7.3 -TRIANGOLI DI VELOCITÀ IN UNA TURBOMACCHINA

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1 Nel calcolo delle turbomacchine il moto del fluido viene considerato stazionario e unidimensionale. U ipotesi di stazionarietà significa considerare il moto a regime: le diverse grandezze che descrivono lo stato del fluido come, ad esempio, la sua velocità, non variano in funzione del tempo. L'ipotesi di flusso unidimensionale richiede che la velocità del fluido possa variare lungo il canale, mentre non varia nei punti diversi della stessa sezione. Si consideri la girante di una turbomacchina operatrice, ad esempio quella della pompa centrifuga (Figura 7.5) di cui viene riportato lo schema nella Figura 7.6, distinguendo le tre coordinate r (raggio della girante), 0 (angolo nel piano della girante rispetto a un asse di riferimento) e z (asse di rotazione della girante). In realtà la velocità del fluido varia non solo lungo il raggio r, ma anche secondo l'angolo 0 e l'asse z in funzione del numero delle pale, della loro forma e del loro spessore; nel calcolo si assume invece che le pale siano di numero infinito e infinitamente sottili (anche se nel disegno di Figura 7.7-a sono state indicate con un certo spessore al fine di poterle evidenziare) in modo tale che la mezzeria del canale (indicata a tratti e a punti nella Figura 7.7-a), coincida con la traiettoria della velocità del fluido relativamente alla parete mobile (è la velocità che nel seguito indicheremo come velocità relativa w). La corrente di fluido lungo il canale viene cioè 7.3 -TRIANGOLI DI VELOCITÀ IN UNA TURBOMACCHINA 135

2 Fig Schema di girante di pompa centrifuga con le tre coordinate cilindriche. Fig. 7.7-b - Triangoli delle velocità all'ingresso e all'uscita di una pompa centrifuga: caso di flusso radiale in ingresso. In queste condizioni la componente tangenziale cu, della velocità assoluta è nulla (c u, = 0), a, = 90 0 c, è soltanto radiale e coincide con e la velocità assoluta la componente meridiana cm, (c, = cm,). assimilata al moto delle particelle del fluido lungo la mezzeria del canale; avremo così un valore della velocità relativa del fluido w l nella sezione di ingresso e un altro valore della velocità relativa del fluido w2 nella sezione di uscita, ma non più di un valore della velocità nella sezione di ingresso e così pure nella sezione di uscita. I valori assunti dalla velocità del fluido, all'ingresso e all'uscita della girante, sono essenziali per determinare le forze che agiscono sui condotti mobili, delimitati dalle pale della girante. Distinguiamo, all'interno della turbomacchina, la regione 1, sezione di ingresso nel condotto mobile, e la regione 2, sezione di uscita dal condotto. Il moto del fluido avviene in parte nelle regioni a monte e a valle della girante, contraddistinte dalle pareti fisse rappresentate dalla cassa della turbomacchina, e in parte all'interno dei condotti mobili della girante, perciò il movimento del fluido rilevato da un osservatore solidale con la girante, che si muova cioè con la velocità u = (or della girante, si presenta in modo diverso dal movimento percepito dall'osservatore fisso, situato nell'ambiente in quiete. 136 CAPITOLO 7 PRINCIPI DELLE MACCHINE IDRAULICHE

3 Fig. 7.7-c - Operazione grafica della differenza di due vettori. Definiamo come velocità assoluta c la velocità del fluido registrata dall'osservatore fisso, mentre definiamo come velocità relativa w la velocità del fluido registrata dall'osservatore mobile, trascinato in rotazione dalla ruota con la velocità di trascinamento o velocità periferica u. La velocità assoluta c della particella di fluido si ottiene componendo la velocità relativa w della particella con la velocità u, con cui questa viene trascinata in rotazione dalla girante. Per far ciò occorre tener presente che la velocità è un vettore, definito cioè