Un approccio alla relatività ristretta

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1 Un approcco alla relatvtà rstretta Smone Zuccher 9 marzo 07 Indce I postulat della relatvtà rstretta Le trasformazon d Galle Propretà delle trasformazon d Galle 3 Le trasformazon d Lorentz 3 La smultanetà relatvstca 4 3 La dlatazone de temp 4 33 La contrazone delle lunghezze 5 34 La legge d composzone delle veloctà 5 4 La dnamca relatvstca 5 4 Rdefnzone della quanttà d moto 5 4 Trasformazone della quanttà d moto 6 43 L energa relatvstca 6 44 Grandezze conservate e grandezze nvarant 7 45 Partcelle prve d massa 8 5 Concluson 8 6 ppendce 8 6 Il lmte v << c 8 Queste pagnette sono solo alcune rflesson personal segute a due letture, un po datate ma straordnaramente crstallne e scarcabl gratutamente: Readable Relatvty d Clement V Durrell n Italano La relatvtà con le quattro operazon e Corso d Relatvtà Rstretta d Bruno Touschek I postulat della relatvtà rstretta La relatvtà rstretta s basa, formalmente, solo su due postulat: le legg della fsca tutta: meccanca, elettromagnetsmo e ottca sono le stesse n tutt sstem d rfermento nerzal ossa quell n moto non accelerato; la luce s propaga, nel vuoto, a veloctà costante c ndpendentemente dallo stato d moto della sorgente che l ha emessa o del sstema d rfermento n cu la s osserva Dal momento che n relatvtà rstretta s parla d sstem d rfermento n moto non accelerato, s ntusce che essa è un caso specale della relatvtà generale, che s occupa d sstem n moto accelerato No c lmtamo all anals delle conseguenze de due semplc postulat della relatvtà rstretta Esse sono del tutto nuove rspetto alla fsca d Newton e, spesso, contro-ntutve Le trasformazon d Galle Prma d avventurarc nella relatvtà rstretta, rvedamo brevemente alcun concett base della relatvtà classca Cosderamo due sstem d rfermento nerzal n moto relatvo uno rspetto all altro, come quell rportat n fgura Per semplctà lmtamo l anals al caso n cu gl ass sono tutt parallel tra loro e l sstema S s muove, rspetto al sstema S, con veloctà costante v > 0 parallelamente all asse x Per quanto rguarda l orgne de temp, supponamocheat = t = 0ledueorgnO eo concdano Il sstema S vede l sstema S allontanars con veloctà v nella drezone postva dell asse x mentre, evdentemente, l sstema S vede l sstema S allontanars con veloctà n modulo par a v ma dretta n verso opposto rspetto alla

2 drezone del semasse postvo delle x, ossa con veloctà v Chamamo questo fatto postulato d recproctà Fgura : Sstem d rfermento nerzal con ass parallel tra loro e n moto relatvo l uno rspetto all altro con veloctà v lungo l asse x Gl orolog sono stat sncronzzat n modo che a t = t = 0 le due orgn O e O concdano Un evento, che avvene n una certa poszone dello spazo e n un determnato stante d tempo, può essere descrtto sa nel sstema S, utlzzando le coordnate x,y,z,t, sa nel sstema S, utlzzando le coordnate x,y,z,t Con rfermento alla fgura, sccome al tempo t = 0 le orgn de due sstem d rfermento concdono, nell ntervallo d tempo t = t 0 l sstema S percorre lo spazo vt, pertanto la coordnata x d un evento, rspetto al sstema S, s ottene sottraendo alla coordnata x la dstanza vt Tutte le altre coordnate rmangono nvarate: x = x vt, y = y, z = z, t = t Sccome gl ass y e z non subscono trasformazon, d ora n avant c lmteremo alle trasformazon spazal solo n x e nel tempo: x = x vt e t = t Se s esprmono le coordnate del sstema S n funzone d quelle d O s ottene x = x +vt e t = t S