0.4 La corrente nel resistore vale 0. l modulo è A. La potenza media è P 0 W 0.7 l circuito simbolico è mostrato di seguito. La potenza viene dissipata solo nel resistore. 0, 4 - La corrente è 4 4 0, 0, 4,94 A 4 0, P,76 W 0.9 Circuito simbolico. -0 g - 80 P 40 W 80 Ω Con la formula del partitore di tensione: 80 80 0 g g 80 0 80 0 80 0.0 Per il c.c. virtuale dell op-amp la corrente nel resistore di kω ha ampiezza /k ma. Per il c.a. virtuale la stessa corrente scorre nel resistore di 6 kω. La potenza dissipata è P ½ 6 0 (0 - ) mw. Si noti come la fase del generatore sia ininfluente. 0. l circuito simbolico è mostrato di seguito. Dall espressione della potenza si ricava l ampiezza della tensione C :
P C 4 00 0 C π -0/π C C 4 noltre C π C 0 π A, C / π Z 0 C eff A C 0.4 40 0 Per il c.a. virtuale la tensione sul resistore da 40 Ω vale 0 rms. L operazionale 40 80 funziona da inseguitore quindi la tensione di uscita ha valore efficace 0/. nfine la potenza richiesta è: eff P 400 9 0 8 9 W. 0. Lo sfasamento si può ricavare ricordando che SPQ e Q/P tan ϕ. Dunque ϕ tan - (0,) 4. 0.6 La potenza di picco è pari alla somma della potenza attiva e della potenza apparente. Quest ultima è max 8 il modulo di S; dunque: p 4,4 W. 0.7 Per la LKC, la corrente nel bipolo è 0 6 0 A (diretta verso il basso). La tensione coincide con la tensione del resistore, dunque 0 0. La potenza complessa è S ½ * 60 PQ. Quindi P60 W e Q 0 A. 0.8 l fattore di potenza è cos ϕ. La potenza media è P S cos ϕ, dove S è la potenza apparente. P A 0 4 0,8 8 kw; P B 0 0,6 9 kw. Quindi B assorbe maggiore potenza media. 0.9 La potenza attiva è associata al resistore mentre la potenza reattiva è dovuta all induttore. Abbiamo P 00 0 W 0, Q X 0 A X 00 Ω nfine X ωl L X/ω 0,0 H.
0. g 0 e C e 0 40 0 cos 0 0 sen 0 6,4 7,66 cos (- 40 ) sen (- 40 ),8, C - Per la LKT possiamo scrivere C o g 0. Quindi g Z o -,6 0,87 o g C,6 0,87 tan - (0,87/,6),7 76, e La corrente nel bipolo di impedenza Z coincide con la corrente del condensatore che 40 C e 40 0 vale e e A. Dunque P e[s] e[ ½ o *] e[,8 e 76, 0 e ],8 cos(6, ) W 0. Bipolo (a): l induttore assorbe una potenza reattiva positiva; il bipolo di ammettenza Y assorbe la potenza reattiva Q ½ B ½ > 0. Dunque non può essere il carico incognito. Bipolo (b): le impedenze dell induttore e del condensatore si annullano a vicenda perciò il bipolo non assorbe potenza reattiva. Bipolo (c ): la reattanza è - quindi Q ½ X -, ; la potenza attiva è P ½ 0. La potenza reattiva è negativa e il rapporto Q/P 0, come nel carico incognito. Bipolo (d): ϕ 60 Q S sen ϕ S / > 0. Quindi il carico è il bipolo (c). 0. Affinché un bipolo non assorba potenza reattiva, la sua impedenza deve essere reale. n questo caso conviene considerare l ammettenza: Y ωc ωc La parte immaginaria si annulla se ωc / ovvero C/40 mf. 0.4 La corrente ha l espressione i(t) sen (ωt) cos (ωt 90 ) cos (ωt 70 ). La tensione è v(t) cos(ωt θ v ). Per t 0 si ha v(0) -,6, quindi cos(θ v ) - 0,8; cos - (-0,8) 4, tuttavia anche l angolo di 7 corrisponde allo stesso coseno. Per determinare l angolo
