Le correnti permanenti a superficie libera a portata variabile

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1 Le correnti permanenti a spericie libera a portata variabile Parte del materiale di esta presentazione è tratto da: -Presentazione PPT di M. Pilotti e A. Maranzoni -Università di Brescia -. Noseda. Correnti permanenti con portata variabile lngo il percorso.

2 INTRODUZION Riveste n certo interesse pratico lo stdio delle caratteristiche delle correnti stazionarie caratterizzate da alssi o delssi laterali che determinano l amento o la diminzione della portata lngo il percorso. Inatti diversi sono i problemi idralici che si pongono in tale contesto, sia in termini di veriica che di dimensionamento di opere in grado di raccogliere o erogare determinati antitativi di aca. I processi di erogazione e immissione dieriscono sostanzialmente dal pnto di vista enomenologico: i processi di elsso avvengono senza apprezzabili dissipazioni energetiche aggintive rispetto a elle connesse alla corrente principale; i processi di immissione, invece, prodcono agitazione nella corrente e casano la dissipazione di asi ttta l energia cinetica immessa: in tal caso, l aca che alisce acista antità di moto a spese della corrente principale. Una vasta campagna sperimentale ha ornito dati che conermano largamente i risltati degli stdi teorici.

3 SOMMARIO Piano di lavoro: Derivazione delle eazioni dierenziali del moto e dell eazione dierenziale del proilo della spericie libera per na corrente permanente con portata variabile lngo il percorso. Discssione dei possibili andamenti dei proili del pelo libero per canali a orte pendenza o a debole pendenza, sia in caso di portata crescente che in caso di portata decrescente nella direzione del moto. Presentazione di alcni approcci nmerici tili al calcolo dei proili longitdinali del pelo libero. 3

4 BIBLIORAFIA. Noseda. Correnti permanenti con portata variabile lngo il percorso. Istitto di Idralica e Costrzioni Idraliche, Politecnico di Milano, Milano. (Rierimento tilissimo ed esariente). De Marchi. Canali con portata progressivamente crescente (grondaie e collettori di sioratori). L nergia lettrica, Vol. 18 (1941). (Contribto molto interessante e ricco di spnti). Marchi & A. Rbatta. Meccanica dei Flidi. Principi e applicazioni idraliche. UTT, Torino (1981). Cap. 18. (Un cenno sintetico al problema). De Marchi,. Noseda & D. Citrini. Nozioni di Idralica con particolare rigardo ai problemi delle boniiche e delle irrigazioni. dagricole, Milano (1977). Cap. 3B. (Rierimento con approccio didattico e svilppo sintetico) 4

5 IPOTSI DI BAS Assnzioni di base: Corrente monodimensionale; pertanto le velocità si mantengono sensibilmente parallele alla direzione del moto e niormemente distribite slla sezione trasversale; inoltre l intersezione tra na sezione trasversale e la spericie libera rislta n segmento orizzontale. Canale di orma prismatica. La portata varia gradalmente lngo il canale: non sono presi in considerazione apporti o prelievi concentrati di portata. 5

6 IPOTSI DI BAS Assnzioni di base: Variazioni gradali di sezione e di velocità nello spazio (se non in prossimità di eventali risalti idralici); pertanto le crvatre delle linee di corrente risltano piccole e la corrente sostanzialmente cilindrica; le accelerazioni verticali sono consegentemente trascrabili e la distribzione della pressione slla sezione trasversale è idrostatica. Liido omogeneo incomprimibile; pertanto la densità è niorme e costante. Pendenza locale del ondo contenta; pertanto le sezioni trasversali si dispongono con bona approssimazione verticalmente. etti dissipativi della resistenza comptati mediante leggi di resistenza valide in regime di moto niorme assoltamente trbolento; i coeicienti di raggaglio α e β sono assnti nitari. Condizioni di stazionarietà: le grandezze idraliche non dipendono dal tempo. In caso di alssi laterali, si prescinde dal orte emlsionamento e dalle rilevanti oscillazioni del pelo libero della corrente. 6

7 APPLICAZIONI sempi di opere idraliche interessate da correnti permanenti a portata variabile Canali di derivazione delle centrali idroelettriche ad aca lente dotati di sioratore laterale rondaie per la raccolta delle ace piovane Canali collettori delle ace siorate P L H 7