osserv che le relazon hanno la stessa forma d quelle della dove v è stata rmpazzata da v Possamo qund formalmente defnre l postulato d recproctà: l nversone della trasformazone dal sstema S al sstema S S S è dentca alla trasformazone dal sstema S al sstema S S S con la veloctà relatva v rmpazzata da v Propretà delle trasformazon d Galle Le trasformazon d Galle mantengono nalterate sa le dstanze spazal sa gl ntervall d tempo Per gl ntervall temporal è ovvo t = t Per le dstanze spazal consderamo nel sstema S una barra d lunghezza L, allneata lungo l asse x, cu estrem s trovno ne punt e B, n modo che L = x B x, essendo x B > x La lunghezza L della barra nel sstema S rsulta essere L = x B x = x B vt x vt = x B x = L Un altra propretà delle trasformazon d Galle è che le veloctà s sommano algebrcamente, tenendo conto de segn se ntese come vettor s parla d somma vettorale Per dmostralo, consderamo un oggetto che, nel sstema d rfermento S, s muove con veloctà u = u x,u y,u z, dove u x è la componente del vettore u n drezone x, u y n drezone y, e così va Utlzzando le trasformazon d Galle, e rcordando che u x = x/ t, s ha u x = x t = x v t t Per le drezon y e z s ha = x t v = u x v u y = y t = y t = u y e u z = z t = z t = u z, pertanto le veloctà s trasformano, dal sstema S al sstema S, semplcemente così: u x = u x v, u y = u y, u z = u z Questo rsultato è dovuto non solo al fatto che le lunghezze degl oggett msurate ne sstem S oppure S rmangono nalterate, ma soprattutto al fatto che nelle trasformazon galleane c è un unco tempo t = t, assoluto e uguale per tutt sstem d rfermento Le trasformazon nverse S S s ottengono applcando l prncpo d recproctà: u x = u x +v, u y = u y, u z = u z 3 Le trasformazon d Lorentz In questa sezone rcavamo le trasformazon d Lorentz come estensone delle trasformazon d Galle al caso v confrontable con c, facendole dscendere da postulat d Ensten sulla relatvtà rstretta Prelmnarmente, osservamo che la relazone che lega le coordnate d un generco sstema d rfermento S a quelle d un altro sstema d rfermento S deve necessaramente essere lneare Questo è dovuto al nostro concetto d msura Se, nfatt, l untà d msura delle lunghezze nel sstema S è l e nel sstema S è l, allora due barre lunghe l una l doppo dell altra n S dovranno rsultare comunque lunghe l una l doppo dell altra anche n S Prendendo spunto dalle trasformazon d Galle, tentamo d estenderle tenendo conto della lneartà d questo legame Per le lunghezze nella drezone d v potzzamo che valga la relazone x = x vt, dove è admensonale n quanto x, x e vt hanno le dmenson d lunghezze e costante e n quanto se dpendesse da x o da t l legame non sarebbe pù lneare Pertanto, può dpendere, al massmo, da v e c, che sono entrambe costant S s muove a veloctà costante v, non accelera n quanto l sstema d rfermento è nerzale Come ultma osservazone, se la veloctà v è pccola rspetto a quella della luce, dobbamo rtrovare le trasformazon d Galle, pertanto se v << c Questo sgnfca che se gamma ha sempre lo stesso segno, questo deve essere postvo Per quanto rguarda la dpendenza d t da x e t, supponendo che anche questo legame debba essere lneare, ntroducamo due costant real a e b tal che t = at+bx, Pagna d 8

