7. Relazione fra velocità e spazio percorso

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1 7. Relzione fr elocità e spzio percorso ( t) 0 Ricndo il tempo dll legge orri dell elocità, t ed inserendolo nell legge orri dell posizione si ottiene un ltr relzione fr elocità, ccelerzione e spzio: 0 0 x x x x0 0 x x0 ( x x ) Quest relzione h un cert utilità prtic, m in reltà contiene le stesse informzioni fisiche delle leggi orrie, dto che è stt rict d esse. Esempio 54 Un utomobile iggi ll elocità di decelerre costntemente di 0 m/s. Se d un certo istnte inizi.0 m/s si dic qunto spzio dee percorrere perché dimezzi l su elocità e qunti secondi trscorrono. Si dic se questo spzio è mggiore o minore dell metà dello spzio necessrio per fermrsi e si giustifichi l rispost con il clcolo. Si ripetno il rgionmento ed il clcolo per il tempo. Qulunque si l posizione inizile x 0, l differenz x x0 rppresent lo spzio percorso prtire d ess. Sfruttndo l formul che esprime l elocità in funzione dello spzio percorso bbimo che, per dimezzre l elocità, dee coprire un distnz x x0 tle che 0 / cioè: 0 0 x x0 ( ) 3 0 ( 0) 0 4 x x x x0 m 75 m 8 8 (.0) Possimo clcolre i secondi trscorsi portndo primo membro x 0 incognito nell legge orri ed imponendo x x 0 75 m : x( t) x 0t.0 t x( t) x 0t.0t 75 m t s t 5.0 s t 5 s.0 Il secondo lore è prio di significto fisico perché, come edremo in fondo ll esercizio, è un tempo successio quello di rresto. 3

2 Poiché l diminuzione di elocità è uniforme nel tempo, cioè ogni secondo l uto perde.0 m/s di elocità, il tempo di dimezzmento dell elocità è esttmente l metà del tempo di rresto. Inece il moto non è uniforme nello spzio: nell prim metà dei secondi necessri per l rresto l uto è medimente più eloce che non nell second metà, quindi per fermrsi occorrono del doppio dello spzio che dimezz l elocità, cioè meno di (75) m 50 m. Verifichimo il rgionmento con il clcolo dello spzio di rresto: ( x x0) x x 0 m 00 m 4.0 e del tempo di rresto: t.0t 00 t s t 0 s.0 3

3 8. Il moto in cdut liber erticle Cos si intende per moto in cdut liber? Si definisce moto in cdut liber quello di un oggetto sottoposto ll sol ttrzione d prte dell Terr. Ad esempio un ssso scglito erso l lto, immeditmente dopo il distcco dll mno che lo lnci, descrie un moto in cdut liber, tnto nell fse di slit qunto in quell di disces. L ttrzione d prte dell Terr produce su un oggetto in cdut liber un ccelerzione dirett erso il bsso. Se il corpo iene lncito con elocità inizile in direzione erticle, il moto in cdut liber che si solge tutto lungo un triettori erticle rettiline. Questo è però solo un cso prticolre dell situzione più generle in cui l oggetto è scglito con elocità inclint e segue un triettori curiline Oggetti diersi lsciti cdere d un stess ltezz sono ccelerti in modo dierso? Per rispondere quest domnd ricordimo Glileo h escogitto un esperimento concettule per mostrre come il tempo di cdut, prità di ltezz, si lo stesso per tutti gli oggetti, indipendentemente dll loro mss. Immginimo di lscir cdere d un fisst ltezz due sfere di ugul olume, un di piombo di mss 0 kg ed un di legno di mss 3 kg. Supponimo er l ide che l sfer di piombo rrii terr prim, in un tempo t inferiore rispetto l tempo t che occorre quell di legno. Adesso leghimo insieme le due sfere con un cordicell e lscimole cdere di nuoo dll stess ltezz e chiedimoci qunto le il tempo t * che impiegno or cdere. Sono possibili due linee di rgionmento. ) L eloce sfer di metllo iene rllentt dll sfer di legno. Questo perché l sfer di legno f più ftic cdere, è più lent, e quindi trttiene un poco l rpid cdut di quell di piombo. Così legte le due sfere tocchernno terr un po dopo il tempo t che occorre ll sfer di metllo, m comunque prim del tempo t che impieg l sfer di legno d sol, cioè t t * t. ) L sfer di legno e l sfer di piombo legte sono, nel loro complesso, un oggetto di mss 0 kg 3 kg 3 kg. Se fosse ero che mggiore è l mss prim si giunge terr, esse dorebbero toccre il suolo prim di qundo lo frebbe l più eloce delle due, l sfer di piombo, d sol. Il tempo di cdut dorebbe essere llor minore di t perché, iste come un tutt uno, esse hnno un mss più grnde dell mggiore, che er di 0 kg. Dunque t * t. Simo giunti d un ssurdo perché entrmbi i rgionmenti sono lidi m non può certo essere contempornemente t t t e t t. L errore non st nei * * processi logici intermedi m nelle premesse. Non può quindi essere ero che, qundo sono lsciti cdere dll medesim ltezz, gli oggetti di mss mggiore toccno terr prim degli oggetti con mss minore. Quindi l ccelerzione dee essere l stess per tutti gli oggetti. 0 legno t piombo t 33

