due componenti del neutrino

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1 Equazion di Wyl: toria a du comonnti dl nutrino Nl 199, subito doo la ubblicazion dll quazion di Dirac, Wyl rsntò una toria molto smlic d lgant r l articll snza massa di sin ½, r l quali l licità risulta ssr un buon numro quantico. Al tmo dlla ubblicazion qusta toria suscitò un intrss limitato rché non si conoscvano articll snza massa di sin ½ Tuttavia, anch doo l introduzion dl nutrino da art di Pauli, lo stsso Pauli rifiutò la toria di Wyl rché violava la simmtria di arità. Solo doo il 1957 la toria di Wyl ricvtt il giusto crdito. Riartiamo dall quazion di Dirac nllo sazio di momnti: ( µ m) ψ( ) = 0 µ µ s mttiamo m=0 ricordiamo ch 0 =β i = βα i, abbiamo: 0 E ψ( µ ) = 0 βe βα ψ( µ ) ( ) ( ) Hψ ( ) α ψ( ) = Eψ( ) Pr studiar l quazion di Wyl è rfribil usar la rarsntazion di Wyl (o rarsntazion chiral), in cui 5 è diagonal, invc dlla rarsntazion ch abbiamo gia visto di Dirac-Pauli. σ 0 0 I α = ; β = 0 σ I 0 0 I 0 σ I 0 0 = β = ; = ; 5 = I 0 σ 0 0 I 1

2 Equazion di Wyl α ψ = Eψ Lo sinorψ a 4 comonnti si uò scrivr com: χ ψ = χ ϕ sono sinori a comomnti ϕ σ 0 χ χ L quazion di Wyl divnta: =E 0 σ ϕ ϕ L quazioni si disaccoiano: σ χ = Eχ σ ϕ = Eϕ Dato ch il nutrino non ha massa, n consgu ch E =P. Pr ognuna dll du quazioni si avranno du soluzioni, una con nrgia ositiva l altra con nrgia ngativa. L soluzioni con nrgia ositiva corrisondono ai nutrini mntr qull a nrgia ngativa corrisondono agli antinutrini σ Ricordiamo ch è il roittor di licità soluzioni a nrgia ositiva: E = σ σ χ = χ ; ϕ = ϕ (nutrino lvogiro ; nutrino dstrogiro) soluzioni a nrgia ngativa: E = σ σ χ = χ ; ϕ = ϕ (antinutrino dstrogiro ; antinutrino lvogiro) N.B. l quazion viola la arità rché il nutrino lvogiro d il nutrino dstrogiro sono dscritti da sinori divrsi (χ φ) disaccoiati

3 Misura dll licit licità dl nutrino Nl 1958 Goldhabr, Grodzins Sunyar ralizzarono un srimnto molto inggnoso r la misura dll licità dl nutrino. Si rnd uno stato mtastabil di 15 Eu ch, attravrso una cattura lttronica K, dcad nl 4% di casi in uno stato ccitato di 15 Sm*, il qual dcad a sua volta nllo stato fondamntal mttndo un foton di 961 kv Eu + Sm + ν * 961 Dcadimnto a du cori:e ν = 840 kv N.B. l imulso dl nutrino è circa ugual a qullo dl foton!! In bas alla consrvazion dl momnto angolar si uò dfinir l licità dl nutrino: infin vdiamo la olarizzazion di fotoni mssi nlla dirzion di volo dl Samario. N.B. il foton ha la stssa licità dl nutrino 3

