Condensatori Il condensatore elettrico (o capacitore) è un dispositivo estremamente utile in elettronica e nei circuiti elettrici, poiché consente di immagazzinare e rilasciare energia elettrica in modo molto rapido. E costituito da due conduttori isolati di varie forme che vengono chiamati piatti o armature del condensatore. In figura un condensatore piano (piatti paralleli) Un condensatore è detto carico quando i suoi piatti possiedono cariche uguali e di segno opposto +q e q. I piatti costituiscono superfici equipotenziali e la differenza di potenziale è indicata con V. La caratteristica più importante del condensatore è la sua capacità (C); essa determina la relazione tra la carica accumulata nel condensatore (valore assoluto della carica su un piatto) e la differenza di potenziale tra i due piatti.
Capacità elettrica La capacità del condensatore corrisponde alla quantità di carica che è necessario accumulare sui piatti per avere una differenza di potenziale unitaria: q = CV 1farad = 1F = 1 coulomb volt = 1 C V Per caricare il condensatore inizialmente scarico è necessario inserirlo in un circuito elettrico (connetterlo ad una batteria). La batteria genera una d.d.p. tra i suoi poli: a circuito chiuso, la carica + si trasferisce dal polo + della batteria al piatto h del condensatore, e la carica negativa dal polo - della batteria al piatto l del conduttore, fino a che poli e piatti non siano allo stesso potenziale. A questo punto la corrente si blocca: lungo i fili del circuito il potenziale è costante in ogni punto, e la d.d.p. del condensatore si è portata ad un valore uguale a quello della batteria: il condensatore è totalmente carico.
Calcolo della capacità elettrica Per calcolare la capacità di un condensatore occorre conoscere: - Carica - Differenza di potenziale tra i piatti - Geometria f ε 0 ර E d ԦA = q V f V i = න E d Ԧs i Condensatore piano: Trascuriamo gli effetti di bordo ed assumiamo il campo uniforme in tutti i punti interni al condensatore. Calcoliamo la d.d.p. tra i piatti considerando un cammino rettilineo (linea verde) che va dal piatto negativo al piatto positivo (si noti che campo e spostamento hanno verso opposto): ε 0 ර E d ԦA = q = ε 0 EA + V = න E d Ԧs = Ed A è l area di quella parte di superficie gaussiana attraverso cui vi è un effettivo flusso C = q V = ε oea Ed = ε oa d condensatore piano
Costante dielettrica del vuoto ε 0 = 8.8542 10 12 C2 Nm 2 C = ε oa d ε 0 = Cd A ε o = 8.85 10 12 F m = 8.85 pf/m
Condensatore cilindrico Condensatore cilindrico di lunghezza L costituito da due cilindri coassiali di raggi a e b, con carica +q e q; sia L >> a,b, così da poter trascurare gli effetti di bordo. ε 0 ර E d ԦA = q = ε 0 EA = ε o E(2πrL) Superficie gaussiana: cilindro di lunghezza L e raggio r chiuso da due basi circolari f q E = V f V i = න E d Ԧs 2πε 0 Lr i + V = න E d Ԧs = න +E ds = q 2πε 0 L න a b 1 r dr = q 2πε 0 L ln b a Integrazione nel verso radiale entrante ds = - dr C = 2πε 0 L ln(b/a)
Condensatore sferico Sezione diametrale di un condensatore sferico composto da una sfera di raggio a e un guscio sferico di raggio b q = ε 0 EA = ε o E(4πr 2 ) E = q 4πε 0 r 2 V = න +E ds = q a 1 න 4πε 0 b r 2 dr = q 4πε 0 a 1 r b = q 4πε 0 1 a 1 b = q 4πε 0 b a ab C = 4πε 0 ab b a