corretto dobbiamo esaminare il grafico della tensione: in t 0 la tensione è crescente quindi la fase iniziale è maggiore di 80, angolo che corrisponde al minimo della sinusoide. Dunque θ v 7. La differenza di fase è ϕ θ v - θ i 7-70 -. n un bipolo passivo la differenza di fase ϕ è compresa tra -90 e 90, dunque il bipolo è passivo. 0.6 Circuito simbolico. 0 0 / Con la formula di Millman: 0 0 0 noltre P 0 0( ) 0 0 4 8 W ( ) ( ) 0 0 erifica: P e * 0 40 [ ] W P e[ *] 40 40 8 W 0 0.7 l circuito è resistivo quindi possiamo considerare solo le ampiezze delle grandezze sinusoidali. l generatore non eroga e non assorbe potenza perché non ha corrente. Per il c.c. virtuale e il c.a. virtuale si ha una sola corrente che vale: ma P k mw P 4 k mw k noltre il circuito è un amplificatore non invertente, quindi 4 u 6 La potenza erogata dall operazionale è Popamp u mw; essa coincide con la somma delle potenze assorbite dai resistori. 4
4 kω kω _ 0 u 0.8 (a) P kw, Q ka ϕ tan - (Q/P) 4 (b) P kw, Q ka ϕ tan - (Q/P) 6,6 0.9 (a) L impedenza del parallelo //C vale ( ) ( ) Z C 9 L impedenza complessiva è Z Z C. Quindi 9 / 9 cos ϕ X (9 / ) (/ ) 8 0,99 La reattanza è negativa quindi il fattore di potenza è in anticipo. (b) l bipolo è reattivo quindi e[z] 0 cos ϕ 0. (c) Per il bipolo in parallelo all induttore possiamo scrivere: P P S cos ϕ S ka cosϕ ϕ cos (0,8) 6,87 L angolo è compreso tra 0 e 90 essendo il fattore di potenza in ritardo. Quindi: Q S sen ϕ 0,6 ka L induttore assorbe una potenza reattiva Per il bipolo complessivo abbiamo: P P 0 kw Q L Beff 0, 0 9,68 ka. Q Q Q L 4,68 ka cos ϕ P P Q 0,6 4,68 l fattore di potenza è in ritardo poiché Q>0.
0.0 bipoli hanno la stessa potenza media e lo stesso fattore di potenza; indicando con P i e Q i le potenze attiva e reattiva dei singoli bipoli abbiamo: cos ϕ i 4P P i 4Q i Pi cos ϕ i 0,8 in ritardo P Q i i 0. E un amplificatore invertente. La corrente nei resistori ha fasore m / G m, dove G è la conduttanza. La tensione del condensatore è C - m. La corrente di uscita dell operazionale è o - C G m ωc m m (G ωc). _ o m Potenze assorbite. Generatore: S m G esistori: S G m Condensatore: S ( m ) ωcm Op-amp: S ( m ) m ( G m m ωc ω C) Gm /(ωc) ωcm C C Si verifica facilmente che la somma è nulla. 0. l nodo a è a potenziale di riferimento a causa dei c.c. virtuali di A e A. La corrente del generatore scorre in. noltre ab cb e dc. a 0 A _ b c Z A o d 6
Di conseguenza le correnti nei resistori ed sono uguali ma con versi opposti. La corrente in Z deve coincidere con la corrente in, dunque Z. nfine o /. Potenza nei resistori ed : P P ½ 8 mw Potenza in Z: P Z ½ e[z] 6 mw Potenza in : Z 0 Z 0 0-0 P 00/8000, mw Potenza complessa erogata dall operazionale A: S ½ b (- )* (-) (-*) 6 mw P A Potenza complessa erogata dall operazionale A: S ½ o * ½ Z * Z ½ Z * Z ½ Z ½ Z P A e[s] ½ 4 0 - ½ 4 (/4) 0 - (6,) 0-8, mw Poiché il generatore di corrente non eroga potenza (la tensione è nulla), si verifica facilmente la proprietà di conservazione della potenza media. La fase del generatore è ininfluente. 0. Considerando il circuito simbolico alla pulsazione ω si ricavano le espressioni delle potenze medie nei due resistori: P m ( ωl) P ωc l rapporto delle potenze è ωl ( ωc) P ( ωc) [ ( ωl) ] P ( ωc) ωc m ( ) dove si è utilizzata la condizione C L/ ovvero L/C. L impedenza vista dal generatore è, infatti: m ( ωc) ( ωc) ( ω C) L C ω ω LC C 7
