Quanto rapidamente può salire un aeroplano? Quanto tempo impiega a raggiungere una certa quota?

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1 i immagini un Boing 777 (vdi Fig. 8.) ch si sta portando alla vlocità di dcollo sulla pista di un aroporto. sso si sollva dolcmnt a circa 80 mi/h (89.7 km/h), il muso ruota vrso l alto, l aroplano rapidamnt sal uori dalla vista. In una qustion di minuti sso sta volando a vlocità di crocira a 0000 t (944 m). Quanto rapidamnt può salir un aroplano? Quanto tmpo impiga a raggiungr una crta quota?

2 L cosθ D + sin θ D + sin θ D sin θ ma sinθ > R/C D

3 D potnza in ccsso R / C potnza in ccsso - L potnz sono assunt pari a qull in volo livllato - L angolo di salita è piccolo, cioè cosθ circa, cioè L sin θ d D θ L quazion è approssimata d D ccsso di spint a pso

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5 massima potnza in ccsso Odograo volo in salita

6 L prstazioni prcdnti sono da considrarsi ad una crta quota. Ch succd al variar dlla quota? Dirnz sul rato di salita tra vlivolo ad lica a gtto.

7 Facciamo prima l smpio rlativo al vlivolo a gtto MD-80, di cui riportiamo i dati : O 6500 Kg pso massimo al dcollo 8 m b m AR9. CDo CL.5 Imp. propulsivo : motori P J8D da 8400 Kg di spinta ciascuno, cioè o Kg Dai dati gomtrici d arodinamici dl vlivolo ho : 7.95

8 no d [Kg] Pno Pd [hp] [Km/h] [Km/h] /L 8 tta [ ] /L 0 [m/s] t t 5000 t t [Km/h] [Km/h]

9 Un vlivolo a gtto ha solitamnt un massimo rato di salita al livllo dl mar intorno ai 0-5 m/s corrispondnti a circa m/min (cioè guadagna un chilomtro mzzo al minuto) o anch circa 4000 t/min. niamo prsnt ch il calcolo ttuato è approssimato pr il atto ch la spinta disponibil all bass quot pr un motor turboan non è costant, com già visto nl cap.6 7. Dalla ig. 8.9 si vd com pr un vlivolo a gtto il massimo rato di salita si ottin a vlocità non proprio bassissim. In tti, pr un vlivolo a gtto val il principio ch volando (sulla traittoria) a vlocità lvata si sal anch vloc.

10 Considriamo smpr il vlivolo Bchcrat King Air C Kg pso massimo al dcollo 7. m b5. m AR8.57 CDo CL.6 Motori Pratt&ithny P6A, ciascuno da 550 hp all albro. I motori sono turbolica. Rndimnto prop. dll lich ηp0.80

11 D Kg Pno Pd hp [Km/h] [Km/h] tta ( ) 6 R/C [m/s] tta ( ) /L t t [Km/h] [Km/h]

12 al livllo mar circa 0- m/s Angoli anch di 0- (anch lggrmnt > gtto) P disp. (turbolica) P disp. (turbolica) 800 P disp. (cost.) P disp. (cost.) P [hp] [m/s] [Km/h] [Km/h]

13 rattazion analitica θ θ s sinθ

14 rattazion analitica L GO sinθ D D q (CDo + K CL ) q CDo + K q q CDo + K q K q CDo ρ LIOLO A GO PnD Pd max A P

15 rattazion analitica L GO Approccio approssimato Un primo (approssimato) approccio analitico consist nl calcolar il massimo rato di salita ad una crta quota all asstto di massima icinza. d D d Π PnD LIOLO A GO θ d D MIN Pd max A con θ sprsso in radianti. Pr avr i gradi moltiplicar pr 57.. P

16 rattazion analitica L GO Approccio satto b b o o o o ρ π ρ πρ ρ 6 0 q q - π b Γ q + + Γ C D0 0 - D - 0 ) / ( d dd d C R d

17 Approccio satto rattazion analitica L GO Γ + + Il attor Γ è pari a circa, in quanto il dnominator è solitamnt >> quindi la radic è circa. In corrispondnza dlla quota di tangnza q Γ ( si ha la vlocità di salita rapida limit (di atto con 0). q c c 6 Γ q c Γ Γ ρ ρ 6 ρ max

18 rattazion analitica L GO Approccio satto c q c Γ Γ ρ ρ 6 ρ RICORDIAMO ch il rato di salita è : d c D c c θ c c Ricaviamo l sprssion gnrica di D/ D D D q q q ( CDo + CDi) CL CDo + A π R CDo + q CL π AR q D q CDo + q πa R

