Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica () (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale nello spazio, cioè una gandezza fisica con modulo e diezione, funzione della posizione nello spazio ( x, y, z) (teoie di aaday-maxwell) Azione del campo di induzione magnetica (ad esempio vicino a una calamita o magnete natuale): oientamento di aghi magnetici S N S N Sul magnete e sugli aghi magnetici (bussole) sono definiti i poli Nod e Sud; gli aghi si oientano secondo linee in modo da fomae una catena N-S-N-S-... (poli opposti si attaggono, poli uguali si espingono) S N
Rappesentazione del campo magnetico pe mezzo di linee di foza: la diezione del campo è tangente alle linee, che escono dal polo N (Nod) ed entano dal polo S (Sud) Campo di induzione magnetica della tea S Polo Nod N N S Tea Sole Dipolo magnetico: oggetto simile al dipolo elettico: è fomato da due poli magnetici opposti a distanza d, la stuttua delle linee di foza è simile Polo Sud
Azione del campo di induzione magnetica: foze su fili pecosi da una coente elettica (seconda legge di Laplace) l campo di induzione magnetica tatto di filo, oientato nel veso della coente N La foza è popozionale alla coente, alla lunghezza del tatto di filo e al campo, ed è dietta pependicolamente alle diezioni del filo e del campo secondo la egola del cacciavite (o della mano desta) l l vettoe podotto vettoiale ta i vettoi l e Più esattamente: foza infinitesima su un tatto di filo di lunghezza infinitesima d dl S
Podotto vettoiale a b c a pepend. a b modulo a bc e c senθ se b c a b c se b c a b a θ a è nella diezione di avanzamento della vite c il podotto vettoiale non è commutativo! oza del campo modulo l c b b c senθ l l θ z y x tena di assi catesiani otogonali (x,y,z)
La foza su fili definisce completamente l [ ] [ l ] [ ] l Si definisce il Tesla, unità di misua di dimensioni di T N A m Si usa anche il Gauss: Gauss -4 T oza Coente Lunghezza Esempi: Elettomagnete T eomagnete. T Campo magnetico teeste -4 T oza totale su filo ettilineo in campo magnetico unifome e pependicolae al filo costante, θ π/, sen θ dietta veso sinista d senθ dl dl filo filo filo Simbologia: Campo entante nel foglio Campo uscente dal foglio L dl L
Esempio di calcolo: foza totale su un cicuito semicicolae in campo magnetico unifome (vedi figua) dietto come x aggio del semicechio coente d l tatto di filo infinitesimo θ angolo ta la diezione di dl e quella di oza sul tatto ettilineo del cicuito: diezione entante nel piano L diezione entante nel piano diezione uscente dal piano oza sul tatto semicicolae: diezione uscente dal piano; dato che dl dθ e che l angolo va da a π pecoendo il semicechio (nel veso della coente) si ha π [ θ ] L senθ dl senθ dθ cos semicechio π L O θ y dθ θ d l uguale e opposta alla pecedente. Quindi la foza totale è nulla. (questa conclusione è valida pe spie di foma qualsiasi pecose da coente!). Saà possibile peò un moto di otazione (coppia di foze e momento meccanico) x
Momento meccanico su una spia Vista di fonte z x Spia ettangolae di supeficie S a b, con coente, immesa in campo magnetico unifome dietto come x oze sui tatti dietti come x (paalleli a ) : nulle oze sui tatti dietti come z (pependicolai a ) : b Vista dall alto y x e hanno diezioni opposte coppia di foze moto otatoio intono al punto centale O momento meccanico ispetto a O: M θ Coente entante nel foglio Coente uscente dal foglio Angolo ta e la nomale alla supeficie della spia θ a a a senθ + senθ b senθ M S senθ n
Momento meccanico coente supeficie campo θ π n o n θ π / N Am [ M] [ S ] Am T Am Nm o θ n Momento meccanico zeo (posizione di equilibio instabile) enegia massima U + S Momento meccanico massimo enegia zeo M S Enegia della spia nel campo magnetico: U U S cosθ (si icava calcolando il lavoo meccanico pe la otazione della spia) Momento meccanico zeo (posizione di equilibio stabile) enegia minima U - S (N. la nomale n alla spia coisponde alla egola del cacciavite uotando secondo la otazione della coente) Motoi elettici: si ottiene lavoo meccanico sfuttando il movimento della spia nel campo di induzione magnetica, vaiando nel tempo sinusoidalmente la coente pe mantenee momento meccanico e otazione (motoi sinconi)
