FORMA CHIUSA PER L OTTIMIZZAZIONE DELL ARMATURA IN STRUTTURE IN CALCESTRUZZO SOGGETTE A STATI PIANI DI TENSIONE

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1 FORMA CHIUSA PER L OTTIMIZZAZIONE DELL ARMATURA IN STRUTTURE IN CALCESTRUZZO SOGGETTE A STATI PIANI DI TENSIONE Gabril Brtagnoli 1, Giordano Luca 1, Giuspp Mancini 1 1 Dipartimnto di Inggnria Struttural Edil Gotcnica, Politcnico di Torino SOMMARIO Durant gli ultimi tr dcnni sono stati proposti divrsi critri di progttazion pr valutar la capacità portant ultima di struttur in calcstruzzo armato soggtt a stati di tnsion piana. Alcun di qust tori consntono la progttazion dll armatura a sguito di un'analisi lastica linar. L'approccio suggrito dal nuovo Modl Cod 2010, basato sulla ricrca sviluppata dagli autori all'inizio dl 2000, consnt il calcolo dll armatura ncssaria la vriica dll sollcitazioni nl calcstruzzo, quando la dirzion dl campo di comprssion allo stato limit ultimo è noto. L armatura ottimal può ssr dtrminata in accordo a qusto approccio trovando la dirzion dl campo di comprssion tramit la soluzion di un'quazion non linar. Sgundo l'approccio dl Modl Cod, sono prsntat l suprici di intrazion pr la progttazion di lmnti in calcstruzzo armato soggtti a stati di tnsion piana. In aggiunta è ornita una soluzion approssimata ch prmtt il calcolo dll armatur in orma chiusa. CLOSED FORM SOLUTION FOR OPTIMUM REINFORCEMENT DESIGN IN REINFORCED CONCRETE SHELL ELEMENTS SUMMARY During th last thr dcads many dsign critria hav bn proposd to valuat th ultimat baring capacity o rinorcd concrt mmbran lmnts. Som o ths thoris allow or th dsign o rinorcmnt onc a linar lastic analysis is prormd. Th approach suggstd by th nw Modl Cod 2010 and basd on th rsarch dvlopd by th authors at th bginning o 2000, lads to th calculation o th rquird rinorcmnt and to th vriication o concrt strsss onc th comprssion ild dirction at ultimat limit stat is known. Th optimum rinorcmnt can b dtrmind in accordanc to this approach inding th comprssion ild dirction by solving a nonlinar quation. Following th Modl Cod approach, th intraction suracs or th dsign o mmbran lmnts ar prsntd in this papr. In addition an approximatd closd orm solution that allows to valuat th rinorcmnt is givn. 1. INDRODUZIONE Il critrio di progtto di lmnti bidimnsionali in clacstruzzo armato soggtti a stati di tnsion piana prsntato in qusto lavoro è basato sugli studi sguiti da Carbon t al. [1] [2] Brtagnoli & Carbon [3]. In accordo con qusto approccio, la rsistnza a comprssion dl calcstruzzo è corrlata alla variazion angolar tra l angolo ch idntiica la dirzion,,, dlla tnsion principal di comprssion in campo lastico risptto all ass x l angolo corrispondnt alla dirzion dlla tnsion principal di comprssion al collasso,. La rsistnza dl calcstruzzo in campo ssurato, cd2, dcrsc al crscr di raggiungndo valori snsibilmnt inriori alla rsistnza uniassial cd. Nl prossimo paragrao l approccio sviluppato in [1] [2] sarà brvmnt riprso sviluppato in una nuova procdura ch prmtt di calcolar in orma chiusa approssimata l armatura ottima pr un dato stato di tnsion ( x, y, ) d il rlativo. 2. APPROCCIO PLASTICO ALLA SOLUZIONE DI ELEMENTI MEMBRANALI Si considri un lmnto soggtto a stato piano di tnsion mostrato in ig. 1(a). La ig. 1(b) mostra la szion di tal lmnto con un piano paralllo all inclinazion θ dl campo dll tnsioni di comprssion nl calcstruzzo al collasso, mntr la ig. 1(c) mostra la szion dl mdsimo lmnto con un piano ortogonal al prcdnt.

