DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

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1 SPENSE MATEMATCA FNANZARA NCE Regm Fazar.. Cosderazo troduttve..2 Regme fazaro dell teresse semplce..3 Regme fazaro dello scoto commercale..4 Regme fazaro dell teresse composto..5 Tass equvalet..6 Scdbltà de regm fazar. 2 Le redte. 2. Redte tere. 2.2 Redte frazoate. 2.3 Redte o utare. 3 Pa d ammortameto. 3. Cosderazo geeral. 3.2 Ammortameto talao. 3.3 Ammortameto a rmborso uco. 3.4 Ammortameto fracese. 3.5 l preammortameto. 3.6 Ammortameto a tass varabl. 3.7 Valutazoe d u prestto.

2 Regm Fazar.. Cosderazo troduttve. S defsce operazoe fazara u'operazoe ce produce ua varazoe d captale el tempo. ; / ;t ce prevede u'uscta d all'epoca Cosderamo ad esempo lo scadezaro seguete ( ) ( ) zero e u'etrata d all'epoca t. Possamo rferrc pù geerale allo scadezaro ( ) ( ) PM ; / ; t. L'mporto P (l captale zale) vee camato valore attuale metre l'mporto M vee camato motate. Se due dvdu s scambao captal P e M, quest due captal s drao fazaramete equvalet. u'operazoe d'vestmeto avremo ce M > P percò la dffereza postva M P= è camata teresse. Avremo oltre: M = P+ M = P+ M = + P P P P quest'ultma relazoe, poamo M r P = e = camat fattore d captalzzazoe (o d motate) e tasso P d'teresse rspettvamete. a u puto d vsta fazaro l fattore d motate rappreseta l motate otteuto vestedo u captale utaro, metre l tasso d'teresse rappreseta l'teresse otteuto vestedo u captale utaro. L'ultma relazoe s può ace rscrvere ella forma seguete: [ ] r = + M = P r = P +. Possamo fe defre l'operazoe versa rspetto all'vestmeto, ota come operazoe d attualzzazoe (o atcpazoe). questo caso, l captale M dspoble all'epoca vee attualzzato (rportato detro el tempo) all'epoca. La dffereza postva M P= è camata scoto. Avremo oltre: P= M P = M P =. M M M M quest'ultma relazoe, poamo P v M = e = d camat fattore d scoto (o d attualzzazoe) e tasso d M scoto rspettvamete. a u puto d vsta fazaro l fattore d scoto rappreseta l valore attuale otteuto attualzzado u captale utaro, metre l tasso d scoto rappreseta lo scoto otteuto attualzzado u captale utaro. L'ultma relazoe s può ace rscrvere ella forma seguete: 2 [ ] v= d P= M v= M d. Teedo coto della defzoe d fattore d motate e fattore d scoto possamo dedurre ce quest soo recproc: r = v Osservazoe. dceremo d'ora po l'epoca zale co e l'epoca fale co t. Useremo percò le seguet otazo: r(, t) = rt = r( t) v(, t) = vt = v( t) (, t) = t = ( t) d(, t) = dt = d( t) ( tal caso t rappreseta la durata dell'operazoe ce o dpede dall'epoca d'vestmeto x ). Rcordamo ce alla luce d queste uove otazo t () rappreseta l'teresse geerato da u captale utaro vestto per

3 u perodo t, metre dt () rappreseta l costo ce devo sosteere per atcpare a ogg u mporto utaro ce sarebbe dspoble solo tra t perod. Osservamo oltre ce ote ua d queste quattro fuzo, è possble rcavare le altre tre. Rcordamo le relazo seguet: M = P r() t P= M v() t = P () t = M d(). t Nel caso cu t = useremo le otazo r(,) = r; v(,) = v; (,) = e d(,) = d. educamo da queste le seguet relazo: r = v = + = d v = d = r = + d = = r = v + r = r = d = v. d v Esemp. ) Calcolare l tasso d'teresse e d scoto e l fattore d attualzzazoe corrspodet a u fattore d captalzzazoe r =, 25. Avremo = r =,25. oltre v =,8. r =, 25 = fe d =,8=,2= v. 2) ovedo corrspodere dopo u perodo l captale d., dato l tasso d teresse del 25%, calcolare la somma equvalete a prot e l tasso effettvo d scoto. Lo scadezaro dell'operazoe è ( P ;.)/(;). etermamo dapprma l fattore d scoto v : v =,8. r = + =,25 =,25 Percò P=. v= 8. fe l tasso d scoto è d = = =,2. +,25 3) ato lo scadezaro ( ;2)/(;), determare tass d teresse e d scoto, fattor d captalzzazoe eattualzzazoe. dat soo P =, M = 2, t = 2. educamo = M P= 2 = 2. base alle ote relazo avremo: = = 2 =, 2 2% P r = M = + (,2) =,2 P (, 2), 2 d = = =,7355 = + (,2),2 M v= = =,82645 = d r, 2 Possamo adesso defre u regme fazaro come u seme d "regole" ce cosete d effettuare operazo d captalzzazoe e d attualzzazoe. Possamo percò cofrotare, cooscedo u partcolare regme fazaro, mport dspobl a epoce dverse. Vedamo dettaglo alcu tra pù mportat regm fazar..2 Regme fazaro dell teresse semplce. Nel regme fazaro dell'teresse semplce (" RFS "), s parte dalla potes ce l'teresse s produce 3

4 proporzoalmete (ossa learmete) rspetto al tempo. Avremo percò: = C t M = C ( + t). oltre l tasso d'teresse el perodo t è legato al tasso auo dalla relazoe t () = tmetre, l fattore d motate è dato dalla relazoe rt () = + t(fgura ). Esemp. ) Calcolare l'teresse e l motate prodott da u captale C =. mpegat: - al 3,75% per u ao; - al 7% per 5 mes. Sfruttado la relazoe M = C ( + t) e = C t avremo el prmo caso: e el secodo caso: M =. ( +,375 ) =.37,5 =.,375 = 37,5 = M C 5 ( ) M =. +,7 =.87,5 2 =.,7 5 = 87,5 = M C. 2 2) Calcolare a quale tasso u captale d 8 produce u motate M = 9 tre a. alla relazoe 9 = 8 ( + 3) s deduce ce = 9 ( ) =,47= 4,7%. 8 3 Rcordado le relazo rt () = vt () e vt () = rt () avremo el RFS le seguet relazo: vt () = = ( + t) + t dt () = vt () = t. + t Notamo ce al crescere d t l valore attuale dmusce (fgura 2). 4

5 Applcazoe: l replogo teress bacar l calcolo degl teress maturat su u coto correte bacaro vee tradzoalmete trasmesso al corretsta sotto forma d tabella replogatva co dcat sald, gor e umer. l calcolo vee fatto sulla base del regme dell teresse semplce, co accredto (ormalmete) trmestrale degl teress. Cosderato ce, el regme dell teresse semplce, l valore degl teress è dato da = C t, la somma d pù teress maturat allo stesso tasso è data da k = Ck tk = Ck tk Se t è espresso gor avremo: ( g) tk ( g) k = Ck = Ck tk k k k Nel quale ( g) Ck tk prede l ome d umer e k 36 k k k d dvsore fsso l procedmeto è l seguete: ) s rlevao l saldo zale del coto, tutt movmet tercors el perodo e l saldo fale; 2) a cascu movmeto vee assocata la data relatva; 3) s calcolao sald, ovvero l valore dspoble sul coto dopo cascu movmeto; 4) s calcolao gor d permaeza d cascu saldo; 5) s calcola l prodotto d cascu saldo per relatv gor, camato umer ; 6) s sommao umer 7) s calcolao gl teress moltplcado umer per l dvsore fsso. ate Movmet Sald Gor Numer teress -ge ge ge feb feb feb feb mar mar mar mar mar mar Totale % teress.7828

