Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L. Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012

Transcript

1 Progetto Lauree Scientifiche Liceo Classico L. Ariosto, Ferrara Dipartimento di Matematica Università di Ferrara 24 Gennaio 2012

2 Concetti importanti da (ri)vedere funzione vettore matrice cenni di calcolo combinatorio probabilità: storia e assiomi probabilità condizionata indipendenza di due eventi teorema di Bayes variabili aleatorie spazio campionario valore atteso densità di probabilità campione statistico medie varianza 1

3 Le variabili aleatorie Il risultato dell osservazione del verificarsi di alcuni fenomeni si può tradurre quantitativamente, attraverso la scelta di grandezze rappresentate da numeri, naturali, reali... Grandezze rappresentate da numeri, non noti a priori, possono essere ad esempio: il numero di chiamate effettuate da abbonati a una compagnia telefonica in un intervallo di tempo fissato, in un dato luogo; la percentuale di risposte affermative ad una domanda binaria di un questionario; il tempo di decadimento di un atomo; la percentuale di pezzi difettosi, prodotti da una macchina in un intervallo di tempo fissato; il numero di battiti cardiaci al minuto di un determinato individuo dopo una prova da sforzo. 2

4 Le variabili aleatorie Ciascuna di queste grandezze può assumere valori diversi, e non è possibile stabilire prima quale valore la grandezza assumerà in una singola osservazione, perché essa si presenta in modo non prevedibile con sicurezza. Sarà solo possibile valutare a priori con quale probabilità essa può assumere ciascuno dei valori possibili. In casi come quelli menzionati, quando si associa ad un unità, non ancora osservata, di un dato insieme di eventi una caratteristica che lo contraddistingue, espressa mediante un valore numerico e non nota a priori, si definisce una variabile aleatoria o casuale (dal latino alea, dado). Si può intendere la variabile aleatoria come modello astratto della variabile statistica. 4

5 Le variabili aleatorie In un qualunque tipo di rilevazione, una volta scelta una codifica numerica per i dati di tipo qualitativo, ogni fenomeno produce delle misure, osservabili sotto forma di variabili aleatorie. Un qualsiasi evento, ad esempio, può essere ad esempio connotato numericamente attraverso la sua funzione indicatrice, che vale : 1 se l evento si verifica 0 altrimenti. Si dice allora che un evento produce una variabile aleatoria dicotomica. 7

6 Le variabili aleatorie Una variabile aleatoria si dice discreta se può assumere un numero finito o infinito-numerabile di valori; si dice, invece, continua se può assumere i valori in tutto R o in un suo sottoinsieme continuo. Una variabile aleatoria discreta corrisponde ad un carattere quantitativo discreto, una variabile aleatoria continua ad un carattere continuo. Le variabili aleatorie vengono abitualmente denotate con lettere maiuscole, come X, Y, mentre i valori che esse assumono sono rappresentati con le lettere minuscole corrispondenti: x, y... 6

7 Esempio di variabile aleatoria discreta Prendiamo due dadi regolari e distinguibili l uno dall altro, le cui facce siano numerate da 1 a 6. Lanciamoli simultaneamente e assumiamo i numeri usciti sulle facce superiori come coppia ordinata; l insieme dei possibili esiti (eventi elementari) è rappresentato allora da un insieme contenente 36 elementi. Ricordando il fatto che i dadi sono regolari, allora ciascuno di questi 36 risultati ha probabilità 1/36 (valutazione classica) di verificarsi. 7

8 Esempio di variabile aleatoria discreta Possibili esiti del lancio di due dadi regolari a sei facce: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 11

9 Esempio di variabile aleatoria discreta Costruiamo ora una funzione che associa ad ogni evento o esito del lancio, cioè ad ogni coppia (a,b), con a, b = 1,,6 la somma dei punti realizzati nei due lanci, ovvero il numero a + b. Ad ogni elemento viene quindi associato un elemento del seguente insieme numerico: F = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} La funzione X definita sopra è una variabile aleatoria discreta. Si può a questo punto valutare con quale probabilità tale legge associa ad un evento elementare uno degli elementi di F. 9