2 (a) (b) (c) Figura 1 Schmi pr la scrittura dgli quilibri astici L quilibrio dlla szion mostrata in ig. 1(b) alla traslazion orizzontal vrtical è rispttivamnt garantito dalla scrittura dll quazioni (1) (2); mntr l quilibrio dlla szion mostrata in ig. 1(c) alla traslazion orizzontal vrtical è dato dalla scrittura dll quazioni (3) (4). dov: cot 0 (1) x sx x cot cot 0 (2) x sy y tan 0 (3) x sx x c tan tan tan 0 (4) y sy y c A t A t (5) x sx y sy t è lo spssor dll lmnto, A sx A sy sono l ar di armatura pr unità di lunghzza nll dirzioni x y. L tr incognit,, dl problma sx x sy y c costituito dall quazioni (1-4), possono ssr calcolat com sgu dal momnto ch una dll quattro quazioni è linarmnt dipndnt dall altr tr. cot (6) sx x x tan (7) sy y y c sin cos L quazioni (6-8) possono ssr risolt sia in prsnza di armatura snrvata ch nlla situazion di acciaio in campo lastico. Nl prossimi paragrai si mostrranno l du soluzioni. 2.1 Soluzion in prsnza di armatura snrvata S si introducono i critri di rottura dll acciaio dl calcstruzzo l quazioni (6-8) divntano: (8) cot (9) sx x x yd x tan (10) sy y y yd y c 2 sin cos cd (11) dov yd è la tnsion di snrvamnto dll acciaio, cd2 è la rsistnza dl calcstruzzo in stato ssurato la variazion di inclinazion dl campo di comprssioni nl calcstruzzo dalla prima ssurazion al collasso è limitato a 20 com suggrito da Brtagnoli t al.[4]: (12) cd ck (13) 20 L quazioni (9-11) possono quindi ssr riscritt ottnndo il valor dlla tnsion tangnzial in unzion di x y dll angolo θ. yd x x tan (14) cot (15) yd y y cd sin cos 2 (16) Si può quindi adimnsionalizzar il problma calcolando l tnsioni adimnsionalizzat con l quazioni (17) introducndo l prcntuali mccanich di armatura con l quazioni (18). n n v (17) x x y y yd yd (18) x x y y L quazioni (14-16) divntano quindi: tan 1 x x cot 2 y y v v n (19) v v n (20) v v sin cos (21) 3

3 L armatura minima si ottin ponndo smpr θ = 45, com dscritto da Nilsn [5] s si trascura la rottura lato calcstruzzo. S invc si considra la rsistnza dl calcstruzzo in accordo con l sprssion (11) si possono conigurar i du scnari mostrati in ig. 2: 1. s ν ν 3 (45 ) 45 (vdi ig. 2a) l approccio di Nilsn è ancora valido l armatura ottima si ottin pr θ = 45 com mostrato nll quazioni (22-23) sgunti: v n (22) x y x v n (23) y 2. s ν > ν 3 (45 ) du θ, chiamati θ,1 θ,2 possono ssr calcolati risolvndo l quazion ν = ν 3 (θ ) com mostrato in ig. 2b. L armatura ottima corrispond alla soluzion ottnuta scglindo tra θ,1 θ,2 il valor più prossimo a 45. (a) (b) Figura 2 Soluzion graica di sistmi di disquazioni (14-16) 2.2 Soluzion in prsnza di armatura in campo lastico S non sist alcun 20 tal pr cui sia soddisatta la (11) signiica ch l sollcitazioni comportano un ccssivo tasso di lavoro lato calcstruzzo. In qusto caso una soluzion è ancora possibil disponndo armatura ch lavori in campo lastico. L ampizza dll ssur risultrà notvolmnt ridotta non si potranno apprzzar dll variazioni signiicativ di ch quindi vin assunto pari a 0. 0 (24) L quazion (12) in accordo con [4] divin: 1 s cd c cd yd sostitundo la (25) nlla (8) in cui = si ottin s cd 1 cd sin cos yd (25) (26) Da cui è ricavabil la massima tnsion ammissibil nll armatura ainché il calcstruzzo sia vriicato in comprssion: s yd cd sin cos cd 1 (27) Di consgunza si potranno calcolar l prcntuali gomtrich di armatura sostitundo la tnsion s data dalla (27) nll (14-15) in cui = ottnndo: cot x (28) x s tan y (29) y s 2.3 Rapprsntazion graica Una chiara rapprsntazion graica dl risultato può ssr ornita nl piano dll tnsioni principali [ 1, 2 ] (dov 1 2 ) aggiungndo l tto dll armatura al critrio di rottura di Ottosn [6] pr il calcstruzzo in campo bidimnsional. S si dinisc φ l angolo tra la dirzion di 1 la maggior tra l du tnsioni x y, è possibil dtrminar pr ogni coppia di [ 1, 2 ] la corrispondnt trna x, y, grazi alla rlazion (30) cos 0 x sn cos sn 1 (30) cos 0 y sn sn cos 2 I valori di x y corrispondnti al minimo dll armatura total tot = x + y possono quindi ssr calcolati in unzion dl solo angolo θ con la procdura prsntata in prcdnza: pr ogni trna [φ, 1, 2 ] si trovrà l angolo θ ch contmporanamnt minimizza l armatura total vriica la rsistnza dl calcstruzzo (q. 21 o 26). La igura 3 mostra l cinqu zon, ch corrispondono a dirnti comportamnti strutturali nl piano dll tnsioni principali: zona 1: zona 2: il calcstruzzo è in stato di comprssion biassial all intrno dl dominio di rottura, non è ncssaria armatura pr la vriica; il calcstruzzo è in stato di tnsion biassial trazion-comprssion o trazion-trazion