6 Nota: Ecooma Azedale spesso la formula per l calcolo delg teress vee dcata co: C r t C r gg = oppure, se l tempo è espresso gor, = 365 Le due otazo soo dverse ma equvalet, se s poe C = P; r =, metre abbamo gà vsto ce esprmere l tempo gor e dvdere po per 365 (o 36 a secoda delle covezo adottate) equvale a dcare la frazoe d ao..3 Regme fazaro dello scoto commercale. Nel regme fazaro dello scoto commercale (" RFSC ") s parte dall potes ce lo scoto è proporzoale al tempo: = M d t d() t = d t. Possamo oltre dedurre le altre relazo: vt () = d t rt () = = d t v( t) t () = rt () = d t. d t a queste relazo dobbamo mporre ce t d (oltre per t = s aulla l valore attuale). Oltre questo d lmte, l RFSC perde d sgfcato. Se ad esempo d =,2 avremo ce t < ; 8,33 (ossa otto a e quattro mes crca).,2 Esemp. ) Calcolare l motate d u captale par a dopo tre a co = %. Teedo coto della relazoe M = C co d = d t + s avrà: M = = 37,5., 3, 2) Ua socetà preseta allo scoto ua cambale d.. scadete ove mes, la fazara applca u tasso d scoto del 6% el RFSC. Calcolare l'mporto accredtato. Applcamo le ote relazo: P =.. 9 (,6 ) = =..,6 9 =.2. = M P. 2 Osservazoe. Cofrotamo due regm fazar vst fora. Cosderamo u captale C =. e u tasso auo = %. Per u tempo par a se mes ( t = /2) l motate el RFS sarà M =. ( +, ) =.5 metre el RFSC avremo u motate par a 2 6

7 M..47,6 2 =, = percò M > M (l motate el RFS prevale sullo scoto commercale per 2, 2 ua scadeza ferore a uo). Per scadeze maggor d uo, accade l cotraro. Rpredamo lo stesso esempo co t = 2 : M =. ( +, 2) =.2, metre M =. =.22, 22 percò 2, M < M. 2 2,.4 Regme fazaro dell teresse composto. l regme fazaro dell'teresse composto (" RFC ") è caratterzzato dal fatto ce l'teresse s accumula sul captale e forma uov teress. a u puto d vsta fazaro s può mostrare ce tal caso l fattore d motate è dato da ua fuzoe espoezale: l fattore d scoto sarà percò: Abbamo oltre: t t rt () = ( + ) Mt () = C ( + ). t vt () = ( + ) =. t ( + ) t t () = ( + ) t ( + ) dt () = vt () = =. ( ) t ( ) t + + Esemp. ) Calcolare l motate e l'teresse prodotto dall'vestmeto d u captale C =. per tre a e se mes al tasso = 7,5%. Applcado le formule precedet s ottee: M = = = M C= 288,4. 3,5. (,75).288,4 2) Scoto presso u sttuto bacaro ua cambale scadete tra ove mes l cu valore è 3.. La baca m applca u tasso = 3%. Calcolare l tasso d scoto, la somma atcpata e lo scoto. Applcamo le formule ote:,3 d = = =,5 d =,5% +,3 C = M (+ ) t = 3. (,3) 9/2 = 2.737,24 = M C = 262,76. Cofrotamo ora l fattore d motate e tre regm fazar vst. S a: < t < RFSC < RFC < RFS t > RFS < RFC < RFSC. ossa l motate prodotto el RFC è sempre compreso tra quello relatvo agl altr due regm fazar; per < t < prevale l teresse semplce metre per t > prevale lo scoto commercale (vedere fgura 3). 7

8 .5 Tass equvalet. remo geerale ce due tass soo equvalet, quado applcat ad uo stesso captale per ua stessa durata, forscoo lo stesso motate. Poamoc adesso ell'ambto del RFC e dcamo co /m l tasso relatvo a u m esmo d ao. Voglamo determare l tasso auo equvalete al tasso /m. Per defzoe d tass equvalet avremo ce l'vestmeto d u captale utaro per u ao porta alla relazoe: dalla quale possamo rcavare l legame cercato: ( ) m / m + = ( + ) ( / m ) ( ) / m = + / m = +. Osservamo ce el RFS s a la relazoe / m = / m. Esemp. ) ato l tasso auo = 2%, determare l tasso semestrale /2 trmestrale /4, l tasso mesle /2 e l tasso goralero /365, l tasso quadrmestrale /3, l tasso equvalet. Utlzzado la relazoe su tass equvalet (lavoreremo sempre el RFC se o dversamete specfcato) avremo: /2 /2 = (, 2) =,95445 /3 /3 (, 2),6 /4 m = = /4 = (, 2) =,46635 /2 /2 = (, 2) =,5 /365 /365 = (, 2) =,496. 2) ato l tasso trmestrale /4 =,5 calcolare l tasso auale, semestrale e quadrmestrale equvalet. alle relazo ote rcavamo: 4 = (+,5) =, 2556 = = /2 /2 (, 2556),25 /3 /3 = (, 2556) =,67. 8

9 .6 Scdbltà de regm fazar. U regme fazaro è scdble se l motate d u captale vestto dall'epoca all'epoca t è par a quello otteuto vestedo lo stesso captale dall'epoca a u'epoca termeda s e po dall'epoca s all'epoca t. Questa defzoe s può esprmere attraverso l fattore d motate el modo seguete: r(, t) = r(, s) r( s, t) co < s< t. Possamo esprmerla aalogamete facedo rcorso al fattore d scoto: v(, t) = v(, s) v( s, t) co < s< t. Esemp. ) l RFC è scdble. effett, essedo (,) ( ) k rk = + s a: 9 r(, t) = r(, s) r( s, t) ( + ) = ( + ) ( + ) t s t s per ua semplce propretà delle poteze. 2) l RFS o è scdble. effett, essedo rk (,) = + ( k ) s a: 2 [ ] [ ] [ ] r(, s) r( s, t) = + s + ( t s) = + ( s+ t s) + s ( t s) r(, t) = + t. Vedamo u'applcazoe umerca el RFC co dat seguet: C = ; = % ; s = 2 ; t = 3. Calcolamo l motate co e seza captalzzazoe termeda: S ottee come prevsto lo stesso rsultato. 2 M = (,) (,) = 33, 3 M = (,) = 33,. Esercz d replogo. ) Calcolare e M prodott da u captale C =., mpegat al tasso auo e per l perodo dcat (el RFS ): a) al 3,75% per u ao; avremo: t () = Ct =.,375 = 37,5 M = () t + C= 37,5+.=.37,5 b) al 7% per 5 mes; t () = Ct =.,7 5 = 87,5 2 M = () t + C= 87,5+.=.87,5 c) al 9,25% per 2 gor; t () = Ct =.,925 2 = 3,83 36 M = () t + C= 3,83+.=.3,83. 2) Calcolare a quale tasso auo d'teresse (el RFS ): a) u captale d.25 produce u teresse = 84,375 u ao; utlzzamo la ota relazoe: t () 84,375 t () = Ct =,675 6,75% C t =.25 = =.