non solo come modulo o intensità, che è il particolare valore numerico assunto dal vettore, ma anche come direzione e verso. Il vettore velocità assoluta c è dato così dalla somma del vettore velocità relativa w più il vettore velocità di trascinamento u: c = w + u 7'2 Graficamente tale somma si ottiene con la regola del parallelogramma: nella Figura 7.7-a, la velocità assoluta in ingresso e l è la diagonale del parallelogramma che ha per lati la velocità relativa in ingresso w i, e la velocità di trascinamento in ingresso u l ; analogamente, nella sezione di uscita, c2 è la diagonale del parallelogramma che ha per lati w 2 e u2. Perciò le tre velocità sono anche i lati di due triangoli, detti appunto triangoli delle velocità (Figura 7.7-a): e1, W 1, u 1 nel triangolo delle velocità all'ingresso, e c2, w2, u2 nel triangolo di velocità all'uscita. Indichiamo con a l'angolo che la velocità assoluta c l, che entra nella girante attraverso la superficie cilindrica di raggio r i, forma con la velocità periferica u, velocità diretta secondo la tangente alla superficie di raggio r, nel punto a cui vengono riferite tutte le velocità della sezione 1. Analogamente indichiamo con a 2 l'angolo che la velocità assoluta all'uscita c 2, che lascia la girante attraverso la superficie cilindrica di raggio r273, forma con la velocità periferica u 2 (Figura 7.7-a). Siano poi j3, l'angolo formato dalla diretta secondo la tangente alla superficie velocità relativa w, con l'opposto di u, e fi2 l'angolo formato dalla velocità relativa w 2 con l'opposto di u2 (Figura 7.7-a). Il triangolo delle velocità all'ingresso (Figura 7.7-a) si ottiene tracciando dapprima il vettore c i 1 ; si riporta quindi u, sulla tangente alla superficie cilindrica nel punto di inclinato dell'angolo a riferimento e poi si sottrae u, vettorialmente da c l (l'operazione grafica è indicata nella Figura 7.7-c) in modo da ottenere w i. Essendo c i = w 1 + u 1, il vettore velocità relativa è w 1 = c l u. Successivamente, per facilitare l'analisi del moto del fluido, la velocità assoluta e 1 viene risolta in due componenti: una diretta secondo la direzione del flusso, chiamata appunto velocità di flusso oppure componente meridiana (componente cioè su un piano passante per l'asse della macchina) cu, e l'altra etil, diretta perpendicolarmente a questa, che prende il nome di componente tangenziale della velocità in quanto la direzione normale al flusso è la direzione tangenziale o periferica. Nel caso esaminato (Figura 7.7-b) la pompa è una pompa centrifuga, il flusso è radiale e la velocità di flusso (o velocità meridiana) cm, coincide con la componente secondo il raggio r i. Il triangolo delle velocità di uscita si ottiene in modo simile al triangolo delle velocità di ingresso. Alla velocità assoluta di uscita e2 si sottrae vettorialmente la velocità di trascinamento del condotto mobile u 2 in modo da ottenere la velocità relativa w 2. Anche qui risolviamo la velocità assoluta all'uscita secondo le due componenti tangenziale c 112 e di flusso cfa La direzione della corrente è quella impartita dalla palettatura caratterizzata dagli angoli costruttivi al e i32, così chiamati perché dipendono solo dal profilo della pala, e dagli angoli di funzionamento a2 e /3 in quanto per una stessa palettatura essi variano al variare delle condizioni di funzionamento Per semplicità non si è adottata qui la rappresentazione usuale dei vettori con delle lettere in grassetto; per le velocità si sarebbe dovuto scrivere: e, w ed u. La somma riportata nell'equazione c w + uva allora intesa come un'operazione vettoriale e deve essere eseguita con la regola del parallelogramma (Paragrafo 2 della Prefazione). 7.3 La traccia della superficie cilindrica della sezione di ingresso è, sul piano del disegno della Figura 7.7-a, il cerchio di raggio r ; ; analogamente la traccia della superficie cilindrica della sezione di uscita è sul piano del disegno la circonferenza di raggio r,. 7.3 TRIANGOLI DI VELOCITÀ IN UNA TURBOMACCHINA 137