4 Misura dll licit licità dl nutrino La vita mdia dl 15 Sm* è di circa s, quindi il dcadimnto avvin quando ancora il Samario è in volo, rtanto il foton ricorda il momnto angolar dl 15 Sm*. In articolar il foton msso nlla dirzion di rinculo ha la stssa licità dl nuclo di 15 Sm* quindi la stssa licità dl nutrino. L licità dl foton si misura saminando la trasmission di fotoni attravrso il frro magntizzato. Il rocsso dominant nll intrazion con la matria r fotoni di 961 kv è lo scattring comton, la cui szion d urto dind dagli sin. La trasmission maggior (ovvro la szion d urto minor) si ha quando lo sin dl foton è aralllo a qullo dll lttron Va tnuto rsnt ch solo i fotoni mssi in dirzion oosta a qulla dl nutrino hanno la stssa licità, quindi occorr slzionar solo qusti fotoni. S si mtt un foton da uno stato avnt nrgia di ccitazion E 0, bisogna fornir un imulso E 0 /c al nuclo ch rincula di consgunza l nrgia dl foton è ridotta dlla quantità E 0 /Mc (M=massa dl nuclo) (N.B. qusta formula arossimata è valida rché Mc >>E 0 ) = E 0 c M = E 0 c 0 E K = = m Mc E E0 0 = E Mc Quando un foton vin assorbito occorr fornirgli un nrgia aggiuntiva r tnr conto dl rinculo dl nuclo: E = E + Mc E0 0 In gnr l nrgia rsa E 0 /Mc è iù grand dlla larghzza dl livllo, r cui un nuclo non uò riassorbir il foton ch sso mtt (assorbimnto risonant) a mno ch non vnga fornita al foton l nrgia ch manca. 4

5 Esrimnto di Goldhabr Nll srimnto di Goldhabr i fotoni mssi nlla dirzion dl rinculo dl Samario acquistavano nrgia r fftto Dolr d avvano così l nrgia giusta r far assorbimnto risonant da art di un anllo di ossido di Samario ch circondava un rivlator di fotoni. Sm 15 Sm* Eν = c E c 0 ν L agitazion trmica fa sì ch la risonanza avvnga in ratica Nl frro magntizzato gli sin dgli lttroni hanno una dirzion rfrnzial, rtanto sso lascia assar iù facilmnt i fotoni ch hanno lo sin allinato con qullo dgli lttroni. Il camo B otva ssr invrtito. Slziona fotoni con licità ngativa N.B. Gli sin dgli lttroni si allinano in vrso oosto al camo. fotomoltilicator 5

6 Elicità dl nutrino Risultati dll srimnto: Contggi al minuto Enrgia dl foton La rsnza dl icco risonant (anzi, di du icchi) si ottnn r una configurazion dl camo magntico corrisondnt a fotoni lvogiri, rtanto anch i nutrini sono lvogiri. L licità dll antinutrino è stata misurata studiando il dcadimnto di nutroni olarizzati, risulta ch gli antinutrini sono dstrogiri. il nutrino è lvogiro L antinutrino è dstrogiro 6

7 Intrazion V-AV Ricaitoliamo quanto abbiamo vrificato srimntalmnt fino a qui sull intrazioni dboli: 1. Nll intrazioni di Frmi comar solo il trmin vttorial (O i = µ ) mntr in qull di Gamow-Tllr comar solo qullo assial (O j =i µ 5 ). Il nutrino ha licità ngativa 3. L intrazioni dboli violano la arità, quindi nlla Lagrangiana occorr introdurr di trmini sudoscalari. Qusto si fa con la sostituzion: ( ) + ' 5 1 Ci Ci Ci (il fattor 1/ si insrisc r riottnr il valor di G C V (costant di Frmi) trovato in rcdnza) Possiamo riscrivr la Lagrangiana di Frmi, includndo in ssa la violazion dlla arità, nl modo sgunt: 1 ψ ψ ' 5 L = ψ + ψ ν i ( Oi n ) ( ) Oi Ci Ci i= V, A Dai risultati sull licità dl nutrino si trova ch: Ci = 1 ; Ci = 1 Facciamo comarir slicitamnt la costant di Frmi: L { G ψ ψ 5 = ( ) ψ µ (1 ) ψ ν + µ i CV n + C ( i ) i (1 ) µ 5 5 A ψ ψn ψ µ 5 ψν utilizzando l rorità di anticommutazion dll matrici si ha: G L C C µ 5 ψ ψ 5 = + ψ µ ψ i ( V A ) n (1 ) ν } ' 7