8 Concetti di proondità totale e linea delle proondità totali per na corrente lineare PROFONDITÀ TOTAL ssi stanno al teorema del bilancio della antità di moto come i concetti di carico totale e di linea dei carichi totali stanno all eazione di bilancio dell energia meccanica. Come noto, per sezione di orma generica la spinta totale si calcola: Per sezione di orma rettangolare di larghezza b: S( γ ζ Σ( S( Σ( ( ( + βρ ( S( / γ ζ ( ( + γ b S( / γ + βρ b b β + g b β g ( dove ς indica l aondamento del baricentro dell area bagnata rispetto al pelo libero La spinta totale ammette valore minimo, per assegnata portata, in corrispondenza dello stato critico. Ugalmente, la massima portata compatibile con na nota spinta totale è ella critica. 8

9 PROFONDITÀ TOTAL Si deinisce proondità totale H la proondità della corrente lineare tale che la propria spinta idrostatica gagli ella totale. S( γ ζ ( ( + βρ γ ζ ( H) ( H) ( Per sezione di orma rettangolare di larghezza b: γ b + βρ b H γ b La linea delle proondità totali è il logo dei pnti che in ogni sezione sovrastano il ondo di na ota pari alla proondità totale. 9

10 UAZIONI DL MOTO Conservazione della massa t Vc ρ dv + Sc ρ ( n) ds 0 Formlazione eleriana della eazione cardinale di continità Per n tronco ininitesimo di corrente lineare di liido incomprimibile, in presenza di alssi o delssi laterali (indicando e e le portate volmetriche per nità di lnghezza rispettivamente entranti ed scenti lateralmente), si ottiene: da ci: ( ρ) ( ρ ) ρ ρ + + ( ρ e ρ ) t x d + e e t s Condizioni stazionarie azione dierenziale di continità 10

11 Bilancio della antità di moto Proiettando nella direzione del moto, moltiplico scalarmente per i s I + M + Π UAZIONI DL MOTO I + M Π + s + M1s + M s Ls s s s ρ g senθ γ i Componente nella direzione del moto della risltante delle orze di massa (orza di gravità) agenti sl volme di controllo Π L τ B γ j s 0 B è la lnghezza del contorno bagnato, t 0 la tensione tangenziale media alla parete. Componente nella direzione del moto della risltante delle orze tangenziali resistenti di spericie che si svilppano sl contorno laterale del volme di controllo Π 1 s ( ζ ) + Π γζ γζ + γ s s ς è l aondamento del baricentro dell area bagnata Componente nella direzione del moto della risltante delle orze statiche di spericie agenti slle sezioni trasversali di chisra del volme di controllo I s 0 per l ipotesi di stazionarietà del moto 11

12 Bilancio della antità di moto M s ρ U ρ U + ( ρ U) s + ρ e V * ρ UAZIONI DL MOTO Componente nella direzione del moto della risltante del lsso di antità di moto entrante nel volme di controllo U V* indica la componente della velocità dell alsso laterale nella direzione del lsso principale. La componente nella direzione della corrente principale della velocità elente si assme pari a ella media U nel canale. In deinitiva: da ci: ( ζ ) ( U) γ ( i j) γ ρ ρ ( e V s s ( ζ ) g i j g + e V + U s s * ( ) d * g g i j + e V U + ζ ( ) * U ) azione dierenziale del moto 1

13 UAZIONI UAZIONI DL MOTO DL MOTO Bilancio della antità di moto Scrittra alternativa dell eazione del moto: U V j i ds e ρ ρ γ + * ) ( Trascrando la dierenza i j(di entità modesta se la pendenza dell alveo è piccola ed esiga la resistenza oerta dal ondo): U V ds e ρ ρ * SS((s),(s)) ed energia speciica rierita al ondo ((s),(s)): d S d S ds + g S g b S γ γ ρ γ γ ρ ζ γ 1 ) ( 3 Dove:

