Il postulato di Bertrand e la congettura di Legendre

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1 ig. Rosario Turco, rof. Maria Coloese Il ostulato di Bertrad e la cogettura di Legedre Itroduzioe I questo laoro discutiamo dei legami tra la cogettura di Legedre ed il ostulato di Bertrad, quest ultimo oto ache come Teorema di Chebisce. Il ostulato di Bertrad (PB) dice che: 1, : I altri termii er ogi itero maggiore di 1, esiste almeo u umero rimo tra e, oero che: ( ) ( ) La cogettura di Legedre, afferma che esiste semre u umero rimo comreso fra ed ( + 1), cioè: 1, : ( 1) Questa cogettura fa arte dei roblemi di Ladau e, fio ad oggi, o è stata acora dimostrata. I [3] abbiamo isto delle eideze sulla cogettura, ua roosta di soluzioe affermatia, delle formule er le stime del umero di rimi i u iterallo quadratico. I questo laoro sottolieiamo, iece, che la cogettura di Legedre è ua geeralizzazioe del ostulato di Bertrad e cercheremo di far lea su questo fatto er erificare se è ossibile otteere dei risultati ulteriori. Il ostulato di Bertrad geeralizzato (PBG) uò essere formulato come segue: 1, k : k ( k 1) (1) Il PBG se k=1 è il ostulato di Bertrad già dimostrato; ioltre Bachraoui (edi []) lo ha dimostrato ero er k=. Se i (1) si oe k = si ottiee ua cogettura simile a quella di Legedre, u o iù restrittia come cofie sueriore. U idea, quidi, uò essere quello di laorare sul PBG e utilizzare il calcolo combiatorio come i [1] e [4]. Il laoro è diiso, quidi, i PRIMA PARTE Postulato di Bertrad, SECONDA PARTE Postulato di Bertrad geeralizzato e cogettura di Legedre. 1

2 Defiizioi Defiiamo co ( a, b) il rodotto di rimi ell iterallo a,b co i ab rimi maggiori di a, ma o maggiori di b; co ( a) a il rodotto di rimi o maggiori di a. Defiiamo il coefficiete biomiale col simbolo:! h h!( h)! che rareseta il raggruameto di u sotto-isieme di h elemeti risetto ad u isieme di elemeti; quidi co 0 h. Faremo ache uso della formula h h. Si ricorda che la formula del biomio di Newto comorta che: h h ( a b) a b. h0 h Defiiamo, oi, co la otazioe c che è u diisore di c; metre col simbolo x itediamo il floor di x, cioè il iù grade itero miore o uguale a x. Ifie co k idicheremo il k-esimo umero rimo. PRIMA PARTE Postulato di Bertrad Per ua maggiore comresibilità, itrodurremo ua serie di Lemmi, che hao alidità di Teoremi, sulla scia del laoro [4]. Sebbee la dimostrazioe sia abbastaza luga, o è difficile da comredere. Essa sfrutta semlicemete il calcolo biomiale e delle cosiderazioi sugli esoeti i ua fattorizzazioe ell alicazioe del Teorema Fodametale dell Aritmetica e questo dimostra acor di iù la grade geialità di Erdos. Sorrede sorattutto la sua rofodità di isioe globale. Lemma 1 Per ogi ositio è semre 4. 4 (1 1) h0 h

3 Lemma Se è disari er ogi 0 k è semre k 1. N è disari allora: ( 1)/ 1 (1 1) h0 h h0 h k k Lemma 3 Se è rimo co > allora o è u diisore di!. La dimostrazioe è baale erché u rimo o uò essere scritto come rodotto di rimi iù iccoli di. Quidi se > allora ache se abbiamo che:! = *(-1)*(-) 3**1, o uò essere u suo diisore. Lemma 4 Se a è u umero reale co a, allora il rodotto dei umeri rimi miori o uguali ad a è miore di 4 a, oero ( a) 4 a Per a 3 è baalmete ero. Se è ero er ogi itero disari 3 sarà ero ache er ogi umero reale b 3, erché dato u qualsiasi b 3 esiste semre u disari b + e, quidi, oiché b recede + allora il umero di rimi miori di b soo uguali a quelli di er cui: b 4 4 Quidi dobbiamo roare che il Lemma è ero er ogi itero 3 e lo facciamo er iduzioe. Per =3 è ero erché 6 < 64, che rareseta il uto di arteza dell iduzioe. Per u disari 5, facciamo l iotesi che il Teorema sia ero er ogi disari k < e scegliamo u sego tale che k = ( 1)/ sia disari. I tal modo è ache k 3. b a E ache eidete che = k 1 e k = k 1 k k + 1, cioè k k + 1. Quest ultimo fatto ci iteressa er edere u eetuale diisibilità di er (-k)!. Per cui se suoiamo k < allora er il Lemma 3 è! ma o è diisore di k!. Se > -k allora o è emmeo diisore di (-k)!. Se è u diisore di! e cosegue che. Allora ossiamo affermare che:! k k!( k)!. Questo è ero er k < 3

