prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i due fuohi; per ogni punto P dell iperole risult per definizione: PF PF 1 L distnz tr i due fuohi è dett distnz fole ed è F F 1. Il punto medio di 1 F F è detto entro dell iperole. Dl tringolo PF1F si dedue he PF1 PF 1 F F > e quindi >. E ostituit d due rmi distinti. Gli ssi e si diono ssi dell iperole e sono ssi di simmetri. Dimostrzione Seglimo un riferimento rtesino on F1 e F sull sse delle sisse e l origine oinidente on il punto medio del segmento F1F F1= ( ; 0) F= (; 0) on 0 < < Rispetto tle riferimento, l iperole divent l insieme dei punti tli he Posto = - >0 si h: e quindi: 1 equzione noni dell iperole venti i fuohi sull sse Anlogmente si può dimostrre he, vendo posto PF PF 1 e, l equzione è: 1 equzione noni dell iperole venti i fuohi sull sse O Fuohi su sse Fuohi su sse
Appunti di geometri nliti Iperole on entro nell origine degli ssi 1 so: Iperole on i fuohi sull sse so: Iperole on i fuohi sull sse Equzione noni 1 Simmetri rispetto gli ssi rtesini e rispetto ll origine Asse trsverso Asse non trsverso Semisse trsverso Semisse non trsverso AA' BB' OA OB Fuohi F F Distnz fole Semidistnz fole Vertii Asintoti Eentriità 1 ;0 OF, ;0 F F 1 A1 ; 0, ; 0 B1 0;, B 0; A, e, e 1 Equzione noni 1 rispetto gli ssi rtesini e Simmetri rispetto ll origine Asse trsverso Asse non trsverso Semisse trsverso Semisse non trsverso BB' AA' OB OA 0; F 0; Fuohi F1 Distnz fole Semidistnz fole Vertii Asintoti Eentriità F F 1 OF, A1 ;0, A ;0 B 0; B 0; 1, e, e 1 prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 3 L eentriità L eentriità è il rpporto fr l semidistnz fole e il semisse trsverso. Poihé > e > srà sempre e 1. e, (per l iperole on i fuohi sull sse ) e ( per l iperole on i fuohi sull sse ) L eentriità misur lo shiimento dell iperole sul suo sse trsverso; più è prossim 1, più l iperole è shiit. L IPERBOLE EQUILATERA L iperole equilter riferit gli ssi di simmetri Se nell equzione noni dell iperole si h l iperole si die equilter., Iperole equilter on i fuohi sull sse fuohi sull sse Equzione noni Fuohi Distnz fole F1 ;0, F ;0 Semidistnz fole Vertii Asintoti (sono le isettrii dei qudrnti e sono perpendiolri fr loro) 0; F1, F 0; F1 F F1 F A1 ; 0, A1 ; 0, A ; 0, A ; 0, B 0; B 0; 1, B 0; 1, B 0; Eentriità e e prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti L iperole equilter riferit gli sintoti Iperole equilter ottenut fendo ruotre il sistem O di un ngolo di 5 o di 135 ttorno O. Gli sintoti diventno quindi gli ssi X e Y. L su equzione è: on k k, k 0 1 so k>0 l iperole è situt nel 1 e 3 qudrnte Equzione noni k on k 0 Semisse trsverso Distnz tr vertie e origine OA 1 Fuohi F k ; k, F k ; k 1 Semidistnz fole Vertii A1 k; k, A k; k Asintoti 0, 0 so k<0 l iperole è situt nel e qudrnte Equzione noni k on k 0 Semisse trsverso Distnz tr vertie e origine OA 1 F1 k ; k, Fuohi F k ; k Semidistnz fole A1 k ; k, Vertii A k ; k Asintoti 0, 0 prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 5 L IPERBOLE TRASLATA L iperole è dett trslt se h entro in un punto C(C; C) e ssi di simmetri prlleli gli ssi rtesini, di equzioni = C e = C. Si presentno due si. Esempio: All iperole di equzione = 1 è pplit un trslzione di vettore (1; 3). L equzione dell iperole trslt è prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 6 L IPERBOLE OMOGRAFICA Se si ppli un trslzione ll iperole equilter riferit gli sintoti si ottiene l funzione omogrfi di equzione vente dominio, on,,,d, 0, d 0 d Equzione noni Assi di simmetri Centro di simmetri Asintoti d sono prlleli lle isettrii dei qudrnti e pssno per il entro C d C ; d, Not Se =0, l funzione omogrfi degener nell rett di equzione d d Se 0 m d= l funzione omogrfi degener nell rett di equzione. prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 7 Posizioni reiprohe tr rett ed iperole Per stilire l posizione di un rett rispetto un iperole e trovre gli eventuli punti di intersezione, si risole il sistem formto dll equzione dell rett e quell dell iperole. 