ESERCIZI A ESAMI (1996-23) Spinta delle terre Esercizio 1 Calcolare le pressioni a lungo e a breve termine esercitate dal terreno sul paramento verticale di un muro di sostegno, nell'ipotesi di assenza di attrito e di flusso. q O A sabbia 1 zw1 zw2 z argilla 1 B dati: z A (m) = 1.5 sabbia 2 z B (m) = 4 C z C (m) = 6 z (m) = 8 argilla 2 z w1 (m) =.5 z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 5 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) sabbia 1 18.6 33 - - argilla 1 17.7 24 1 8 sabbia 2 18.6 35 - - argilla 2 19.1 28 25 3 ati: z A (m) = 1.5 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) z B (m) = 4 sabbia 1 18.6 33 - - z C (m) = 6 argilla 1 17.7 24 1 8 z (m) = 8 sabbia 2 18.6 35 - - z w1 (m) =.5 argilla 2 19.1 28 25 3 z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 5 condizioni a lungo termine punto strato z(m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' ha (kpa) σ ha (kpa) K A O sabbia 1 5.. 5. 14.74 14.74.295 1 a falda sabbia 1.5 59.32. 59.32 17.49 17.49.295 A sup sabbia 1 1.5 77.96 1. 67.96 2.3 3.3.295 A inf argilla 1 1.5 77.96 1. 67.96 15.67 25.67.422 B sup argilla 1 4 122.1 15. 17.1 32.18 47.18.422 B inf sabbia 2 4 122.1 15. 17.1 29.2 44.2.271 C sup sabbia 2 6 159.38 35. 124.38 33.71 68.71.271 C inf argilla 2 6 159.38 35. 124.38 14.86 49.86.361 argilla 2 8 197.64 55. 142.64 21.45 76.45.361 1
condizioni a breve termine punto strato z(m) σ v (kpa) σ ha (kpa) O sabbia 1 5. 14.74 1 a falda sabbia 1.5 59.32 17.49 A sup sabbia 1 1.5 77.96 3.3 A inf argilla 1 1.5 77.96-82.4 B sup argilla 1 4 122.1-37.9 B inf sabbia 2 4 122.1 44.2 C sup sabbia 2 6 159.38 68.71 C inf argilla 2 6 159.38-44.62 argilla 2 8 197.64-42.36 tensioni (kpa) condizione a lungo termine 25 1.9 2.8.7 15.6.5 1.4.3.2 5.1.22.44.6 6.8 8 11 Z (m) tensioni tensioni (kpa) (kpa) condizione a breve termine 3 1.9 2.8.7 1.6.5-1.4 2 4 6 8 1.3-2.2-3.1-4 -5.2.4.6.8 1 Z (m) Esercizio 2 Calcolare e disegnare la distribuzione della pressione attiva sulla superficie verticale di figura. Calcolare la spinta totale (attiva + idrostatica) sulla parete e determinarne la quota di applicazione. Si assuma δ =, γ w = 9.81 kn/m 3. f.f. H 1a H 1 H 1b H 2 H 3 ati: H 1a (m) = 3 γ 1a (kn/m 3 ) = 16 H 1b (m) = 2 γ 1b (kn/m 3 ) = 19 c' 1 (kpa) = φ' 1 ( ) = 35 H 2 (m) = 3 γ 2 (kn/m 3 ) = 2 c' 2 (kpa) = 17 φ' 2 ( ) = 27 H 3 (m) = 4 γ 3 (kn/m 3 ) = 21 c' 3 (kpa) = φ' 3 ( ) = 42 2
I coefficienti di spinta attiva per i tre tipi di terreno valgono: K a1 = tan 2 (45 - φ' 1 /2) =.271 K a2 = tan 2 (45 - φ' 2 /2) =.376 K.5 a2 =.613 K a3 = tan 2 (45 - φ' 3 /2) =.198 istribuzione di pressione: prof. terreno σ v u σ' v K a σ' ha σ ha (m) tipo (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) 1.271.. 3 1 48 48.271 13.1 13.1 5 1 86 19.62 66.38.271 17.99 37.61 5 2 86 19.62 66.38.376 4.9 23.71 8 2 146 49.5 96.95.376 15.57 64.62 8 3 146 49.5 96.95.198 19.22 68.27 12 3 23 88.29 141.71.198 28.9 116.38 σ' ha (kpa) 25 5 75 1 u (kpa) 25 5 75 1 z (m) 3 6 9 1 2 3 4 5 z (m) 3 6 9 8 6 7 12 12 area forma base altezza forza braccio momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (knm/m) 1 triang. 13.1 3 19.51 2. 39. 2 rettang. 13.1 2 26.2 4. 14.1 3 triang. 4.98 2 4.98 4.33 21.6 4 rettang. 4.9 3 12.28 6.5 79.8 5 triang. 11.48 3 17.22 7. 12.5 6 rettang. 19.22 4 76.87 1. 768.7 7 triang. 8.87 4 17.75 1.67 189.3 8 triang. 88.29 9 397.31 9. 3575.7 Spinta attiva del terreno, Sa = 174.62 kn/m Quota di applicazione di Sa, ha = 7.58 m Spinta idrostatica, Sw = 397.31 kn/m Quota di applicazione di Sw, hw = 9. m Spinta totale: S = 571.93 kn/m Quota di applicazione di S, h = 8.57 m Esercizio 3 eterminare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione. 3