3 dove a è admensonale e b ha le dmenson dell nverso d una veloctà Osservamo che l coeffcente a deve essere postvo Infatt, pensamo ad un orologo posto nel sstema S n una certa poszone spazale fssa x che scandsce un ntervallo d tempo t = t t tra due event successv x,t e x,t con t > t e x = x = x Sccome potzzamo t = at+bx,sha t = t t = at t +bx x = a t Se assumamo che l ntervallo d tempo scandto da un orologo debba aumentare ndpendentemente dal sstema d rfermento n cu lo s msura l secondo prncpo della termodnamca, per l prmo postulato della relatvtà rstretta, è certamente vero, ossa che gl ntervall d tempo t e t abbano lo stesso segno, allora a deve necessaramente essere postvo Utlzzamo ora l secondo postulato della relatvtà rstretta e consderamo un mpulso lumnoso emesso al tempo t = t = 0 nel punto n cu le due orgn O e O concdono Il fronte d onda d questo mpulso lumnoso è vsto dal sstema S, al tempo t, come una superfce sferca d raggo r = ct, pertanto x +y +z = t 33 D altra parte, sccome per l secondo postulato la veloctà della luce è ndpendente sa dal sstema d rfermento sa dal moto della sorgente lumnosa, lo stesso fronte d onda dell mpulso lumnoso vene vsto dal sstema S, al tempo t, come una superfce sferca d raggo r = ct, pertanto x +y +z = t 34 Sosttuendo x = x vt, y = y, z = z e t = at + bx nell equazone 34 s ha x vt +y +z = at+bx, se da questa vene sottratta l equazone 33 s ottene la relazone x vxt+ v t x = [ a t +abxt+b x ], da cu, raccoglendo le potenze d x, xt e t : b x v+ab xt+ v a + t = 0 ffnché questa equazone, nelle ncognte x e t, sa vera per ogn coppa x, t, devono essere smultaneamente null coeffcent d x, xt e t, pertanto b = 0 v +ab = 0 v a + = 0 35 Dalla prma equazone s rcava subto b =, l che mplca che deve essere postvo o nullo e qund, essendo > 0, deve essere Dall ultma equazone s ottene a = v +, per cu anche a Dalla seconda equazone, spostando a destra l termne ab, d ottene v = ab Rcordando che a > 0 e > 0, allora s conclude che v e b devono essere dscord, ossa: v > 0 = b < 0 v < 0 = b > 0 36 Sotto le potes 36 due membr dell equazone v = ab sono concord e possamo qund prendere l quadrato dell equazone ottenendo un equazone del tutto equvalente v = ab v = ab 4 v = a b c 4 Sosttuendo n questa equazone le espresson d a e b precedentemente trovate s ottene 4 v v = + c 4 da cu, svluppando calcol, 4 v = 4 v + v v = Dvdendo tutto per s ha v =, da cu estraendo la radce quadrata e tenendo solo la soluzone postva per v pccola rspetto a c s devono rtrovare le trasformazon d Galle, per le qual = > 0 s ha = 37 v S osserv che, come c s aspettava, questa costante dpende uncamentedav ec, èmaggoredsev 0, edèadmensonale Inoltre, affnché essta, deve essere v < c, ossa c rappresenta un lmte nvalcable Nota s possono rcavare valor d a e b: a = v + = v v + = v c + = v v da cu, dvdendo numeratore e denomnatore per e tenendo solo la soluzone postva ved condzon 36, a = v = = a = ± = a = Come prevsto, a è admensonale essendo admensonale Sosttendo nell espressone d b s ha b = = v = v = v v da cu, dvdendo numeratore e denomnatore per, e rcordando che a seguto delle condzon 36 b deve avere segno opposto a v, s ha b = v v = v c 4 = b = ± v = b = v S osserv che b ha, come prevsto, le dmenson del recproco d una veloctà ed l suo segno è sempre dscorde con quello d v vendo determnato a e b, la trasformazone per l tempo è t = t v x = t vx e le trasformazon d Lorentz S S per sstem rportat n fgura sono qund x = x vt, y = y, z = z, t = t vx 38 con defnta dalla 37 Rcaptolando, queste trasformazon sono state rcavate sotto poche e semplc potes: Pagna 3 d 8