10 b) u captale d 8 produce u motate d 9 tre a; utlzzamo la ota relazoe: Mt () Mt () = C ( + t ) = 9 ( ),46 t C = =. 3 8 c) u captale C geerco raddoppa due a; essedo Mt () = 2C, s ottee: = 2C ( ) (2 ),5 5% t C = 2 = =. 3) Calcolare quato tempo, al tasso d'teresse del 7,5% auo (el RFS ) a) u captale d 3.5 produce u teresse d 35 ; utlzzamo la relazoe: t () t = 35,3 C = 3.5,75 = (u ao e 4 mes) b) u captale d 2.5 produce u motate d 3. ; utlzzamo la relazoe: Mt () t = 3. ( ) 2,6 C = = ( 2 a e 8 mes)., ) Calcolare l captale da vestre ogg al 9,5% auo per avere (el RFS ): a) u motate par a. tra 4 mes; utlzzamo la relazoe: Mt () C = =. = 9, t +, b) u teresse par a tra 6 mes; utlzzamo la relazoe: t () C = = = 2.5, 263. t, ) Vee stpulato u prestto d 5. da restture dopo 9 mes co = 2% el RFS. Calcolare l valore attuale dopo 6 mes della somma dovuta usado l tasso d'teresse del % auo. l motate è: Mt () = C ( + t ) = 5. 9 ( +,2 ) = l valore attuale rcesto sarà allora (attualzzamo l motate precedete d tre mes): P= M() t v() t = M() t = 5.45 = 5.37,7. + t +, 3 2 6) Calcolare el RFSC scoto e valore attuale per u captale a scadeza K =. co tasso auo d scoto e tervallo d tempo dcat: a) d =,; t = ; abbamo le relazo:

11 b) d =,2; t = 8 /2 (otto mes); abbamo le relazo: = K d t=., = P= K =. = 9. = K d t =.,2 8 = 8 2 P= K =. 8 = 92. 7) Calcolare el RFSC l tasso auo d scoto base al quale: a). è l valore attuale d.3 dspobl tra otto mes; utlzzamo la relazoe: P = K v() t = K ( d t) d = P K d =. ( ) =, /2 ( ) b). è lo scoto ecessaro per atcpare d u ao u captale d. ; utlzzamo la relazoe: = K d t d =., K t =. = d = %. c) l valore attuale d u captale C dspoble tra 8 mes è la metà d C ; cosderamo la relazoe del puto a) P C /2 ( ) ( ) d = = = 2=,3. K t C t 2 3 8) Ua baca cocede prestt a breve terme al tasso auo dell 8% d'teresse semplce atcpato. Calcolare la somma ce s rscuote effett cotraedo u prestto d: a) 8. a tre mes. Utlzzamo la relazoe P= K ( d t) = 8. 3 (,8 ) = b) 2.5 a 45 gor. P= K ( d t) = (,8 ) = ) Calcolare a quale tasso auo d'teresse semplce postcpato corrspode u teresse atcpato d 6 ad u captale d 8. prestato per tre mes. Utlzzamo le ote formule: C = K = 8. 6 = 7.84 = = 6 =, 86 = 8,6%. C t t ) Calcolare seguet tass equvalet (el RFC ). =,2 determare l tasso mesle /2 /2 /2 = (+, 2) =,539 =,5 determare l tasso trmestrale /4

12 = + = /6 =, 9 determare l tasso auo /4 /4 (,5), = (+,9) =,677 ) Calcolare el RFC l motate e l'teresse prodott da cascuo degl vestmet ce seguoo. a) C =.2 al 3% auo per tre a e quattro mes: abbamo t = 3+ 4 = percò 2 3 /3 Mt () = C ( + ) t =.2 (+,3) =.83,47 = M C= 63, 47 b) C = 7.5 al tasso stataeo del 7,5% per due a e se mes: δ,75 abbamo = e = e =,7788 percò Mt C = M C=.546,7269. Possamo calcolare l motate el modo equvalete: 2,5 () = ( + ) t = 7.5 (+,7788) = 9.46,727 Mt Ce e δ t,75 2,5 () = = 7.5 = 9.46,727 2) Calcolare l tempo ecessaro (el RFC ) per geerare u motate d 4. da u captale d 2.5 mpegato al 5% semestrale. etermamo l tasso auo equvalete: 2 = (+,5) =,25. alla relazoe M = C ( + ) t rcavamo log M / C log 4. t = = 2.5 = 4,87 log( + ) log,25 3) Se l tasso d'teresse vgete è del 9,5% auo (el RFC ) covee: a) pagare 3. ogg oppure 3 ogg e 3. tra u ao? Cofrotamo valor attual delle due alteratve. P = 3. P 2 = (,95) = 3.39,726. Covee la secoda alteratva (v.a. more). b) pagare 2.5 ogg oppure.5 tra se mes e.5 tra u ao? Cofrotamo valor attual delle due alteratve. P = 2.5 /2 P 2 =.5 (,95) +.5 (,95) = 2.83,32. Covee la prma alteratva (v.a. more). 4) vestte 2.5 euro per due a (el RFC ), al tasso del 5% semestrale. Quale motate rcavate al terme se og dspobltà ulterore v rede l 3% quadrmestrale? Cooscamo /2 =,5. Le quattro quote teress varrao: 2

13 = C /2 = 2.5,5 = 25 Queste rate soo revestte al tasso quadrmestrale forto. etermamo l tasso auo equvalete: 3 = (+,3) =,92727 Avremo pertato:,5,5 = 25 (,92727) + 25 (,92727) + 25 (,92727) + 25 = 535,4 tot l motate sarà qud: M = C+ tot = 3.35, 4. 5) U operatore ottee a prestto da ua baca ua somma e, oltre, dopo cque a ua somma trpla della precedete. opo altr cque a, resttusce a saldo del dovuto.5 euro. Calcolare qual somme soo state prestate dalla baca, se = 2% (el RFC ). Abbamo lo scadezaro seguete: ( C;3 C ;.5)/(;5;) percò dovremo rsolvere l'equazoe seguete ell'cogta C : da cu: C + + C + = 5 ( ) 3 ( ).5 C =.5 78,723 5 ( + ) + 3 ( + ) = 3C = 536,692. 3

14 2 Le redte. 2. Redte tere. Osservamo ce quado poamo l tempo t = (el RFC ) s a: r() = r= + v() = v= ( + ) = + () = d() = d metre se cosderamo u'epoca geerca t avremo: vt () = ( + ) t = v t rt () = ( + ) t = r t. efamo adesso ua redta come ua successoe d pagamet scadezat el tempo. Og pagameto prede l ome d rata della redta. dceremo co R la rata al tempo t ed maera geerca R la rata al tempo t. Come caso partcolare possamo cosderare ua redta co rate costat: e perodce: R = R = L = R = L = R = R 2 t t = Nelle prossme formule utlzzeremo sempre ua rata costate utara R =. Cosderamo ua redta postcpata (ossa og rata è posta al terme del perodo a cu s rfersce) co = 4. Lo scadezaro d questa redta è (;;;) / (;2;3;4) metre l valore attuale s ottee attualzzado all'epoca zero tutte le sue rate, percò: VA = = v + v + v + v ( + ) ( + ) ( + ) La redta appea vsta s cama redta mmedata utara postcpata. Replogamoe le caratterstce: - mmedata: l prmo pagameto s effettua al prmo ao (altrmet s cama dfferta); - utara: R = ; - postcpata: ossa og rata è posta al terme del perodo a cu s rfersce (altrmet s cama atcpata). Nel caso cu l umero delle rate è par a, l suo valore attuale sarà: 2 VA = v + v + L + v Somma d term progressoe geometrca, d prmo terme v e ragoe v. Cosderato ce la somma d term progressoe geometrca co prmo terme uguale ad a e ragoe (rapporto tra due term cosecutv) par a q è data da: 2 q a+ aq+ aq + L + aq = a q La loro somma sarà 4