l campo magnetico viene geneato da: magneti + N S N S Non è possibile isolae un polo magnetico (ad esempio dividendo il mateiale in pezzi più piccoli); i poli N e S sono sempe accoppiati. Al limite le linee di foza di si ichiudono su se stesse; non esistono caiche magnetiche (diffeenza col campo elettico) Non ci sono sogenti del campo ; si dice che il campo è solenoidale. N S Geometia del campo Φ Legge di Gauss pe n ds! Sup. chiusa e in foma puntuale div
l campo magnetico viene geneato da: coenti Lezione 7 (pima ossevazione speimentale: Oested 89) l campo di induzione magnetica infinitesimo d nel punto P ceato dal tatto di filo infinitesimo dl è dato dalla legge di iot-savat (o pima legge di Laplace) d in modulo: d d l 3 4 π d 4π senθ d l a) è pependicolae a dl e a secondo la egola del podotto vettoiale b) è invesamente popozionale a (legge dell inveso del quadato) c) è popozionale alla coente e alla lunghezza del filo tatto infinitesimo di filo, oientato nel veso della coente vettoe posizione del punto P da O (ad angolo θ ispetto a dl ) d l O d l in P: campo di induzione magnetica uscente dal foglio (egola della mano desta) P
Costante di popozionalità : dipende dalla scelta di definie dalla foza esecitata su fili pecosi da coente (vedi) Def.: pemeabilità magnetica del vuoto: 7 7 4π Tm/A 4π N/A l appoto ta le costanti nelle leggi che definiscono i campi, costante elettica / costante magnetica è indipendente dalla scelta dell'unità elettica e ha le dimensioni di una velocità al quadato ( la luce ) 4πε l campo di induzione magnetica geneato da conduttoi pecosi da coenti saà quindi dato da C N m 4π ε N m C /s s d l d 3 4π fili fili c Si dimosta che pe i campi magnetici geneati da coenti vale seconda equazione di Maxwell: la divegenza di è sempe zeo x y z div + + x y z (a meno che non venga scopeto un monopolo magnetico )
campo di induzione magnetica geneato da conduttoe ettilineo ilo conduttoe infinito dietto come z e pecoso da coente ; è pependicolae al filo e quindi giace su un qualunque piano pepend. al filo. Data la simmetia cilindica, le linee di foza del campo sono cicolai. Calcoliamo il campo nel punto P, a distanza R dal punto di intesezione del filo col piano Osseviamo che: dl dz R sen θ ; z + R ( inp) d senθ d l 4π 4π filo + R filo dz 3/ ( z R ) 4π + R z + R π R Quindi è invesamente popozionale alla distanza dal filo z + π R d l z O R θ P vista dall alto: osseviamo che la diezione delle linee di foza cicolai e la diezione della coente sono legate dalla egola del cacciavite (o mano desta)
campo di induzione magnetica sull asse di una spia cicolae Spia cicolae di aggio a, pecosa da coente e giacente sul piano x-y; sul punto indicato dell asse, il tatto di spia dl contibuisce al campo di induzione magnetica pe la quantità d ; dato che dl è pependicolae al aggio vettoe si ha: d l d dl 3 dl 4π 4 ( ) 4π π z + a Pe la simmetia cicolae, il tatto di spia dl, opposto a dl, contibuisce con il campo d che ha la stessa componente su z, ma componente opposta sul piano x-y. Quindi la pate di campo di induzione magnetica che non si annulla è d cosθ (con cosθ a/ ). l campo totale è dietto come z e vale: d cosθ cosθ dl 4π z + a spia 4π spia a ( ) dl a ( z + a ) z + a spia 4π ( z + a ) ( z) a ( z + a ) 3/ 3/ π a dl y d a z θ d cos θ θ d dl la diezione delle linee di foza e la diezione della coente sono legate dalla egola del cacciavite (o mano desta) x
