Interli Punti principli dell lezione precedente - Problem dell misurzione delle ree. - Per un unzione continu su un intervllo [, b], deinizione di Interle () d (medinte somme ineriori e somme superiori). - Deinzione di re del trpezoide di un unzione continu non netiv su un intervllo. - Proprietà deli interli (nloi con proprietà delle sommtorie). -Funzione Interle. Per un unzione continu su un intervllo I e un punto c I issto, deinizione dell unzione interle di con punto bse c come l unzione I,c su I dt d I,c () = c (t) dt -Teorem ondmentle. Per ciscun unzione continu su un intervllo I, ciscun unzione interle I,c è derivbile su I, inoltre I,c() = (), I. -Primitive. Un F : A R si dice primitiv di un : A R se F è derivbile su A e F () = (), A. -Proposizione. Se F 0 è un primitiv di un su un intervllo I, llor le primitive di su I sono tutte e sole le unzioni F 0 + c, dove c è un costnte in R. -Teorem (Formul di Torricelli). Si : [, b] R continu, e si F : [, b] R un su primitiv. Allor () d = [F()] b, dove [F()] b = F(b) F(). -Interli enerlizzti. Si deinisce l interle enerlizzto di un unzione continu su un intervllo [, + [ come + β () d = lim () d; β + nlomente per un su un intervllo ], b]. Si deinisce l interle enerlizzto di un unzione continu su un intervllo [, b[ come β () d = lim () d; β b nlomente per un su un intervllo ], b].
Clcolo di interli medinte primitive 0.0. Primitive elementri Grzie ll ormul di Torricelli, si può cercre di clcolre un interle cercndo un primitiv dell unzione internd. Alcune primitive elementri F α α+ /(α + ) lo R =0 e e R cos () sin () R sin () cos () R Nell prim ri dell tbell, si intende che le unzioni e F hnno dominio R, R =0, R >0 secondo dell ntur di α. Per ciscun ri dell tbell, l unzione F è un delle primitive dell unzione sul dominio dichirto. Se il dominio è un intervllo, tutte le primitive di si ottenono d F iunendo un costnte; se il dominio è R =0, tutte le primitive di si ottenono d F iunendo un costnte su R <0 ed un su R >0. Osservimo inoltre che -se e sono due unzioni venti lo stesso dominio e F e G sono primitive di e, llor F + G è un primitiv dell unzione + ; -se F è un primitiv di un unzione ed α è un numero rele, llor αf è un primitiv dell unzione α. Di seuito si riportno lcuni esempi di clcolo di interli usndo l ormul di Torricelli, le primitive elementri, e le proprietà di linerità delle primitive. 4 ( ) + d = 4 ( / + /) d [ ] 4 [ = 3/ /(3/) + / /(/) = (/3) 3 + 4 ] 4 = 6/3 + 8 (/3 + 4) = 6/3 Commenti: questo interle h senso in qunto l unzione internd è deinit e continu su [, 4]; il risultto 6/3 trovto è l misur dell re del trpezoide dell unzione sull intervllo [, 4]. / d = [lo ] / = lo (/) lo () = lo (/)
Commenti: questo interle h senso in qunto l unzione internd è deinit e continu su [, /]; il risultto lo (/) trovto è netivo, ed è l opposto dell misur dell re del trpezoide dell unzione sull intervllo [, /]. π 0 sin () d = [ cos ()] π 0 Vrinti delle primitive eementri = cos (π) + cos (0) =. Dll reol di derivzione delle unzioni composte e dll ormul di Torricelli si ottiene l seuente ormul di interzione (()) () d = [( )()] b dove, deinit su [, b], ed sono due unzioni derivbili nei loro domini, tli che esist l unzione compost, e tli che le unzioni derivt di e sino continue. In prticolre, prendendo come un delle unzioni con primitiv elementre dell tbell di sopr, si hnno le seuenti ormule di interzione (()) α () d = () () d = [lo () ]b, e () () d = [e ()] b [ ] b (()) α+ /(α + ),, cos () () d = [sin ()] b, sin () () d = [ cos ()] b Qui si ssume che l unzione soddisi le dovute condizioni che ssicurno l esistenz dell unzione internd e dell interle. 3 + 5 d = 3 3 3 + 5 d = 3 [lo 3 + 5 ]b ; ( sotto l condizione che l intervllo [, b] si contenuto nell intervllo ], 5/3[ o nell intervllo ] 5/3, + [. ) e d = e d = [e ] b.