4 la lneartà delle trasformazon S S l secondo postulato della relatvtà rstretta l secondo prncpo della termodnamca l tempo deve avanzare n entramb sstem d rfermento Le trasformazon 38 permettono l passaggo S S Invertendole s rcavano le trasformazon S S: x = x vt = x = x +vt, sosttuendo n t = t vx s ha t = t vc x +vt = t vx v t = t v vx Dopo aver osservato che v c = v = v =, dalla precedente v equazone s ha t = t vx = t = t + vx Sosttuendo l espressone d t appena trovata n x = x +vt t + vx = x +vt + s ottene x = x x +vt = +v v x = + v s ha x +vt Dopo aver osservato che + v v = c + v =, x = + v x +vt = x = x +vt In conclusone, le trasformazon S S sono x = x +vt, y = y, z = z, t = t + vx 39 S osserv che le trasformazon 39 soddsfano l prncpo d recproctà n quanto, formalmente, possono essere ottenute dalle 38 scambando semplcemente le varabl con gl apc con quelle senza apc e rmpazzando v con v Come ultma osservazone, nel caso v << c l rapporto v/c è molto mnore d uno e qund v / 0, da cu Pertanto, nel lmte v << c le trasformazon d Lorentz s rducono alle ben note trasformazon d Galle 3 La smultanetà relatvstca Le trasformazon d Lorentz contengono una sere d novtà rspetto alle trasformazon d Galle La prma è che l tempo non è pù assoluto e, qund, camba l concetto d smultanetà Consderamo nel sstema S due event x,t e x,t che avvengono nello stesso stante, t = t seguto delle trasformazon d Lorentz 38 s ha t = t t = Pertanto, t vx t = v x, t vx = v x ossa due event smultane n S, n generale, non rsultano smultane n S Ess sono smultane anche n S solo se, n S, avvengono nella stessa poszone spazale x = x = x = 0 = t = 0 3 La dlatazone de temp Consderamo un orologo nel sstema S, posto n una poszone fssa x = x, e un ntervallo d tempo da esso scandto, t = t t pplcando le trasformazon d Lorentz 38 s ottene l ntervallo d tempo msurato nel sstema S : t = t t = t v x t v x = t Sccome >, t = t t > t, ossa gl ntervall d tempo vst nel sstema S rsultano dlatat rspetto a quanto avvene nel sstema S n cu l orologo è fermo Vceversa, mettendo un orologo n una poszone fssa x = x nel sstema d rfermento S, un ntervallo d tempo t = t t vene vsto dlatato dal sstema S Infatt, utlzzando le trasformazon d Lorentz nverse 39, s ha t = t t = t + v x t + v x = t La stuazone è qund del tutto smmetrca: gl ntervall d tempo scandt da un orologo posto, n un certo sstema d rfermento, n una poszone fssa vengono vst dlatat dall altro sstema d rfermento S osserv che l pù pccolo ntervallo d tempo è vene msurato nel sstema d rfermento per l quale due event accadono nella stessa poszone Chamamo questo ntervallo d tempo tempo propro e lo ndchamo con Una conseguenza mportante è che un orologo n moto è sempre n rtardo rspetto ad un osservatore non soldale ad esso Infatt, se l osservatore è fermo nel sstema S e l orologo è fermo nel sstema S, ma l sstema S s muove a veloctà v rspetto ad S, l ntervallo d tempo msurato dall osservatore è t = t = t = t/ < t, dove t è l ntervallo d tempo effettvamente scandto dall orologo nel sstema S Il rtardo vsto dall osservatore fermo è la dfferenza tra l ntervallo d tempo da lu msurato n S e l ntervallo d tempo scandto dall orologo n S : t t = t t = t Purtroppo l calcolo numerco del fattore / porta a numer molto prossm allo zero, che potrebbero essere affett da error estremamente elevat se non s consdera un numero suffcente d cfre sgnfcatve Per dmnure quest error s può relaborare l coeffcente / espctando e moltplcando numeratore e denomnatore per + v / : = v / = = v / + v / v / + v /, + v / Pagna 4 d 8

