Circuiti elettrici Possiamo combinare molti oggetti già studiati per fare circolare corrente nel modo che ci conviene Possiamo usare condensatori e solenoidi Introdurremo anche generatori (i motori delle correnti) e resistenze (le strade) Possiamo immagazzinare energia oppure produrla Possiamo avere corrente costante (continua) come quella delle batterie, o alternata come quella delle prese
Verso della corrente e portatori di carica La corrente ha, per convenzione, il verso in cui si muovono le cariche positive In realtà, spesso sono le cariche negative che si muovono in verso opposto Questo avviene in tutti i metalli alcune sostanze, i semiconduttori, possono condurre la corrente anche tramite cariche positive Queste sono le sostanze impegate nell eletttronica, nei computer, ecc. ecc. Un tipico materiale semiconduttore è in Silicio, drogato con Gallio o Germanio
Forze tra correnti Una corrente è costituita da cariche in moto, quindi, in presenza di un campo magnetico c è una forza sulla corrente la corrente è data da I = J S, il numero di cariche contenute in un tratto dl di filo dn = n S dl, quindi la forza su un tratto d l di filo perpendicolare al campo magnetico sarà d F = n S dl q v B = I d l B Due fili percorsi da corrente, paralleli e posti a distanza d interagiscono perché ciascuno genera un campo, che produce poi una forza sull altro. Il modulo di questa forza, per unità di lunghezza vale df = µ 0 I 1 I 2 dl 2π d La forza è attrattiva tra correnti concordi, repulsiva tra correnti discordi Questa equazione viene usata per definire l Ampère
Differenza di potenziale Per portare una carica da un punto A ad un punto B del circuito, il campo elettrico deve fare un certo lavoro W = B A F d x = q B A E d x Il campo elettrico ha la stessa forma del campo gravitazionale, quindi è anch esso conservativo Posso scrivere W = q(v (B) V (A)) dove la funzione V (x) detta potenziale, dipende solo dalla posizione ed è definta a meno di una costante. La differenza di energia tra A e B è E = q (V (A) V (B)) Il lavoro fatto per unità di tempo è dato da P = dw dt = V dq dt = V I
Resistenza Si può misurare, al variare della ddp V, la corrente che passa tra due punti: si trova sperimentalmente che questa è proporzionale alla ddp secondo la legge di Ohm V = R I R è una costante che dipende da come è fatto il conduttore R = ρ L/S dove L è la lunghezza del conduttore ed S la sua sezione ρ si chiama resistività e dipende solo dalla sostanza di cui è fatto il conduttore, non dalla sua geometria La potenza dissipata in un conduttore sarà P = V I = R I 2 = V 2 /R Materiale Resistività Ω m Argento 1.59 10 8 Rame 1.7 10 8 Carbone 3.5 10 5 Silicio 640 Quarzo fuso 75 10 16
Resistenze in serie e in parallelo Due o più resistenze si possono combinare per ottenere una resistenza di valore diverso Due resistenze in cui passa la stessa corrente sono in serie Le voglio rimpiazzare con un unica resistenza (equivalente) che abbia lo stesso effetto a parità di V devo ottenere la stessa corrente I V (A) e V (B) ai capi della prima resistenza, V (B) e V (C) della seconda V (A) V (C) = R eq I = R 1 I + R 2 I = (R 1 + R 2 )I = R eq = R 1 + R 2 Due resistenze, tra le quali esiste la stessa ddp si dicono in parallelo Le sostituisco con una singola resistenza, in cui passi la corrente, somma delle correnti che passano in R 1 e R 2 I = V /R eq = I 1 + I 2 = V /R 1 + V /R 2 = 1/R eq = 1/R 1 + 1/R 2