Sfera isolata Si può attribuire una capacità a un singolo conduttore sferico isolato di raggio R assumendo che il piatto mancante sia una sfera di raggio infinito. Non è un caso privo di significato fisico: le linee di campo uscenti da una sfera conduttiva carica positivamente prima o poi dovranno andare a morire su un involucro carico negativamente che neutralizza l intero sistema (ad esempio le pareti della stanza). Se il raggio della sfera è piccolo rispetto a questa distanza si può usare l espressione per la sfera isolata. Il limite di distanza infinita ha senso solo nel caso di condensatore sferico, poiché la simmetria radiale si conserva nel limite infinito; nel caso cilindrico o uniforme l aumento di distanza tra le armature produce effetti di bordo sempre maggiori, fino a distorcere completamente la simmetria originaria. C = 4πε 0 ab b a = 4πε a 0 1 a/b per b C = 4πε 0 R
Condensatore in parallelo La differenza di potenziale applicata al loro insieme è la stessa ddp applicata a ognuno di essi. La carica totale q immagazzinata nei condensatori è la somma delle cariche acquistate da ciascuno di essi. q 1 = C 1 V; q 2 = C 2 V; q 3 = C 3 V q = q 1 + q 2 + q 3 = C 1 + C 2 + C 3 V C eq = q V = C 1 + C 2 + C 3 n C eq = j=1 C j Più condensatori in parallelo equivalgono a unico condensatore che abbia carica pari alla carica totale dei condensatori dati e la stessa differenza di potenziale. La capacità equivalente in un insieme di condensatori è pari alla somma delle singole capacità
Condensatore in serie I condensatori sono collegati in serie quando la differenza di potenziale applicata alla combinazione di condensatori stabilisce su di essi una carica q identica per tutti. La ddp V applicata al complesso è la somma delle differenze di potenziale presenti su ogni condensatore. V 1 = q C 1 ; V 2 = q C 2 ; V 3 = q C 3 V = V 1 + V 2 + V 3 = q 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 C eq = q C = 1 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 1 C eq = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 n 1 1 = C eq C j j=1 La capacità equivalente è sempre minore di quella del meno capace dei condensatori in serie
25.8 Si trovi la capacità equivalente dell insieme dei condensatori in figura. Si assuma C 1 = 10.0 mf, C 2 = 5.0 mf, C 3 = 4.0 mf. 25.9 Trovare la capacità equivalente dell insieme dei condensatori. Si assuma C 1 = 10.0 mf, C 2 = 5.0 mf, C 3 = 4.0 mf.
Energia immagazzinata dal campo elettrico Per caricare un condensatore occorre un agente esterno che compia lavoro. Partendo dal condensatore scarico, il lavoro viene compiuto da una batteria per trasportare tutta la carica del condensatore da un piatto all altro. Si può considerare il lavoro compiuto come energia potenziale elettrica nel campo elettrico compreso tra i piatti. Calcoliamo questa energia: consideriamo un condensatore piano, sia q la carica trasferita su un piatto in un certo istante del processo di carica; la differenza di potenziale V tra i piatti sarà q /C Consideriamo lo spostamento di una carica dq dal piatto negativo a quello positivo; l incremento di lavoro richiesto è: dl = V dq = q C dq L = න dl = 1 qq C න dq = q2 0 2C U = q2 2C Poiché q = C V U = 1 2 CV2 energia potenziale di un condensatore carico Non dipende dalla geometria del condensatore. L energia potenziale di un condensatore può essere considerata come immagazzinata nel campo elettrico delle sue armature.