10 Esempio di variabile aleatoria discreta primo dado Variabile aleatoria somma di due dadi secondo dado

11 Definizione di variabile aleatoria discreta In generale, si può definire rigorosamente come variabile aleatoria discreta una funzione che ad ogni evento elementare di uno spazio campionario associa uno e un solo numero reale di un insieme finito o infinitamente numerabile: F= x 1,x 2,x 3,, x n in modo che a ciascun x i (i=1,,n) si associ il numero che rappresenta la probabilità p i che l esito assuma il valore x i. 11

12 La distribuzione di probabilità Si definisce quindi distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X discreta, la relazione che ad ogni valore x i, assumibile da X, fa corrispondere la probabilità dell evento p i = P(X=x i ) =f(x i ). 12

13 La distribuzione di probabilità: somma dei dadi Dunque la variabile aleatoria X = somma dei punti realizzati nel lancio di due dadi regolari può assumere i valori x 1 = 2, x 2 = 3,..., x 11 = 12, con le probabilità di seguito riportate: X P(X) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 13

14 La funzione di ripartizione Per una variabile aleatoria X si definisce inoltre la cosiddetta funzione di ripartizione F, come la legge che ad ogni valore x i, assumibile da X, associa la probabilità che X sia non superiore a x i : F(x i ) = P(X x i ) i=1,,n Si avrà dunque: F(x 1 ) = P(X x 1 )=p 1 F(x 2 ) = P(X x 2 )= p 1 + p 2 F(x n ) = P(X x n )= p 1 + p p n =1 14

15 La funzione di ripartizione Calcolare il valore della funzione di ripartizione per un xi qualsiasi significa quindi determinare la probabilità che la variabile aleatoria assuma valori più piccoli o uguali di quell xi. La sua rappresentazione grafica si dice curva cumulativa della variabile aleatoria e assume una classica forma a gradini. Da osservare che: F(x) = 0 se x< x 1 F(x) =1 se x>x n Quest ultimo valore, essendo certo l evento X assume valori minori o uguali di x, con x> di x n. 15

16 La funzione di ripartizione 16

17 Altre caratteristiche della variabile aleatoria Spesso è sufficiente, o non è possibile altrimenti, indicare soltanto alcuni parametri numerici che delineano i tratti essenziali della distribuzione studiata, ad esempio: un indice di posizione, attorno al quale si raggruppano i valori possibili della variabile aleatoria; un indice che caratterizza la dispersione di questi valori attorno al valore medio; ecc. Sono questi valori caratteristici, o sintetici, della distribuzione che ne forniscono un immagine generale, che risulta sufficiente per alcuni scopi. 17

18 Digressione sulla statistica Per capire come riuscire ad estrapolare e ad utilizzare le caratteristiche di una variabile aleatoria appena accennate, occorre ricostruirne definizione ed utilizzo nel loro ambito naturale in seno alla matematica: la statistica. Tale disciplina, originariamente, aveva come oggetto la descrizione di caratteristiche demografiche, economiche, degli stati, mentre ora rappresenta anche l'insieme delle tecniche utilizzate per raccogliere, elaborare e interpretare i dati che riguardano una collettività, al fine di studiare un fenomeno e poterne prevedere gli sviluppi. 18

19 I due volti della statistica Statistica descrittiva la ricerca statistica viene fatta sulla intera popolazione : Statistica censimento della popolazione italiana rilevazione del gradimento della Statistica inferenziale scuola la ricerca viene fatta su un campione casuale della popolazione con lo scopo di ottenere informazioni relative all intera popolazione: verifica della durata delle batterie prodotte da una ditta proiezioni sull esito delle elezioni politiche 19

20 Fasi di un indagine statistica 1. Studio del problema e impostazione della ricerca statistica: scopo della ricerca, definizione del fenomeno che vogliamo studiare, ipotesi che si vogliono provare; individuazione della popolazione. 2. Rilevamento, classificazione e tabulazione dei dati: I dati raccolti vengono raggruppati in classi omogenee e riportati in tabelle. 3. Rappresentazione grafica e analisi dei dati: Diagrammi: la rappresentazione grafica dei dati consente di rilevare più facilmente le loro caratteristiche, ma manca di precisione. 20

