SCHEDA 1 Le proporzioni e il calcolo percentuale Gli obiettivi didattici Conoscere i concetti di proporzionalità diretta e inversa Conoscere il calcolo percentuale Saper applicare il calcolo percentuale Il metodo di studio Comprendi il concetto di proporzionalità diretta e inversa Comprendi l impostazione della proporzione e gli elementi che la compongono Comprendi il significato della percentuale Leggi, analizza e comprendi il testo di ogni esercizio e le sue richieste Applica le regole generali alle singole situazioni 5 1 Le proporzioni La proporzione è l uguaglianza tra due rapporti e si esprime così: medio estremo a : b = A : B oppure così: estremo medio a b = A B ad esempio: 30 : 6 = 40 : 8 oppure La proprietà fondamentale è che il prodotto dei medi (b A) è uguale al prodotto degli estremi (a B): b A = a B 6 40 = 30 8 Da questo si ottiene che se uno dei termini è sconosciuto (incognita), lo si può ricavare applicando le seguenti regole: a) se è incognito (x) il termine medio, si calcola il prodotto degli estremi e lo si divide per il medio conosciuto: 30 6 = a : A : B 40 8 a B A
6 SCHEDA 1 b) se è incognito (x) il termine estremo, si calcola il prodotto dei medi e lo si divide per l estremo conosciuto: b A a : b = A : x a Proporzionalità diretta Due grandezze variabili e dipendenti sono direttamente proporzionali quando al raddoppiare, triplicare ecc. dell una, l altra raddoppia, triplica ecc. Ad esempio, se un chilogrammo di pane costa 2 euro, 2 chilogrammi di pane costeranno 4 euro, cioè: 1 kg 2 euro 2 kg 4 euro seguendo le frecce, possiamo impostare la corretta proporzione 1 : 2 = 2 : 4 Proporzionalità inversa Due grandezze variabili e dipendenti sono inversamente proporzionali quando al raddoppiare, triplicare ecc. dell una, l altra si dimezza, si riduce di un terzo ecc. Ad esempio, se un alunno commette 2 errori gli verranno dati 10 punti, se commetterà 4 errori avrà 5 punti, cioè: 10 punti 2 errori 5 punti 4 errori seguendo le frecce, possiamo impostare la corretta proporzione 10 : 5 = 4 : 2 2 I calcoli percentuali Se le grandezze che variano proporzionalmente sono riferite a 100 si parla di calcolo percentuale. Ad esempio, uno sconto pari al 2% del prezzo di listino di un prodotto indica che ogni 100 euro di prezzo di listino si ottiene uno sconto di 2 euro. Per eseguire un calcolo percentuale si deve impostare e risolvere la seguente proporzione: a : b = A : B dove: a deve essere della stessa natura di A, mentre b deve essere della stessa natura di B; a e b rappresentano le grandezze riferite a 100; A e B rappresentano le grandezze complessive. Problema diretto: ricerca del valore percentuale complessivo È il caso in cui si vuole determinare una percentuale di una determinata grandezza complessiva.
Le proporzioni e il calcolo percentuale 7 Ad esempio, su un maglione che ha un prezzo di listino di 80 euro un negoziante concede uno sconto del 2%. Vogliamo conoscere l importo in euro dello sconto. Pl = prezzo di listino Sc = sconto 100 : 2 = 80 : x dove 2% indica che ogni 100 euro di prezzo di listino si ha uno sconto di 2 euro (grandezze riferite a 100), 80 euro è il prezzo di listino (grandezza complessiva), x è lo sconto (valore percentuale complessivo). Problema inverso: ricerca della ragione percentuale È il caso in cui si conosce il valore percentuale complessivo e non si conosce la ragione percentuale. Ad esempio, su un maglione che ha un prezzo di listino di 150 euro un negoziante ha concesso uno sconto di 15 euro. Vogliamo determinare la percentuale di sconto che il negoziante ha concesso. 100 : 150 : 15 Pl Sc Pl Sc 2 80 = 16, euro 100 Pl Sc Pl Sc 15 100 150 = 10% Problema inverso: ricerca della grandezza complessiva È il caso in cui si conoscono il valore percentuale complessivo e la ragione percentuale e non si conosce la grandezza complessiva su cui calcolare la percentuale. Ad esempio, un negoziante ha concesso sul prezzo di listino di un maglione uno sconto di 9 euro applicando una percentuale del 10%. Vogliamo determinare il prezzo di listino. 100 : 10 = x : 9 Pl Sc Pl Sc 9 100 = 10 90
8 SCHEDA 1 3 I calcoli sopra cento Si usa il calcolo sopra cento quando si vuole determinare direttamente una somma aumentata di una certa percentuale. La proporzione da impostare è questa: Vc = valore complessivo Vp = valore percentuale complessivo r = tasso percentuale Calcolo sopra cento diretto a : (a + b) = A : (A + B) Nel calcolo sopra cento diretto l incognita è rappresentata da (A + B). Ad esempio, il peso netto di una merce è di 15 quintali e la tara è il 3% del peso netto (significa che ogni 100 quintali di peso netto si ha una tara di 3 quintali). Vogliamo determinare il peso lordo. Sapendo che peso lordo (Pl ) = peso netto (Pn) + tara, impostiamo la proporzione: Risolvendo la proporzione, abbiamo Calcolo sopra cento inverso 100 : (100 + 3) = 15 : x Nel calcolo sopra cento inverso le incognite sono rappresentate da A e B. Ad esempio, un negoziante vende una merce a un prezzo di vendita di 1 500 euro (Pv), dopo aver effettuato un ricarico del 10% sul prezzo di acquisto (Pa) (significa che ogni 100 di prezzo d acquisto il negoziante applica un ricarico di 10). Vogliamo determinare qual era il prezzo di acquisto. 100 100 + r Vc Vc + Vp Pn Pl Pn Pl 15 103 = 100 15, 45 100 : (100 + 10) = x : 1 500 Pa Pv Pa Pv 1 500 100 110 = 1 363, 64
