ρ = a+ Calcolo SER e BER costellazione 4-PSK Calcolo SER e BER costellazione 4-PSK Calcolo SER e BER costellazione 4-PSK

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1 Clcolo SER BER cotllzion 4-K Clcolo dll roilità di rror r un cotllzion 4-K Conidrio un cotllzion idinionl (d con quttro gnli (4 quiziti u un crchio. M { (, (, (, (, } 4 Clcolo SER BER cotllzion 4-K L rgioni di Voronoi ono: V( { ρ ( ρ, ρ, ( ρ ( ρ } V( { ρ ( ρ, ρ, ( ρ ( ρ } V( { ρ ( ρ, ρ, ( ρ ( ρ } V( 4 { ρ ( ρ, ρ, ( ρ ( ρ } Sono congrunti, l cotllzion è GU: 4 4 Clcolo SER BER cotllzion 4-K Clcolo SER BER cotllzion 4-K Si h: Clcolio P( ρ V( P(( ρ ( ρ T T P ( P ( P ( S S T i S T i Si h: con: r T + n r ρ ( ρ, ρ (, n ( n, n T Uio l roccio : P ( P( ρ V( S T T Di congunz, qundo T : ρ + n ρ + n 4 Clcolo SER BER cotllzion 4-K Clcolo SER BER cotllzion 4-K P( ρ V( P(( + n ( + n P(( n ( n T n n ono v.c. guin ttiticnt indindnti P( ρ V( P( n P( n T Introducio Si h gu P( n> rfc P( n P( n P( n P( n P( ρ V( ( T P ( P( ρ V( ( S T 5 6

2 Clcolo SER BER cotllzion 4-K Clcolo SER BER cotllzion 4-K Voglio rir qut roilità di rror in funzion dl rorto E /. io: E ( E ( E ( E ( 4 Pr un cotllzion 4-K (4 gnli quiziti u un crchio io quindi: P ( S E quindi: Sgu: E E ( P n> rfc rfc con E rfc 7 8 Clcolo BER cotllzion 4-K (lling di Gry Clcolo BER cotllzion 4-K (lling di Gry Pr clcolr P ( conidrio il gunt lling (dtto lling di Gry: : H M v ( v ( v ( v ( 4 4 / 4 / / / Doio ur l roccio : P ( P( T i i dh( vj, v P ( P( ρ V( T j T j i P( ρ V( T + P( ρ V( T + P( ρ V( 4 T 9 Clcolo BER cotllzion 4-K (lling di Gry Clcolo BER cotllzion 4-K (lling di Gry P( P( ρ V( T + P( ρ V( T + P( ρ V( 4 T E ( P n > rfc rfc P( ρ V( P( n < P( n > ( T P( ρ V( P( n < P( n < T P( ρ V( P( n > P( n < ( 4 T lzion: clcolt in odo grfico Pr un cotllzion 4-K con lling di Gry i h quindi P ( rfc co r un cotllzion inri ntiodl. P ( ( + + (