21 4. Elaborazione: consiste nell esaminare i dati mediante metodi matematici al fine di determinare alcuni indici rappresentativi del fenomeno 5. Conclusioni dell indagine: relazione conclusiva in cui viene riportato quanto rilevato in relazione al fenomeno studiato: il prodotto interno lordo è aumentato del 5% negli ultimi 10 anni si è osservato un aumento della piovosità media nel mese di aprile Fasi di un indagine statistica 21

22 Il gruppo di persone o oggetti che dobbiamo studiare è la cosiddetta popolazione: insieme degli individui o unità statistiche che presentano caratteristiche comuni. Ad esempio: appartengono alla stessa nazione, frequentano la stessa scuola, sono suini provenienti dallo stesso allevamento, elettrodomestici prodotti dalla stessa ditta Osservazioni a. La scelta della popolazione dipende dagli obiettivi dell indagine. b. La rilevazione ed elaborazione statistica riguarda i caratteri o argomenti comuni agli individui della popolazione. Soggetti di un indagine statistica 22

23 Campione statistico Campione statistico (in inglese sample ): si intende un qualsiasi insieme di unità statistiche, prese da tutta la popolazione. Un campione è dunque un sottoinsieme di misurazioni selezionate dalla popolazione. 23

24 Indici statistici 24

25 Medie Media di una popolazione: somma di tutti i valori delle variabili della popolazione diviso il numero di unità della popolazione (N) Media di un campione: somma di tutti i valori delle variabili di un sottoinsieme della popolazione diviso il numero di unità di tale campione (n) Dove: N = numero elementi popolazione, n= numero elementi campione Xi =i-esima osservazione della variabile Xi 25

26 Moda La moda è il valore più frequente di una distribuzione, o meglio, la modalità più ricorrente della variabile (cioè quelle a cui corrisponde la frequenza più elevata). La moda di questo campione è 1005 in quanto compare ben 3 volte. Caratteristiche: viene utilizzata solamente a scopi descrittivi, perché è meno stabile e meno oggettiva delle altre misure di tendenza centrale. Per individuare la moda di una distribuzione si possono usare gli istogrammi; essa può differire nella stessa serie di dati, quando si formano classi di distribuzione (intervalli) con ampiezza differente. Per individuare la moda entro una classe di frequenza, non conoscendo come i dati sono distribuiti, si ricorre all'ipotesi della ripartizione uniforme. 26

27 Mediana La mediana è il valore che occupa la posizione centrale in un insieme ordinato di dati. È una misura consistente, in quanto poco influenzata dalla presenza di dati anomali. Caratteristiche: si ricorre al suo uso quando si vuole attenuare l'effetto di valori estremi; in una distribuzione o serie di dati, ogni valore estratto a caso ha la stessa probabilità di essere inferiore o superiore alla mediana. 27

28 Mediana Per calcolare la mediana di un gruppo di dati, bisogna: 1. disporre i valori in ordine crescente oppure decrescente e contare il numero totale n di dati; 2. se il numero (n) di dati è dispari, la mediana corrisponde al valore numerico del dato centrale, quello che occupa la posizione (n+1)/2; 3. se il numero (n) di dati è pari, la mediana è stimata utilizzando i due valori centrali che occupano le posizioni n/2 e n/2+1: a. con poche osservazioni, come mediana viene assunta la media aritmetica di queste due osservazioni intermedie; b. con molte osservazioni raggruppate in classi, si ricorre talvolta alle proporzioni. 28

29 Mediana: esempio Dato l insieme di numeri seguente: In ordine crescente, poi, si possono rappresentare i numeri: Dal momento che il numero di campioni è 10, ossia è un numero pari, la mediana si deve calcolare facendo la media dei due elementi centrali: 85=(84+86)/2 29

30 Indici di dispersione Un indice di dispersione rappresenta con cui si valuta la diversità esistente tra le osservazioni. CAMPO DI VARIAZIONE VARIANZA DEVIAZIONE STANDARD COVARIANZA CORRELAZIONE 30