15 2 v v v v ( + ) v+ v + L + v = v = = = = = a v l smbolo a s legge " a fgurato al tasso ". l motate della redta s ottee captalzzado tutte le rate all'epoca fale (oppure captalzzado drettamete l valore attuale della redta fo all'epoca fale). smbol avremo: dove, maera aaloga, l smbolo S avrà ovvamete: 2 ( ) M = r + r + L + = + = s s s legge " s fgurato al tasso ". s = a ( + ). Esempo. Cosderamo ua redta utara mmedata postcpata co = 4 e = %. Calcolamoe l valore attuale e l motate. Lo scadezaro d questa redta è: (;;;) / (;2;3;4). S a: 4 (,) a = + + 4, = = 3,7 4, (,) (,) (,), s (,) = = = =., (,) (,), 4, 64 a (,) 4, 4, Nel caso d ua redta mmedata utara atcpata, la prma rata è pagata all'epoca zero, metre l'ultma rata è pagata all'epoca. l valore attuale e l motate soo determat el modo seguete: a!! =+ v + v 2 + v 3 +!+ v = v = a d (+ )!!s = (+ ) d Nel caso d ua redta utara postcpata dfferta, c'è u perodo da a t d dffermeto, ossa la prma rata è pagata all'epoca t, metre l'ultma è pagata all'epoca t+. Per calcolare l valore attuale d ua tale redta, dovremo teer coto del perodo d dffermeto. formule avremo: ( ) a = v + v + L + v = v v+ v + L + v = v a. t+ t+ 2 t+ t 2 t t Per calcolare l motate d tale redta possamo utlzzare semplcemete s, quato l perodo d dffermeto o cde sul calcolo del motate; alteratva possamo rcavarlo dal valore attuale, comuque trascurado l dffermeto quato: t+ t+ t s = ( + ) a = ( + ) v a = ( + ) a. t t Osservamo ce valore attuale e motate d tutte le tpologe d redte soo rcoducbl a u'espressoe coteete a. Ua redta perpetua mmedata postcpata possede vece fte rate. l valore attuale s ottee co u passaggo al lmte: 5

16 ( + ) a = lm lm a = = teedo coto ce > avremo lm ( + ) = lm = ( + ) 2.2 Redte o utare. opo aver aalzzato le redte utare, possamo passare alle redte la cu rata costate è par a R. l valore attuale e l motate d ua redta postcpata co rate R costat valgoo: VA = R a M = R s. S procede maera aaloga per tutte le altre tpologe d redte o utare. geerale, le redte soo caratterzzate da quattro gradezze: VA (oppure equvaletemete M ), la rata R, la durata e l tasso. Note tre d queste gradezze, s può sempre determare la quarta. 2.3 Redte frazoate. Ua redta è frazoata quado la rata o è pagata al terme dell'ao o all'zo d esso, ma è frazoata m esm d ao, ovvero pagamet sarao rate d perodo dverso dall ao, ella pratca prevale la cadezatura mesle o trmestrale, pagate alle epoce m, 2 m, 3 (m),!,, m m m m. Per rsolvere questo tpo d problem occorre rportare tutt parametr (rata, umero d perod e tasso) alla frazoe d ao dcata e po prosegure come per le redte aual. Esempo. Se predamo = 3 e m = 2 abbamo ua redta treale frazoata semestr l valore attuale della redta s ottee sempre attualzzado tutte le rate. Se la rata perodca è ( ) m/ a ( m) / m 2/ m / m 2/ m = R m v + R v R v R v v v R a m + L + m = m + + L + = m R avremo: m Abbamo, effett, ua redta co m rate par a R og m esmo d ao. m Avremo pertato l umero d rate e l loro ammotare rferto a u m esmo d ao. Se, coeretemete, appcamo l tasso equvalete per lo stesso perodo varrà quato gà cosderato per le redte aual, co rata uguale a R, umero d rate m e tasso /m m Esemp. ) Calcolare VA se R = 35, = 5 e = 2%. Applcamo la formula ota: 5 (,2) VA = R a = 35 a = 35 =.262 5,2,2 m 2) Come el problema precedete se le rate soo atcpate. Applcamo la formula ota: 6 VA = R a!! = 35 a!! 5,2 = 35 v (,2) 5 = 35 =.43 =.262,2. d,2,2

17 3) Sao dat R = 35, = 5 e = 2%. Calcolare l motate della redta. Applcamo la formula ota: 5 (,2) 5 = = 35 = 35 = = 35 (,2). 5,2 5,2 M R s s a,2 4) Sao dat R = 35, = 5 e = 2%. Calcolare l motate della redta dfferta co t = 3. Lo scadezaro d questa redta è: Applcamo la formula ota: (;;;35;35;35;35;35) / (;2;3;4;5;6;7;8). t 3 VA = R v a = 35,2 a = ,2 5) Sao dat VA = 5, = 4 e = 2%. Calcolare la rata della redta postcpata. Applcamo la formula seguete: R = VA = 5 = 5 = 65. a 4 a 4,2 (,2),2 6) Suppoamo ce l'cogta sa la durata. Rcavamo ua relazoe geerale ce cosete d determare. Partamo dalla relazoe geerale: VA = R a = R v percò VA = v v = VA. R R Applcamo l logartmo a etramb membr: e fe: ( v ) = v= VA ( ) log log log R ( VA VA ) ( ) log log = R = R log v log( + ) Vedamo u'applcazoe umerca co VA =.262, = 2% e R = 35. S a: log.262 (,2 35 ) = ; 5. log(,2) 7) Sao dat VA =., = 5 e R = 35. Calcolare l tasso. alla relazoe geerale ( + ) VA = R a = R s deduce:. 7

18 ( + ) =. VA R a questa relazoe vedamo ce o è possble (trae ce cas partcolar) esplctare rspetto alle altre varabl. obbamo utlzzare de metod d approssmazoe umerca per stmare l valore d. llustramo l metodo dell'terazoe. Opero come segue: scelgo u tasso arbtraro, ad esempo l 27%, e lo sersco al secodo membro dell'ultma relazoe. l valore otteuto lo camo : 5 (,27) = =, 245 2,857 Adesso poamo al secodo membro e camo l rsultato 2 : Rpetamo questa procedura: 2 5 (,245) = =, ,857 5 (,2397) 3 = =, 235 2,857 4 =, =,223 M opo u certo umero d tappe, osservo ce l tasso otteuto s stablzza attoro ad u valore partcolare ce assumeremo come la ostra soluzoe ( tass terat covergoo astotcamete verso l tasso reale). l tasso d parteza scelto ad arbtro potrà essere sa maggore sa more del tasso reale. Predamo gl stess dat e llustramo ora l metodo dell'terpolazoe leare. l tasso esatto dovrà soddsfare la relazoe:. = 35 a 5 amo alcu valor arbtrar a e determamo l corrspodete valore ce assume l secodo membro. Abbamo la tabella seguete: A 2,5%.246,2 5,%.73,3 7,5%.7, = 2, % A =.46, 7 = 22,5% A = 99,7 Sccome l valore attuale d ua redta è ua fuzoe decrescete del tasso, l tasso reale dovrà essere compreso tra l 2% e l 22,5% (per quest tass l valore attuale della redta è rspettvamete maggore e more del valore esatto.. l metodo dell'terpolazoe leare potzza ce l tasso reale s trov, co buoa approssmazoe, sul segmeto ce coguge put d coordate ( ; A ) e ( ; A ) corrspodeza dell'ordata A. Ovvamete l'approssmazoe sarà pù precsa se le due sogle soo molto vce al tasso reale (vedere fgura 6). 8