8 Intrazion V-AV Ricordiamo ch da una transizion ura di Frmi si misura il rodotto G C V. S confrontiamo qusto numro con la misura di G dtrminata in un dcadimnto uramnt ltonico, com ad smio il dcadimnto dl muon, dov non comar il trmin C V, si trova ch l misur sono in buon accordo, quindi da ciò si dduc ch: C V = 1 C = 1.6 ± 0.0 A C A non è ugual a 1 rché l intrazioni forti modificano la corrnt assial dgli adroni, mntr lasciano invariata la art vttorial dlla corrnt dbol, com vdrmo iù avanti. Infatti s rndiamo altri dcadimnti dboli adronici, oltr a qullo dl nutron, abbiamo: CA CA Λ + + ν = 0.7 ; Σ n + + ν = C C V Tuttavia s ignoriamo gli fftti dll intrazioni forti sulla corrnt assial, ossiamo orr: V C A = C = 1 V (nll intrazioni di nutrini con i quark si uò vrificar ch qusta assunzion è giusta anch r i quark) Prtanto ossiamo riscrivr la Lagrangiana nl modo sgunt: L G µ 5 ψ ψ 5 = ψ µ ψ i (1 ) n (1 ) ν Qusta è la cosiddtta intrazion V-A. Α art il fattor (1 5 ), ssa è la stssa Lagrangiana roosta originariamnt da Frmi. Il fattor (1 5 ) è molto imortant rché, com vdrmo, slziona solo una dtrminata licità (chiralità) di frmioni ch artciano all intrazion dbol. 8

9 Intrazion univrsal di Frmi Considriamo il dcadimnto dl muon µ + ν + ν µ µ ν La lagrangiana si uò scrivr com: L i J( µ ) µ J() µ ν µ - G ρ 5 ψν ψ 5 = (1 ) µ ψ ρ ψ (1 ) ν µ Si tratta di un intrazion V-A ura, val a dir ch l corrnti vttoriali assiali hanno la stssa intnsità ma sgno oosto. Dal calcolo dlla vita mdia dl muon, tnndo conto dllo sazio dll fasi, si ottin: 1 τ µ = W = 5 µ 3 G m 19π m τ µ µ = (9) MV 6 = ( (4)) 10 s Dai valori misurati dlla massa dlla vita mdia dl mu, si ha: G 6 3 = ( (1)) 10 J m Dall misur di dcadimnti β uri di Frmi (0 -> 0), si misura: 6 3 G C V = ( (8)) 10 J m confrontando i du valori si trova C V =0.98 (vdi angolo di Cabibbo) Dalla somiglianza di du valori misurati r G discnd l univrsalità dll intrazioni dboli, val a dir un unica costant di accoiamnto r tutti i tii di intrazioni dboli. Qusta situazion è simil all univrsalità dll intrazioni lttromagntich, nll quali comar un unica costant di accoiamnto, la carica lttrica. N.B. Il grand rang dll vit mdi è un fftto cinmatico 9

10 Iotsi dlla corrnt vttorial consrvata Dato ch roton nutron sono oggtti comositi soggtti all intrazion fort, ci si astta ch la loro costant di accoiamnto dbol vnga modificata ristto a qulla dll accoiamnto uramnt ltonico. Infatti C A -1.6 d è quasi una sorrsa ch C V 1 La situazion fu chiarita da Grstin Zldovitch d indindntmnt da Fynman Gll-Mann con l iotsi dlla Corrnt Vttorial Consrvata (CVC) Prndiamo un roton ch intragisc.m. con un foton: π + m J + n + π + ci si astta ch l accoiamnto dl roton con il foton sia modificato dall mission dl π +. Qusto non succd rché l accoiamnto dl π + con il foton è lo stsso di qullo dl roton con il foton, quindi δ µ J µ (m)=0 (corrnt consrvata). Prndiamo ora l intrazion dbol: wk J n + ν + n n π 0 π + + ν π π + + ν J = 0 (s =0) π Il dcadimnto β dl π+ è un dc. uro di Frmi la CVC dic ch la art vttorial dlla corrnt adronica è sattamnt analoga alla corrnt.m. rtanto si consrva. Qusto vuol dir ch l accoiamnto dl π + con la corrnt ltonica è ugual a qulla dl roton, in modo tal ch la corrnt dl roton non vin rinormalizzata. (La CVC è il rimo indizio dll unificazion dll intrazioni.m. con l intrazioni dboli) (Esist anch la PCAC corrnt assial arzialmnt consrvata) 10