4 zona 3: zona 4: zona 5: all intrno dl dominio di rottura: non ssndo ssurato è gnralmnt richista soltanto l armatura minima pr il controllo di un vntual ssurazion non attsa; il calcstruzzo è collassato in comprssion biassial o in trazion-comprssion in prsnza di lvat comprssioni: la vriica dll lmnto può ssr soddisatta soltanto aumntando la class di rsistnza dl calcstruzzo o lo spssor dll lmnto; il calcstruzzo è in trazion-comprssion o trazion-trazion all strno dl dominio di rottura con tnsion di campi di comprssion in rgim ssurato inrior a cd2 : l quilibrio può ssr garantito disponndo armatura ch lavora alla tnsion di snrvamnto; il calcstruzzo è in trazion-comprssion all strno dl dominio di rottura con con tnsion di campi di comprssion in rgim ssurato maggior di cd2 : l quilibrio può ssr garantito disponndo armatura ch lavora in campo lastico (non snrvata, vdi Carbon t al. [2]), ma qusta soluzion può non risultar conomica. pr a a1 45 pr 45 pr (32) a Il scondo piano rapprsnta il scondo valor costant di θ dato dalla q. 33: b, a (33) 2 2 dov: a2 c 1 pr a2 90 pr a2 c2 pr dov: c 1 c Il piano inclinato è dato dalla q. 36: c, (34) (35) a b c (36) dov: a q a b b a b q b (37) (38) a c q b (39) Figura 3 Zon rsistnti nl piano dll tnsioni principali Si può quindi diagrammar il valor di θ nll zon 4 5 ottnndo una suprici mostrata in ig SOLUZIONE IN FORMA CHIUSA La ricrca dl θ conduc a una unzion non linar risultato di un procsso di ottimizzazion. Tal unzion può ssr prò approssimata da una suprici ormata da tr piani commttndo rrori piuttosto modsti. Di tr piani du strni sono orizzontali (θ = costant) limitano un piano inclinato ch li unisc. La scrittura di qusta suprici consnt di risolvr il problma in orma chiusa. Il primo piano rapprsnta il primo valor costant di θ dato dalla q. 31: a, a (31) 1 1 Dov: dov: q (40) pr q pr q pr cd 2 cd 2 45 (41) cd 2 45 (42) 45 L angolo astico θ risulta in conclusion ssr dato da: a c b pr 45 b c a pr 45 (43)