H β i ati: H = 6 m β = 2 i = 15 terreno sostenuto: γ = 18 kn/m 3 φ' = 3 δ = 2/3 φ' coefficienti sismici: k H =.1 k V = θ = arctan(k H / (1 - k V )) =.997 rad i =.2618 rad φ' =.5236 rad δ = 2/3 φ' =.3491 rad β =.3491 rad K A =.6291 E A =,5 γ H 2 K A = 23.81 kn/m Spinta attiva in condizioni statiche H A = H / 3 = 2. m Quota di applicazione di E A K AE =.82 E AE =,5 γ H 2 (1-k V ) K AE = 259.84 kn/m Spinta attiva in condizioni sismiche E E = E AE - E A = 56.2 kn/m Incremento sismico della spinta H E = 2H / 3 = 4. m Quota di applicazione di E E H AE = (E A H A + E E H E ) / E AE = 2.43 m Quota di applicazione di E AE Esercizio 4 E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 1 kn/m 3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2,. Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresentata da una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, determinare: b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico, d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma. 4
H s A B z w a q sabbia fine limo sabbioso ati: H (m) = 5 (m) = 7 s (m) =.8 q (kpa) = 1 z w (m) = 2 a (m) = 4 δ = φ' / 2 angolo d'attrito terra-m strato 1) sabbia fine: γ 1 (kn/m 3 ) = 19 φ' 1 ( ) = 38 k 1 (m/s) =.4 C2 C1 strato 2) limo sabbioso: γ 2 (kn/m 3 ) = 2 φ' 2 ( ) = 34 coefficiente di permeabilità in direzione verticale k 2v (m/s) = 5.E-6 coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k 2h (m/s) = 1.5E-5 a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2,. coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) h i (m) 1 A-B 2 4.E-3 5. 2 B-C1 8 5.E-6 16 1.572 3 C1-C2.8 1.5E-5 53333.33.52 4 C2-7 5.E-6 14 1.375 Σ i = 17.8 353833 3 k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-6 m/s carico idraulico in A: h A (m) = 1 h i = v d i /k i carico idraulico in : h (m) = 7 perdita di carico tra A e : h = (h A - h ) = 3m lunghezza di filtrazione tra A e : L = Σd i = 17.8 m gradiente idraulico tra A e : i = h/l =.168539 velocità di filtrazione tra A e : v = k m i = 9.82E-7 m/s h = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kpa) h = carico idraulico A 1 1... z = altezza geometrica B 8 1. 2. 2. u/γ w = altezza di pressione C1 8.428 8.428 84.28 C2 8.375 8.375 83.75 7 7... b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u φ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' v strato 1.663.332.217 9.639 a monte K = K A strato 2.593.297.256 6.767 a valle K = K P / F punto z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ' hp (kpa) 5
O 12 1. 1. 2.17 A 1 48. 48. 1.42 B (str. 1) 8 86 2. 66. 14.33 B (str. 2) 8 86 2. 66. 16.93 C1 246 84.28 161.72 41.47 C2 14 83.75 56.25 38.65 7... O A B z w a H 1 5 6 7 8 2 C2 C1 3 4 pressioni neutre z 9 1 11 pressioni orizzontali efficaci R Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 triang. 2. 2 2. 8.67 173.29 2 rettang. 2. 8 159.96 4. 639.84 3 triang. 64.28 8 257.13 2.67 685.68 4 triang. -83.75 7-293.14 2.33-683.98 5 rettang. 2.17 12 26.6 6. 156.36 6 triang. 8.25 2 8.25 1.67 88.3 7 rettang. 8.25 2 16.51 9. 148.55 8 triang. 3.91 2 3.91 8.67 33.89 9 rettang. 14.75 8 118.4 4. 472.14 1 triang. 