3 Modulzion 4-K Modulzion 4-K Giutificzion: Qundo i u il lling di Gry, l cotllzion 4-K uò r vit co il rodotto crtino di du odulzioni -K un ul cnl I (rio it un ul cnl Q (condo it. Il cnl di triion introduc du coonnti di ruor ttiticnt indindnti ul cnl I ul cnl Q. Dto il iolo ricvuto ρ[n](ρ [n], ρ [n], qundo i ffttu l dciion t ull rgioni di Voronoi: il gno dll coonnt ρ [n] lungo l x dtr univocnt l clt dl rio it il gno dll coonnt ρ [n] lungo l y dtr univocnt l clt dl condo it. L 4-K con lling di Gry i coort co cotllzioni -K tr in rlllo. 4 Clcolo BER cotllzion 4-K (lling divro Clcolo BER cotllzion 4-K (lling divro Provio or clcolr P ( con il gunt lling, divro dl rcdnt: : H M v ( v ( v ( v ( 4 4 / 4 / / / P ( P( T i i dh( vj, v P ( P( ρ V( T j T j i P( ρ V( T + P( ρ V( T + P( ρ V( 4 T 5 P ( ( ( Clcolo BER cotllzion 4-K Lling inrio BER Pr un cotllzion 4-K con lling di Gry i h, dtto E rfc P ( Pr un cotllzion 4-K con lling nturl i h invc L roilità di rror è ggiort. P ( > 7 nlizzndo l rion dll P ( dh( vj, vi P( T i P( r V( j T i j i i intuic ch, qundo clgo un lling inrio, cioé un corriondnz tr gnli di M vttori inri, dvo crcr di iizzr l ditnz di Hg di vttori ociti gnli dicnti. (Inftti, gli vnti di rror con roilità iù lt ono qulli di cdr nll rgioni di Voronoi di gnli i ditnz d qullo tro. Quto è tnto iù vro qunto iù crc il rorto E/. Inftti, fit E, E/ crc, diuic, quindi diuic l vrinz dll coonnti di ruor. S l vrinz è iccol ignific ch l ditriuzion Guin ono concntrt ttorno ll origin: qundo i gli, i gli olo u rgioni di Voronoi vicin qull dl gnl tro. 8

4 Lling di Gry Lling di Gry Dt un cotllzion, un lling di Gry è dfinito in quto odo: Conidro ogni gnl i. d o è ocito il vttor inrio u i - ( i. Conidro tutti i gnli dicnti i ( i ditnz Euclid d i gli ocio di vttori inri ditnz di Hg d u i.. In quto odo vin iizzt l BER intotic (lto E / BER [Eio: Gry Lling 8-K] IMPORTTE: cindo il lling ci il olo BER. L SER rigurd olo l for dll cotllzion non dind dl lling inrio. 9 Clcolo BER cotllzion inri gnric Clcolo BER cotllzion inri gnric Conidrio un cotllzion di du gnli nl ino in oizion qulii L du rgioni di Voroni ono congrunti ( iini cotllzion GU P ( P ( α P( ρ V( β α S S T T M { α, β} α ( α, α β β β ( β, β α α Clcolo BER cotllzion inri gnric Clcolo BER cotllzion inri gnric Conidrio il vttor ch idntific l dirzion ch v d α β γ β α γ ( γ, γ ( β α, β α Chiio v(v,v il corriondnt vror [v + v ] w v β γ v ( v, v γ, γ + γ γ + γ γ α 4 4

5 Clcolo BER cotllzion inri gnric Proittio il vttor di ruor n(n,n lungo il vror v crivio n v+ w Qut è un vriil cul Guin con vlor dio E vrinz Clcolo BER cotllzion inri gnric nv + nv E [ ] En [ ] v+ En [ ] v (dov w è un vror ortogonl v L roizion di n lungo il vror v è: ( n v nv + n v E [ ] E[( nv+ nv ] E[( nv + ( nv + nnvv] En [ ] v + En [ ] v + Enn [ ] vv ( v + v 5 6 Clcolo BER cotllzion inri gnric Clcolo BER cotllzion inri gnric n v+ w Poichè n v+ w α β Gurdndo l rgioni di Voronoi i h chirnt (l coonnt di ruor lungo w è ininflunt: d ( T α P( ρ V( β T α P d rfc 4 dov d d (, E α β 7 8 Clcolo BER cotllzion inri gnric Clcolo BER cotllzion inri gnric io conidrto un cotllzion di du gnli nl ino in oizion qulii α ( α, α β ( β, β Dt un cotllzion, uonio di otrl rigidnt nllo zio (licndo un iotri: trlzion, rotzion, riflion loro cozion. io ricvto du riultti iortnti:. Proittndo il ruor u qulii vror nllo zio di gnli i ottin r un v.c. Guin di vlor dio nullo vrinz / L rion dll SER dll BER in funzion dll ditnz non ci. Qullo ch ci è l nrgi di dl gnl.. Dt un cotllzion inri, l roilità di rror dind olo dll ditnz d tr i uoi gnli Cotllzioni con ricntro nll origin rtzioni igliori. d P ( rfc 4 9 5