31 Campo di variazione e scarto Il campo di variazione di una distribuzione è la differenza tra il dato più grande e quello più piccolo della distribuzione: C= x max - x min Questo indice è abbastanza grossolano, non esprime nulla sulla variabilità dei dati intermedi. Esempio: il campo di variazione della seguente distribuzione: è C= 32 25= 7 Lo scarto misura quanto ciascun dato x i si discosta dal valor medio, ovvero. s x i X 31

32 Scarto assoluto Usando s possono essere ricavati diversi altri indici di variabilità; in particolare si definisce scarto medio assoluto, e si indica con s.m., la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti. 32

33 Varianza Varianza della popolazione: misura che caratterizza bene la variabilità di una popolazione: Varianza di un campione: Se n è grande, le differenze tra le due formule sopra sono ovviamente minime. Se n è piccolo, le differenze si osservano bene. 33

34 Deviazione standard La varianza ha lo svantaggio di essere una grandezza quadratica e quindi non direttamente confrontabile con la media o con gli altri valori della distribuzione. Per trovare una misura espressa nella stessa unità di misura della variabile di partenza, basta estrarre la radice quadrata della varianza. oppure, per il campione, La deviazione standard è una misura di distanza dalla media e quindi ha sempre un valore positivo. La deviazione standard è una misura della dispersione della variabile casuale intorno alla media. 34

35 Deviazione standard: esempio Prendiamo in esame una stringa di voti di due studenti universitari, Enrico e Paolo: Enrico 30, 30, 28, 27, 26 Paolo 21, 30, 30, 30, 30 Se si calcola la media aritmetica, si può verificare che è la stessa: 28,2. Deviazione standard: (Enrico) =1,78 (Paolo)= 4,02 Da questo dato si può evincere che i voti di Enrico sono più concentrati tra loro rispetto a quelli di Paolo. 35

36 Covarianza La covarianza è un indice che permette di verificare se fra due variabili statistiche esista o meno un legame lineare. Date due serie di dati {xi} e {yi}, i=1,2, n, confrontiamo le coppie di scarti e corrispondenti: (x i ) e (y i - ) e definiamo covarianza: x y 36

37 Covarianza La Covarianza può essere: POSITIVA: se ad un aumento della X tende ad aumentare anche Y e, viceversa, al diminuire della X tende a decrescere anche Y. NEGATIVA: quando la variazione delle variabili X e Y avviene in direzione opposta, cioè quando al crescere di una variabile l altra decresce o viceversa. NULLA: quando non si evidenzia una chiara tendenza delle due variabili alla variazione nella medesima direzione o in quella opposta. Se Cov(X,Y) = 0, X ed Y si dicono allora non correlate o linearmente indipendenti. 37

38 Correlazione La correlazione rappresenta uno strumento più rigoroso che consente di studiare il grado di intensità del legame lineare tra coppie di variabili X, Y. r xy Cov(X,Y) (varx) (vary) coefficiente di Bravais-Pearson Il coefficiente di Bravais - Pearson o di correlazione: permette di verificare il tipo di associazione fra le variabili; Esprime quanto sia consistente una relazione lineare fra le variabili È un valore adimensionale compreso tra 1 e 1 (se r=1 o r=-1 si dicono perfettamente correlate) ; è positivo se i valori delle variabili crescono insieme ; è negativo se i valori di una variabile crescono al decrescere dei valori dell altra. 38

39 Caratteri Qualitativi MODALITÀ colore degli occhi Caratteri o tipi di dati professione titolo di studio Quantitativi VALORI (espressi mediante numeri) statura, peso, durata di un fenomeno 39

40 Caratteri Un carattere che assume un insieme di valori differenti si dice variabile. Esempi 1. L altezza degli studenti di una classe varia da soggetto a soggetto. Il carattere altezza rappresenta una variabile quantitativa. 2. La temperatura esterna varia durante il giorno. La temperatura è una variabile quantitativa. 3. Il colore degli occhi varia da persona a persona. Il carattere colore degli occhi è una variabile qualitativa. 40

41 Rappresentazioni numeriche di distribuzioni statistiche In generale, le indagini statistiche portano alla raccolta di una grande quantità di dati. Per poterli studiare e quindi riuscire ad individuare le caratteristiche di un fenomeno statistico, è necessario raggruppare opportunamente i dati. Il raggruppamento viene fatto in classi e rappresentato mediante tabelle in cui vengono riportate le frequenze assolute o relative o percentuali dei dati. Di solito il numero delle classi è compreso tra seconda del numero dei dati. 5 e 20 a Si conviene in genere che le ampiezze delle classi siano possibilmente uguali. 41