4 k k k k Per cui se usiamo elle ultime relazioi il Lemma è: k A questo uto la relazioe recedete ossiamo sezzarla el rodotto di due arti, ua er <k ed u altra co k < : 1 k k Poiché abbiamo iotizzato recedetemete k disari e miore di, la rima arte è miore di 4 k, metre il secodo rodotto saiamo che è miore o uguale a -1, er cui è: Adesso si ossera che: Quidi: che dimostra fialmete il Lemma 4. 4 k 1 k 1 k1 k 1 k 1 k 1 4 Lemma 5 Se > 1 allora è 4 Si ottiee er iduzioe e teedo coto del Lemma 1. Adesso ci iteressa quali rimi diidoo e co quale esoete. Lemma 6 Se è rimo il iù grade esoete che diide! è: (a) j j1 La somma ella (a) è semre fiita, erché al crescere di j è j > e il raorto tede a zero. Ad esemio co =, la iù grade oteza che diide 55! è 50, se si alica la defiizioe recedete difatti: floor(55/)+ floor(55/4) + floor(55/8) + floor(55/16) + floor(55/3) = = = 50. 4

5 Co quato isto rima otremmo idicare, ad esemio, co il iù grade itero esoete tale che. Saiamo ache che i fattori rimi di ()! soo tutti miori o uguali a ; er cui otremmo dire che: 34 Ad esemio co PARI/GP risulta che er? r = biomial(34,17) 17 è: %17 = ? factor( r ) %18 = [ ] [3 3] [5 1] [11 1] [19 1] [3 1] [9 1] [31 1] La fattorizzazioe a destra delle aretesi quadre mostra gli esoeti che stiamo cercado; il coefficiete biomiale scomosto i fattori è, quidi, ari a: ^*3^3*5*11*19*3*9*31 e quidi =, 3 =3, 5 =1, 11 =1, 19 =3, 3 =1, 9 =1, 31 =1. Adesso saedo ache che:!!! allora, teedo coto del Lemma 6, e cosegue che: Lemma 7 Dato, (c) j j j1 La (c) esce teedo coto della (a), doe al osto di c è (b), e teedo coto della (b). Nella (c) le differeze algoo 0 se il raorto è ari, 1 i caso cotrario. Lemma 8 Se t è il massimo esoete er cui 5

6 t uol dire che er jt+1 j >, cioè da t+1 i oi tutti gli esoeti soo ulli ella (c). Tra l altro ella (c) i termii algoo 0 o 1 er cui t e t di cosegueza, che dimostra il Lemma 8. Il Lemma 8 ci suggerisce ua tecica di alutazioe degli esoeti: o solo occorre che ma ache che. Ad esemio se =17 come ell esemio recedete allora ossiamo stabilire subito che 3 o uò essere maggiore di 3 erché =34 3^3 34; er cosegueza er ogi 5 < < 34 e cosegue ache che o uò essere maggiore di 1. Co questa tecica ossiamo laorare sugli esoeti ed itrodurre l ultimo Lemma. Lemma 9 Suoiamo 3 1. Se allora 1. Se /3 < allora = 0 3. Se < allora = 1 Ora abbiamo quasi tutti gli elemeti er dimostrare il Teorema fiale. Teorema (Postulato di Bertrad) Per ogi >1 è ( ) ( ) 0 Corollario del Teorema Per ogi 1 1 Il corollario si ituisce se cosideriamo ad esemio la sequeza di umeri rimi 3,5,7,11,13 Preso difatti il doio di u umero rimo qualsiasi, si ede che il successio è iferiore di tale doio. Ad esemio il 7 è miore di *5. Per dimostrare il Teorema dobbiamo ricorrere al Teorema dei Numeri Primi (TNP) e osserare i cofii sueriori e iferiori. Su questi tii di ragioameti u ero maestro era rorio Chebisce, che o er iete ha dimostrato er rima il ostulato, ora ache oto col ome di Teorema di Chebisce. Proseguiamo co itrodurre Lemmi col alore di Teoremi. Lemma 10 Per ogi >1 è: 7 ( ) ( ) 3log( ) 5log( ) Occorre ritorare u attimo al coefficiete biomiale sezzadolo i due rodotti: (d) Alichiamo il Lemma 9 uto 3, l esoete ale 1, er cui la (d) dieta: 6