oza magnetica ta conduttoi paalleli Due conduttoi paalleli di lunghezza L e a distanza d con coenti e di veso concode l conduttoe genea un campo ( ) (dietto come linee di foza cicolai) π Sul conduttoe agisce la foza di modulo L ( d) L π d Pe simmetia (come è evidente dalla fomula) anche sul conduttoe agisce la stessa foza, dietta veso il conduttoe (legge di azione e eazione) l ( d ) d e diezione veso il conduttoe Due conduttoi paalleli con coenti nello stesso veso si attaggono con una foza pe unità di lunghezza : L ( ) π d Se le coenti scoono in vesi opposti (discodi) è evidente che le foze sono in diezioni opposte Due conduttoi paalleli con coenti in vesi opposti si espingono con una foza pe unità di lunghezza : L π d La definizione pecisa dell Ampee (unità di misua della coente elettica del Sistema ntenazionale) avviene attaveso la misua di foze ta fili conduttoi
Da caiche elettiche: (dalla legge di Coulomb) Q E( ) k Campo elettostatico div E Φ Campi E e : alcune somiglianze e diffeenze ρ ε Q E n ds cont E ε Sup. chiusa E Pemette di calcolae E pe vaie configuazioni di caiche geneazione del campo linee di foza geometia del campo: Legge di Gauss Campo magnetostatico Da coenti elettiche (caiche in movimento) Legge di iot-savat d Φ d l 3 4 π Sup. chiusa div n ds Non pemette di calcolae! Campo consevativo, esiste la funzione Potenziale e E pecoso chiuso ds Lavoo delle foze del campo cicuitazione Esiste funzione Potenziale? (No!, si vedà più avanti) pecoso chiuso ds??
Teoema di Ampee Dalla legge di iot-savat (o pima legge di Laplace) si icava il Teoema di Ampee: cicuitazione di coente concatenata pecoso chiuso ds C C coente concatenata, cioè coente totale stazionaia che passa all inteno del pecoso chiuso di integazione, pesa col segno positivo se la diezione coisponde alla egola della mano desta o del cacciavite (segno negativo nel caso opposto) (più esattamente C è la coente che passa attaveso una qualunque supeficie che ha pe bodo il pecoso chiuso C) 3 3 4 Esempio: nel sistema di fili pecosi da coente come in figua, la coente concatenata al cicuito C vale: C C il Teoema di Ampee svolge pe le stesse funzioni della legge di Gauss pe E
Campo magnetico ceato da un conduttoe ettilineo di aggio R, pecoso da coente distibuita unifomemente Data la simmetia cilindica le linee di foza di sono cicolai, e diette come le fecce pe la egola della mano desta (o cacciavite) Pe > R, all esteno del conduttoe, calcoliamo il campo scegliendo un pecoso cicolae (cechio ): cechio ds ( ) ds ( ) ds ( ) π cechio cechio C ( ) π coente concatenata: C ds (isultato già noto) Pe < R, all inteno del conduttoe, calcoliamo il campo scegliendo ancoa un pecoso cicolae (cechio ): cechio ds ( ) π la coente concatenata è la fazione della coente totale che passa all inteno del cechio C π π R C ( ) π R () o R Gafico di ()
il solenoide l solenoide è costituito da un filo conduttoe avvolto a elica e pecoso dalla coente ; nel caso ideale di solenoide infinito il campo imane confinato all inteno, ed è quasi unifome (pe simmetia). Calcolo del campo magnetico con il Teoema di Ampee: si considea il cicuito ettangolae in figua L d s + + + d s ds+,3, 4 cicuito Coente concatenata: 3 4 C n L L (n: numeo delle spie pe unità di lunghezza) L C n (fomula valida al cento di solenoidi molto lunghi) Linee di foza di pe un solenoide ealistico
Lasta conduttice di piccolo spessoe s pecosa da densità di coente J Pe una lasta di gande supeficie, è quasi unifome; se la coente scoe veso x, pe la egola della mano desta le linee di foza di sono oientate veso +y in basso e y in alto. Sul cicuito ettangolae di lato L: cicuito ds + Coente concatenata: + + ds L 3 4 C J s L s s J J L 3 4 J x z coente J supeficie y obina tooidale con N spie pecose dalla coente Se le spie sono molto fitte, il campo è confinato all inteno della bobina e (pe simmetia) tangente al cechio di aggio, centale alle spie. Calcoliamo il campo su questo cechio: cechio Coente concatenata: ( ) ds ( ) π C N N π (N.. dipende da, cioè non è costante all inteno della bobina)