42 Rappresentazioni numeriche di distribuzioni statistiche La frequenza assoluta f di una modalità o di un valore è uguale al numero di volte che il valore compare nella distribuzione. La frequenza relativa r o f r è uguale al rapporto tra la frequenza assoluta del dato e il numero totale di dati r i f r i frequenzaassoluta numero dati La frequenza percentuale è la frequenza relativa che viene espressa in percentuale (cioè la frequenza riferita a 100 elementi): f 100 f 100 i i f % :100 % i N N fi N 42

43 Rappresentazioni numeriche di distribuzioni statistiche Sistemati i dati in un certo ordine, a volte è richiesta anche la frequenza dei valori che sono minori o maggiori di una data modalità. La frequenza cumulata corrispondente alla modalità Xi è la somma della frequenza di Xi e di tutte le modalità che precedono Xi secondo l ordine fissato. Le frequenze cumulate possono essere: cumulate assolute, relative, percentuali. 43

44 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni univariate Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di rappresentare in modo semplice le caratteristiche di una distribuzione di frequenza. Consentono di avere una visione immediata e complessiva di un fenomeno statistico. Presentano tuttavia un inconveniente: spesso difettano di precisione e si prestano a letture soggettive. Le rappresentazioni grafiche sono di diverso tipo e vanno scelte in relazione al tipo di dati da rappresentare: Istogrammi Diagrammi a barre Aerogrammi Diagrammi polari Cartogrammi 44

45 frequenza assoluta Rappresentazioni Rappresentazioni grafiche di grafiche distribuzioni univariate ISTOGRAMMI Sono grafici a barre verticali. Sull asse orizzontale vengono riportati i valori della variabile, mentre sull asse verticale le frequenze assolute, o relative, o percentuali con cui le variabili compaiono. Un istogramma è una rappresentazione areale, cioè l area dei rettangoli, e non la loro altezza, è proporzionale alla frequenza del dato. ISTOGRAMMA dei dati anno di corso 45

46 anno di corso Rappresentazioni grafiche di distribuzioni univariate DIAGRAMMA A BARRE I dati vengono rappresentati mediante linee continue più o meno spesse. L altezza o lunghezza delle barre è proporzionale alla frequenza del dato. Negli Ortogrammi o grafici a nastri gli assi sono scambiati per consentire una lettura più facile: sull asse x sono riportate le frequenze, sull asse y i valori delle variabili. Diagramma a barre (Ortogramma) frequenze assolute 46

47 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni univariate AEROGRAMMA Le frequenze di una variabile qualitativa vengono rappresentate mediante superfici di figure piane: quadrati, rettangoli, cerchi.. Le frequenze dei dati sono proporzionale all area delle superfici. del dato. Nei DIAGRAMMI CIRCOLARI o a TORTA si divide il cerchio in settori proporzionali alla frequenza del dato. Aerogramma - Diagramma circolare o a torta 28% 11% 15% % 24%

48 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni univariate DIAGRAMMA POLARE Viene utilizzato principalmente per rappresentare caratteri relativi a fenomeni ciclici (mensili, settimanali, giornalieri). Le frequenze dei dati sono proporzionale alla distanza dal centro. 1 Diagramma Polare

49 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni univariate CARTOGRAMMA Vengono utilizzati per rappresentare dati relativi a distribuzioni geografiche: densità di popolazione per regione, produzione agricola per regione, nazione etc 49

50 La media di una variabile aleatoria discreta Sia X una variabile aleatoria discreta con un numero finito di valori; ai valori x 1, x 2, x 3,..., x n corrispondono rispettivamente le probabilità p 1, p 2, p 3,..., p n. Si dice valore atteso, o speranza matematica, o semplicemente media di X la media aritmetica ponderata di tali valori (assumendo le probabilità come pesi), ovvero il valore E(X): E(X) n x p i i i 1 50