Defibrillatore Una batteria carica un condensatore ad elevata d.d.p, immagazzinando una grande quantità di energia in meno di un secondo. Una volta carico, gli elettrodi vengono applicati sul petto del paziente ed il circuito viene chiuso: l energia si scarica attraverso una corrente che fluisce tra le due piastre attraverso il corpo umano (che è un buon conduttore elettrico). Condensatore da 70 mf in un defibrillatore caricato fino a 5000 V. Calcoliamo l energia immagazzinata nel condensatore. U = 1 2 CV2 = 1 2 70 10 6 F 5 10 3 V 2 = 875 J Scaricare questa energia nel tempo di 1 ms equivale a scaricare sul corpo del paziente una POTENZA (energia per unità di tempo): P = U t = 875 J 10 3 s = 875 103 W = 875 kw
Condensatore in presenza di un dielettrico Il concetto di capacità si deve al grande Michael Faraday, uno dei padri dell elettromagnetismo classico. Nel 1837 Faraday fece un altra scoperta importantissima: Inserendo un materiale isolante (dielettrico) tra i piatti del condensatore, la capacità può aumentare enormemente. Rispetto al condensatore vuoto (chiamiamo C vuoto la sua capacità), dopo l inserimento del dielettrico la capacità aumenta di un fattore moltiplicativo adimensionale che dipende dalla sostanza, detto costante dielettrica relativa r. C = ε r C vuoto Valida per condensatore completamente riempito da dielettrico Tutte le equazioni di elettrostatica contenenti la costante dielettrica del vuoto vanno modificate sostituendo 0 con r 0 E = 1 4πε r ε 0 q r 2 E = σ ε r ε 0 ε ε 0 = ε r
Dielettrici e legge di Gauss ε 0 ර E d ԦA = ε 0 E 0 A = q E 0 = q ε 0 A Un dielettrico tra i piatti del condensatore sviluppa, come risposta al campo generato dai piatti, un doppio strato carico che si OPPONE a quello dei piatti; sia q la carica di questo doppio strato; applichiamo la legge di Gauss alla superficie Gaussiana disegnata in rosso: ε 0 ර E d ԦA = ε 0 EA = q q E = q q ε 0 A Il dielettrico agisce indebolendo il campo originale E 0 di un fattore r E = E 0 ε r = q ε 0 ε r A ; q q = q ε r ε 0 ර ε r E d ԦA = q legge di Gauss in un dielettrico ε 0 ε r E = εe = D spostamento elettrico ර D d ԦA = q
25.1 Il circuito in figura ha una capacità di 25mF ed è inizialmente scarico. La batteria fornisce una ddp di 120 V. Dopo che l interruttore è rimasto chiuso per lungo tempo, quanta carica avrà attraversato la batteria? 25.3 Un condensatore piano ha piatti circolari aventi raggio di 8.2 cm distanti 1.3 mm l uno dall altro. a) Si calcoli la capacità b) Quale carica comparirà sui piatti se si applica una ddp di 120 V?
25.6 I piatti di un condensatore sferico hanno raggi di 38 mm e 40 mm. a) Si calcoli la capacità b) Quale dovrebbe essere l area di un condensatore a piatti paralleli con una uguale distanza tra i piatti e uguale capacità? 25.20 Un condensatore a piatti paralleli operante in aria, avente un area di 40 cm2 e una distanza tra i piatti di 1.0 mm, viene caricato con una ddp di 600 V. Si determini a) La capacità b) La quantità di carica su ciascun piatto c) L energia immagazzinata
25.26 Un condensatore a piatti paralleli operante in aria ha una capacità di 50 pf. Se ciascuno dei suoi piatti ha un area di 0.35 m2, qual è la loro distanza? Se la regione compresa tra i piatti viene riempita con un materiale di costante dielettrica relativa pari a 5.6, quanto vale la capacità? 25.28 In figura la batteria ha una tensione di V = 12.0 V. Calcolare la carica accumulata nei condensatori piani sapendo che hanno entrambi area di 5.00 10-3 m 2, distanza 2.00 mm, ma uno è pieno d aria, l altro di un isolante con costante dielettrica relativa pari a 3.00.
25.36 Due piatti paralleli di area pari a 100 cm2 vengono caricati con cariche uguali e opposte di 8.7 10-7 C. Il campo elettrico all interno del materiale dielettrico interposto ai piatti vale 1.4 10 6 V/m. Si calcoli la costante dielettrica del materiale e la quantità di carica indotta sulla superficie del dielettrico. 25.37 Si collega una batteria di tensione 10 V a n condensatori in serie, ciascuno di capacità 2 mf. Stabilire il valore di n sapendo che l energia totale accumulata è di 25 mj.