4 Il moto in cdut liber in erticle è uniformemente ccelerto? Dire che il tempo di cdut di un oggetto non dipende dll su mss signific che il modo in cui ument l elocità - cioè l su ccelerzione - non dipende dll mss. Oltre non dipendere dll mss, le osserzioni mostrno che il lore dell ccelerzione di cdut liber in prossimità dell superficie terrestre è costnte, cioè non dipende nemmeno dll ltezz dll qule l oggetto prte, e non cmbi mi durnte l cdut. Quindi il moto di cdut liber in erticle è uniformemente ccelerto erso il bsso, e con gli esperimenti si misur che il modulo di quest ccelerzione le: g 9.8 m/s y Pertnto se si lnci un pietr in erticle, durnte l slit, ogni secondo sono sottrtti 9.8 m/s l modulo dell elocità inizile, finché quest non si nnull, e successimente, durnte l disces, gli stessi 9.8 m/s sono ddizionti ogni secondo erso il bsso e quindi l oggetto rissumerà necessrimente tutti i lori di elocità dell ndt. In ltri termini l costnz dell ccelerzione ssicur l simmetri del moto delle due fsi, precedente e successi ll istnte di mssim ltezz. Come si scriono le leggi orrie del moto erticle di cdut liber? In un riferimento con l sse erticle delle posizioni y orientto in lto, risult g e dunque le leggi orrie di posizione e elocità si scriono: g y( t) y t gt 0 0 ( ) 0 t gt Allor per un oggetto lscito cdere d fermo ( 0 0 ) d un cert ltezz inizile y0 h, imponendo che y( t) 0 si ottiene il tempo t c di cdut: y( t) h gt 0 tc h g ed inserendo t c nell legge orri per l elocità si h l elocità di cdut c di quello stesso oggetto subito prim di toccre terr: h c gtc g c g gh Per un oggetto lncito erticlmente erso l lto con elocità inizile 0 inece, possimo ricre l ltezz che rggiunge imponendo che nell istnte di mssim quot l elocità si null. Il tempo t mx impiegto slire srà: 0 ( tmx) 0 gtmx 0 tmx g ed inserendolo nell legge orri dell posizione: 34

5 0 0 mx 0 mx mx 0 ymx y t gt g g g g 0 Qunto tempo complessio trscorre in ri un oggetto lncito erticlmente? Se lncimo un pietr erticlmente in lto con elocità inizile 0 ess dpprim rggiunge l mssim ltezz in t mx 0 / g secondi, diminuendo costntemente l su elocità di 9.8 m/s ogni secondo che pss. Qundo ricde, l elocità rissume gli stessi lori dell slit in corrispondenz delle stesse ltezze, però con segno opposto. Inftti un secondo prim del mssimo, (doe 0 m/s ), l pietr e un elocità di 9.8 m/s, ed un secondo dopo il mssimo l rà di 9.8 m/s ; due secondi prim del mssimo e 9.8 m/s, due secondi dopo rà 9.8 m/s e così i. Il tempo di disces è pertnto identico quello di slit, e quindi trscorre in ri un totle di 0 / g secondi. Esempio 55 Un oggetto è lscito cdere d un ltezz di 00 m. Dopo qunto tempo giunge terr? Qunto le l su elocità subito prim di enire rrestto dll imptto col terreno? 00 m y i 0 m/s Se l sse è orientto erso l lto ed inizimo contre il tempo dl momento in cui l oggetto è lscito ndre, del i dti del problem dientno: 9.8m/s y 00 m 9.8 m/s 0 m/s E sostituendo nelle leggi orrie: y( t) 00 (9.8) t ( t) 9.8t Clcolimo il tempo di cdut imponendo che l ltezz si y( t) 0 m : 0 m f (9.8) t t s 4.5 s 9.8 Aendo scrtto l soluzione negti, pri di significto fisico in qunto precedente ll istnte inizile. Per l elocità subito prim di essere rrestt dl terreno bbimo: (4.5 s ) ( ) m/s 44.3 m/s Esempio 56 Un oggetto è scglito erso l lto in erticle con elocità inizile 5.00 m/s. Qule ltezz mssim h rggiunge? [R:.7 m ] 3.0 m/s y 4.0 m Esempio 57 Un bmbino lsci ndre un plloncino, che sle con elocità costnte di 3.0 m/s. Qundo il plloncino h rggiunto un ltezz di 4.0 m il bmbino lnci erticlmente un ssso per colpirlo, imprimendo un elocità inizile di 0 m/s. Qul è l ltezz rggiunt dl plloncino nell istnte in cui scoppi? Se il bmbino mnc il bersglio, dopo qunti secondi il ssso ripsserà nuomente dnti l plloncino? [R: 4.8 m, 3.0 s ] 0 m/s 35