19 Rcordado l'equazoe d ua retta passate per due put assegat, l tasso approssmato ı%dovrà soddsfare la relazoe: ı% = + ( A A). A A Nel ostro caso avremo:,225,2 ı% =,2 + (..46,7) =, ,7.46,7 8) Sao dat VA = 89,4, = e R = 35. Calcolare l tasso. L'equazoe ce dovremo rsolvere è: 89,4 = 35 a. Procedamo co l metodo dell'terpolazoe leare. amo de valor arbtrar a ce vsualzzamo ella tabella seguete: 8% 963,8 9% 98, 7 % 876,8 = % A = 837,9 A = 2% A = 8, 6 3% 767, 7 Vedamo subto ce le due sogle pù adatte soo = % e = 2%. Applcamo percò la formula dell'terpolazoe co quest valor:,2,!ı =,+ (89,4 837,9) =,59 8,6 837,9 Esercz d replogo. ) Calcolare quale versameto semestrale (postcpato) per cque a porta ad accumulare u captale d 8.5 euro, se l tasso d'teresse è l 7,5% auo (el RFC ). Abbamo percò ua redta frazoata postcpata mmedata l cu motate è oto. Sa la formula del motate: 9

20 co percò sosttuedo dat: m g ( + / m ) M = R s = R m / m / m /2 = +,75 =, g ( +, 3682) 8.5 = R = R,836, 3682 R = 8.5 = 78,479,836 2) A frote d u vestmeto s può cotare su cque etrate costat postcpate d mporto par a 5. euro, la prma delle qual fra tre a. Calcolare l valore dell'vestmeto utlzzado u tasso del 5% auo (el RFC ). Lo scadezaro dell'vestmeto è: (;; RRRRR,,,, ) / (;2;3;4;5;6;7) ce possamo trattare come redta postcpata dfferta co dffermeto t = 2. l valore d tale redta sarà percò: (+,5) VA = R a = a = + =,5 5 2 t (,5) , ,5 3) Ua redta a durata quadreale e rate costat par a ; utlzzado l tasso del 5% calcolare l'mporto della rata semestrale d ua redta frazoata semestr d par durata (quattro a) fazaramete equvalete alla precedete. etermamo l valore attuale della prma redta: 4 (+,5) VA = R a = = 354,595 4,5,5 Per quato rguarda la secoda redta, avremo: VA = R a = R a 2 m / m 8 /2 Rcavamo l tasso semestrale equvalete: percò: /2 = +,5 =, (+,24695) VA2 = R = R 7,79468.,24695 fe dalla relazoe VA = VA avremo: 2 354,595 R = = 49, , ) Ua partta d merce vee pagata otto rate mesl d cu: - le prme due par al 2% del prezzo per cotat, fssato.., corrsposte va atcpata mmedata; 2

21 - le rmaet costat e versate regolarmete dal terme del terzo mese. Calcolare le rate questoe se l'operazoe vee effettuata al tasso del 5% auo (el RFC ). Lo scadezaro sarà: (2.;2.;; RRRRRR ; ; ; ; ; ) / ( ; ; 2 ; ; 4 ; ; ; ; ) Questa redta è costtuta da ua redta atcpata e da ua redta dfferta co dffermeto par a due perod. etermamo l tasso mesle equvalete: /2 /2 = (,5) =,75 mpoamo qud ce l valore attuale d questa redta sa par a.. : 2. a!! 2 /2 + R 2 a 6 /2 =.. Otteamo percò u'equazoe ell'cogta R. Esplctamo x :.. 2. a!! 2 /2.. 2.,9884 R = a = =7.6 5, /2 3 Pa d ammortameto. 3. Cosderazo geeral. U pao d ammortameto cosste ella resttuzoe d u mporto preso a prestto medate l versameto d'mport mor va va el tempo. Vedamo qual soo gl elemet ce caratterzzao pa d'ammortameto. dcamo co l'mporto prestato e co C,, K C le quote captale versate (dove C rappreseta la quota captale versata al geerco perodo, metre rappreseta l'ultmo perodo, ossa la durata del pao d'ammortameto stesso). Vale la relazoe: 2 = C = ossa la somma d tutte le quote captale deve rdare l'mporto prestato. Ovvamete, l debtore o dovrà restture solamete l'mporto prestato ma ace gl teress maturat a og perodo. U'altra caratterstca de pa d'ammortameto sarà percò l tasso d remuerazoe del prestto (ce potzzeremo costate per tutta la durata del pao). Le quote teress, ce dceremo co (co =, K, ), rappresetao u costo per l debtore ma u guadago per l credtore. Sarao calcolate a og perodo sulla base della parte d debto o acora rmborsata: = S ( ) = S C 2 ( )! 3 = S C C 2 ( ) = C l debto resduo all'epoca rappreseta l'mporto da restture all'epoca (co =, K, ). Possamo calcolarlo due maere:

22 vsoe prospettva (come somma delle quote captale acora da pagare): = C vsoe retrospettva (come somma delle quote captale gà pagate, dedotte dal debto zale): j= + S C = eve valere oltre l'ovva relazoe =. Possamo adesso defre uovamete le quote teresse attraverso l debto resduo el modo seguete: = A og perodo l debtore dovrà versare ua quota captale e ua quota teresse: la somma algebrca d queste due quote prede l ome d rata. Avremo percò: j= R = C + =, K, Le rate dovrao soddsfare la seguete relazoe (c poamo sempre el RFC ): = R ( + ) = ossa la somma de valor attual delle rate deve uguaglare l'mporto prestato (l'mporto prestato sarà qud l valore attuale d ua redta avete per rate le rate del pao d'ammortameto). Rappreseteremo u pao d'ammortameto sotto forma d ua tabella ce avrà per coloe rspettvamete l'epoca, la quota captale, la quota teresse, la rata e l debto resduo. Esempo. Cosderamo l seguete pao d'ammortameto (rmborso graduale) co S =., = 5, = %. C R j j Come possamo osservare, tutte le relazo elecate prma soo soddsfatte. Ad esempo: = , (,) (,) (,) (,) Osservamo ce l debto resduo può essere determato ace attraverso le rate. Vsoe prospettva: Vsoe retrospettva: + L j j= + = R v+ + R v = R v j 2 j = ( + ) ( + ) 2 ( + ) L = ( + ) j ( + ) j= S R R R S R 22

23 Nel caso dell'esempo precedete avremo: 2 = C3 + C4 + C5 = = 6 R3 R4 R5 2 = + + = ( + ) ( + ) Utlzzado la valutazoe retrospettva avremo lo stesso rsultato: 2 = S C C2 =. 3 = = S ( + ) R ( + ) R =. (,) 4, 7 = Ammortameto talao. L'ammortameto talao è caratterzzato dal fatto ce tutte le quote captale soo costat, ossa percò: C = C = L = C = C 2 C = C = Gl altr elemet del pao d'ammortameto assumoo ua forma semplfcata. Ad esempo, per quato rguarda l debto resduo: vsoe prospettva: = ( ) vsoe retrospettva: = Per quato rguarda le quote teress: = = ( + ) oppure equvaletemete: = ( ) fe le rate s esprmoo el modo seguete: R = C + = + ( + ) Esercz. ) Stedere l pao d u ammortameto talao co =., = 5 e = %. Avremo C =. = 2, metre l pao completo è: 5 23 C R