6 Clcolo BER cotllzion inri ortogonl Clcolo BER cotllzion inri ortogonl Eio: Clcolo dll roilità di rror r un cotllzion inri ortogonl Conidrio un cotllzion inri idinionl (d con du gnli ( ortogonli: M { (, (, } L du rgioni Voronoi ono: V( { ρ ( ρ, ρ, ρ ρ } V( { ρ ( ρ, ρ, ρ ρ } Sono congrunti, l cotllzion è GU; quindi: P ( P ( S S T (, (, (, (, (, (,, (, Clcolo BER cotllzion inri ortogonl Clcolo BER cotllzion inri ortogonl licndo il riultto rcdnt i h: d ( ( T rfc rfc 4 Voglio rir qut roilità di rror in funzion dl rorto E /. io: E quindi: E ( E ( E ( + E ( E Pr un cotllzion inri ortogonl i h quindi: E ( rfc nch r qut cotllzion d ogni gnl è ocito un it. S il gnl è ricvuto rrto nch il it corriondnt vin ricvuto rrto. Si h quindi iditnt: E P ( rfc 4 Confronto BER Clcolo BER cotllzion inri ortogonl S i confront l BER dll cotllzion ortogonl con qull di un cotllzion inri ntiodl i h: P( ntiodl rfc P( E rfc ortogonl Quto coortnto divnt licito nll io conidrto, dignndo l du curv di BER in funzion dl rorto E / confrontndol: E P ( ntiodl rfc P ( ortogonl rfc Pr vr l t roilità di rror ul it, l cotllzion ortogonl richid quindi un rorto E / iù grnd (i ricord ch l funzion rfc è dcrcnt con l rgonto. Dicio ch, in tri di BER, l cotllzion inri ntiodl è iglior di qull ortogonl: r vr l t BER richid un rorto E / or o, dulnt, rità di rorto E / congu BER iù. BER.. E- E-4 E-5 E-6 E-7 E-8 E-9 E- E- E- E- ortogonl ntiodl 5 E E/ [db] 6 6

7 Confronto BER Confronto tr cotllzioni S d io i fi P (-6: l cotllzion ntiodl richid E /.6 db; l cotllzion ortogonl richid invc E /.6 db (h rtzioni ggiori quindi: h iogno di un rorto gnl-dituro iù lto ovvro un otnz ricvut iù lt. Dulnt, i fi d io E / db: l cotllzion ntiodl congu P ( -8, l cotllzion ortogonl congu P ( 5-5 (iù lt quindi ggior Pr vr l t roilità di rror ul it, l cotllzion ortogonl richid un rorto E / iù lto di db (ovvro un otnz ricvut ggior di db, cioé doi. Qut diffrnz di E / rità di P ( vin chito gudgno (conguito dll cotllzion ntiodl ritto qull ortogonl 7 Conidrio du cotllzioni M M con rtzioni: P ( xrfc y P ( xrfc y Pr otr fr un confronto crt nn roizion: trcurio l oltlicità (qut roizion dà qui r riultti rgionvoli, orttutto r l cotllzioni non codifict d noi conidrt. Tuttvi, in lcuni ci uò riultr troo grooln d ltrr il confronto tr l rtzioni. È counqu util rché è l unic trd r tir il gudgno in odo lic. P ( rfc y P ( rfc y S y > y l cotllzion M h rtzioni igliori ( rità di E/ l rgonto dll rfc è iu grnd BER iù iccol 8 Confronto tr cotllzioni Confronto tr cotllzioni Fito un vlor di roilità di rror P (*, il gudgno è dfinito co l diffrnz (in db tr i vlori di E / ch ono ncri r conguir qull roilità ni du ci: P(* P( P( E rfc y rfc y y G log log [ db] y l co dll du cotllzioni ntiodli d ortogonli G log O log log / [ db] 9 4 Confronto BER Bricntro di un cotllzion.. E- E-4 E-5 E-6 ortogonl ntiodl Sigzion: L cotllzion inri ntiodl h rtzioni igliori rché h il ricntro nll origin Dt un cotllzion (di gnli quiroili M {,, i,, } BER E-7 E-8 E-9 E- E- E- E- E E/ [db] G O 4 Dfinio il uo ricntro co Conidrio l cotllzion ottnut trlndo rigidnt il ricntro nll origin B i i M {,, i,, } ' i i B 4 7