Le proporzioni e il calcolo percentuale 9 4 I calcoli sotto cento Si usa il calcolo sotto cento quando si vuole determinare direttamente una somma diminuita di una certa percentuale. La proporzione da impostare è questa: Vc = valore complessivo Vp = valore percentuale complessivo r = tasso percentuale Calcolo sotto cento diretto a : (a b) = A : (A B) Nel calcolo sotto cento diretto l incognita è rappresentata da (A B). Ad esempio, un negoziante vende una merce il cui prezzo di listino (Pl ) è di 200 euro concedendo uno sconto del 5% del prezzo di listino (significa che ogni 100 euro di prezzo di listino il negoziante concede uno sconto di 5 euro). Vogliamo determinare il prezzo scontato (Psc), cioè la somma effettivamente riscossa dal negoziante. 100 100 r Vc Vc Vp 100 : (100 5) = 200 : x Pl Psc Pl Psc 200 95 100 = 190 Calcolo sotto cento inverso Nel calcolo sotto cento inverso le incognite sono rappresentate da A e B. Ad esempio, un negoziante vende una merce al prezzo (Psc) di 190 euro, dopo aver concesso uno sconto del 5% del prezzo di listino (Pl ) (significa che ogni 100 di prezzo di listino il negoziante concede uno sconto di 5 euro). Vogliamo determinare il prezzo di listino. 100 : (100 5) = x : 190 Pl Psc Pl Psc 190 100 95 = 200
10 SCHEDA 1 VERIFICA DELL APPRENDIMENTO Calcoli percentuali diretti 1 Il signor Rossi vende la merce A avente un prezzo pari a 1 200 euro, concedendo uno sconto del 10% del prezzo di listino. Determina la somma riscossa. 2 Un commerciante acquista 4 tonnellate lorde di merce Z (tara 4% del peso lordo) al prezzo di 30 euro il chilogrammo netto. Il costo dell imballaggio è di 0,15 euro il chilogrammo. Determina: il costo totale d acquisto, sapendo che il commerciante ottiene uno sconto del 10% sul prezzo; il prezzo di vendita, sapendo che il commerciante ha applicato un ricarico del 30% del costo. 3 Un commerciante vende 60 quintali di merce al prezzo di 10 euro il quintale con le seguenti condizioni di pagamento: il 30% prima della consegna con una riduzione del 5%; il 50% alla consegna a prezzo pieno e la parte restante a 60 giorni con una maggiorazione del 6%. Determina la somma spesa complessivamente dal cliente. 4 I ricavi di un azienda ammontano a 450 000 euro. A quanto ammontano i costi sapendo che sono l 80% dei ricavi? Calcoli percentuali inversi 5 Un commerciante acquista la merce a 1 850 euro e la rivende a 2 100 euro. A quanto ammonta la percentuale di ricarico rispetto al costo? 6 Un risparmiatore dopo un anno ottiene un interesse del 7% pari a 80 euro. A quanto ammontava il capitale su cui è maturato l interesse? 7 Un commerciante acquista 150 quintali di merce A. Dopo un periodo di tempo la merce subisce un calo e il suo peso scende a 140 quintali. A quanto ammonta la percentuale di calo rispetto al peso iniziale? Calcoli sopra cento diretti 8 Il peso netto di una merce è di 150 quintali. Sapendo che la tara è il 2% del peso netto, determina il peso lordo. 9 Il prezzo di acquisto di una merce è di 1 250 euro. Determina il prezzo di vendita sapendo che il venditore applica un ricarico del 25%. 10 Un risparmiatore ottiene su una somma di 5 000 euro un interesse del 5%. Determina il montante (capitale + interesse).
Le proporzioni e il calcolo percentuale 11 VERIFICA DELL APPRENDIMENTO Calcoli sotto cento diretti 11 Il peso lordo di una merce è di 200 quintali. Sapendo che la tara è il 3% del peso lordo, determina il peso netto. 12 Il commerciante Conti vende una partita di merce di 12 000 euro e applica uno sconto del 15%. Determina la somma riscossa. 13 Il peso di una partita di merce alla partenza è di 25 tonnellate; durante il viaggio subisce un calo pari al 5% del peso alla partenza. Determina il peso all arrivo. Calcoli sopra cento e sotto cento inversi 14 Un negoziante acquista una partita di merce a 3 150 euro avendo ottenuto uno sconto di 350 euro sul prezzo di listino. Calcola: il prezzo di listino; la percentuale di sconto; il prezzo a cui deve essere venduta la merce per ottenere un guadagno pari al 20% del ricavo. 15 Il signor Bianchi acquista le seguenti partite di merci: 160 quintali lordi di merce A al prezzo di 15 euro il quintale netto, tara 2% del peso netto; 12 tonnellate nette di merce B al prezzo di 2 euro il quintale lordo, tara 3% del peso lordo. Calcola la somma spesa dal signor Bianchi. 16 Un commerciante spedisce a un cliente una merce dal peso netto di 350 quintali, la tara è il 4% del peso lordo. Durante il viaggio la merce subisce un calo del 3% del peso lordo alla partenza. Determina: il peso netto all arrivo; il ricavo di vendita, considerando che il commerciante ha applicato un prezzo di vendita di 7 euro il chilogrammo netto giunto a destino.