Forza elettromotrice Esistono congegni capaci di trasformare l energia meccanica o chimica in energia elettrica. Sono detti generatori Esempi pratici sono le batterie, gli alimentatori e la dinamo dell auto, le centrali eoliche, idroelettriche e nucleari, ecc. La misura della loro capacità di fare passare corrente è la forza elettromotrice (fem), cioè l energia per unità di carica che sono in grado di fornire La fem ha le stesse unità di misura della ddp, ma è concettualmente diversa all interno del generatore passa corrente, ed anch esso ha una resistenza, che cambia la ddp ai capi del generatore rispetto a quella a circuito aperto
Circuiti in corrente continua Sono quelli in cui la corrente non varia nel tempo È composto da almeno un generatore e da una resistenza È costituito da nodi e da maglie Si può studiare usando la continuità della corrente nei nodi e il fatto che la ddp deve essere nulla nel percorso attorno ad una maglia
Correnti alternate Alcuni generatori producono una corrente che varia nel tempo in modo sinusoidale. È questa la corrente alternata L espressione matematica è V (t) = V 0 cos(ω t + ϕ) = V 0 cos(2πν t + ϕ) Se la fem fosse periodica ma non armonica, si potrebbe comunque scomporre questa tramite il teorema di Fourier Un circuito con solo un generatore con fem V = V 0 cos(2πν t) e una resistenza R, avrà una corrente I = V 0 /R cos(2πν t) e dissiperà una potenza P = V 2 0 R cos2 (2πν t) Poiché é inutile misurare la potenza istantanea, devo fare la media su un periodo (che equivale alla media su tempi lunghi) e ottengo P = V 2 0 /2R = V 2 eff /R = RI 2 0 /2 = RI 2 eff V eff = V 0 / 2 I eff = I 0 / 2
Condensatori Sono capaci di immagazzinare una carica Q se, tra le armature, c è una ddp V. Due condensatori in serie hanno la stessa carica, le ddp si sommano. Se li rimpiazzo con un unico condensatore di capacità C eq, trovo Q/C eq = V = V 1 + V 2 = Q/C 1 + Q/C 2 = 1/C eq = 1/C 1 + 1/C 2 Due condensatori in parallelo hanno la stessa ddp ed il condensatore equivalente dovrebbe avere una carica pari alla somma delle cariche Q = C eq V = Q 1 + Q 2 = C 1 V + C 2 V = C eq = C 1 + C 2
Carica di un condensatore Al momento di chiudere il circuito non c è carica sul condensatore Via via che la carica sulle armature aumenta, la ddp ai capi del condensatore controbilancia il generatore e la corrente diminuisce esponenzialmente V Q/C = IR = dq/dt Cercando una soluzione della forma Q(t) = V /C(1 A e t/τ ) Si trova A = 1 e τ = RC cioè Q(t) = CV (1 e t/τ ) Nei circuiti in corrente alternata il condensatore ha la proprietà di ritardare la corrente, sfasandola
Induttanza Un solenoide ha un campo magnetico proporzionale alla corrente Il flusso di B è quindi proporzionale a I posso scrivere allora Φ = LI Il coefficiente L non dipende dalla corrente ma solo da come è costruito il solenoide e si chiama induttanza Per un solenoide L = µ 0 n N S Dato che la legge di Faraday mi dice che V = dφ/dt allora trovo che V = L di dt L induttanza si misura in Henry (Henry = Volt secondo / Ampere)
Energia del campo magnetico In un circuito RL la potenza dissipata sarà VI = RI 2 + L di dt I = VI = RI 2 + d dt ( ) 1 2 LI 2 Una parte dell energia non è dissipata ma immagazzinata nel solenoide Esprimo in funzione del campo magnetico ( ) 1 U = 2 LI 2 = 12 µ 0nNS B2 B2 µ 2 = SL 0n2 2µ 0 Posso definire un energia per unità di volume del campo magnetico come u = U SL = B2 2µ 0
Circuiti LC Sono composti da un condensatore, da un induttanza e da un generatore (in corrente alternata) L equazione del circuito è V (t) = Q(t) C (t) + LdI dt Dato che I = dq(t)/dt ho che l equazione è d 2 Q(t) dt 2 + 1 Q(t) = V (t) LC Questa è l equazione di un oscillatore armonico forzato, con una frequenza cartteristica ω 0 = 1/ LC. I circuiti LC sono in grado di selezionare una data frequenza, e sono usati, per esempio, nella sintonizzazzione delle radio