0.0. Interzione per prti Nel seuito, scriveremo d e [ ] per intendere d e [ ]b, dove, b sono costnti che soddisno le dovute codizioni e rimnono invrite nello sviluppo di ciscun espressione. All relzione r derivzione e prodotto ( ()()) = ()() + () () (sotto dovute condizioni per e ) corrisponde l seuente relzione r interzione e prodotto ( ()() + () () ) d = [ ()()], (sotto dovute condizioni per e ), cioe ()()d + () ()d = [ ()()], che puo essere riscritt ()()d = [ ()()] () ()d, o, psicoloicmente divers m loicmente equivlente, () ()d = [ ()()] ()()d. Quest ormul viene dett ormul di interzione per prti. L uso tipico è il seuente. Si vuole interre un unzione h(); per oni scrittur di h() del tipo h() = ()(), l ormul permette di ricondurre l interzione di h() ll interzione dell unzione () (); l ppliczione dell ormul h successo se quest ultim unzione è piu cile d interre dell prim.. Si vuole clcolre l interle e d. Tenttivo. e d = [ e ] e con i metodi e i tti inor disponibili non sppimo interre l unzione e, il tenttivo non h vuto successo. Tenttivo. e d = [ e ] = [e ] [e ] = [( )e ]. e. Si vuole clcolre l interle e d. d; d
Si h e d = [ e ] e d = [ e ] [( )e ] = [( + )e ].. Si vuole clcolre l interle lo d. Si h lo d = lo d = [ = [ lo ] [] = [(lo )].. Si vuole clcolre l interle lo d. Si h lo d = [ lo ] lo ] d = [ lo ] [ 4 ] = [ (lo )]. Si lsci l lettore di veriicre l correttezz dei risultti ottenuti. D un rico qulittivo di un unzione un rico qulittivo di un su unzione interle Nel pino crtesino, si F l line unione dell semicirconerenz che h per dimetro il semento di estremi (0, 0) e (4, 0) e pss per (, ) e dell semicirconerenz che h per dimetro il semento di estremi (0, 4) e (0, 6) e pss per (5, ), e si : [0, 6] R l unzione che h come rico l line F. Ci ponimo il problem di dre un rppresentzione qulittiv del rico dell unzione interle I,0 di con punto bse 0, I,0 : [0, 6] R, I,0 () = 0 d () d, ( [0, 6]), senz cercre di dre un descrizione nlitic dell unzione e senz clcolre l interle che deinisce I,0. Osservimo che è continu sull intervllo [0, 6], non netiv su [0, 4] e non positiv su [4, 6]. Si hnno i seuenti vlori di I,0 : 0 4 5 6 I,0 () 0 π π il vlore in = 0 seue dll deinizione, i vlori in = e = 4 seuuono dll interpretzione dell interle di come re; si lsci l lettore di completre l tbell.
Per il teorem ondmentle, I,0 : [0, 6] R è derivbile su [0, 6] e Si hnno i seuenti vlori di I,0 : I,0() = (), [0, 6]. ]0, 4[ 4 ]4, 6[ I,0 () > 0 0 < 0 dunque: I,0 è strettmente crescente su ]0, 4[, h un mssimo locle in = 4, ed è strettmente decrescente su ]4, 6[. L unzione è derivbile neli intervlli ]0, 4[ e ]4, 6[. Come conseuenz del teorem ondmentle, I,0 : [0, 6] R è due volte derivbile su tli intervlli e Si hnno i seuenti vlori di I,0 : I,0 () = (), ]0, 4[ ]4, 6[. ]0, [ ], 5[ 5 ]5, 6[ I,0 () > 0 0 < 0 dunque: I,0 h concvità rivolt verso l lto su ]0, [, h un punto di lesso in =, h concvità rivolt verso il bsso su ], 5[,... Osservimo che l rett tnente l rico di I,0 nel punto di lesso = h equzione y I,0 () = I,0()( ), cioè y π = ( ). Lscimo l lettore il compito di completre l descrizione qulittiv del rico di I,0.