4 Si è visto che la traiettoria della particella fluida all'interno del condotto mobile (linea a tratto e punto della Figura 7.7-a) ha, per l'ipotesi di moto unidimensionale, la stessa forma della pala mobile; perciò il profilo iniziale della pala è diretto secondo la velocità relativa di ingresso w 1 2 è diretta secondo il profilo che la pala presenta all'uscita. mentre la velocità relativa di uscita w In altre parole gli angoli /3 1 e 13 2, che la velocità relativa w forma, all'ingresso e all'uscita, con la direzione periferica, sono anche gli angoli iniziali e finali del profilo della pala. Il fatto che si realizzi una condizione di assenza di urti tra velocità relativa e profilo della pala è particolarmente importante per evitare perdite e massimizzare il lavoro comunicato dalla palettatura. In sede di progetto della turbomacchina, calcolata per una ben determinata portata, si impone quindi che la composizione della velocità assoluta all'ingresso c, con la velocità periferica u l sia tale da avere come risultante una velocità relativa w 1, coincidente con la direzione della parte iniziale della pala. Quanto esposto fino ad ora si riferisce a una turbomacchina operatrice. Nel caso di una turbomacchina motrice, il moto del fluido avviene nel verso opposto: il flusso, anziché allontanarsi dal centro (centrifugo: è il caso della pompa della Figura 7.7-a), risulta, nella turbina radiale, diretto verso il centro della ruota (centripeto). Nel caso delle turbine si preferisce, di solito, indicare sempre con 1 la sezione di ingresso, che adesso risulta però essere la sezione più esterna di raggio r 1 maggiore, e con 2 la sezione di uscita più interna, con il raggio r2 più piccolo. 7.4 Equazione di Fu/ero Il momento della quantità di motom è il prodotto della massa m del fluido per la componente tangenziale cu della velocità assoluta e per il braccio di questa rispetto al centro di rotazione rappresentata dal raggio r: Momento della quantità di moto = mc ur 7-1 Sostituendo alla massa m la portata in massa iii, si ottiene ilflusso del momento della quantità di moto:,itcur. Per il teorema del momento della quantità di moto.", la coppia m, trasmessa, all'interno della turbopompa, dalle pale della girante al fluido è pari alla differenza tra flusso uscente e flusso entrante del momento della quantità di moto: Af, titc,12r21pf _ mc,r, 7-2 Coppia trasmessa Flusso del momento Flusso del momento dalla palettatura della quantità di della quantità di della girante moto che esce dalla moto che entra nella al fluido [N-m] girante [N. m] girante [N. m] La potenza interna p, che viene trasmessa all'interno della macchina dalla palettatura della girante al fluido, è data (1-13") dal prodotto della coppia Mi (7-2) per la velocità angolare co. Essendo per la 1-17 u = off la velocità periferica u del generico elemento di raggio r, si possono sostituire ad cor2 ed cori le rispettive velocità periferiche u 2 ed u 1 : P, = (thc2r2 rheari)co= rh(corzca wricui) = 771. (u2ca uicui) 7-3 Dividendo la potenza Pi [W = J/s] per la portata in massa rh [kg/s] del fluido trattato dalla girante, si ottiene il lavoro massico interno l i [J/kg] trasmesso dalle pale della girante della turbomacchina operatrice (turbopompa oppure turbocompressore): / i = u2cu2 u l cui «turbopompa» Per il momento della quantità di moto ed altre quantità della dinamica si suggerisce di consultare il Capitolo 9 del testo Meccanica e macchine dello stesso Autore. 138 CAPITOLO 7 PRINCIPI DELLE MACCHINE IDRAULICHE

