Corso di.laurea triennale ISTITUZIONI di MATEMATICA FINANZIARIA I (Corso A - K) Pavia 19/11/ 2001 (come noto, ilrisultato finale dell importo dei capitali, espressi in euro, deve essere arrotondato alla seconda cifra decimale più prossima) Esercizio n. 1 In relazione ai seguenti tre crediti espressi in euro: 3.000,00 - da riscuotere tra 1 anno e 6 mesi da oggi; 2.000,00 - da riscuotere tra 2 anni da oggi; 5.000,00 - da riscuotere tra 3 anni e 3 mesi da oggi; precisa la definizione e poi calcola la scadenza media aritmetica t A, la scadenza finanziaria t F e la duration (esprimile in anni, mesi e giorni, anno commerciale). Effettua le valutazioni al tasso i annuo, composto convenzione esponenziale, con i 8%. Scritto, poi, l importo del capitale che il creditore può riscuotere all epoca t F in sostituzione dei tre crediti precisa motivatamente se tale capitale sarebbe equo ai tre crediti se si fossero riferite le valutazioni ad una qualsiasi epoca t 0 anzichè all epoca t 0. Individua infine, motivatamente e senza fare calcoli, come varia la scadenza media finanziaria (aumenta-diminuisce rispetto all epoca t F al variare del tasso i di valutazione. Esercizio n. 2 In relazione ad un prestito di euro 30.000,00 oggi concesso e rimborsabile con le seguenti tre rate: R 1 euro.000,00, R 2 euro 16.000,00, R 3 euro R, pagabile tra 1 anno da oggi, pagabile tra 2 anni e 6 mesi da oggi, pagabile tra quattro anni da oggi, a) dare la definizione di condizione di chiusura, ed in base ad essa calcolare l importo R della terza rata effettuando le valutazioni al tasso composto dell 8% annuo, nominale convertibile semestralmente; b) dare la definizione di operazione finanziara equa e, motivando la risposta, precisare se l operazione, come individuata al punto a), è equa effettuando le valutazioni all epoca t 0 e se lo è per t 0; c) redigere il piano d ammortamento. Esercizio n. 3 In relazione alla funzione f t e 2kt, con k 0 e con t 0 ed espresso in anni: a) determinare per quali valori di k la funzione rappresenta una legge di capitalizzazione; b) assunto, poi, k 1, calcolare quanto segue: 1) il tasso unitario di interesse e di sconto; 2) l intensità istantanea di interesse e precisare se il regime associato alla f t è scindibile; 3) il valore attuale di un capitale di euro.000,00 esigibile all epoca t 3; 4) il tasso medio annuo con t 3 anni e 2 mesi. Esercizio n. 4 Il 20/5/2000 sono stati acquistatibtp con le seguenti caratteristiche: corso secco 99,20; rimborso alla pari l 1/7/2001; valore nominale (vn) pari ad euro.000, 00; cedole all 1/1 e 1/7 di ogni anno calcolate al tasso del 4,75% annuo, nominale convertibile semestralmente; ritenuta fiscale del 12,50% sulle cedole; commissione bancaria dello 0,30% sul vn e spese fisse pari ad euro 5,00. Sulla base di quanto sopra (considera i mesi commerciali tutti di 30 giorni) determinare: a) il costo d acquisto deibtp e la spesa complessivamente sostenuta; b) il tasso annuo composto, convenzione esponenziale, di rendimento effettivo dell investimento conclusosi alla scadenza deibtp, sapendo che le cedole sono state accreditate direttamente su un conto corrente bancario, al tasso del 5% annuo, nominale convertibile semestralmente.