14 UAZIONI UAZIONI DL MOTO DL MOTO Sostitendo, l eazione del moto diventa: U V j i d d e ρ ρ γ γ γ + + * ) ( e per l eazione di continità in cond. stazionarie si ottiene: Note le caratteristiche geometriche del canale, assegnate le leggi di immissione ed erogazione laterale della portata e le opportne condizioni al contorno, il proilo proilo pò essere determinato per pnti mediante integrazione alle dierenze inite. U V j i d e e ρ ρ γ γ γ + + * ) ( ) ( Pertanto: g U g V j i d e e + + * ) ( j i g V d e e + ) ( * azione dierenziale del proilo del pelo libero di corrente permanente gradalmente variata con alssi e delssi laterali

15 Canali con portata crescente nella direzione del moto (gradale immissione di portata ortogonalmente al canale) 0 e V * 0 d ds γ e ( i j) Se la dierenza i jè circa nlla, l eazione del moto diviene: azione del proilo del pelo libero ds 0 PORTATA CRSCNT azione di continità azione dinamica cioè il processo di moto si svilppa mantenendosi inalterata la spinta totale per l intero tratto interessato da immissione laterale; pertanto la linea delle proondità totali si mantiene parallela al ondo. d e i j + i j g 1 Fr d 15

16 Assegnata la spinta totale a ci avviene il processo di immissione laterale: PORTATA CRSCNT S ( ( ζ ( g ( γ - La massima portata max compatibile con l assegnata spinta totale si ottiene in corrispondenza dello stato critico per la stessa portata. - Ogni portata ineriore alla massima pò delire in de distinti stati di moto (no di corrente veloce, l altro di corrente lenta) caratterizzati da proondità idriche conigate. - La portata si annlla per 0 e pari alla proondità totale H (H è la minima proondità totale con la ale pò delire la portata max ). - Il diagramma della portata a spinta totale issata presenta tangenti orizzontali per 0 e H; il ramo ad > c appartiene alle correnti lente, viceversa ello con < c alle correnti veloci. 16

17 PORTATA CRSCNT S ( ( ζ ( g ( γ Poiché a casa dell immissione laterale la portata amenta nella direzione del moto: - se la corrente è lenta, la proondità idrica diminisce e la corrente è accelerata; - se la corrente è veloce, la proondità idrica amenta e la corrente è ritardata. Pertanto la condizione critica non pò che veriicarsi a valle del tratto di canale interessato dall immissione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce. 17

18 Tracciamento alitativo del proilo della spericie libera: alcni esempi PORTATA CRSCNT Debole pendenza Forte pendenza 18

19 Tracciamento antitativo del proilo della spericie libera PORTATA CRSCNT (nell ipotesi che la spinta totale resti inalterata lngo il tratto alimentato) - Si calcola la spinta totale caratteristica del processo di immissione in corrispondenza della sezione di controllo (ella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, viceversa se è lenta). - Nota la geometria del canale prismatico, preissata la spinta totale caratteristica del processo, si pò tracciare la crva ( a S issata. - Assnta nota la legge di immissione (per esempio na portata per nità di lnghezza in ingresso niorme), si ricava la distribzione di portata lngo il canale: ( s) e s + - Si stima il tirante della corrente a progressiva issata risolvendo l eazione: S ( ζ ( g ( γ In generale essa è non lineare in e richiede, ai ini dell individazione degli zeri, il ricorso a tecniche nmeriche iterative. 0 19

20 PORTATA CRSCNT Tracciamento antitativo del proilo della spericie libera (nell ipotesi che la spinta totale resti inalterata lngo il tratto alimentato e l alimentazione sia niorme) azione di continità azione del moto ( s) e s + S( s) cost Nel caso in ci l alveo prismatico presenti sezione rettangolare di larghezza b: 0 dove 0 indica la portata alla progressiva s 0 S S ( ζ ( g ( b γ bγ da ci l eazione del proilo del pelo libero esplicita in s: b e S bγ g g s 0 e I dati sperimentali si mostrano in bon accordo con i risltati di esta interpretazione matematica (sopratttto con rierimento ai proili di corrente lenta, meno in rierimento a elli di corrente veloce, in relazione ai ali non pò essere considerato valido a rigore l assnto che la dierenza i j sia sostanzialmente nlla). 0

21 Canali con portata decrescente nella direzione del moto (gradale sioro laterale di portata) ds d e 0 γ ( i j) ρ d U PORTATA DCRSCNT azione di continità azione dinamica j g 1 Fr azione del proilo del pelo libero + i j i d 1