51 La media di una variabile aleatoria discreta La media di una variabile aleatoria, se esiste, gode di alcune proprietà: 1. La media di una variabile aleatoria costante, è la costante stessa. La proprietà è evidente, perché l unico valore h corrisponde all evento certo, di probabilità 1 e quindi: E(X) = h 1 = h. 2. Se X è una variabile aleatoria e a e b sono delle costanti allora: E(aX+b) = ae(x)+b. 51

52 La media di una variabile aleatoria discreta 1. La media della somma di due variabili aleatorie è uguale alla somma delle medie delle singole variabili. Cioè: E(X + Y) = E(X) + E(Y). 52

53 La variabile aleatoria SCARTO Sia data una variabile aleatoria X, consideriamo la differenza tra la variabile aleatoria X e la sua media: X - E(X). Questa nuova variabile aleatoria si chiama deviazione, o variabile aleatoria scarto. Si dimostra subito che: E(X - E(X)) = 0. La media della variabile aleatoria scarto è nulla. 53

54 La varianza di una variabile aleatoria discreta Sia X una variabile aleatoria discreta; si definisce varianza di X, e si indica con 2 (X), la media del quadrato della variabile aleatoria scarto: cioè 2 2 (X)=E[(X-E(X)) 2 ] n (X) (x E(X)) i 1 i 2 p i 54

55 La varianza di una variabile aleatoria discreta Le principali proprietà della varianza della variabile X sono le seguenti: 1. Data X, di media E(X), risulta: 2 (X) = E(X 2 ) - E(X) 2. Infatti: (X - E(X)) 2 = X 2-2E(X)X + E(X) 2, e poiché E(X) è una costante, tenendo presenti le proprietà 1., 2. e 3. della media, risulta: 2 (X) = E(X 2 ) - 2E(X)E(X) + E(X) 2 = E(X 2 ) - E(X) Se X è una variabile aleatoria, di media E(X), e a e b sono costanti, risulta: 2 (ax + b) = a 2 2 (X). 55

56 Deviazione standard di una v.a.discreta Per caratterizzare la dispersione di una distribuzione di probabilità, è più opportuno utilizzare una grandezza, detta scarto quadratico medio, o scarto standard o deviazione standard di X, data dalla radice quadrata (aritmetica) della varianza: (X) = [ 2 (X)], o, in forma più esplicita: 2 X E[(X E(X)) ] 56

57 Coefficiente di variazione di una v.a. Dalla proprietà 2. della varianza, per lo scarto quadratico medio si ottiene: (ax) = a (X); (X + b) = (X). Analogamente a quanto si può fare in campo statistico, si definisce il coefficiente di variazione CV: CV(X)= (X)/E(X). 57

58 Variabili standardizzate Si verifica che, come nel caso statistico, la variabile Z così definita: Z X E(X) (X) ha media pari a 0 e varianza e scarto standard pari a 1. Tale variabile si dice standardizzata. 58

59 Modelli per variabili discrete Ci sono molti modelli diversi (o distribuzioni teoriche) adatti per distribuzioni di variabili aleatorie discrete. I due più comuni sono le distribuzioni Binomiale e di Poisson, che forniscono modelli buoni per rispondere a quesiti quali: calcolo del numero di pezzi difettosi costruiti da una serie di macchine (controllo di qualità); calcolo della probabilità che una data allergia colpisca certo numero di persone che assumono un determinato farmaco; calcolo della probabilità di centrare un bersaglio con due o più freccette, sparando ad esempio 3000 freccette e sapendo che la probabilità di centrare con un colpo è

60 Problemi con variabili discrete Di tutte le ostriche di un allevamento il 28% contiene una perla. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 15 ostriche più di 6 contengano una perla? Il numero medio di piantine per metro quadrato in un appezzamento è di 5. Qual è la probabilità che in un area di 8 metri quadrati vi siano meno di 10 piantine? Al primo quesito si risponde utilizzando la distribuzione binomiale. Al secondo quesito si risponde utilizzando la distribuzione di Poisson. 60