24 ) Stedere l pao d u ammortameto talao co = 4., = 8 e = 6,5%. etermare qud l debto resduo all'epoca 5. Avremo C = 4. = 5. metre, l pao completo è: 8 C R l debto resduo 5 = 5. può essere otteuto come: 4. 5 = C6 + C7 + C8 = + + = = = 8 oppure tolgo le quote captale gà pagate: (8 5) ( ) C C C C C 5 = = = = 5.. Aalogamete utlzzado la somma attualzzata delle rate rmaet: R6 R7 R = + + = + + = ( + ) ( + ), 65, 65, Ammortameto a rmborso uco. L'ammortameto a rmborso uco prevede ce o s rmborsa ulla fo all'epoca. Le quote captale valgoo percò: C = C2 = L = C = C = l valore del debto resduo sarà qud sempre uguale al debto zale, esclusa l ultma rata: e delle quote teress: fe le rate valgoo: 24 = = L = = = 2 = = L = = S 2 R = R2 = L = R = S R = S + S

25 Esercz. ) Stedere l pao d u ammortameto a rmborso uco co =., = 5 e = %. Utlzzado le relazo precedet s a: C R ) Stedere l pao d u ammortameto a rmborso uco co =, = 4 e = 5,625% e co rate semestral. Le quote captale valgoo (dcamo temp semestr): dove Abbamo percò: = = /2 2,5 /2 = + =, Ammortameto fracese. L'ammortameto fracese prevede delle rate ugual: C R /2 2,5 2,5 2,5 2,5 3/2 2,5 2,5 2 2,5 2,5 5/2 2,5 2,5 3 2,5 2,5 7/2 2,5 2,5 4 2,5 2,5 R = R = L = R = R 2 Teedo coto della propretà geerale rguardate le rate d u pao d'ammortameto (ossa la somma de valor attual delle rate uguagla l'mporto del debto), avremo: = R ( + ) = R ( + ) = R ( + ) = R a = = = dalla quale potremo rcavare l valore della rata costate: 25

26 Per quato rguarda l debto resduo, avremo: R = a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = R + + R + + L + R + = R a Possamo percò dedurre l valore delle quote teress: = = R a + etermamo ora l valore delle quote captale: ( ) C ( ) = R = R R R a R R v = = + = ossa: C = R v C = R v C 2 3 C = R v! = R v 2 Le quote captale varao qud progressoe geometrca co prmo terme par a Eserczo. ) Stedere l pao d u ammortameto fracese co =., = 5 e = %. etermamo la rata costate: R = =. = 263,8 a a Per quato rguarda le quote captale: 5, C = R = R = 263, 8 = 63, 8 C 2 = 63,8, = 8,8 C 3 = 8,8, = 98,2 C 4 = 98,2, = 28,2 C 5 = 28,2, = 239,82 Rv e ragoe + = v. S verfca ovvamete ce l pao completo è: 26 5 C =.. = C R. 63,8 263,8 836,2 2 8,8 83,62 263,8 656,2 3 98,2 65,6 263,8 457,82

27 ,2 45,78 263,8 239, ,82 23,98 263,8 Eserczo (replogo). U dvduo prede a prestto u mporto d. e s'mpega a restture a al tasso effettvo auo del % versado rate d u ammortameto talao. opo cque a l'dvduo, a seguto d ua crs fazara, o può pù oorare suo mpeg e paga solo la quota teresse per l sesto e settmo ao e ulla l'ao successvo. A questo puto s accorda co l fazatore per estguere l debto rmaete etro la scadeza prefssata, sempre ammortameto talao al uovo tasso del 5%. Calcolare l tasso d costo dell'operazoe per l debtore e determare la successoe delle rate effettvamete pagate. dat del problema soo =., = e = %. Le quote captale costat valgoo: C = =. Le prme cque rate effettvamete pagate valgoo: R = C+ =. +. = 2. R2 = C2 + 2 = = 9. R3 = C3 + 3 = = 8. R4 = C4 + 4 = = 7. R5 = C5 + 5 = = 6. l debto resduo all'epoca cque vale: = ( ) =. ( 5) = 5. Al sesto e settmo ao, l debtore paga soltato gl teress, percò l debto resduo rmae mmutato e le rate (par alla sola quota teresse) valgoo: R6 = 6 = 5 = 5. R7 = 7 = 6 = 5. essedo 5 = 6 = 7 = 5. urate l'ottavo ao l credtore o paga ulla, percò l debto resduo s captalzza per u ao. Avremo all'epoca 8 : R 8 = 8 = 7 ( + ) = 5., = 55.. Avremo percò u uovo pao d'ammortameto calcolato sul uovo valore del debto : 8 C R Abbamo qud determato le ultme due rate del pao d'ammortameto. fe, l tasso tero d costo ("TC ") è defto come quel tasso costate rspetto al quale la somma de valor

28 attual delle rate forsce l valore del debto. l TC dovrà percò soddsfare la seguete equazoe d equlbro fazaro. = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Otteamo u equazoe algebrca d decmo grado ce rsolveremo co l metodo dell'terpolazoe leare. Cosderado dat del problema, predamo come sogle l % e l %. S ottee qud: 28 =, A =.696 =, A = Applcamo fe la formula dell'terpolazoe co quest dat:,, ı% =, + (..696) =, l preammortameto. l preammortameto è ua stuazoe cu o succede ulla per t a cu s pagao solo gl teress e o le quote captale. S tratta qud d ua varate per qualsas pao d'ammortameto. Abbamo sotto forma d tabella: C R 2 3 M t t + C C + C t + 2 C 2 2 M M M M M t+ C C + Esempo. Cosderamo dat seguet: = 5.., = 5, = 8% e t = 3 (perodo d preammortameto). Le quote captale valgoo, dal perodo t + al perodo t+ : C = = all'epoca zero all'epoca t le quote teresse valgoo:.. = = 5..,8 = 9.. l pao completo sarà percò (mport mlo): C R 5

29 ,2 7, ,4 5, ,6 3,6 8,8,8 Nel caso d u ammortameto d tpo fracese, l pao completo è: C R ,99 9 5,99 43, 5 8,25 7,74 5,99 34,76 6 9,73 6,26 5,99 25,3 7,48 4,5 5,99 3,55 8 3,55 2,44 5,99 Attualzzamo le rate del preammortameto talao: 9, L + = 5 2 8,8,8,8 3.6 Ammortameto a tass varabl. L'ammortameto a tass varabl è ua varate de pa d'ammortamet geeral ce prevede l calcolo delle quote teresse co tass dvers per cascu perodo. tass o soo fssat a pror ma ormalmete calcolat sulla base d quell rlevat sul mercato terbacaro. Per quato rguarda l ammortameto talao s tratta semplcemete d calcolare per cascu perodo le quoate teress sulla base del debto resduo all ao precedete e del tasso vgete el perodo. Se ad esempo partamo da u pao d'ammortameto talao co = 3, = 3 l cu scadezaro per le quote captale è: C R Ed tass applcat soo per l perodo l %, per l perodo 2 l 5% e per l perodo 3 l 2% avremo: 29 C R