11 Iotsi Corrnt-Corrnt Il dcadimnto dl nutron è dscritto dal rodotto di du corrnti: µ µ Jn = ψ (1 5 ) ψn Corrnt dl nutron s C A =-1 J µ µ = ψ (1 5 ) ψ ν Corrnt dll lttron Il dcadimnto dl muon è dscritto da rodotto di du corrnti ltonich, qulla dll lttron qulla dl muon J ρ ρ µ = ψ µ (1 5 ) ψν µ Corrnt dl muon Qust sono corrnti carich, rché c un cambiamnto dlla carica tra la articlla inizial qulla final dlla corrnt Qusta dscrizion fu gnralizzata da Fynman Gll-Mann r includr tutti i rocssi dboli (in raltà solo qulli a corrnt carica rché all oca non si conoscvano ancora rocssi dboli a corrnt nutra, vdi Modllo Standard). Si dfinisc una corrnt dbol ch è la somma di tutt l corrnti ltonich: µ µ = ψ 5 l corrisondnti corrnti r gli altri J l (1 ) ψ ν + ltoni, con uguali amizz r via dll univrsalità ltonica d una corrnt adronica: J µ µ h = ψ (1 5 ) ψ n + gli altri trmini r l articll stran quindi tutt l amizz di rocssi dboli sono dlla forma: M G µ = J J µ Pr via dlla consrvazion dlla carica dv comarir una corrnt carica di innalzamnto dlla carica d una di abbassamnto N.B. Nlla formulazion modrna, si rfrisc dfinir la corrnt introducndo il fattor ½ (1-5 ) invc dl vcchio (1-5 ), allora: M G µ = 4 J J µ 11

12 Richiamo dll q. q. di Dirac Ricordiamo la rarsntazion di Dirac-Pauli dll matrici 0 σ I 0 α = ; β = σ 0 0 I In qusta rarsntazion è β ad ssr diagonal non 5 I 0 0 σ 0 I 0 = β = ; = ; 5 = 0 I σ 0 I 0 Hu ( α + β m) u = Eu (q. di Dirac nlla sua forma original) m σ ua ua Hu = E σ m ub ub σ ub = ( E m) u σ ua = ( E + m) u u = σ E + χ m ( s) ( s) B A B Pr E>0 si rnd: dov: u ( s) χ = N Fattor di normalizzazion sinori a du comonnti ( s ) = χ ( s u ) A (1) = 1 () ; χ = ( s) χ σ ( s) χ E+ m (s=1,) Pr E>0 Pr l du soluzioni ad nrgia ngativa si rocd in modo analogo: ( s ) = χ ( s u ) ( s) σ ( s) σ ( s) u = χ = χ B A E m E + m σ ( s) χ ( s+ ) E + m (3,4) (,1) u = N Pr E<0 ( s) u ( ) v ( ) χ L soluzioni u(1,) ad nrgia ositiva dscrivono gli lttroni l u(3,4), ad nrgia ngativa, dscrivono i ositroni 0 Parità : ψ (x) ψ'(-x)= ψ 1

13 Orator di licità Gli autostati dll quazion di Dirac ad nrgia dfinita hanno una doia dgnrazion (sistono cioè du stati ch hanno la mdsima nrgia), qusto vuol dir ch dv sistr un altro ossrvabil ch commuti con l Hamiltoniana ( quindi con l orator dlla quantità di moto visto ch arliamo di una articlla libra) ch rmtta di distingur i du stati. Guardando la forma dll Hamiltoniana si uò vdr ch l orator sgunt god di qusta rorità: σ Σ 0 0 σ σ ˆ 0 Σ ˆ 0 σ ˆ orator di sin ; ˆ = vrsor dlla quantità di moto La comonnt dllo sin nlla dirzion dlla quantità di moto, σ è rtanto un buon numro quantico ch uò ssr usato r distingur l du soluzioni. Qusto numro quantico vin chiamato licità dllo stato. I suoi du autovalori sono: h + 1 = 1 S scgliamo la dirzion dll ass z in modo ch unti nlla dirzion dlla quantità di moto, =(0,0,), abbiamo: ˆ ( s ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 3 s s s 0 1 σ χ = σ χ = χ = hχ quindi lo sinor χ (s) è autostato dll licità con autovalor ±1 (N.B. a volt si insrisc il fattor ½ nlla dfinizion dll licita) 13