1 m q equzione generi dell iperole equzione generi dell rett Si possono presentre tre si. 1 so L equzione risolvente il sistem è di seondo grdo A. Il disriminnte Δ 0 dell'equzione risolvente il sistem è mggiore di zero: in tl so il sistem h due soluzioni reli e distinte e l rett inontr l iperole in due punti; si die llor he l rett è sente. Le oordinte dei punti di intersezione si trovno ompletndo l risoluzione del sistem. Δ 0 dell'equzione risolvente il sistem è ugule zero: il sistem h B. Il disriminnte llor due soluzioni reli oinidenti e l rett to l iperole in un solo punto; si die llor he l rett è tngente. Le oordinte del punto di tngenz si trovno ompletndo l risoluzione del sistem. Δ 0 dell'equzione risolvente è minore di zero: il sistem non h C. Il disriminnte soluzioni e l rett non inontr l iperole; si die llor he l rett è estern. so L equzione risolvente il sistem è di primo grdo L rett è sente l iperole in un punto e prllel d un sintoto. 3 so L equzione risolvente il sistem è di grdo zero 0 0 L rett è un sintoto. Sente Tngente Estern Sente e prllel un sintoto prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 8 Determinzione delle rette tngenti un iperole Si srive l equzione del fsio proprio di rette on sostegno nel punto P(0; 0), 0 = m( 0), si onsider il sistem formto dlle equzioni del fsio e dell iperole. Si riv l equzione di grdo risolvente il sistem e si impone l ondizione di tngenz Δ 0. Si risolve l equzione di seondo grdo rispetto d m. 1 0 m Se m1 m P esterno, due tngenti Se m1=m P pprtiene, un tngente Se m1,m P interno, non esistono tngenti 0 Due rette tngenti (Piperole) Un sol rett tngente (P iperole) Nessun rett tngente (Piperole) 1 so: Il punto non pprtiene ll iperole A. Il punto è esterno ll iperole le rette tngenti sono due Se il punto P è esterno si ottengono due vlori distinti di m he, sostituiti nell equzione del fsio di rette, onsentono di determinre le equzioni delle due rette tngenti (se il punto P h l stess siss di un vertie dell iperole pprtenente ll sse, si ottiene un solo vlore di m, poihé l ltro tende ll infinito). B. Il punto pprtiene un sintoto dell iperole le rette tngenti sono due Se il punto P pprtiene un suo sintoto, un delle tngenti oinide on l sintoto stesso. C. Il punto è interno ll iperole non esistono rette tngenti so: Il punto pprtiene ll iperole l rett tngente è un sol I metodo: Se il punto P pprtiene ll iperole, si ottiene un solo vlore di m (due vlori oinidenti) he, sostituito nell equzione del fsio, onsente di determinre l equzione dell rett tngente. II metodo: Si ppli l formul dello sdoppimento: 0 0 ) 1 per l iperole 1 ) 0 0 per l iperole ) k 0 per l iperole equilter riferit gli sintoti k 0 0 [Le formule si ottengono dll equzione noni dell iperole sostituendo il termine on 0 e il termine on 0 ]. prof.ss Cterin Vespi
Appunti di geometri nliti 9 Trovre l equzione dell iperole he soddisf delle ondizioni In generle per trovre l equzione di un iperole è neessrio: vere due ondizioni (selte tr: fuoo, semissi, pssggio per un punto, eentriità, rett tngente) trsformre ogni ondizione in un equzione ottenere il sistem delle due equzioni nelle inognite e risolvere il sistem e trovre i vlori di e sostituire i vlori ottenuti nell equzione dell iperole, ottenendo l equzione ert. 1. Equzione dell iperole noti i fuohi ed il semisse trsverso Si ppli l definizione di iperole e si lolno le due distnze PF 1 e PF Si elevno l qudrto entrmi i memri Si sviluppno i loli e si isol il rdile rimsto Si elevno di nuovo l qudrto entrmi i memri Si sviluppno i loli e si ottiene l equzione dell iperole in form non noni. Equzione dell iperole pssnte per due punti A e B Nell equzione dell iperole in form noni si effettu l sostituzione Si sostituisono uno ll volt le oordinte dei punti nell equzione preedente Si risolve il sistem di primo grdo nelle inognite e Si sostituisono i vlori ottenuti nell equzione inizile ottenendo osì l equzione rihiest. prof.ss Cterin Vespi