5 h L'equazione 7-4 è l'equazione fondamentale delle turbomacchine, conosciuta come equazione di Eulero, che la scoperse nel Questa equazione si applica a tutte le turbomacchine operatrici, siano queste idrauliche oppure termiche; non essendo presente la massa volumica del fluido p, essa è valida anche quando, come nel caso di un gas, la massa volumica del fluido vari nel passaggio attraverso la girante. L'equazione di Euler è stata ricavata in modo da far risultare un lavoro interno positivo nella girante di una pompa centrifuga della Figura 7.6 (e quindi di un turbocompressore). Ma l'equazione di Eulero vale anche per le turbomacchine motrici. In questo caso si preferisce scambiare i due termini al secondo membro dell'equazione in quanto, essendo ul cu, > u2c,,2, il lavoro massico interno calcolato con la 7-12 risulterebbe negativo, indicando così che l'energia viene trasmessa, questa volta, dal fluido alle pale della girante e non dalle pale della girante al fluido, come invece avviene per una turbopompa o per un turbocompressore. L'equazione di Eulero per le turbomacchine motrici, turbine idrauliche oppure termiche, si scrive così: Il = u i c u2cu2 «turbina» 7-4' Il lavoro /i è massimo quando il termine con il segno meno, che compare al secondo membro della 7-4, è nullo o, al limite, negativo. Nel caso in cui il termine sopraccitato sia nullo, si ottiene: = u2c 2 << cul = O per una turbopompa» 7-5 li = U l Cui «c 2 = O per una turbina» 7-5' Le relazioni 7-5 e 7-5' risultano particolarmente interessanti in quanto spesso il progetto della turbomacchina viene realizzato in modo tale da rendere nulla la componente tangenziale della velocità assoluta di ingresso cu, nel caso delle pompe e la componente tangenziale della velocità assoluta c 2 in uscita per le turbine. Di solito infatti la corrente di ingresso di una pompa non viene guidata dalle pale direttrici: la velocità assoluta all'ingresso c, forma un angolo di 90 con la direzione periferica e quindi (Figura 7.9-b) è nulla la componente tangenziale c u, (chiamata anche componente di pre rotazione, in quanto si tratta di una rotazione generata dalla parte fissa, la cassa, della macchina). In una turbina la velocità assoluta di uscita dalla palettatura della girante c 2 rappresenta una perdita (perdita di uscita) qualora non esista uno stadio a valle in grado di riutilizzarla: si tratta infatti di energia cinetica che non può più compiere lavoro nella turbomacchina e deve quindi essere ridotta al minimo. D'altra parte questa velocità deve avere un valore diverso da zero, in modo da riuscire a smaltire il flusso del fluido che esce dalla girante. Per ridurre al minimo le perdite di uscita si impone quindi che, in condizioni di progetto, l'angolo a 2 tra la velocità assoluta e la direzione periferica sia pari a 90. In questo modo c u2 è nulla. L'equazione di Eulero può anche essere espressa in metri di colonna di fluido, e in questa forma è utilizzabile in unione con l'equazione di Bernoulli 5-8. Ciascun termine dell'equazione 7-4 rappresenta un lavoro per unità di massa [J/kg] o, anche, dei m 2/s2: si ha infatti J/kg = N-m/kg = (kg.m/s 2).m/kg = m21s2. Dividendo il lavoro per unità di massa [m 21s2] per l'accelerazione di gravità g m I sl si ottengono dei metri: ciascun termine viene adesso riferito al peso anziché alla massa del fluido. È questo il carico h, trasmesso dalla girante al fluido: / I ; = = (u2cu2 ulcul ) 7-6 g g Può essere utile infine esprimere l'equazione di Eulero 7-4 in funzione delle velocità anziché delle loro componenti. Dai triangoli delle velocità della Figura 7.7-b risulta cu, = c, cos a, e = c2 cos a2 e quindi i, = u 2c2 cos a2 u lc, cos a,. Applicando il teorema di Carnot (Tabella V della terza pagina di copertina) al triangolo delle velocità in ingresso si ha: 2 U l + C i - 2u 1c1 cosa, /t ic, cosa, = 1 (u, w, 2 ) EQUAZIONE DI EULERO 139