19 rattazion analitica L GO Approccio satto AR q CDo q D + π CDo 4 AR 4 CDo AR > π π ostitundo a q Γ 6 q c CDo D Γ + Γ Γ + Γ c D Ma ricordo ch :

20 rattazion analitica L GO Approccio satto Γ + Γ c D Ma 6 c c D Γ Γ θ Γ + Γ 6 c D Γ Γ Γ c c ρ θ 6

21 rattazion analitica L GO Approccio satto ( ) Γ Γ ρ Γ / / ) ( / 6 CDo ( /) Con la nuova sprssion pr la CDo CDo o o c Γ Γ Γ ρ ρ ρ CDo o c Γ ρ Γ Γ Γ CDo c c ρ θ 6

22 rattazion analitica L GO / / ( /) Γ ρ CDo ( / ) ( ) Γ 6 Γ - da / -dal rapporto spinta / pso (in modo ort) -dal CDo -dall icinza massima important notar com aumntar il carico alar (ad smpio riducndo la suprici alar) pr un vlivolo a gtto quival ad aumntar sia la vlocità massima ( la vlocità di crocira) sia il massimo rato di salita dl vlivolo. Qusto avvin prché riducndo si riduc la suprici bagnata così si riduc la rsistnza parassita (di attrito) important all alt vlocità.

23 rattazion analitica L GO ( ) Γ Γ ρ Γ / / ) ( / 6 CDo ( /) Assumndo Γ valido a quot prossim al livllo dl mar ( ) ) / ( ) / ( / / CDo ρ ( ) ) / ( 0 CDo ρ b b 4 4 π π > 0 ) / ( b CDo π ρ

24 rattazion analitica L GO π ρ ρ 0 0 b 0 ) / ( b π ρ 0 ) / ( b π ρ 0 b π ρ b..54 Con sprss in Kg

25 rattazion analitica L GO ( /) Γ ρ CDo / / Γ 6 ( / ) ( ) Γ Quindi siamo arrivati ad un sprssion approssimata (Γ) utilizzando orz sprss in [Kg].54. b

26 rattazion analitica L GO.54. b Ad smpio, considrando un vlivolo a gtto con d5000 Kg (massima total a livllo dl mar) Kg CDo m b7 m b m (0.80) Il calcolo dlla 8.6 ornisc : m/s 6400 t/min

27 rattazion analitica L GO.54. b Risptto al calcolo prcdnt andrbb prò considrato un valor di divrso da o. Inatti dal graico dlla spinta di un turboan a livllo dl mar (/L) in unzion dlla vlocità (dl Mach) si vd ch ad un valor di M (tipico dlla vlocità di salita) /o è circa

28 Πd ηp Πa rattazion analitica - LICA P disp. (turbolica) Π η p a ρ C (/) Do 800 P [hp] 600 P disp. (cost.) π AR ρ ( / ) [Km/h] Π no _ MIN ρ (4CDo) P 4 / 4 ρ o π / 4 / / AR ρ / 4 Do / 4 C / / / / π / / / 4 AR 4C AR Do / 4 / 4 Do / 4 C / C / 4 Do

29 rattazion analitica - LICA Π no _ MIN 4 / 4 ρ o π / 4 / / / 4 Do / 4 C AR / 0.95 / / AR / 4 Do / 4 C / _ max 76η p Π a.97 Con potnza in [hp] in [Kg] C AR / 4 Do / 4 /

30 rattazion analitica - LICA _ max 76η p Π a.97 Con potnza in [hp] in [Kg] C AR / 4 Do / 4 / ma b 4 / CDo 4 / / ( C ) Do / -/4 / /4 b 4 / b 4 / / 76 η p Π a.97 b / 4 / Con potnza in [hp] in [Kg]

31 rattazion analitica - LICA i può anch ricavar una sprssion più smplic: Π MIN Π P Π d P Π D MIN P. P Π d η P Π a ρ CL /

32 rattazion analitica - LICA η 76 η P Π a p Π a ρ CL b / / 4 / PARAMRO FONDAMNAL Un altra importantissima inormazion ch si ricava dalla 8.9 è ch pr un vlivolo ad lica il massimo rato di salita si riduc all aumntar dl carico alar. Quindi, mntr pr un vlivolo a gtto il rato massimo di salita crsc al crscr dl carico alar, pr un vlivolo ad lica succd il contrario! Quindi ridurr la suprici alar pr un vlivolo ad lica non comporta pr il rato di salita un vantaggio com pr i vlivoli a gtto. Pr i vlivoli ad lica è molto important l aprtura alar pr avr buon capacità di salita!!