5 da cu l rtardo d un orologo n moto vsto dall osservatore fermo t t = t v / = t + 30 v /c 33 La contrazone delle lunghezze Come per le trasformazon d Galle, consderamo nel sstema S una barra d lunghezza L ed estrem e B, allneata lungo l asse x, n modo che L = x B x, essendo x B > x Cponamolproblemaddetermnarelasualunghezza L vsta nel sstema S quando la msurazone vene eseguta n un certo stante d tempo t = t S osserv che questa precsazone è fondamentale: ch msura s trova nel sstema S e lo fa msurando stantaneamente sa x che x B Sccome t = t B = t, allora l ntervallo d tempo t = t B t durante l quale vene effettuata la msura n S è nullo Utlzzando l ultma delle trasformazon d Lorentz 38 ed mponendo t = t B t = 0 s ha t B t = t B t v x B x = 0 = t = v L Sosttuendo questo ntervallo d tempo nella prma delle trasformazon d Lorentz 38 s ottene L = x B x = x B x vt B t = L v L = v L, ma, avendo gà osservato che v L = L =, s conclude Essendo >, la barra, che nel sstema S ha lunghezza L, vene vsta nel sstema S dove la msurazone vene eseguta all stante t = t contratta d un fattore Senza rpetere calcol, s osserva che anche la contrazone delle lunghezze segue l prncpo d recproctà, ossa una barra d lunghezza L posta nel sstema S vene vsta nel sstema S lunga L = L /, ossa contratta Pertanto la massma lunghezza della barra vene msurata n un sstema d rfermento n cu essa è ferma Chamamo questa lunghezza della barra lunghezza propra e la ndchamo con L 0 Se con t ndchamo l ntervallo d tempo mpropro, ossa l ntervallo d tempo tra due event che non accadono nella stessa poszone spazale, allora esso è sempre maggore deltempopropro msuratonelsstemadrfermenton cu due event accadono nella stessa poszone llo stesso modo, se con L ndchamo la lunghezza mpropra d una barra, ossa quella msurata n un sstema d rfermento n moto rspetto ad essa, allora questa lunghezza L è sempre mnore della lunghezza propra L 0 In formule s ha t = e L = L 0 = t L = L 0 Questo equvale a dre che la veloctà relatva tra due sstem d rfermento è la stessa per entramb gl osservator t L = L 0 = L = L 0 t = v 34 La legge d composzone delle veloctà Consderamo un oggetto che, nel sstema d rfermento S, s muove con veloctà u = u x,u y,u z Utlzzando le trasformazon d Lorentz 38 e rcordando la defnzone d veloctà meda, s ha u x = x t = x v t t v = x x t v v x t = u x v vu x llo stesso modo, per la componente lungo y e lungo z s ha u y = y t = = u y y t v = x vu x y t v x t In defntva, le trasformazon delle veloctà S S sono u x = u x v vu, u x y = u y vu, u x z = u z vu x Utlzzando l prncpo d recproctà ossa sosttuendo le grandezze con gl apc con quelle senza e vceversa, e rmpazzando v con v s hanno le trasformazon delle veloctà S S: u x = u x +v + vu x, u y = u y, u z = + vu x u z + vu x S osserv che, se l modulo d u è c, allora l modulo d u è ancora c, a testmonanza del fatto che c rmane nvarata sa che la s msur n S sa che la s msur n S d esempo, se u x = c e u y = u z = 0, allora s ottene u x = c v vc = c v c v c = c, u y = u z = 0 = u = c llo stesso modo, u x = u z = 0,u y = c mplcano u x = v,u y = c/,u z = 0, ossa u = c Come ultma osservazone, se v << c s rottengono le trasfomazon d Galle per le veloctà 4 La dnamca relatvstca 4 Rdefnzone della quanttà d moto Se tentamo d applcare la dnamca classca nseme alle trasformazon d Lorentz n un caso molto semplce d urto elastco nel quale non ntervengano forze esterne, s dmostra che la quanttà d moto classca non s conserva S osserv che non stamo banalmente dcendo che la quanttà d moto totale p vsta n S è dversa dalla quanttà d moto totale p vsta n S fatto osservato anche per le trasformazon d Galle, ma molto pù drammatcamente che vene volata la conservazone della quanttà d moto totale per un sstema soggetto a rsultante delle forze esterne nulla Pagna 5 d 8