5 Nl caso di armatura non snrvata la soluzion in orma chiusa approssimata coincid con la soluzion prsntata nl paragrao ESEMPIO In qusto paragrao vin prsntato un smpio di apicazion dlla procdura dscritta ai paragrai 2 3. I risultati sono prsntati in orma graica nll zon 4 5 mostrat in ig. 3. Si è sclto un acciaio la cui tnsion di snrvamnto sia yd = 391 MPa d un calcstruzzo con l sgunti carattristich: ck = 25 MPa cd = 16.7 MPa ctd = 1.2 MPa cd2 = 9.0 MPa Si è inoltr sclto un angolo φ pari a 30 in vrso orario consguntmnt un angolo θ di inclinazion dlla tnsion principal di comprssion in campo lastico pari a 60. Nll igur 4, 5 6 si possono vdr rispttivamnt l tnsioni x, x xy al variar di 1 2. Nlla igura 7 è mostrata la soluzion in orma chiusa ch consnt di calcolar il θ con l sprssioni (3142); nlla ig. 8 è invc prsntata la soluzion corrtta pr il θ, ch si ottin con la procdura mostrata in ig.2. L dirnz tra la soluzion in orma chiusa approssimata qulla corrtta sono mostrat in prcntual in ig. 9. Nll igur sono rispttivamnt mostrat la massima tnsion di trazion nll armatura s la massima tnsion di comprssion nl calcstruzzo in campo ssurato c. L igur 12, rapprsntano i domini di intrazion in trmini dll prcntuali gomtrich di armatura x, y tot, mntr l igur 15, mostrano l dirnz tra l x, y tot calcolat in orma chiusa l mdsim grandzz calcolat in orma satta. 5. CONCLUSIONI Si è prsntata una procdura ch consnt di calcolar l armatura ottima in struttur bidimnsionali soggtt a stati piani di tnsion. Sgundo l approccio dl Modl Cod si possono tracciar l suprici ch rapprsntano l armatur adimnsionalizzat nll du dirzioni x y in unzion dll tnsioni principali 1 2 dll angolo φ tra la dirzion di 1 la maggior tra l du tnsioni x y. Si è prsntata inoltr una ormulazion ch consnt di ottnr una ottimizzazion approssimata in orma chiusa, vlocizzando notvolmnt i tmpi di calcolo. L dirnz tra l armatur calcolat in orma approssimata qull calcolat con l approccio rigoroso sono null in ampi zon dl dominio, di ntità molto bassa (qualch prmill) in zon molto limitat dl dominio smpr a avor di sicurzza; l armatura ottima calcolata in orma approssimata è smpr maggior di qulla torica. La vriica lato calcstruzzo è comunqu garantita anch sgundo l approccio approssimato. Un possibil sviluppo uturo di risultati ottnuti potrbb ssr l stnsion di qusto approccio agli lmnti shll a qulli tridimnsionali. Figura 4 tnsion x [MPa] Figura 5 tnsion y [MPa]

6 Figura 6 tnsion xy [MPa] Figura 7 angolo θ calcolato in orma chiusa approssimata [ ] Figura 8 valor torico dll angolo θ [ ] Figura 9 dirnza prcntual tra il valor torico dll angolo θ il suo valor approssimato Figura 10 massima tnsion nll armatur s [MPa]

7 Figura 11 massima tnsion c ni campi di comprssion in stato ssurato [MPa] Figura 12 rapporto gomtrico di armatura x [%] Figura 13 rapporto gomtrico di armatura y [%] Figura 14 rapporto gomtrico di armatura tot= x + y [%] Figura 15 dirnza tra la soluzion approssimata qulla corrtta di x [ 0 / 00]

8 Figura 16 dirnza tra la soluzion approssimata qulla corrtta di y [ 0 / 00] Figura 17 dirnza tra la soluzion approssimata qulla corrtta di tot [ 0 / 00] BIBLIOGRAFIA [1] CARBONE, V.I., GIORDANO, L., MANCINI, G. - (2001), Rsisting modl or r.c. and p.c. panls, Atti dlla Accadmia dll Scinz di Torino. Class di Scinz Fisich Matmatich Naturali, vol. 135, pp [2] CARBONE, V.I., GIORDANO, L., MANCINI, G. - (2002), Dsign o r.c. Mmbran Elmnt, Structural Concrt, vol. 2, pp [3] BERTAGNOLI, G., CARBONE, V.I. (2008), A Finit Elmnt ormulation or concrt structurs in an strss, Structural Concrt, Vol. 9, pp [4] BERTAGNOLI, G., MANCINI, G., RECUPERO A., SPINELLA N. - (2011), Rotating comprssion ild modl or rinorcd concrt bams undr prvalnt shar actions, Structural Concrt, Vol. 12, n 3, pp [5] NIELSEN, M.P. - (1971), On th strngth o rinorcd concrt discs, Acta Polytchnica Scandinavica, Civil Enginring and Building Construction Sris, Vol. 70, pp [6] OTTOSEN, N. S. - (1977), A ailur critrion or concrt, Journal Enginring Mchanics Division (ASCE), Vol. 103, No. 4, pp