24.55 8 98.18 2.67 261.82 11 triang. -38.65/F 7-1332.26/F 2.33-318.61/F -38.65-1332.26 Forza R R -318.67 Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: 1975.61-318.61/F = da cui: F = 1.57 Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 11 triang. -241.91 7-846.69 2.33-1975.612 ΣM = Equilibrio alla traslazione orizzontale: -431.7967 + R = da cui: R = 431.8 kn/m ΣH = c) le pressioni orizzontali sul diaframma punto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kpa) t (kn/m) m (knm/m) O 12... 2.17 2.17. A 1... 1.42 1.42 12.6 B (str. 1) 8. 2.. 14.33 34.33 57.35 B (str. 2) 8. 2.. 16.93 36.92 57.35 7. 28.3. 19.99 48.2 99.82 C -83.75 84.28-241.91 41.47-199.92-431.8 6
z (m) 12 1 8 6 4 2-3 -2-1 1 p h (kpa) d) i valori massimi di taglio e momento flettente. il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero: 1) in prossimità del piede del diaframma: z (m) = t = R (kn/m) = -431.8 2) nel tratto infisso C- alla quota: z (m) = 5.64 t (kn/m) = 132.38 il momento massimo è alla sezione di taglio zero: z si determina risolvendo l'equazione: a z 2 + b z + c = a = 199.92 b = -2256.78 c = 4874.242 da cui: z (m) = 2.91 t (kn/m) = p h (kpa) = -96.84 m = 555.55 knm/m Esercizio 5 Si consideri un terrapieno costituito da argilla satura caratterizzata da un peso di volume γ = 21 kn/m 3, da un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 25 e da una coesione c' = 1 kpa. Il terrapieno e' sostenuto per la sua intera altezza, H = 6 m, da una parte verticale scabra dotata di un attrito δ = 3/4 ϕ'. Nell'ipotesi che sul terrapieno agisca un sovraccarico uniformemente distribuito q = 1 kpa e che il livello di falda sia a 3 m dal piano di campagna, determinare la forza risultante che il terrapieno esercita sulla parete ed il suo punto di applicazione. ati: γ (kn/m 3 ) = 21 ϕ' ( ) = 25.436 (rad) c' (kpa) = 1 H (m) = 6 δ ( ) = 18.75.327 (rad) q (kpa) = 1 z w (m) = 3 γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Si determina la tensione efficace verticale alla estremità superiore, A, ed inferiore della parete, C. e in corrispondenza della falda, B, assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. σ' va (kpa) =. σ' vb (kpa) = 63. σ' vc (kpa) = 96.6 Si determina il coefficiente di spinta attiva ad esempio adottando la soluzione di Coulomb: (superficie di rottura piana) K a =.36 e quindi la distribuzione delle pressioni limite attive, comprensive del contributo del sovraccarico K a q σ' aa (kpa) = -8.4 σ' ab (kpa) = 14.2 7
σ' ac (kpa) = 26.2 da cui si ricava la profondità z del punto O di annullamento delle pressioni limite attive: z (m) = 1.11 Si trascura a favore di sicurezza il contributo negativo delle pressioni limite attive e si calcola la risultante delle pressioni limite attive tra O e B è pari a: S a1 (kpa) = 1/2 σ' ab (z w -z ) = 13.38 ed il braccio del punto di applicazione rispetto al piede della parete: x 1 (m) = H-z w +(z w -z )/3= 3.63 Invece tra i punti B e C agsicono le forze: S a2 (kpa) = σ' ab (H-z w ) = 42.58 S a3 (kpa) = (σ' ac σ' ab ) (H-z w )/2 = 18.5 con i relativi bracci: x 2 (m) = (H-z w )\2 = 1.5 x 3 (m) = (H-z w )\3 = 1. Si calcola la spinta idrostatica ed il relativo braccio: S w (kpa) = 1/2 γ w (H-z w ) 2 = 44.15 x w (m) = (H-z w )\3 = 1. Quindi si determina la risultante delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete e il relativo punto di applicazione: P (kpa) = S a1 + S a2 + S a3 + S w = 118.16 x P (m) = (S a1 x 1 + S a2 x 2 + S a3 x 3 + S w x w )/P= 1.48 8