6 Evdentemente questo pone un grave problema n quanto la conservazone della quanttà d moto è una legge fsca che, per l prmo postulato della relatvtà rstretta, deve essere vera n qualsas sstema d rfermento nerzale Il problema può essere rsolto rdefnendo la quanttà d moto n senso relatvstco come p = m v 4 Evtamo d gustfcare n modo rgoroso questa espressone d p e damo una semplce spegazone ntutva Consderamo una partcella d massa m che s muove a veloctà v rspetto ad un sstema d rfermento nerzale S Osservata n S, la veloctà classca è v = x/ t, dove x e t sono entramb msurat n S Essendo la veloctà rferta al sstema S, lo spostamento della massa vsto da S è certamente x, ma l ntervallo d tempo durante l quale vene effettuata questa msura d spostamento dovrebbe essere qualcosa d ntrnseco alla massa m, e qund andrebbe msurato n un sstema d rfermento n moto con la massa stessa, ossa n un sstema n cu la partcella è ferma Come noto, l ntervallo d tempo msurato n un sstema soldale con la partcella n moto è l tempo propro S osserv che questo ntervallo d tempo nza quando nza, n S, la msura d x e termna quando termna, n S, la msura d x Possamo allora ntrodurre una nuova veloctà defnta come l rapporto tra lo spazo percorso, msurato nel sstema d rfermento S, ed l tempo msurato nel sstema d rfermento soldale con la massa durante l quale la massa percorre questo spazo: v 0 = x Dalle trasformazon d Lorentz sappamo che t = = = t/, pertanto questa nuova veloctà dventa v 0 = x = x t = v, utlzzando la quale possamo rdefnre la quanttà d moto come p = mv 0 = m v S osserv che, nel caso v << c, la quanttà d moto s rduce alla versone classca p = m v 4 Trasformazone della quanttà d moto Tornamo a consderare due sstem nerzal S e S, dove S s muove con veloctà v rspetto al prmo come al solto lungo l asse x Data la rdefnzone della quanttà d moto secondo la 4, rcavamo una relazone che lega la quanttà d moto msurata n S alla stessa quanttà d moto msurata n S Sa u = u x,u y,u z la veloctà della partcella msurata nel sstema d rfermento S e u = u x,u y,u z quella msurata nel sstema S llora con p x = x = u mu x e p x = x = u mu x, u = u e u = u Rscrvamo p x = m x / utlzzando le trasformazon d Lorentz 38 e, per non confonderc, ntroducendo l smbolo v =, v essendo v la veloctà relatva tra S e S : p x = m x = m v x v t = v m x mv t Osservamo che, graze alla nuova defnzone d quanttà d moto attraverso l tempo propro, s ha m x/ = p x = u mu x Inoltre, t/ è l rapporto tra l ntervallo d tempo msurato nel sstema S n cu la partcella vagga a veloctà u ed l tempo propro della partcella nel sstema soldale alla partcella, pertanto t/ = u In defntva, p x = v p x mv u = v u mu x v Per quanto rguarda le drezon y e z s ha p y = m y = m y = p y Rassumendo, per le tre component della quanttà d moto valgono le trasformazon p x = v u mu x v, p y = p y, p z = p z 4 Sosservchela quanttà d moto totale d un sstema solato non è un nvarante relatvstco 43 L energa relatvstca Ipotzzamo che la quanttà d moto relatvstca p = m v s conserv n un sstema solato e guardamo la sua conservazone dal punto d vsta d S e d S, alla rcerca d eventual quanttà nvarant, ossa che non cambno