30 Per quato rguarda l ammortameto fracese esstoo (almeo) due varat ampamete dffuse sul mercato. La prma è basata sulla sequeza delle quote captal calcolata al tasso zale, co l rcalcalo delle quote teresse perodo per perodo. Evdetemete le rate o sarao pù costat, se o el caso d tass stabl el tempo. Esempo. Cosderamo u pao d'ammortameto fracese a teress atcpat co = 5.., = 8% e = 5. Le quote captale valgoo: ,8 C = R v = = 6.99.,8,8 C = C 2 ( + ) = C3 = C2 ( + ) = etc. l pao d rmborso delle sole quote captal è (mport mlo): C R 5 6,99 43, 2 8,25 34,76 3 9,73 25,3 4,48 3,55 5 3,55 Le quote teress possoo essere calcolate solo dopo la dcazoe del tasso applcato per cascu perodo: se =8% 2 =2% 3 =7% 4 =8% 5 =5% le quote teress sarao date da: = =.8 5 = 9 2 = 2 =.2 43.= 8.62 etc. Le rate s ottegoo dalla somma della quota captale pù la quota teress. l pao completo sarà qud: 3 C R 5 6,99 9 5,99 43, 2 8,25 8,6 6,85 34,76 3 9,73 5,93 5,66 25,3 4,48 4,5 5,99 3,55 5 3,55 2, Come s può otare le rate relatve a perod co ugual tass d teresse vget ( e 4) soo ugual. Soo vece dverse le rate relatve a perod co tass d teresse dvers, maggore è l tasso, maggore la rata.

31 La secoda varate (rate costat a tass varabl) utlzza come base d rfermeto la rata zale, e dopo aver calcolato la quota teress rettfca la quota captale modo da mateere costate la rata. Rprededo l esempo precedete: R = 5.. ; ,8,8 Per l prmo ao la quota teress sarà data da: = =.8 5 = 9 La quota captale da: C = R = 5,99 9 = 6,99 E l debto resduo sarà: = C = 5 6,99 = 43, Per l secodo ao: 2 = 2 =.2 43, = 8, 62 La quota captale sarà: C2 = R2 2 = 5,99 8,62 = 7,37 E l debto resduo sarà: 2 = C2 = 43, 7,37 = 35,73 l pao completo: C R 5, 6,99 9, 5,99 43, 8% 2 7,37 8,62 5,99 35,73 2% 3 9,92 6,7 5,99 25,8 7% 4,34 4,65 5,99 4,47 8% 5 3,82 2,7 5,99,65 5% 6,65,,75-6% questo caso le varazo e tass ao reso ecessara ua ulterore rata, d mporto par al resduo captalzzato, per completare l rmborso. Evdetemete ralz de tass geerao u allugameto e temp d rmborso, abbassamet de tass cosetoo maggor rmbors lea captale (la rata è costate) e, qud, u rmborso pù rapdo. 3.7 Valutazoe d u prestto. l valore d u prestto all'epoca geerca al tasso d valutazoe j (scelto arbtraramete, da o cofodere co l tasso d remuerazoe del pao d'ammortameto) è defto come la somma de valor attual calcolat all'epoca d tutte le rate successve all'epoca. smbol avremo: 3 V = R ( + j) t= + dove rappreseta l'epoca fale. l valore d u prestto può essere scsso ella somma d due compoet: la uda propretà (otteuta attualzzado le quote captale) e l'usufrutto (otteuto attualzzado le quote teresse): percò vale a og epoca : N = C ( + j) t= + U = ( + j) t t t t= + t t t

32 V = N + U. Esempo. Cosderamo l seguete pao d'ammortameto co =.; = 5 e = %. C R Voglamo calcolare uda propretà e usufrutto all'epoca tre al tasso d valutazoe j = 5%. Utlzzado le defzo vste s ottee: V = + = 463, 2,5,5 N 4 3 = + = 389,4 2,5,5 U = + = 73,7. 2,5,5 Eserczo. U prestto è resttuto cque a medate l versameto d cque quote captale progressoe artmetca d ragoe e prmo terme e pagameto degl teress al % effettvo auo. opo due a l credtore cede fluss resdu a u terzo soggetto. Costu paga u prezzo d'acqusto ce gl cosete d realzzare u redmeto dall'operazoe par al 2% pur preseza d tassazoe sulle quote teresse base ad u'alquota del 4%. Stedere l pao d ammortameto completo e calcolare l prezzo pagato dal terzo soggetto per acqustare l debto resduo. Utlzzado le ote relazo possamo scrvere l pao d'ammortameto: C R Metre le quote captale C 3, C 4 e C 5 soo acqustate dal terzo soggetto, sulle quote teress c sarà da toglere l 4%. Sccome l redmeto è del 2%, l prezzo pagato sarà l valore attuale d cò ce deve essere cassato, ossa: V2 = (, 4).7, ,2 + +,2,2,2 =.,2,2 Osservazoe. l tasso tero d costo ("TC ") d u prestto è quel tasso base al quale le rate pagate per la resttuzoe d u debto attualzzate all'epoca zero soo ugual al valore zale del debto stesso. l TC cosete qud d valutare la coveeza tra due alteratve d fazameto, accogledo quella ce preseta

33 l TC pù basso. Come verfca, possamo calcolare l tasso tero d costo rsolvedo l'equazoe d equlbro fazaro: V( j) = (, 4) =.7, j ( j) ( j) j ( + j) ( + j) S trova propro j = 2%. Eserczo. U dvduo s accorda per restture u mporto d 8. euro medate l versameto d rate costat semestral per dec a al tasso effettvo auo d'teresse del 5%. opo le prme otto rate semestral versate regolarmete l debtore cotra u perodo d dffcoltà fazare el quale paga solo gl teress per due semestr e sospede completamete l versameto delle rate per altr quattro semestr; a questo puto s accorda per restture l prestto e temp prevst versado rate semestral d u uovo ammortameto fracese codotto sul uovo valore del debto ʹ al tasso auo del 8%. Calcolare: - l'mporto del debto resduo corrspodeza dell'ultma epoca cu pagamet avvegoo regolarmete; - l tasso d costo su base aua dell'operazoe complessva. etermamo dapprma l tasso semestrale equvalete: /2 =, 5 =, La rata del pao d'ammortameto s deduce dalla formula vsta per l'ammortameto fracese (abbamo u totale d vet rate semestral): R = S = 8. = 5.67,5494 a 5, /2 l debto resduo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: R = R a /2 ossa: 2,24695 R8 = R a = 5.67,5494 = , 23 2,2469, Alle epoce 9 e l debtore paga solo gl teress: metre l debto resduo o camba: = 9 = = R8 /2 R8 = R9 = R. Per successv quattro semestr, l debtore o paga ulla percò l debto resduo s captalzza per quattro semestr (o equvaletemete per due a). S avrà qud: 2 R = 4 R 8 ( + ) = , 46 = ʹ Le ultme se rate del uovo ammortameto s trovao co la solta formula: ,46 Rʹ = ʹ = =.35,98 a 5, j /2 33