Esercizio n. 5 Una società ha emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: rimborso in 6 anni con estrazione a sorte delle obbligazioni, alla fine di ognuno dei successivi anni, rispettivamente, in numero di 4.000, 4.000, 4.000, 3.000, 2.000, 1.000; cedola annua, posticipata, valutata al tasso del 4% annuo con ritenuta fiscale del 12,50%; valore nominale (vn) di ogni obbligazione pari ad euro, 00; prezzo di emissione pari ad euro 9,85 e rimborso alla pari. In relazione ad una obbligazione vivente appena effettuata la seconda estrazione, precisare la definizione e poi effettuare i calcoli relativi a quanto segue: a) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile; b) la nuda proprietà, l usufrutto e il valore dell obbligazione effettuando le valutazioni al tasso annuo composto del 6%. Corso di.laurea quadriennale MATEMATICA FINANZIARIA I (Corso A - K) Pavia 19/11/ 2001 (come noto, ilrisultato finale dell importo dei capitali, espressi in euro, deve essere arrotondato alla seconda cifra decimale più prossima) Esercizio n. 1 Considerato il seguente problema P di Programmazione Lineare: P : max 240x 1 200x 2 9x 1 x 2 900 4x 1 x 2 200 x 1 0; x 2 0, a) trova, se esiste, la soluzione del problema P; b) scrivi il problema P, duale di P; c) senza risolvere il problema P, precisa motivatamente se P ammette soluzione e, in caso affermativo, scrivi il valore ottimo che assume la funzione obiettivo. Esercizio n. 2 In relazione ad un prestito di euro 30.000,00 oggi concesso e rimborsabile con le seguenti tre rate: R 1 euro.000,00 pagabile tra 1 anno da oggi, R 2 euro 16.000,00 R 3 euro R pagabile tra 2 anni e 6 mesi da oggi, pagabile tra quattro anni da oggi, a) calcolare l importo della terza rata effettuando le valutazioni al tasso composto dell 8% annuo, nominale convertibile semestralmente; b) redigere il piano d ammortamento. Esercizio n. 3 In relazione alla funzione f t e 2kt, con k 0 e con t 0 ed espresso in anni: a) determinare per quali valori di k la funzione rappresenta una legge di capitalizzazione; b) assunto, poi, k 1, calcolare quanto segue: 1) il tasso unitario di interesse e di sconto; 2) l intensità istantanea di interesse e precisare se il regime associato alla f t è scindibile.
Esercizio n. 4 Il 20/5/2000 sono stati acquistatibtp con le seguenti caratteristiche: corso secco 99,20; rimborso alla pari l 1/7/2001; valore nominale (vn) pari ad euro.000, 00; cedole all 1/1 e 1/7 di ogni anno calcolate al tasso del 4,75% annuo, nominale convertibile semestralmente; ritenuta fiscale del 12,50% sulle cedole; commissione bancaria dello 0,30% sul vn; spese fisse pari ad euro 5,00. Sulla base di quanto sopra, considerando i mesi commerciali tutti di 30 giorni, determinare: a) il costo d acquisto deibtp e la spesa complessivamente sostenuta; b) il tasso annuo, composto convenzione esponenziale, di rendimento effettivo dell investimento conclusosi alla scadenza deibtp, sapendo che le cedole sono state accreditate direttamente su un conto corrente bancario, al tasso del 5% annuo, nominale convertibile semestralmente. Esercizio n. 5 Una società ha emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: rimborso in 6 anni con estrazione a sorte delle obbligazioni, alla fine di ognuno dei successivi anni, rispettivamente, in numero di 4.000, 4.000, 4.000, 3.000, 2.000, 1.000; cedola annua, posticipata, valutata al tasso del 4% annuo con ritenuta fiscale del 12,50%; valore nominale (vn) di ogni obbligazione pari ad euro, 00; In relazione ad una obbligazione vivente appena effettuata la seconda estrazione, precisare la definizione e poi effettuare i calcoli relativi a quanto segue: a) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile; b) l usufrutto dell obbligazione effettuando le valutazioni al tasso annuo composto del 6%. RISOLUZIONE Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato. Risoluzione esercizio n. 1 (Istituzioni) Scadenza media aritmetica t A 1 6 12 scadenza