61 Distribuzione binomiale Situazioni come quelle viste si possono schematizzare mediante il modello costituito da una serie di n esperimenti indipendenti tra loro: ogni esperimento può dar luogo a due esiti, successo (S) e insuccesso (I); in ogni esperimento si considera costante uguale a p la probabilità di S; la probabilità di una specificata sequenza di S(uccesso) e I(nsuccesso) è il prodotto di tanti fattori p quanti sono i valori di S nella sequenza e di tanti fattori (1-p) quanti sono i valori I nella sequenza. 61

62 Distribuzione binomiale Se si considera la variabile aleatoria X = numero di S nella sequenza si trova che X può assumere i valori {0, 1, 2,..., n} e che per un dato k {0, 1, 2,,..., n} si ha: n P(X = k) = p k (1-p) n-k, dove k n k = n! k!(n k)! 62

63 Media e varianza d. binomiale Per una distribuzione binomiale si ha: E(X)=np 2 (X)=np(1-p) (X)= [np(1-p)] 63

64 Distribuzione di Poisson Ci sono poi altre situazioni in cui un esperimento viene ripetuto un numero n molto alto di volte e la probabilità p che tale esperimento abbia esito positivo è molto bassa, in modo tale che il prodotto np = risulti circa costante e non troppo elevato. In questi casi, allora, viene utilizzata una distribuzione di probabilità dipendente dal parametro = np, detta distribuzione di Poisson di parametro. 64

65 Media e varianza d.di Poisson Tale distribuzione assegna ad ogni k{0, 1, 2,,...} la probabilità: P(X = k) = e k k! si ha: E(X) = ; 2 (X) =. 65

66 La variabile aleatoria continua Una variabile aleatoria X si dice continua se i valori che può assumere occupano interamente un intervallo, limitato o illimitato, (a,b) dell asse reale x. Ad ogni valore x n di X corrisponde una determinata probabilità p n e quindi a ciascun punto di (a,b) che esprime l insieme dei valori della variabile, corrisponde una determinata probabilità, da indicarsi con: P(a<X<b) che caratterizza il fatto che il valore assunto dalla variabile aleatoria cade in questo intervallo. Esempio: in un controllo di qualità vengono rilevate le durate di componenti di circuiti elettrici; i dati raccolti sono stati rielaborati per essere riassunti nella seguente tabella: 66

67 Esempio di variabile aleatoria continua Durata(h) 0<t <t <t <t <t 1500 Frequenza Dall elaborazione si può esprimere l insieme di dati tabulato come segue: Classi Ampiezza classi (A) Frequenza assoluta Frequenza relativa (Fr) Densità (Fr/A) 0<t ,03% 0,0001% 400<t ,6% 0,0790% 800<t ,3% 0,2265% 1000<t ,0% 0,0950% 1200<t ,1% 0,0137% 67

68 Esempio di variabile aleatoria continua 0,2500% 0,2000% 0,1500% 0,1000% 0,0500% 0,0000% Le classi non hanno la stessa ampiezza, quindi si riporta in ordinate la densità di frequenza, ovvero il rapporto tra la frequenza relativa e l ampiezza della classe. Se si aumenta il numero delle classi n, diminuirà la base dei rettangoli, ma l area totale dell istogramma si mantiene uguale a 1, ovvero alla somma di tutte le frequenze relative. Se si fa tendere n all infinito, la spezzata tende ad una linea continua che viene detta densità di probabilità ed indicata con f(x), calcolabile mediante l uso degli integrali definiti.

69 Funzione di densità di una v.a. continua Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare una funzione, detta funzione densità di probabilità, f(x), definita sull insieme D R di valori possibili, che sia non negativa dappertutto e per la quale si abbia: f(x)dx D 1 69

70 Funzione di densità di una v.a. continua La funzione f(x), in analogia con la funzione densità di materia per un corpo materiale, il modo di distribuirsi della probabilità totale sull insieme dei valori assumibili da X. Per calcolare la probabilità P(X A), per un dato sottoinsieme A di D, occorre quindi procedere con l uso del calcolo integrale: P(X A)= A f(x)dx 70

71 Funzione di ripartizione di una v.a. continua In modo ancor più semplice si può definire la funzione di ripartizione: F(x)=P(X x)= x f(y)dy Per qualunque intervallo [a,b] si ha, allora: P(a X b)= b a f(y)dy = F(a)-F(b) 71