22 γ γ γ d d d + γ + γ + γ d d d γ γ ( i γ( d j) + ρ Se la dierenza i jè circa nlla, l eazione del moto diviene: d γ + d 0 ρ PORTATA DCRSCNT cioè il processo di sioro laterale avviene rimanendo inalterata l energia speciica rierita al ondo: pertanto la linea dei carichi totali si mantiene parallela al ondo. e V * U d ) + γ γ d d γ γ γ( i j) ρ g d γ( i j) γ d g γ d + γ d

23 Nota l energia speciica a ci avviene il ( ( g ( processo di sioro laterale: PORTATA DCRSCNT - La massima portata max compatibile con l assegnata energia speciica si ottiene in corrispondenza dello stato critico per ella portata. - Ogni portata ineriore alla massima pò delire in de distinti stati di moto (no di corrente veloce, l altro di corrente lenta). - La portata si annlla per 0 e pari alla energia speciica assegnata ( èla minima energia speciica rierita al ondo con la ale pò delire la portata max ). - Il diagramma della portata ad energia speciica issata presenta tangente orizzontale per ; il ramo ad > c appartiene alle correnti lente, viceversa ello con < c alle correnti veloci. 3

24 ( ( g ( PORTATA DCRSCNT La progressiva diminzione della portata nella direzione del moto comporta: - se la corrente è lenta, n amento della proondità della corrente che, pertanto, rislta ritardata; - se la corrente è veloce, na diminzione della proondità della corrente che, pertanto, rislta accelerata. Lo stato critico pò allora veriicarsi solo nella sezione iniziale del tratto di canale interessato ad erogazione laterale: la corrente è perciò interamente lenta o veloce, se non interviene n risalto idralico. 4

25 Forte pendenza PORTATA DCRSCNT Tracciamento alitativo del proilo della spericie libera Debole pendenza sempio di proilo misto 5

26 Tracciamento alitativo del proilo della spericie libera PORTATA DCRSCNT 6

27 Tracciamento alitativo del proilo della spericie libera PORTATA DCRSCNT 7

28 PORTATA DCRSCNT Tracciamento antitativo del proilo della spericie libera (nell ipotesi che l energia speciica resti inalterata lngo il tratto alimentato) - Si calcola l energia speciica rierita al ondo caratteristica del processo di erogazione in corrispondenza della sezione di controllo (ella a monte del tratto alimentato se la corrente ivi è veloce, a valle se è lenta). - Nota la geometria del canale prismatico, preissata la energia speciica 0 caratteristica del processo, si pò tracciare la crva ( a issata. - Assnta nota la legge di erogazione, si ricava la distribzione di portata lngo il canale e si determina antitativamente il proilo della spericie libera risolvendo il sistema: d g ( In caso di alveo di orma rettangolare di larghezza b: e l eazione del proilo del pelo libero diviene: 0 ( d b g 0 g( ( 0 g b(3 0 ) 8

29 PORTATA DCRSCNT Tracciamento antitativo del proilo della spericie libera L integrazione del proilo del pelo libero richiede la conoscenza della legge di erogazione. Nel caso in ci lo sioro avvenga mediante no sioratore laterale, la portata scaricata dipende dal carico slla soglia. In generale: d i j d g dx 1 Fr d μ g ( c) dove μ è n coeiciente di elsso e c l altezza della soglia rispetto al ondo del canale. È necessario ricorrere a metodi nmerici di integrazione, avendo issate le condizioni al contorno. Nel caso di alveo a debole pendenza, il atto che la portata scaricata non sia nota costringe all adozione di na procedra iterativa per tentativi. 3/ 9

30 PORTATA DCRSCNT Tracciamento antitativo del proilo della spericie libera Per canale prismatico rettangolare di larghezza b, nell ipotesi che la dierenza i jsia trascrabile, si ottiene: d ( c) μ b ( c)( 3 Di tale problema dierenziale ordinario con valori ai limiti De Marchi ha ornito la solzione: s s μ b 0 η 3λ 1 λ 0 0 1η 3arcsen η λ / 0 e λ c / dove: 0 1η 1 λ Inoltre s 0 indica la progressiva per la ale 0 e 0. 30