( ωl) ωc ( ωl)( ωc) Z ωl ω LC ωc ωc Nell ultimo passaggio si è utilizzata la condizione C L/. Quindi la potenza media erogata dal generatore è m. ( ω LC) ω( C L / ) ω LC ωc 0. ϕ cos - (0,8) 6,87 tan ϕ 0,7. Utilizzando la formula (0.9) del libro abbiamo l equazione dalla quale si ricava 0-6 0 (0,7 tanϕ ) 00π 80 tan ϕ 0,4 ϕ 4, cos ϕ 0,9 0.6 Prima del rifasamento. l fasore della corrente è l fasore della tensione è g 80 eff 4, A,4 7,,4 7, 7, 80 7, g eff 70, 6,4 7,,4 7, Potenza media dissipata nella linea e potenza media del carico: d eff P 0,4 67,7 W P 8446 W u eff endimento: η P u P u P d 0,96 Dopo il rifasamento. l condensatore di rifasamento viene collegato in parallelo al carico; la capacità C deve essere tale da annullare la parte immaginaria dell ammettenza 7, Y ωc ω C 7, 8, Con l inserimento del condensatore l impedenza si riduce ad una resistenza di 8,/ 6, Ω. Per determinare le grandezze richieste possiamo fare riferimento allo schema seguente. La tensione coincide con la tensione del carico, essendo il condensatore in parallelo. La potenza assorbita dal resistore equivalente di 6, Ω coincide con la potenza assorbita dal carico poiché il condensatore non assorbe potenza media. 8
0, Ω g 6, Ω 0, Ω 80 6, eff,8 A eff 80 7 6,6 6,6 d eff u eff P 0,4 08 W P 6, 8447 W η P u P u P d 0,976 0.7 l 0% dell energia attiva è pari a 80 kwh, il 7% è 7 kwh. La quantità di energia reattiva compresa tra il 0% e il 7% di quella attiva è 7-80 4 kah, quella eccedente il 7% è 460-7 8 kah. Quindi la penale è 0,0 40,04 8 0,. l fattore di potenza medio è 700 cosϕ 0,76 700 460 0.8 6 Lo sfasamento attuale è tan ϕ. L angolo desiderato è ϕ cos 0,9,8. Con la 0 formula (0.9) si ricava 0 0 (0,6 0,48) C 6,4 µf 00π 80 Approssimando il valore a 6, µf, la capacità si può realizzare collegando in parallelo 6 condensatori da µf e la serie di due condensatori da µf. 0.9 L impedenza di carico deve essere coniugata dell impedenza del generatore. Possiamo inserire un bipolo di impedenza 0 Ω come nella figura seguente. Tale bipolo può essere un condensatore di capacità tale per cui 0 /(ωc) C/(0ω) 0,9 mf. 40 Ω - 0 Ω 40 0 Ω 9
0.40 L impedenza del generatore per ω 0 rad/s è: 0 Z s 0 ( ) 6 0 ( ) Ω. 0 ( ) Per avere la massima potenza sul carico deve essere ωl Z s *, quindi 00 Ω, s L 00/ω ½ H. La massima potenza è Pdisp 0, mw. 8 8 00 0.4 Applicando il teorema di Thevenin al bipolo nel riquadro si ottiene: s T 0 6, 6 Z T ( ) ( )( ) 4 Ω 0 a 0 - - 4 l bipolo incognito deve avere impedenza Z Ω. Tale impedenza corrisponde alla serie di un resistore di resistenza 4/ 0,8 Ω e di un induttore di induttanza (/)/ω 0,4 mh. La potenza massima è T 0 Pmax, W 8 8 (4 / ) 0.4 Procedendo come nell esercizio precedente si ha: T b 0 T 4 0 0 0 0 0 0 0 0 Z T 0 Ω 0 0 Z L Ω T / 0 Pdisp, mw 8 8 T 0 0 Z L 0