finanziaria t F 8% : 3.000 2 2.000 3 3 12 3.000 2.000 5.000 5.000 2,475 anni 2 anni, 5 mesi e 21 giorni; 3.000 2.000 5.000 1,08 t F 8% 3.000 1,08 1 6 12 2.000 1,08 2 5.000 1,08 3 3 12 1,08 t F 8% 0.8281119042 t F 8% ln1,207566266 2,4506812902 anni 2 anni, 5 mesi e 12 giorni; ln1,08 duration 8% : 1 6 12 3.000 1,08 1 6 12 2 2.000 1,08 2 3 3 12 3.000 1,08 1 6 12 2.000 1,08 2 5.000 1,08 3 3 12 5.000 1,08 3 3 12 2,426324677 anni 2 anni, 5 mesi e 3 giorni. Il capitale esigibile all epoca t F 8% è di importo pari ad euro.000 ed è equo ai tre crediti anche effettuando le valutazioni ad un epoca t 0 perchè il regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, usato per le valutazioni, è scindibile. Per quanto riguarda la scadenza finanziaria t F i al variare di i, si ha quanto segue: 0 i 8% t F 8% t F i t A i 8% 1 6 12 t F i t F 8%
Risoluzione esercizio n. 1 (Corso di Laurea quadriennale) P : maxf x 1 ;x 2 max 240x 1 200x 2 9x 1 x 2 900 4x 1 x 2 200 x 1 0; x 2 0, x 2 9 x 1 90 x 2 4x 1 200 B 1.0 ; 1.800 31 31 L insieme ammissibile è chiuso e limitato con punti estremi: O 0;0, A 0;90 ; B 1.0 ; 1.800 31 31 ; C 50;0 ; la funzione obiettivo assume i seguenti valori: 1.0 f 0;0 0; f 0;90 18.000; f 31 31 20.129,03; f 50;0 12.000; maxf x 1 ;x 2 20.129,03 con x 1 1.0 e x 31 2 1.800 31. Per quanto riguarda il problema duale si ha: P : ming y 1 ;y 2 min 900y 1 200y 2 9y 1 4y 2 240 y 1 y 2 200 y 1 0; y 2 0 ming y 1 ;y 2 20.129,03. Risoluzione esercizio n. 2 (Istituzioni - Corso di Laurea quadriennale) j 2 8% annuo i 2 4% semestrale; D 3 0 30.000 1,04 8.000 1,04 6 16.000 1,04 3 R 0 R.406,05733.406,06; k 1 : I 1 30.000 1,04 2 1 2.448,00 C 1 R 1 I 1 7.552,00 E 1 D 1 30.000_7.552 22.448,00; k 2 : I 2 D 1 1,04 3 1 2.802,947072 2.802,95 C 2 R 2 I 2 13.197, 05 E 2 E 1 C 2 20.749,05 D 2 D 1 C 2 9.250,95; k 3 : I 3 D 2 1,04 3 1 1.155,1621 1.155,11 C 3 R 3 I 3 9.250,95 E 3 E 2 C 3 30.000 D 3 D 2 C 3 0; k t k sem. R k C k I k 4% sem.) D k E k 0 0 0 0 0 30.000, 00 0 1 2.000, 00 7.552, 00 2.448, 00 22.448, 00 7.552, 00 2 5 16.000, 00 13.197, 05 2.802, 95 9.250, 95 20.749, 05 3 8.406, 06 9.250, 95 1.155, 11 0 30.000, 00
Risoluzione esercizio n. 3 (Istituzioni - Corso di Laurea quadriennale) e 2kt f t, con t 0 e k 0; f 0 1 è vero; f t 2ke2kt e 2kt 0,5k ke2kt 1,5 kt 0, con t 0 e k 0; 2 2 la funzione f t, quindi, rappresenta un regime di capitalizzazione; con k 1 f t e 2t, con t 0; 1 0,5t il tasso unitario di interesse è: i f 1 1 e2 1,5 1,5 3,926037399; il tasso unitario di sconto è: d 1 1 f 1 e2 1,5 e 2 0,7969970752; l intensità istantanea di interesse è: t f t f t il valore attuale è: V 0 C 1 f 3 il tasso medio annuo è: i t f 3 2 12 1 3 2 12 1,5 t 1 0,5t.000 1 0,5 3 e 2 3 61,96880442 61,97; 1 3 2 12 Risoluzione esercizio n. 4 (Istituzioni - Corso di Laurea quadriennale) j 2 4,75% annuo i 2 l 2,375% semestrale lordo i 2 n i 2 l 1 0,125 0,02078125 semestrale netto; e, in quanto essa dipende da t, il regime non è scindibile; e 2 3 2 12 1 0,5 3 2 12 1 68,5096. corso tel quel 99,20 0 0,02078125 140 0,8163194 su 0 di valore nominale); 180 costo d acquisto.000 1,008163194.081,63; spesa complessiva per l acquisto.081,63.000 0,003 5.116,63; cedola netta.000 0,02078125 207,81; il tasso effettivo di rendimento si ottiene come segue: j 2 5% annuo i 2 0,025 semestrale;.116,63 1 i 400 360 207,81s 3 0,025.000 1 i 400 360 1,051649179 i 0,04636643 4,64% annuo. Risoluzione esercizio n. 5 (Istituzioni - Corso di Laurea quadriennale) Variabile casuale vita residua: A 2 1 2 3 4 1q 2 1/1 q 2 2/1 q 2 3/1 q 2 vita media residua: e 2 1 4 2 3 3 2 4 1 20 2 anni; 4 vita mediana residua (vita probabile): l 2 2 1 2 l 2 l 2 2 1 2.000 2 2 anni; nuda proprietà: 3 NP 6% 1,06 1 1q 2 1,06 2 1/1q 2 1,06 3 2/1q 2 1,06 4 3/1q 2 8,914906455 8,91; cedola annua netta 0,04 1 0,125 0,35; usufrutto: U 6% 0,35 1,06 1 1,06 2 1p 2 1,06 3 2p 2 1,06 4 3p 2 0,35 1,06 1 1,06 2 6 1,06 3 3 1,06 4 1 0,632971... 0,63; valore dell obbligazione V 2 6% NP 6% U 6% 8,91 0,63 9,54. 2 1