34 dopo aver determato l tasso semestrale equvalete: j /2 =, 8 =, Per la rcerca del TC scrvamo l'equazoe d equlbro fazaro: 8. = Ra + a ( + ) + + Rʹ a ( + ) /2 /2 /2 2 /2 6 /2 Rsolvamo per terpolazoe prededo come sogle tass semestral equvalet al 5% e al 8% au. S a: =,24695 A = ,47 =,3923 A = 7.886,462 Applcamo fe la formula dell'terpolazoe co quest dat:,3923,24695 ı% =, ( ,47) ;, , ,47 fe l TC su base aua sarà: 2 = (+,2775) =,559. Esercz d replogo. ) U dvduo d 4 a d età sottoscrve u cotratto ce gl asscura ua redta perpetua dfferta postcpata aua dall'età d 65 a. potzzado ce la rata della redta sa d 2. e ce l tasso d rfermeto sa del 4%, calcolare quale sarà l'mporto complessvo ce l'dvduo dovrà versare ogg a frote della prestazoe dcata. L'operatore dspoe, oltre, d ua secoda alteratva: versare dec rate aue postcpate vece dell'uco mporto calcolato al puto precedete. etermare l'mporto delle rate questoe. l valore attuale della prma redta perpetua sarà: A = R = 2. = 5..,4 l valore attuale d tale somma all'epoca zero (coè passado da 65 a 4 a) è: 34 A 25 = 5. ( +,4) = 8.755,84. fe, l'mporto della rata della secoda redta s ottee uguaglado valor attual delle due redte equvalet: 8.755, , ,84 = R a R= = = 2.32,425,4 a 8,9 2) U'operazoe fazara prevede fluss bmestral ce varao progressoe artmetca d prmo terme 25. e ultmo terme 4. co durata u ao. Calcolare l motate d tale operazoe fazara al tasso del 2% auo. Rcalcolare l valore questoe el caso cu la progressoe delle rate fosse d tpo geometrco. Cooscamo la prma e l'ultma rata ma o la ragoe. geerale, abbamo la seguete relazoe ce lega la prma rata co la rata esma : R = R + ( ) Nel ostro caso avremo percò:,4

35 = = La successoe delle rate sarà (dvdedo gl mport per. ): (25;28;3;34;37;4) Per determare l motate della redta, calcolamo l tasso bmestrale equvalete: Captalzzamo qud tutte le rate fo al sesto bmestre: /6 /6 = (,2) =,96 M = , ,96 + 3, , , = 23,498 M = Se le rate varao progressoe geometrca d ragoe q, la relazoe tra la prma rata e l'ultma rata sarà: 5 R6 R q q l motate s trova sempre co lo stesso procedmeto: 4. ( ) /5 = = =, M q q q, q, = 2,5478 M = = 25, , ,96 + 3) ato u ammortameto fracese per u mporto zale par a. euro, d durata dec a, realzzato al tasso del % auo d'teresse medate l versameto d rate trmestral, calcolare la rata e l debto resduo dopo tre a e mezzo. Calcolamo dapprma l tasso trmestrale equvalete: /4 /4 = (+,) =,24. l ostro pao d'ammortameto prevede 4 rate trmestral d mporto par a: R =. = 3.924,39. a 4,24 l debto resduo dopo 4 rate s ottee dalla formula: R3,5 = R a 3.924,39 9, ,3 4 = =. 4,24 4) U prestto d. è ammortzzato co otto rate aue postcpate. l tasso effettvo è del %. Le prme tre rate soo ugual. Cascua delle successve cque è par al doppo d quella zale. Calcolare: - l'mporto della rata zale R ; - l debto resduo all'epoca se, dopo aver corrsposto la rata. 35

36 Lo scadezaro delle rate è l seguete: ( RRR ; ; ;2 R;2 R;2 R;2 R;2 R )/(;2;3;4;5;6;7;8) Osservamo ce o s tratta d u ammortameto fracese: le rate o soo tutte ugual. Possamo però calcolare l valore attuale della redta scdedo le rate due blocc: ua redta mmedata (le prme tre rate) e ua redta dfferta d tre perod (le ultme cque). Abbamo percò: da cu rcavamo la rata:. = R a + 2R, a. 3 3, 5, R =. = 2.22, 46. a + 2, a 3 3, 5, Cocludamo co l debto resduo: 2, 6 = 2R a = ,46 = 42.48,. 2,, 5) U dvduo prede a prestto 5. euro ce s'mpega a restture dec a medate l versameto d rate costat quadrmestral al 9% auo d'teresse. opo se a za u perodo d dffcoltà fazara ce lo coduce a pagare sol teress per l settmo ao e ulla per l'ottavo. A questo puto s accorda per estguere l prestto e temp zalmete prevst medate l versameto d rate acora costat e quadrmestral calcolate all % auo. Calcolare: - la rata del prmo ammortameto; - l debto su cu vee rcalcolata la uova rata all'epoca otto; - l tasso d costo dell'operazoe complessva (ce è ecessaramete compreso tra tass d'ammortameto). etermamo dapprma l tasso quadrmestrale equvalete: /3 /3 =,9 =,294 La rata del pao d'ammortameto s deduce dalla formula vsta per l'ammortameto fracese (abbamo u totale d treta rate quadrmestral): R = S = 5. = 7.568,7 a a 3 /3 3 /3 l debto resduo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: ossa: R = R a /3 R6 = R a = 7.568, 7, 53 = 75.72,8 2,294 All'epoca 7 l debtore paga solo gl teress: = R6 /3 = 2.26,5 metre l debto resduo o camba: R = R All'epoca 8, l debtore o paga ulla percò l debto resduo s captalzza per u ao. S avrà qud: R8 = R6 ( + ) = 75.72,8, 9 = , 7.

37 Le ultme se rate del uovo ammortameto s trovao co la solta formula: R Rʹ = = a dopo aver determato l tasso quadrmestrale equvalete: ,7 6 j /3 /3 j /3 =, =, 354. Per la rcerca del TC scrvamo l'equazoe d equlbro fazaro: 5. = Ra + a ( + ) + + Rʹ a ( + ) /3 /3 /3 3 /3 6 /3 Rsolvamo per terpolazoe prededo come sogle tass quadrmestral equvalet al 9% e all % au. S trova ı%;,2956. fe l TC su base aua sarà ; 9,3%. 6) U dvduo s accorda per restture u prestto medate l versameto d cque quote captale d cu la prma par a 5. euro e le altre cascua par alla precedete moltplcata per due; l tasso è par al 7,5%. Calcolare: - l debto resduo all'epoca tre; - la uda propretà e l'usufrutto all'epoca due utlzzado l tasso del 9%. La successoe delle quote captale è: C = 5. ; C 2 =.; C 3 = 2. ; C 4 = 4.; C 5 = 8.. l debto resduo è: 3 = =.2.. Per quato rguarda uda propretà e usufrutto, applcamo la defzoe: 2 3 P 2 2.,9 4.,9 8., ,2 = + + =. l debto resduo alle altre epoce è: 2 = 3 + C3 =.4. 4 = 3 C4 = 8.. Le quote teresse ecessare per determare l'usufrutto soo: percò: 3 = 3 =.4.,75 = 5. 4 = 4 = 9. 5 = 5 = U 2 5.,9 9.,9 4., = + + =. 7) U'azeda s faza emettedo u prestto obblgazoaro dell'mporto d 5.. euro ce s mpega a rmborsare medate u ammortameto a rmborso uco co rata auale al 4,5% 2 a. Calcolare uda 37

38 propretà e usufrutto del prestto all epoca tre al tasso d valutazoe del 7%. L'uca quota captale o ulla è l'ultma: C 2 = 5.. avremo percò 9 V 3 = 5..,7 = Le quote teresse soo tutte ugual e valgoo: e deducamo qud l'usufrutto: = 5..,45 = 27.5 U3 = a =.35.9, ,7 38