nel passaggo da S a S Prma dell urto Dopo l urto u u u u B C D m m m m B C D Fgura : Urto tra due partcelle e B: nzalmente hanno masse m e m B e veloctà u e u B, a seguto dell urto s trasformano n altre due partcelle C e D con relatve masse e veloctà Consderamo una stuazone del tutto generale, come rportato n fgura : due partcelle e B, nzalmente avent masse m e m B e veloctà u e u B, a seguto d un urto relatvstco, s trasformano n altre due partcelle C e D con relatve masse e veloctà Le potes sono: la quanttà d moto d una partcella avente massa m e veloctà u è p = mu/ u /, l sstema d rfermento nerzale S s muove con veloctà v rspetto al sstema d rfermento nerzale S, 3 la quanttà d moto totale s conserva n S, 4 la quanttà d moto totale s conserva n S, Pagna 6 d 8

7 5 le veloctà, nel passaggo S S e vceversa, seguono le legg d composzone delle veloctà relatvstche La conservazone della quanttà d moto nel sstema S mpone p +p B = p C +p D, ossa dove mu ndcal energacnetca, nsenso classco, posseduta dalla massa m Pertanto l energa relatvstca defnta della 45 non è altro che la somma tra un energa a rposo, m, posseduta da un corpo per l solo fatto d avere massa, e la sua energa cnetca relatvstca K: m u u + m Bu B u B = m C u C u C + m Du D, u D mentre la conservazone della quanttà d moto nel sstema S mpone p +p B = p C +p D, ossa m u u + m Bu B u B m C u C = u C + m Du D u D Concentramoc sulla quanttà d moto della partcella : utlzzando l uguaglanza 4, s ha p = v u mu x v = m u v u / 43 v /c Se ora moltplchamo la conservazone della quanttà d moto n S per la costante v /, e a questa nuova equazone sottraamo la conservazone della quanttà d moto n S, arrvamo ad un equazone che convolge le quanttà n entramb sstem d rfermento Per capre come relaborare termn dell equazone rsultante, c concentramo nuovamente sul termne della massa Rcordando l uguaglanza 43 s ottene p v / p pertanto la nuova equazone è = m u m v u /c m u u / m v = u /, m v m B v u / u B /c = m C v m D v u C / u D /, E = m +K Da questa relazone segue mmedatamente K = E m = m m = m, pertanto l energa cnetca relatvstca è calcolable come K = m In conclusone, ndcando con E X l energa relatvstca della massa m X defnta dalla 45, l equazone 44 può essere rscrtta nella forma E +E B = E C +E D, che esprme la conservazone d una nuova quanttà relatvstca che possamo chamare massa-energa Osservazone mportante In questa sezone abbamo dmostrato che, potzzando che la quanttà d moto sa conservata sa S che n S, deve valere anche la conservazone della massa-energa relatvstca espressa dall equazone 44 Dal punto d vsta logco, questo sgnfca che, affnché la quanttàdmotorsultconservatasas chens, è necessaro che valga anche la conservazone della massa-energa relatvstca Qund quanttà d moto ed energa relatvstca sono ntmamente connesse 44 Grandezze conservate e grandezze nvarant Nello studo della dnamca relatvstca abbamo osservato che: la quanttà d moto relatvstca totale d un sstema solato, ossa la somma delle quanttà d moto p = m u / u /c delle sngole partcelle, s conserva: p tot = p = m u / u /c = p, che, dvsa per v, dà: m m B m C m D u /+ u B /c = u C /+ u D /, ossa m + B m B = C m C + D m D 44 L equazone 44 esprme la conservazone della massa nel caso relatvstco S osserv che, nel caso v << c, essa s rduce alla conservazone della massa del sstema, n senso classco, prma e dopo l urto m + m B = m C +m D Se moltplchamo l equazone 44 per ottenamo delle quanttà del tpo m, che hanno