6 y.0 m y y y 0 Esempio 58 Un ssso iene lscito cdere d un grttcielo, ed il tonfo iene udito dopo 8.70 s. Spendo che l elocità del suono nell ri è c 340 m/s, si dic qunto è lto l edificio. Si dic inoltre, senz solgere lcun clcolo, se il tempo necessrio perché il ssso si troi d un ltezz pri ll metà di quell dell edificio è mggiore o minore del tempo complessio di cdut. [R: 306 m ] Esempio 59 Due plle engono lscite cdere dll stess ltezz h 50 m,.0 s di distnz l un dll ltr. Qule srà l differenz fr le loro ltezze.5 s dopo che l second pll è prtit? [R: 68.7 m ] Esempio 60 Un corpo lncito erso l lto dopo 4.0 s si tro 0 m sopr ll line di prtenz. Qul è stt su elocità medi? Qule srà stt l su elocità medi se iene lncito erso il bsso e dopo 4.0 s si tro 0 m sotto l line di prtenz? [R:.5 m/s,.5 m/s ] Esempio 6 Un crobt slt dll finestr dopo er posizionto un tppeto moll sul fondo. Pss dnti ll finestr del pino di sotto, impiegndo 0.5 s percorrere l luce erticle che è di.0 m. Quindi rimblz perfettmente sull moll riprtendo con l medesim elocità con cui e toccto terr. Risle fino ripssre dnti ll stess finestr ed impieg ncor 0.5 s d ttrersrl. Se, nel complesso, il tempo trscorso sotto l dnzle dell finestr è.00 s, d che ltezz si è lscito cdere? Qul è l su elocità dopo 0.50 m di cdut? [R: 0.4 m, 7.00 m/s ] s 36

7 xt ( t* ) m 35.0t * t* s 3.0 s 35.0 Scriimo l legge orri dell uto mettendo l posizione di riferimento nel punto doe si tro qundo il treno inizi d ttrersre l strd: xa( t) x 0A 0At At 6.0t At per eitre lo scontro dee essere x(3.0 s ) 40.0 m cioè: 6.0 m/s 3.0 s (3.0 s ) 40.0 m A A ( ) m/s.9 m/s 3.0 Esempio 56 In un riferimento con l sse delle ordinte in erticle le leggi orrie si scriono y( t) y t t ( t) t 0 Se l sse è orientto erso l lto ed inizimo contre il tempo dl momento in cui l oggetto è lscito ndre, del i dti del problem dientno: y 0 m 9.8 m/s 5.00 m/s E sostituendo: y( t) 5.00 t (9.8) t ( t) t Prim di rggiungere il punto di mssim ltezz l elocità è positi, dopo negti, quindi nel culmine dee essere null: l oggetto è fermo in quell istnte. Clcolimo il tempo t * che impieg rggiungere l mssim ltezz imponendo quindi che ( t) 0 m/s : h y f 0 m/s 9.8 m/s 5.00 ( t) t 0 t* s 0.50 s 9.8 Inserendo t * nell legge orri dell posizione si tro l mssim ltezz: h y(0.50 s ) (9.8)(0.50) m.7 m 0 m i 5.00 m/s Esempio 57 Scriimo l legge orri del ssso ssumendo che prt dl liello del terreno: ys y0 0t gt 0t 4.9t e quell del plloncino, che non è in cdut liber in qunto l su elocità è costnte (per effetto dell spint di Archimede d prte dell ri). yp y0 0t t Uguglindole bbimo: 0t 4.9t t (4.0) (4.9) 4.9t 7t t s t 0.5 s t 3. s 9.8 il tempo mggiore corrisponde l secondo pssggio del ssso qulor il bmbino mncsse il bersglio. Pertnto se il plloncino iene colpito questo si tro d un ltezz: yp(0.5 s ) ( ) m 4.8 m Se inece iene mncto, fr i due istnti in cui il ssso lo sfior pss un tempo: 49