7 (e) Per il uto del Lemma 9, se /3 < allora = 0 allora la (e) dieta: Q P ( ) /3 A questo uto ogliamo troare u cofie sueriore er Q.Possiamo scomorre Q i due rodotti er sfruttare acora il Lemma 9, cioè il rodotto dei rimi er /3 er cui = 1 e il rodotto dei rimi /3 doe > 1. Per il uto 1 del Lemma 9 se > 1 allora er cui: E quidi: ( ) /3 /3 /3 /3 Q Da qui dobbiamo fare ua serie di cosiderazioi: 1. se usiamo il Lemma 4 recedete è /3 4. /3. Per il secodo rodotto, iece,. Per cui ( ) doe è il umero di rimi. C è da cosiderare acora che i rimi soo disari e che il umero rimi miore di u Y è sicuramete miore di Y/ er cui si uò scriere che: / e che / ( ). A questo uto se mettiamo isieme tutte le cosiderazioi di sora, dalla ( ) otteiamo che: Q Q /3 / 4 ( ) da cui 4 ( ) 1 /3 / Ora ritorado alla ( ) e teiamo resete il Lemma 5, otteiamo che: da cui: Q P P Q 4 ( ) 1 /3 / 1 4 P 4 ( ) 4 ( ) /3 / /3 / Poiamo adesso: 7

8 Per cui: ( ) /3 / 4 ( ) 1 1 /3 / log 4 ( ) ( ) (*) log Ricordado la ( ) P (+) Stiamo arlado, quidi, dei rimi tra e, a cui fa riferimeto il ostulato di Bertrad e oi saiamo dal TNP che soo esattamete ( ) ( ) er cui: Da cui: ( ) ( P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P Ora ritoriamo a (*) e troiamo che: Se mettiamo i eideza /3: ( ) ( ) ( ) (++) ( )log / 3log(4) log( ) / log 3log ( )log / 3log(4) 3/ log( ) (**) 3log x doe g( x) log(4) 3/ xlog( x) x Se si cosidera lim gx ( ) log(4) erché il log(x) tede a ifiito iù x letamete di x t e ioltre log( x) lim 0 x x logx lim 0 x x Questo uol dire che esiste u x0 er cui g(x)>1 e cotemoraeamete esiste u 0 er cui la arte i aretesi della (**) è > 1. Se si fa qualche calcolo si ede che g(190) metre g(191) Per cui dalla (**): er > 190 ( ) 3log Dalla (++) e cosegue che ( ) ( ). 3log 8

9 Ritorado alla (+) e assado ai logaritmi è: log( P ) log della sommatoria è > er cui log > log, quidi è: Ioltre è ache P Da qui è: log( P ) log ( ) ( ) log e che è ero il Lemma 1, quidi: log P log log(4 ) log(4) ( ) ( ) log log(4) log(4) ( ) ( ) log. Però ogi Ora oiché 7/5=1.4 e log(4) allora 7 ( ) ( ) 5log Questo dimostra il Lemma 10. A questo uto è automaticamete dimostrato il ostulato di Bertrad erché effettiamete ( ) ( ) 0 oiché 7 ( ) ( ). 3log 5log Ad esemio, se =5 =10, (10) (5) allora 5/3*(1/log(10))=0.738 e 7*5/5*(1/log(5))= SECONDA PARTE Postulato di Bertrad geeralizzato A questo uto ediamo se è ossibile caire qualcosa di iù se k = el ostulato geeralizzato e ediamo se, troado dei cofii sueriori e iferiori tali che ossiamo affermare: 1, ( ) ( ) 0 Se sarà ero il ostulato di Bertrad geeralizzato, allora abbiamo il: Corollario 1, ( ) ( ) (( 1) ) ( ) (( 1) ) ( ) 0 Quidi sarà era la cogettura di Legedre. Proeremo a itrodurre dei Lemmi e a far uso ache dei Lemmi recedeti, secodo le stesse defiizioi. Lemma

10 Dimostrazioe aaloga al Lemma 4. Lemma 1 ( 1) E ua cosegueza del Lemma 8, geeralizzato a (+1). Lemma 13 er >1, (+1) ( 1) Co m =(+1) è: m ( 1) ( 1) ( 1) m m m ( 1) ( 1) (1 1) h0 h h0 h Poiché soo eri ache il Lemma 3, il Lemma 4 ed il Lemma 6, sigifica che er < (+1), è u diisore di (+1)! E di cosegueza ( 1) er cui ossiamo ache qui sezzare il coefficiete biomiale el rodotto di rimi el seguete modo: ( 1) ( 1) ( 1) (***) Lemma 14 Se > 1 allora è ( 1) Si ottiee teedo coto del Lemma 13 e diidedo il secodo termie er, er cui: Esemio: =3 (+1)=1 =9 biomial(1,9)=0 = 3 =8 Lemma 15 - Dato, (+1) 1 ( i) i1! j j j1 ( 1). 10