Per ricavare la potenza assorbita da un carico di Ω si considera il circuito seguente. Ω T Ω T 0 A P 40,7 mw 0.4 Z L impedenza vista dal resistore è Z T (Z//) ; affinché il resistore assorba la Z massima potenza media deve essere Z * T 4 ovvero Z T 4. mponendo la condizione si ricava l equazione Z Z 4Z 4 la cui soluzione è 4 Z Ω 0.44 Poiché il quadripolo di adattamento assorbe una potenza media nulla, possiamo imporre che l impedenza equivalente del bipolo B sia pari a S. n questo caso la potenza disponibile del generatore viene assorbita dal bipolo B e quindi dal carico L. S X X B S X L La condizione è Z eq ( X ) L X X X X Ponendo X - X e semplificando si ottiene la condizione S L S X S L, ovvero X ± S L. Con S Ω, L 0 Ω si ha X ± 0 ± 7 Ω. Se si sceglie X 7 Ω, X -7 Ω, si ha il circuito nella figura seguente, in cui L 7/ω, C /(7ω). Si noti che l adattamento dipende dalla frequenza. S L L S C L
0.4 icaviamo l impedenza vista dal carico. Analisi nodale con il generatore di tensione spento. /( ωc) α 0 F L impedenza vista dal carico è / 0. Ponendo G / si ha il sistema: LKC nodo ω C G G ) ( LKC nodo G( ) 0 αg Quindi Soluzione: G ωc G( α) G ωc G G 0 0 G( α) 0 G ωc 0 G ωcg G ( α) G ( α) ωcg Z T G ωc G( α) ωc 0 Z T per ogni ω solo se α. 0.46 Analisi nodale con il generatore di tensione spento. L impedenza vista dal carico è / 0. - 0 F LKC nodo LKC nodo 0
Quindi Soluzione: 0 0 0 0 Z T 0 Ω Per avere la massima potenza deve essere verificata la condizione La soluzione è X,6 Z T * X,6, 7,8 X Ω 0,4 0,6 0.47 Si applica il teorema di Thevenin al circuito collegato al bipolo di impedenza Z. La tensione T si può ricavare con l analisi nodale (figura seguente). F a T /(4) La corrente del condensatore ha fasore perché è in serie al generatore di corrente. noltre i due resistori sono in serie. Applicando la LKC al nodo a si ottiene: 0 - ()/ La tensione T è la somma della tensione del resistore verticale e della tensione sul condensatore. La prima è (-)/, la seconda è /(4): si ottiene T ¾.
L impedenza equivalente si ricava dallo schema mostrato di seguito, ottenuto spegnendo i generatori: ( )( ) Z T //() /(4) Ω 4 4 4 4 /( 4) La potenza massima si ottiene con la formula ¾ T P / W 8 e[ Z ] T ¾ ¾ che corrisponde al circuito equivalente mostrato accanto. 0.48 Spegnendo il generatore sinusoidale si ha la figura seguente. Applicando il teorema di Thevenin si ricava i A P, W 4 4 Ω Ω Ω Ω / Ω i Ω 4
Spegnendo il generatore costante si ha il circuito simbolico seguente. Applicando il teorema di Thevenin si ottiene il circuito mostrato sotto. Si ottiene (Z //(-)): Z ( ) Z P 0, W 6 9 - / Ω - nfine P P P, W. 0.49 Poiché per entrambe le frequenze il fasore del generatore è lo stesso, conviene considerare un solo circuito simbolico, ricavando la potenza media del resistore in funzione di ω. /( ω) ω Applicando il teorema di Thevenin al bipolo nel riquadro si ottiene: ω ω ω ω T Z T ω ω ω ω ω
Quindi T ω Z ω ω T P 4ω 9 ω 4ω 4 Sostituendo nell espressione precedente ω e ω si ricavano le potenze: 0.0 ω 0 P W P 8 6 W P P P 0, W i 4 Ω P i 4 4 W ω 00 rad/s -0-0 4 0 4 l parallelo L//C ha ammettenza Y 0, quindi si comporta come un c.a. Pertanto la 0 0 corrente del resistore è nulla, così come la potenza media. ω 000 rad/s -0, - -00 00 00 4 La serie L-C ha impedenza nulla, quindi si comporta come un c.c. l resistore è cortocircuitato dunque la corrente è nulla, così come la potenza media. La potenza complessivamente assorbita dal resistore è W. 6