72 Funzione di ripartizione di una v.a. continua x f(y)dy Immagine tratta da: 72

73 Media di una v.a. continua Nel caso continuo il valor medio si definisce: E(X)= xf(x)dx D Si può verificare che tale media soddisfa le proprietà della media dimostrate nel caso discreto. 73

74 Varianza di una v.a. continua La varianza, che abbiamo definito come E[(X - E(X)) 2 ], risulta data da: 2 (X)= (x D E(X)) 2 f(x)dx e, applicando la proprietà di linearità dell integrale, si ha anche: 2 (X) = E(X 2 ) - E(X) 2. 74

75 Variabili standardizzate Anche per le variabili continue, si può introdurre la variabile Z così definita: Z X E(X) (X) Z ha media pari a 0. La varianza e lo scarto standard valgono 1. Z si dice variabile standardizzata. 75

76 La distribuzione normale La distribuzione normale (riconoscibile dalla curva a forma di campana) è la più usata tra tutte le distribuzioni, perché molte distribuzioni che ricorrono naturalmente sono molto simili ad essa. La sua derivazione matematica fu presentata per la prima volta da De Moivre nel 1733, ma è spesso riportata come la distribuzione Gaussiana, dal nome di Carl Gauss ( ), che ricavò anche la sua equazione da uno studio degli errori nelle misure ripetute della stessa quantità (Fisica). 76

77 La distribuzione normale Nel 1844 Quetelet annunciò che la legge degli astronomi (legge normale) era applicabile anche alla distribuzione di caratteristiche umane, come l altezza e la circon-ferenza della vita, e così estese l uso della funzione esponenziale a campana anche al campo della biometria, non relegandola più esclusivamente allo studio degli errori. Esaminando le liste dei dati somatici di migliaia di coscritti francesi, Quetelet notò che le misure dell altezza e del peso si distribuiscono, non solo regolarmente da una parte e dall altra della loro media, ma secondo la curva degli errori di osservazione di Gauss. 77

78 La distribuzione normale Quetelet, con considerazioni teoriche e riscontri empirici, dimostrò che la lunghezza delle ordinate della curva di frequenza è all incirca proporzionale ai vari termini di sviluppo (di Newton) del binomio (½ + ½) n, dove n è uguale al numero delle classi di frequenza meno uno. Inoltre Quetelet fece un accostamento ancor più significativo di quello fra coscritti ed errori di osservazione, rilevando l analogia fra gli scarti dei fenomeni fisici rispetto alle proprie leggi e le variazioni biometriche rispetto alle proprie medie. 78

79 La distribuzione normale Il caso delle diverse manifestazioni quantitative di un fenomeno biologico in una popolazione e quello dei differenti valori di misura di una stessa grandezza sono indubbiamente diverse, ma dalla teoria degli errori casuali, Quetelet seppe per analogia estrapolare elementi sufficienti per sistemare logicamente lo studio dei fenomeni quantitativi, introducendo uno dei primi modelli di variabilità in biologia. Come in fisica gli scarti non escludono l esistenza di una legge, così le variazioni biometriche non escludono l esistenza di una legge di natura. 79

80 La distribuzione normale Immagine tratta da: 80

81 La densità della distribuzione normale L espressione della funzione densità della curva normale è: f(x) 1 2 exp (x ) 2. E(X)= (X)= 81

82 f(x) Densità di probabilità e varianza Densità gaussiane per diversi valori delle varianze 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 x varianza=1.5 varianza=1 varianza=3 82

83 Proprietà Nel caso standardizzato, si può dimostrare che : 1. il 50% dei valori è inferiore a 0 2. il 50% dei valori è maggiore di 0 3. approssimativamente il 68% è tra e approssimativamente il 95% è tra e esattamente il 95% è tra e esattamente il 90% è tra e esattamente il 99% è tra e Questi risultati consentono di applicare le seguenti affermazioni ad ogni variabile con una distribuzione normale o quasi normale. (a) approssimativamente il 95% di tutti i valori dovrebbe essere compreso entro due deviazioni standard della media. (b) praticamente tutti i valori dovrebbero essere entro 3 della media. 83

84 Proprietà Immagine tratta da: 84