6 e analogamente per il triangolo delle velocità all'uscita: u2c2 cosa 2 _ (u 2 _ w 2 c 2) = 2 Sostituendo nella 7-4 le eqmzioni precedenti, si ottiene il lavoro fornito dalla turbopompa in funzione delle velocità assolute c, relative w e di trascinamento u: 1 = U2 C2 cos a2 u,c, cos ce, = _[( u 2 _ w 2 c2) ( u2 w2 c21 = C2 - + U2 - + W2 - W I Il primo termine indica l'aumento di energia cinetica del fluido nella girante, il secondo termine rappresenta l'energia utilizzata per far ruotare il fluido attorno all'asse della girante e l'ultimo termine è il recupero di energia determinato dalla riduzione della velocità relativa del fluido nel passaggio attraverso la girante. Nel caso di una turbina si ha invece: C U2 Ui W2 - W 2 7-5" = u lcl cosa l u2 C 2 cosa2 - CI Ricordando l'equazione di Bernoulli generalizzata: P2 - p, V2 - V i P 2 g (z 2 - z 1 ) + l, + = O (5-8) è possibile collegare le variazioni di energia cinetica relativa e di energia del campo di forze centrifughe della 7-5" alla variazione di quota piezometrica z + pl(pg) ed al lavoro delle resistenze passive l,: p, - p, V2 - P2 - P1 W2 W1 U g (z2 - z 1 )+ = O P 2 P 2 2 sostituendo ad l i l'espressione del lavoro ottenuto dalla 7-5" e tenendo presente che la velocità v della 5-8 corrisponde alla velocità assoluta c. Esempio 7.1 Lavoro in una turbina centripeta Una turbina idraulica ruota alla velocità n = 5 giri/s (300 giri/min). L'acqua entra nella girante, in corrispondenza del raggio r 1 = 0,5 m, con una componente tangenziale della velocità assoluta c,= 16 m/s ed esce dalla girante, in corrispondenza di un raggio r2 = 0,3 m, con una componente tanggnziale della velocità assoluta c = 0,5 m/s. La portata in volume dell'acqua che attraversa la turbina è V = 3,5 m3/s. Determinare il lavoro per unità di massa i. potenza P- Soluzione dall'acqua sulla palettatura della girante e la Si determinano prima le velocità periferiche u, ed u 2 (1-16 e 1-17) e poi il lavoro per unità di massa (7-4 '). w = 27r,n =2 xt x 5 giri/s = 31,42 rad/s u, = o)r, = 31,42 rad/s x 0,5 m = 15,7 m/s U2 = COY2 = 31,42 rad/s x 0,3 m = 9,4 m/s = u,c, - u 2c = 15,7 m/s x 16 m/s - 9,4 m/s x 0,5 m/s = 246,5 m2/s2 = 246,5 J/kg Si calcola la portata massica con la 5-2 e quindi la potenza P, con la 7-3 applicata a una turbina: iii = pav pv 1000 kg/m3 x 3,5 in3/s = 3500 kg/s P, = u 2cu2)= inl,= 3500 kg/s x 246,5 J/kg = W = 862,75 kw 140 CAPITOLO 7- PRINCIPI DELLE MACCHINE IDRAULICHE

7 Nel caso in cui il termine cu2 = 0 sia nullo (7-5') il lavoro interno A e la potenza interna P, sono più alti: li = uicu, u 2c.2 = 15,7 rn/s x 16 m/s 9,4 m/s x 0,0 m/s = 251,2 J/kg 0 = 251,2 J/kg P. ridi = 3500 kg/s x 251,2 J/kg = 879,2 kw b2 1.4-M I triangoli di velocità sono quelli tracciati nella Figura 7.7-b relativamente a una pompa centrifuga. Analoga trattazione può essere fatta per una turbina: in quest'ultimo caso, come si è già detto, il moto del flusso solitamente è centripeto (è diretto cioè verso il centro). Le velocità periferiche in corrispondenza dei raggi r, (ingresso) ed r 2 (uscita) sono dati da (1-17): Fig Schema di una pompa centrifuga per il calcolo delle portate e delle velocità periferiche. u i = cor i u 2 COY Nell'ipotesi di pale infinitamente sottili 73, la portata in massa th è, per l'equazione di continuità 5-2, data dal prodotto delle superfici cilindriche di area 2nr 1b 1, (all'ingresso) e 27cr 2b2 (all'uscita) per le rispettive velocità normali a queste superfici C m, e cu, 2 (Figura 7.8): rh = pl 2Tcr ibi crui = p22str2b2c,u2 7-8 dove b, e b2 sono le larghezze della ruota al bordo interno e al bordo esterno della pala, mentre p, e p2 sono le masse volumiche del fluido rispettivamente in ingresso ed in uscita. Per un liquido, la massa volumica p è costante (p = p2 = p); si può così semplificare la portata in massa rh e basare il calcolo sulla portata in volume V: rh = p27erlbtc = p2rcr2b2c. 2 V = 2nr ib cm = 27c1 2b2cm2 7-9 Noti th, w, r, ed r2, si ricavano i triangoli di velocità in ingresso e in uscita, nonché il lavoro l e In