8 Bricntro di un cotllzion roizioni intotich Lo ttro dll ditnz è lo to r l du cotllzioni M M. S i riono l roilità di rror in funzion dll ditnz, i trovno quindi rioni idntich. S l for dll rgioni di Voronoi è colict, il clcolo dll roilità uò riultr olto difficil. P( ρ V( j T Tuttvi, qundo i riono l ditnz in funzion di E, l co cino: l cotllzion M h nrgi or ( i r qullo ttro dll ditnz L roilità di rror di M in funzion dl rorto E / (quindi dll otnz ricvut, cioè qullo ch intr in rtic è or (quindi iglior di qull dll cotllzion M. 4 V ( j ( V j Pr cotllzioni col oio utilizzr dll roizioni. 44 roizion intotic SER r cotllzioni GU roizion intotic BER r cotllzioni GU intoticnt, ovvro r E / o, oio crivr: d ( rfc 4 dov d d (, j M E nuro di gnli con d ( d j E j j Siilnt, i uò ricvr un roizion intotic vlid r l BER. intoticnt (cioé r lti vlori dl rorto gnl/dituro, oio crivr: dov P( w d rfc 4 w d ( v, vj H j : de(, j d Qut rion non è iù un ur ound un roizion dll vr roilità, vlid olo d lto rorto gnl dituro Eio 4-K Eio 4-K lichio l roizioni intotich: SER / 4 / BER / 4 / / / / / Si h: d w Si h: d w d Sgu: E ( rfc rfc 4 Si r clcolto ttnt: ( con rfc (Qundo E / crc, il tr divnt trcuril ritto 47 Sgu: d P ( rfc rfc 4 (riultto culnt tto 48 8

9 roizioni intotich r cotllzioni non GU Eio S l cotllzion non è GU, l roizioni intotich ono l t, l oltlicità vnno clcolt dit u tutti i gnli di M: w d ( rfc 4, i i w, i i P( w d de ( i, j i j M d 4 rfc nuro di gnli con d ( d, i j E i j w d ( v, v, i H i j j : de( i, j d 49 Conidrio qut cotllzion di 4 gnli in dinioni non GU: Si h: ( i 4 i 4 E / / 5 E 4 d 4 E 5, +, +, +, w, + w, + w, + w, w / / 4 5 Eio Eio 4-PM Sgu: Conidrio un cotllzion 4-PM di 4 gnli in dinion 4 E ( rfc E P ( rfc 8 5 / / / / 4 5 / / ( ( / ( + ( / + Si h: E( i 5 E 4 i 4 8 d 4 E 5, +, +, +, w, + w, + w, + w, w Eio 4-PM Sul lling di Gry / / ( ( / ( + Sgu: E ( rfc 4 5 E P ( rfc 8 5 / 4 ( + Gurdndo l roizion intotic, i cic ch il lling di Gry iizz l roilità di rror ul it r lti vlori di E / P( w d 4 rfc L w cor linrnt in qut rion. Ricordndo l dfinizioni di w i h r: Qundo i u un lling di Gry i ric rò d ottnr Di congunz, l BER intotic vin iizzt. w w