le dmenson d un energa Defnamo, qund, energa relatvstca la quanttà E = m m = 45 u /c Nellmte classco v << c, perlaformula68, sottene E = m m + mu, l energa relatvstca totale d un sstema solato, ossa la somma delle energe E = m / u /c delle sngole partcelle, s conserva: E tot = E = m / u /c = Ē Nonostante queste grandezze sano conservate, esse non sono nvarant: cambando l sstema d rfermento, loro valor cambano ma non possono essere mess n relazone utlzzando meramente le trasformazon d Lorentz Dmostramo che, per una parcella avente quanttà d moto p ed energa E, la grandezza nvarante, ossa la grandezza che ha sempre lo stesso valore numerco scalare ndpendentemente dal sstema d rfermento n cu la s osserva, è E p c = m, 46 dove p = p Che la quanttà m sa nvarante è semplce da dmostrare: sccome la massa d una partcella è nvarante la massa d una sngola partcella n moto è sempre la stessa, ndpendentemente dal sstema d rfermento n cu la s osserva e la veloctà della luce è costante Pagna 7 d 8

8 n ogn sstema d rfermento per l secondo postulato, allora scuramente m è nvarante Verfchamo ora l denttà 46 Sccome allora E m = = m c4 u / u /c, p c m u c = = m u c u / u /c, E p c = m c4 u /c u / = m c 4 = m Come detto, n un sstema non soggetto a forze esterne, la quanttà d moto totale e l energa totale s conservano, per ogn partcella vale la 46, ma E p c m 45 Partcelle prve d massa È possble avere partcelle d massa nulla con quanttà d moto non nulla? Sembrerebbe un paradosso, tuttava dalla defnzone d quanttà d moto relatvstca s ha mv p = = m = p v v v = p v Pertanto, m = 0 = p = 0 v = c, ossa un enttà a massa nulla può avere quanttà d moto p 0 purché vagg sempre alla veloctà della luce Questa enttà esste, s chama fotone, e l energa ad esso assocata per la 46 con m = 0 è E = cp 47 5 Concluson S è partt rcavando, con argomentazon puttosto elementar, le trasformazon d Lorentz per po arrvare al nuovo concetto d smultanetà, alla dlatazone de temp e contrazon delle lunghezze, e alla legge d composzone delle veloctà Po s è passat alla dnamca ntroducendo la quanttà d moto relatvstca d una partcella come p = m v = m v/ v /, dove m è la massa della partcella e v la sua veloctà Partendo dalla conservazone della quanttà d moto vsta da due sstem nerzal n moto relatvo l uno rspetto all altro, s è dmostrato che consegue la conservazone dell energa relatvstca E = m / u / = m = m +K Qund s è posto l accento sulla dfferenza tra grandezze conservate n un partcolare sstema d rfermento nerzale come la quanttà d moto o l energa e grandezze nvarant da un sstema d rfermento nerzale ad un altro come m e E pc = m Da ultmo s è mostrato che anche enttà prve d massa possono avere quanttà d moto non-nulla, purché vaggno alla veloctà della luce foton 6 ppendce 6 Il lmte v << c Una va comprensble a tutt Nel caso v << c, l rapporto v/c è, n valore assoluto, molto mnore dell untà, per cu l suo quadrato è ancora pù pccolo e possamo assumere v / 0 Introducendo x = v / > 0, la costante = / v / = / x può +x x essere approsmata come segue: = = x +x +x+ x 4 = + x x = +, dove s è tenuto conto che x è postvo e molto pccolo, per cu x è certamente trascurable rspetto ad x In defntva da cu segue v << c = = v + v, v << c = + v 68 Una va che utlzza un lmte notevole È noto che +x k lm = k = [ +x k ] kx per x 0 x 0 x Graze a questo lmte possamo rscrvere come = v, osservando che k = / e x = v /, per v / 0 s ottene [ ] = v v = v, da cu v = = + v, per v 0 Pagna 8 d 8