assenza di palettature a monte della girante in grado di imprimere al moto della corrente fluida una componente tangenziale, la velocità assoluta di ingresso c, è soltanto radiale e coincide con qui ; si veda la Figura 7.7-b dove, essendo nulla la componente tangenziale c u, della velocità assoluta, risulta a = 90 e c, = cui 1. Ricavata (Tabella IV di copertina) la componente tangenziale della velocità assoluta in uscita c u2, è possibile in queste condizioni (c u, = 0) calcolare il lavoro massico 1. la 7-5. Jr Cu2 = U2 - lliu2 = U2 - c 2 - /32 = u2 - ccot132 li = u2c u2 = u2 (u2 - ccot132 ) ,,,...,,,,... -, I due termini della 7-8, che esprimono la portata in ingresso e in uscita, andrebbero moltiplicati per un fattore di ingombro (- 0,95) per tener conto della diminuzione di sezione dovuta allo spessore delle palette. La girante di una pompa centrifuga ha un diametro D = 0,12 m e una larghezza assiale della ruota all'uscita b2 = 18 mm. Le pale sono inclinate all'indietro e formano un angolo f3 2 = 25 con l'opposto della velocità periferica u, (Figura 7.9). La portata in volume di acqua che, alla velocità di n = 12 giri/s (720 giri/min), passa attraverso la girante è V = 0,0035 m 3/s. 7.5 TURBOMACCHINE RADIALI 141

8 Nell'ipotesi di funzionamento della pompa nelle condizioni di progetto (cul = 0), calcolare: a) il lavoro massico 1, trasmesso dalla girante all'acqua; b) il carico corrispondente h,; c) per via grafica, tutti gli elementi del triangolo delle velocità in uscita, una volta noti i valori di u, e ci. dalla prima domanda U2 lvu2 Fig Triangolo delle velocità all'uscita della pompa centrifuga trattata nell'esempio 7.2. Soluzione a) Essendo cu, = 0, si applica la In questa equazione non sono note la velocità periferica u 2 e la velocità di flusso cm2 all'uscita, mentre 13 2 è assegnato nell'enunciato dell'esempio. La velocità periferica u, si calcola con la 7-7 e con la 1-16 che dà la velocità angolare tu in funzione di n, mentre essendo la velocità che caratterizza la portata di acqua all'uscita. si calcola con l'equazione di continuità 7-9, dal momento che è assegnata la portata in volume V: 2nn --P--= 2 x 7t x 12 giri/s 0,12 m = 4,52 m/s 2 2 V V 0,0035 m 3/s V = 23-tr2b2c, cm, = = = = 0,515 m/s D ndb, n x 0,12 m x 0,018 m 21t -- b 2 2 1, = u,(u, - c cot 13,) = u2 (2 c falai /32 = 4,52 m/s (4,52 m/s 0,515 m/s) = 15,44 m 2/s2 = 15,44 J/kg tan 25 b) Dividendo per l'accelerazione di gravità g il lavoro /i (7-6), si ottiene il carico h, in metri di colonna d'acqua: / m 2/s 2 h. - = ' = 1,57 m di colonna d'acqua g 9,81 m/s' c) Noti i valori arrotondati di u, = 4,5 m/s e c, = 0,5 m/s (dalla risposta alla prima domanda), nonché dell'angolo P 2 = 25 (dall'enunciato), si ricavano graficamente i valori delle altre velocità del triangolo di uscita tenendo presente che (Figura 7.9): - la velocità relativa w 2 è, per ipotesi, tangente alla pala e quindi forma un angolo 13 2 con la direzione periferica individuata da u 2 ; tracciando quindi un segmento pari a c m, = 0,5 m/s normale alla direzione periferica, si determina la fine del vettore u 2 e si ottengono i valori di i2 = 1,2 m/s e della sua componente tangenziale w, = 1,1 m/s; - la componente tangenziale della velocità assoluta cu, si ricava come differenza tra u 2 e ii,u2 ed è eti2 = 3,4 m/s; - la velocità assoluta c 2 è il segmento che congiunge l'estremità della pala con la fine del vettore che rappresenta la velocità periferica u 2 e vale c, = 3,5 m/s. La maggiore differenza tra una macchina a flusso assiale (in particolare la pompa della Figuro 7.10) e la macchina a flusso radiale esaminata precedentemente è data dal fatto che non vi sono variazioni della velocità periferica u tra ingresso e uscita in quanto il raggio r rimane lo stesso sia all'ingresso che all'uscita e quindi U ] = U2 = U = oir CAPITOLO 7 - PRINCIPI DELLE MACCHINE IDRAULICHE