14 Rlazion tra licità 5 La matric 5 alicata ad uno sinor di Dirac god dlla sgunt rorità: σ E+ m 0 5 u ( ) = u ( ) σ 0 E m Può ssr vrificata facndo il calcolo slicito: χ σ χ + σ = E m χ E+ m χ (1,) 0 I 5u = I 0 5 = 0 I I 0 (ra. di Dirac) σ χ χ E m = σ χ χ E m (3,4) 0 I ; 5u = I 0 σ σ E+ m E m (nlla vrifica si tnga rsnt ch: = 1 ) S la articlla ha massa nulla our E >> m, si ha E=, quindi : 5 u ( ) = ( Σ ˆ ) u ( ) 5 coincid con l orator licità r articll di massa nulla Si uò ora vrificar ch l orator ½ (1-5 ) agisc com un roittor di licità: s u() ha licità +1 (1 ) u ( ) = u ( ) s u() ha licità 1 (r m=0) Ricordiamo la forma dlla corrnt dbol: J 1 1 ψ (1 ) ψ ; ψ (1 ) ψ µ µ 5 µ µ 5 l = ν Jl = ν N consgu ch nll intrazioni dboli artciano solo stati con un licità dfinita; in articolar solo nutrini lvogiri, com vdrmo, antinutrini dstrogiri. Nl limit di alta nrgia vngono slzionati, anch r i frmioni massivi, solo gli stati lvogiri. N.B. r un antiarticlla di massa nulla si ha: 5 v( ) = Σ ( ˆ ) v( ) 14

15 Autostati chirali Si ossono ora dfinir gli autostati chirali (dal grco chiros, mano, cioè stati ch distinguono la mano dstra dalla mano sinistra). Qusti stati coincidono con gli stati avnti licità dfinita solo r articll snza massa. Qusto rché l licità è un buon numro quantico solo r una articlla snza massa ch si muov alla vlocità dlla luc, mntr r una articlla massiva si uò smr trovar un sistma di rifrimnto in cui l licità cambia sgno. Qusti autostati vngono chiamati lvogiri dstrogiri; ssi hanno licità ±1 solo r articll a massa nulla our, con buona arossimazion, r articll con E >> m. Dfinizion: ul( ) u( ) ; v L( ) v( ) ur( ) u( ) ; v R( ) v( ) antiarticll Pr gli sinori aggiunti ricordiamo ch 5 è hrmitiano ( 5 = 5 ) anticommuta con l altr matrici ( µ 5 = - 5 µ ), quindi: = = = ul ul u u = u v L( ) v( ) ; ur( ) u( ) ; v R( ) v( ) Vdiamo alcun rorità dl roittor: = ( ) = 4 5 un roittor alicato du volt da smr lo stsso risultato µ 1 1 µ µ 1 µ µ 1 = = = Ricordiamo un smio di corrnt dbol: (vrtic W--ν) 5 (1 ) Jµ = ν µ (distrugg un lttron cra un nutrino) (1 ) (1 + ) (1 ) Jµ = ν µ = ν µ = νl µ L Abbiamo ottnuto una corrnt uramnt vttorial tra du articll lvogir (alla fin avva ragion Frmi ) 15

16 Simmtria chiral Com abbiamo visto la corrnt vttorial dbol (carica) accoia soltanto lttroni lvogiri con nutrini lvogiri, mntr la corrnt lttromagntica non distingu la chiralità dll articll coinvolt. Tuttavia anch r la QED si ossono far intrvnir gli autostati chirali: u = u + u = ul + ur (anch u = ul + ur) m µ µ ( L R) µ ( L R)= Lµ L Rµ R J = = + + qusto succd rché i trmini in croc sono nulli: Lµ R = µ = µ ( 5 )( ) ( ) rché : 1 1 =1- =1-1 = 0 = 0 quindi l intrazion lttromagntica consrva la chiralità di frmioni coinvolti. Ciò accad rché ssa è di tio vttorial. Si uò dimostrar ch anch una corrnt assial consrva la chiralità. Vdiamo invc cosa accad r un trmin scalar, com aar ni trmini di massa dlla Lagrangiana: = + = 1 1 m m m + = m( + ) RL LR I trmini di massa mscolano stati con chiralità divrsa, quindi ssi romono la simmtria chiral. Qusto ha causato non ochi roblmi nlla rima vrsion dlla toria unificata dll intrazioni lttrodboli di Glashow dov tutti i frmioni bosoni rano rigorosamnt a massa nulla. Il roblma fu risolto da Wimbrg Salam introducndo nlla toria il mccanismo di Higgs dlla rottura sontana di una simmtria di gaug local. 16

