7. Studio elementare di funzioni Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 1
Studio elementare di funzioni (1) Trova il dominio. data f (x) (2) Studia la simmetria e la periodicità (questo punto può essere posticipato). (3) Trova le eventuali intersezioni con gli assi (poni x = 0 e y = 0 in y = f (x); in particolare, stabilisci dove f (x) = 0). (4) Studia il segno (stabilisci dove f (x) > 0; sai già dove f (x) = 0: nei restanti punti di domf risulta f (x) < 0). (5) Calcola i limiti agli estremi del dominio e trova gli eventuali asintoti. (6) Traccia il grafico probabile (non abbiamo ancora informazioni sulla monotonia e sulla convessità). Dopo ogni punto, rappresentiamo graficamente le informazioni ottenute.
Nota su simmetria e periodicità: Se dominio, intersezioni e segno non sono tutti simmetrici, allora f non è simmetrica; in tal caso conviene posticipare lo studio della simmetria, che viene automaticamente esclusa (analogamente per la periodicità). Se la funzione è simmetrica, basta studiare domf [0,+ [. Se la funzione è T-periodica, basta studiare domf [0,T]. Se la funzione è simmetrica e T-periodica, basta studiare domf [ 0, T 2 ]. Nota su intersezioni e segno: Talvolta non è possibile stabilire le intersezioni con l asse x (y = 0) e il segno della funzione, perché abbiamo equazioni e disequazioni non risolvibili esplicitamente; in tal caso, ci basiamo solo sugli altri punti dello studio di funzione.
Esercizio 1 Traccia il grafico probabile di f (x) = x ln x.
f (x) = x ln x f (x) 1 1 x
Esercizio 2 Traccia il grafico probabile di f (x) = 2 x x2 x. x + 1
f (x) = 2 x x2 x x + 1 f (x) 3 1 1 x
Esercizio 3 (Analisi 1, 3 Settembre 2012) Sia data la funzione sin x f (x) = ln 2 +. 2 + cosx Delle seguenti affermazioni (a) il dominio di f è ]0,+ [ (b) f è pari (c) f è periodica di periodo 2 π (d) lim f (x) non esiste (e) f ammette asintoto x + orizzontale per x le uniche corrette sono A : (a), (d) B : (c), (d) C : (b), (c), (e) D : (b), (c), (d).
( ) sinx f (x) = ln 2 + 2 + cosx f (x) ln2 π x
Esercizio 4 (Analisi 1, 1 Febbraio 2012) Sia data la funzione Delle seguenti affermazioni f (x) = x 2 + arctan 1 x + 2. (a) il dominio di f è {x > 2} (b) f ammette asintoti verticali (c) la retta y = 1 2x è asintoto obliquo per f (d) lim x 2 + f (x) = 1 + π 2 (e) f ammette un asintoto orizzontale le uniche corrette sono A : (a), (b), (c) B : (d), (e) C : (a), (c) D : (c), (d).
f (x) = x ( ) 1 2 + arctan x + 2 f (x) π 2 1 2 x π 2 1
Esercizio 5 (Analisi 1, 11 Giugno 2012) Sia data la funzione f (x) = Delle seguenti affermazioni 3 3 e x 2 + ln ex 2. (a) il dominio di f è ]ln2,+ [ (b) f è pari (c) lim f (x) = + (d) f ammette un asintoto orizzontale + x (ln2) per x (e) f ammette y = x come asintoto obliquo per x + le uniche corrette sono A : (a), (c), (e) B : (b), (e) C : (b), (d) D : (c), (d), (e).
f (x) = 3 3 e x 2 + ln ex 2 f (x) ln2 3 3 2 ln2 x
Teorema degli zeri Siano a,b numeri reali con a < b e sia f : [a,b] R una funzione continua. Se f (a)f (b) < 0, allora esiste (almeno) un c ]a,b[ tale che f (c) = 0. Nota: se inoltre f è iniettiva, allora c è necessariamente unico.
Esercizio 6 Dimostra che l equazione x 2 lg3 (4 x) = 0 ammette un unica soluzione reale x 0 e che, inoltre, x 0 ]2,3[.
Esercizio 7 Sia f : R R una funzione continua tale che lim x + f (x) = + e lim x f (x) =. Posto g(x) = x2 f (x) + 1 e h(x) = xf (x) 1, dimostra che g e f hanno almeno uno zero (ciascuna).
Esercizio 8 Dimostra che, se f : [a,b] R è una funzione continua tale che f ([a,b]) [a,b], allora f ammette almeno un punto fisso, cioè esiste c [a,b] tale che f (c) = c.
Esercizio 9 Traccia il grafico probabile delle seguenti funzioni: (a) f (x) = x 2/5 (π x ) 3/5 ; (b) f (x) = x x ; ( (c) f (x) = 1 + 1 ) x ; x (d) f (x) = sinx + tanx. Esercizio 10 Dimostra che ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice.