h > 0 >. Se per un unzione, l 0, llor è costnte in I. Teorem Funzioni concve e convesse Se è un unzione einit su un intervllo e erivile ue volte, con erivt secon [ risp. 0] in oni i I, llor è convess [concv] in I. Dimostrzione: sino ti ue punti istinti e in I tli che <, si h per oni 0<t< che t t t t, poneno t t si h che < <, pertnto per il teorem ell interpolzione costnte si h si h che t t t, quini llor si h che t t t t t t t c, poiché per ipotesi -<0 e ->0, c 0 inoltre c 0, llor e quini t t t t. > 0 >, rzie l c, per ipotesi > c 0 Se l 0 llor è un unzione linere: α β Interle L interle i un unzione è esttmente l re ell prte i pino compres tr il rico ell unzione e l sse elle X, r i punti e. Si scrive

7 Derivt e Interle Pe 7 o 8 0/03/00 Metoi per il clcolo numerico eli interli: interpolzione rettnoli trpezi Montecrlo Meinte il metoo i interpolzione, si ivie l intervllo [,] in n intervllino l psso h,, 3,., nh, e consierimo i vlori i in questi n punti. h h Con le coorinte che scturiscono, si costruiscono elle iure l cui re pprossim l interle i. i csi più semplici sono costituiti rettnoli e trpezi. Meinte il metoo ei rettnoli, l prte i pino A viene pprossimt con un insieme i rettnoli verticli, i lrhezz h e ltezz k, e quini h re h k, si h llor l ormul i pprossimzione: I h... Meinte il metoo ei trpezi, l prte i pino A viene pprossimt con un insieme i trpezi verticli, venti come si k e k, e ltezz h, i re h / k, l ormul i pprossimzione è llor h I n n Il metoo i interzione Montecrlo consente i vlutre numericmente l re T i un prte i pino T, inchè il metoo unzioni, T eve essere contenut in un rettnolo R[,][c,] con re R-c not. Si scelono ei punti cso in R, vremo ottenuto un successo se il punto scelto cso è interno T, e otterremo un insuccesso in cso contrril proilità p i successo è pri T/R ove T è l re el erslio e R è l re el rettnolo i conronto, ripeteno l scelt P per n volte e contno il numero k i successi, per l lee ei rni numeri l requenz k/n tene p l crescere i n. k T R L re T si può stimre come n. Formul i Torricelli opp. Leiniz-Newton y y il vlore estto ell interle y y i venosi che. n... h / n e si può essere clcolto iniviuno un qulunque ntierivt y Un qulunque ntierivt i rispetto ll vriile, ovvero l eneric ntierivt i rispetto ll vriile, srà el tipo yc ove y è un prticolre ntierivt e C è un costnte. y C Interle ineinito i in per il clcolo eli interli estti ison ricercre l primitiv o ntierivt ell unzione, e successivmente re l ierenz tr il vlore ell primitiv neli estremi. k Primitiv el coseno: cos sin C Per l ntierivt ell somm α β l reol è:

8 Derivt e Interle Pe 8 o 8 0/03/00 se si lsci liero i vrire, si pone e si consier l intervllo I[,], l ormul i Torricelli ivent: y y u u { α β } α β per qunto riur un unzione che cmi seno in [,] es.: sin, l interle può essere einito come l re el semipino superiore compres tr e l sse elle X, tr e, meno l re el semipino ineriore compres tr e l sse elle X, r e. per il clcolo ell interle i un unzione che cmi seno in [,], vle l reol enerle, cioè l ormul per il clcolo eli interli vle nche se cmi seno: y y nel cso i inversione eli estremi i interzione, come esempio: si può einire e l ormul per il clcolo eli interli estti vle qule che si l orine eli estremi i interzione. Not ene: c c relzione i Chsles Annunci Goole Docente i Mtemtic? Rivist i Mtemtic per Docenti Richiei Suito Copi Omio Ann Cersoli I suoi liri li trovi su IBS L rne lireri itlin online!