8 t t (3. 0.5) s 3.0s Esempio 58 Indichimo con y 0 l ltezz del grttcielo, che coincide con l quot inizile del ssso, mentre l elocità inizile è null. Uguglindo zero l legge orri dell posizione del ssso si tro il suo tempo di cdut: y( t) y gt 0 t y g 0 0 Per giungere ll orecchio percorrendo l distnz y 0 con elocità costnte il suono y0 impieg un tempo t e l somm di queste due quntità dee fre: 340 m/s y0 y0 t t 8.70 s, g 340 m/s per cui: 340 y0 y s 340 m/s g 5 y y 958 l elezione l qudrto di mbo i membri creerebbe difficoltà con le cifre significtie per cui coniene porre z y0 e risolere l equzione nell ribile usiliri: z 5z z z 7.5 endo scrtto per oi motii l soluzione negti. Si ottiene quindi y0 z 306 m. Per qunto rigurd il tempo necessrio perché il ssso si troi quot y 0 questo è mggiore dell metà del tempo di cdut perché l elocità medi nell prim metà dello spostmento è inferiore quell durnte l second metà. Esempio 59 Due oggetti lsciti cdere d un stess ltezz in tempi successii non mntengono costnte l loro distnz, dto che l oggetto che prte per primo srà in ogni istnte più eloce dell ltro, e quindi ogni secondo percorrerà un trtto che è sempre mggiore. L distnz pertnto cresce con il tempo. Nel cso proposto, inizindo contre il tempo d qundo prte l second pll, per l prim pll remo: y ( t) y t gt sono ltezz e posizione nell istnte in cui prte l second pll. doe y 0 e 0 Clcolimoli scriendo l legge orri dell prim pll fcendol prtire d h con m/s y( t) t y(.0 s ) [ ] m 30 m ( t) 9.8 t (.0 s ) ( 9.8.0) m/s 9.6 m/s Inserimo questi lori nell legge orri con il tempo contto d qundo prte l second pll e clcolimo l quot dopo.5 s : 50

9 y ( t ) t 4.9 t y(.5 s ) ( ) m 50.3 m Scriimo l legge orri dell second pll e clcolimo l quot dopo y ( t) t y (.5 s ) ( ) m 9 m e l differenz fr le ltezze risult: y (.5) y (.5) (9 50.3) m 68.7 m.5 s : Esempio 60 Dll definizione di elocità medi risult: yf yi y0 0 m y0 m t 4.0 s.5 m/s yf yi y0 0 m y0 m t 4.0 s.5 m/s Esempio 6 Trttndosi di un moto in cdut liber, il problem è simmetrico in relzione ll cdut ed ll rislit, se quindi il tempo di permnenz sotto l dnzle è.00 s, dobbimo concludere che.00 s è di cdut ed.00 s di rislit. Coniene scriere l legge orri dell fse di rislit: y( t) 0t gt nell qule è ignoto il lore dell elocità inizile 0. Indichimo con y l ltezz del dnzle, rggiunt nell istnte t, e con y l ltezz del bordo in lto dell finestr, rggiunt nell istnte t, quindi : y 0t gt y 0t gt Sppimo dl testo che: t.00 s ; t ( ) s.3 s ; y y.0 m sottrendo le due relzioni precedenti si ottiene un equzione nell sol incognit 0 : y y 0( t t) g( t t ).0 m sostituendo i lori noti: 0(.3 s.00 s ) g[(.3 s) (.00 s) ].0 m (.3.00 ) 0 m/s 0.0 m/s 0.30 Dll formul x si ricno subito si l ltezz d cui è enut 0 l cdut, che coincide con l ltezz di mssim rislit, si l elocità dopo.50 m di cdut: g( h 0) 0 h m 0.4 m g g(.50 m ) 49.0 m /s 7.00 m/s 5