33 Cap.8 OLO LIBRAO L cosθ D sinθ sinθ cosθ D L anθ L / D an θ min ( L / D) max

34 Cap.8 OLO LIBRAO an θ min ( L / D) max L angolo di planata minimo non dipnd dalla quota, dal carico alar o cos simili, ma OLO dall FFICINZA MAIMA!

35 Cap.8 OLO LIBRAO an θ min ( L / D) max L ρ C L ρ CL cosθ cosθ ρ C L

36 Cap.8 OLO LIBRAO cosθ ρ C L è la vlocità di planata di quilibrio. Chiaramnt ssa dipnd dalla quota) dal carico alar. Il valor di CL nll q. [8.4] è qul valor particolar ch corrispond al valor spciico di L/D usato nll q. [8.]. Ricordiamo ch sia CL ch L/D sono carattristich arodinamich dll aro ch variano con l angolo d attacco, com mostrato in Fig i noti dalla Fig. 5.4 ch un dtrminato valor di L/D, indicato con (L/D), corrispond ad un dtrminato angolo d attacco, ch succssivamnt impon il coicint di portanza (CL). L/D è mantnuto costant pr tutta la trattoria di planata, allora CL è costant lungo la traittoria. Comunqu la vlocità di quilibrio cambirà con la quota lungo qusta traittoria, diminundo al diminuir dlla quota.

37 Cap.8 OLO LIBRAO cosθ ρ C min an θ L ( L / D) max Considriamo di nuovo il caso di minimo angolo di planata com trattato con l q. [8.]. Pr un tipico aroplano modrno, (L/D)max 5, pr qusto caso, dall q. [8.], θ min. 8 è un angolo piccolo. Quindi possiamo ragionvolmnt L D max 4 C D, 0 K ( L / D) max ρ K C D,0 cos θ

38 Cap.8 OLO LIBRAO cosθ ρ C min an θ L ( L / D) max Rato di discsa RD RD sinθ D sinθ D

39 Cap.8 OLO LIBRAO RD MINIMO > PONZA Minima C / L C D è massimo ( ) min vlocità di aondata ρ K C D,0 /

40 Cap.8 OLO LIBRAO AO di minimo RD di minimo angolo sono divrsi!! L cosθ cosθ L ρ C L ODOGRAFO OLO LIBRAO

41 Cap.8 OLO LIBRAO La curva di RD è la curva dlla potnza ncssaria ribaltata. com con potnza disponibil0 D D ODOGRAFO OLO LIBRAO

42 Cap.8 OLO LIBRAO L cosθ D sinθ cosθ L ρ cosθ ρ C L C L sinθ ( sinθ ) cosθ ρ C L Dividndo tra loro l quazioni di quilibrio sinθ D L cosθ C C D L cosθ cos θ ρ L D ( C / C ) > (cosθ) ρ L D ( C / C )

43 Cap.8 OLO LIBRAO L cosθ D sinθ ρ L D ( C / C ) L quazion mostra splicitamnt ch ( ) min ( / > ). C L C D / max ssa mostra inoltr ch la vlocità di discsa diminuisc al diminuir dlla quota aumnta com la radic quadrata dl carico alar.

44 Cap.8 QUOA ANGNZA Quot di tangnza pr il CP Quota Massimo R/C [m/s]

45 Cap.8 QUOA ANGNZA ANGNZA

46 Cap.8 QUOA ANGNZA angnza orica (0) angnza pratica (0.5 m/s) (circa 00 t/min) Quot di tangnza pr il CJ Quota [m] J Quota di tangnza torica (R/C 0) 495. m Quota di tangnza pratica (R/C 0.5 m/s) m Massimo R/C [m/s]

47 Cap.8 QUOA ANGNZA Basd on maximum climb rats Absolut Ciling 0 t/min ROC (quota tangnza torica) rvic Ciling 00 t/min ROC (quota tangnza pratica) Cruis Ciling 00 t/min ROC Combat Ciling 500 t/min ROC

48 Cap.8 MPO DI ALIA h dh dh/dt dt t R / C h dh R / C t h dh R / 0 C Partndo da /L 0,7 0,6 0,5 (R/C)^- 0,4 0, 0, Il tmpo è l intgral (ara sottsa) 0, Quota [m]

49 Cap.8 MPO DI ALIA t h dh R / 0 C (R/C)^- 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0, Quota [m] assumiamo com lgg di max(h) una lgg linar: t min h a + b h a + b 0 dh t MIN b h 0 dh h [ ln( a + b h) ln(a) ]