11 Discede dalla defiizioe j1 ( 1) j ; ifatti è: 1 ( i) ( 1) ( )!! ( )( 1)...( ( 1)) i1!!!!! Il Lemma 8 ci suggerisce ache qui ua tecica di alutazioe degli esoeti: o solo occorre che (+1) ma ache che (+1). Ad esemio se =3 allora ossiamo stabilire subito che 3 o uò essere maggiore di erché (+1)=1 3^ 1; er cosegueza er ogi 9 < 1 e cosegue ache che o uò essere maggiore di. Co questa tecica degli esoeti itroduciamo ache l ultimo Lemma. Lemma 16 Suoiamo 3 1. Se ( 1) allora 1. Se < (+1) allora = 1 Esemio =5 =5 (+1)=30 radice = sqrt((+1))= =7 (+1)/3=10 er la 1) 7=1 altrimeti 7 >30 er la ) 5 < 9 < 30 9=1 altrimeti 9 >30 Ora riartiamo dall ultima esressioe (***): ( 1) ( 1) ( 1) Dal Lemma 15 uto 3, ossiamo riscrierla come: Doe: Q ( 1) Q P P (^) ( 1) Vediamo adesso se esiste u limite sueriore er Q. 11

12 Ora se: C è ache da cosiderare che: 1. Dal Lemma 11 ( 1) ( 1) ( 1). dal Lemma 1 ( 1) er cui è ache ( 1) ( ( 1)) doe è ( 1) il umero di rimi ( 1). C è da cosiderare acora che i rimi soo disari e che il umero rimi miore di u Y è sicuramete miore di Y/ er cui si uò scriere che: ( 1) / e che ( 1) / ( ( 1)). ( 1) Per cui è: Q ( 1) Da qui: da cui Q Q ( 1) / ( 1) 1 ( 1) / ( 1) A questo uto riartedo dalla (***) si ottiee che: ( 1) Q P ( 1) ( 1) ( 1) 1 P Q ( 1) ( 1) / P ( 1) / (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Poiamo adesso: ( ( 1)) ( ) Ora siamo roti a dimostrare il ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) (=) 1

13 Lemma 17 Per ogi >1 è: 7 ( 1) 0 ( ( 1)) ( ) 5log( ( 1)) Se dimostriamo il Lemma 17 è dimostrato il ostulato di Bertrad geeralizzato. Dalla (=) assado ai log otteiamo che: ( )log ( 1) log ( 1) ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) Da qui è eidete che er la aretesi quadra tede a zero erché il umeratore a all ifiito iù letamete. Ora dee essere: ( ) 0 erché altrimeti la (=) arrebbe 1 er le regole delle oteze: u umero fiito eleato a zero dà 1, il che orterebbe ad u assurdo. Ritorado alla (^) e assado ai logaritmi è: log( P) log. ( 1) Però ogi della sommatoria è >(+1) er cui log > log (+1), quidi è: log( P ) log ( ( 1)) ( ) log ( 1) ( 1) Ioltre abbiamo isto che è ache ( 1) P e quidi: ( 1) ( 1) log( P ) log log(4 ) ( 1) log 4 ( ( 1)) ( ) log ( 1) ( 1) log 4 Ora oiché 7/5=1.4 e log(4) allora: ( 1) log 4 7 ( 1) 0 ( ( 1)) ( ) log ( 1) 5log ( 1) Questo dimostra il Lemma 17. A questo uto è automaticamete dimostrato il ostulato di Bertrad geeralizzato ed il suo Corollario (cogettura di Legedre): Corollario della cogettura di Legedre Poiché 1, ( ) ( ) (( 1) ) ( ) (( 1) ) ( ) 0 13

14 Quidi è era la cogettura di Legedre. Riferimeti [1] htt://it.wikiedia.org/wiki/dimostrazioe_del_ostulato_di_bertrad [] M. El Bachraoui. Primes i the Iteral [,3]. Iteratioal Joural of Cotemorary Mathematical Scieces, 1(3):617 61, 006. [3] La cogettura di Legedre R. Turco, M. Coloese et al. [4] Il ostulato di Bertrad e i rimi di Ramauja - Umberto Cerruti [5] Towards Proig Legedre s Cojecture Shia Kitali CNR SOLAR htt:// / Prof. Matthew R. Watkis htt://emslocal.ex.ac.uk/eole/staff/mrwatki/zeta/tutorial.htm ig. Rosario Turco Collectios 14