17 Violazion dll unitarità Considriamo il rocsso: ν + ν + nlla toria di Frmi è rarsntata dal grafico sgunt: J() - ν µ - J() µ ν 5 µ µ 5 4G 1 1 = ν ν M u u u u Utilizzando qusto lmnto di matric considrando ch ad alt nrgi la massa dll lttron è trascurabil, si ottin: G σν ( + ν + ) = s π s è il quadrato dll nrgia dl cntro di massa In unità naturali σ ha l dimnsioni di [M] -, G ha l dimnsioni di [M] -, quindi r far tornar l dimnsioni occorr moltilicar r s Dal formalismo dllo sviluo in ond arziali si trova la massima szion d urto in uno scattring lastico ch sia comatibil con la consrvazion dll unitarità S ignoriamo lo sin dll articll, si ha ch la massima szion d urto ossibil è: max π π π σ = 4 + = 4 = 4 l (l 1) ( =1) cm cm cm Scattring in onda S r articll untiformi [ad alt nrgi nutrino d lttron sono lvogiri, J=0 (onda S)] Quindi: G 4π s π cm ; ricordiamo ch: s = ( ν + ) Nl laboratorio s=m E 0, mntr nl cntro di massa: s s = ( cm) cm = 4 G 16π π π s s = 870 GV π s G Considrando anch gli sin, la szion d urto di Frmi viola l unitarità quando s G 300 GV 17

18 Boson vttor intrmdio Il comortamnto divrgnt dlla szion d urto uò ssr vitato s, analogia con la QED, si introduc un boson vttor intrmdio com roagator dll intrazioni dboli. Il diagramma dllo scattring divnta: - ν g - g W ν Il roagator di un boson massivo di sin 1 è dl tio: g µν µ ν q q Mw Mw q L lmnto di matric lo ossiamo scrivr com: M 5 µ 5 g 1 1 g 1 = u ν ν u u µ u M w q g è una costant di accoiamnto adimnsional i fattori ½ vngono introdotti r ottnr la dfinizion convnzional di g Dato ch il rang dll intrazioni dboli è strmamnt iccolo (dll ordin di 10-3 fm) allora la massa dl boson intrmdio dv ssr molto grand. Pr rocssi dboli in cui il q trasfrito è iccolo, tio il dcadimnto β o il dcadimnto dl muon, si ha ch q << M w, quindi si uò trascurar ristto alla massa dl W nll srssion dl roagator. confrontando l lmnto di matric di Frmi: µ = G M u 5 5 (1 ) u u µ (1 ) u n ν con qullo in cui c il boson W, si ottin: G g = 8M w 18

19 Massa dl boson W Dalla rlazion rcdnt si ricava la massa dl boson W G g = 8M w M w = g 8G s facciamo l iotsi ch g, abbiamo: 1 4π 10 = α = g = ; G = 4π M Mttndo tutto insim di ottin: in raltà: M w 5 4π = M 37.4 GV = gsin( θw ) Mw = ± GV sin( θ ) (θ W è l angolo wak noto anch com angolo di Winbrg) w L intrazioni dboli sono dboli non a causa dlla costant di accoiamnto iccola, bnsì a causa dll alto valor dlla massa dl boson W. Dato ch g non è ncssario introdurr una nuova carica r comrndr l intrazion dboli. Si ha una nuova scala di massa: la scala di Frmi, ari alla massa dl boson W 100 GV Qusto è un caso simil all lttromagntismo: F = E + m vb x (= m unificazion) gli fftti magntici divntano imortanti quando v è grand divngono confrontabili a qulli lttrici Quando vi è l unificazion di du fnomni vin introdotta in gnr una nuova scala; nl caso dll lttromagntismo si tratta dlla vlocità dlla luc. È la scala ch dtrmina l accoiamnto rlativo dll forz 19