FISICA-TECNICA Trasporto di quantità di moto

Fisica-tecnica FISICA-TECNICA Trasporto di quantità di moto Katia Gallucci Trasporto di quantità di moto: legge di Newton dv τ x yz = µ dy Trasporto di materia: legge di Fick dca J Ay = D dy Trasporto di energia: legge di Fourier dt q y = K dy 1 2 Trasporto di quantità di moto Flusso Materia Energia Forze motrici Quantità di moto Gradiente di velocità Legge di Newton Gradiente di concentrazione Legge di Fick Gradiente di temperatura Legge di Fourier 3 4

Per mantenere in moto uniforme la piastra inferiore è necessaria una forza F espressa come: F A V = µ Y La costante di proporzionalità µ è detta viscosità del fluido e 1/µ è detta fluidità La relazione scritta è equivalente a: F A 0 V dvx = µ τ yx = µ Y 0 dy V x = componente nella direzione x della velocità vettoriale del fluido τ yx = tensione tangenziale esercitata sulla superficie di un fluido nella direzione x, per un valore costante di y, da parte di un fluido che si trova in una zona con un minor valore di y; flusso viscoso della quantità di moto nella direzione y È opposto al gradiente di velocità e cioè va nella direzione secondo la quale diminuisce la velocità (come il calore che passa da una zona ad alta temperatura ad una a più bassa) Il fluido vicino alle pareti acquista una certa quantità di moto nella direzione x, e conferisce una parte della sua quantità di moto agli strati adiacenti del liquido consentendo ad esso di rimanere in movimento nella direzione x 5 6 Se si riporta in un grafico τ yx in funzione di dv x /dy, si avranno diversi andamenti Alcuni di tipo lineare: Unità di misura della viscosità: µ [=] kg/m s oppure µ [=]g/cm s= poise (1cp=0,01poise) Esempio Calcolare il flusso di quantità di moto in regime stazionario, in kg f m -2, se la velocità della piastra inferiore vale 0,3 m/s e la viscosità del fluido vale 0,7 cp (1kg f =1kg 9,81m/s 2 ) 1-olio lubrificante (castor) µ=231cp 2-olio di oliva µ=36,3cp 3-acqua µ=1cp miele µ=10000cp τ yx dv x /dy 2 1 3 7 8

L andamento lineare è stato riscontrato per tutti i gas e per tutti i liquidi omogenei Ci sono però alcuni liquidi che non seguono la legge di Newton e che vengono denominati non newtoniani La reologia è la scienza che studia il moto e la deformazione dei gas, liquidi, asfalti e solidi, per cui la reologia comprende i fluidi newtoniani e i solidi come casi limite Fluidi non-newtoniani Herschel-Bulkley τ dv = x F = kx dy yz µ Fluidi newtoniani (viscosi) solidi (Legge di Hooke) (elastici) 9 10 Modello di Herschel-Bulkley La relazione generale per descrivere i fluidi nonnewtoniani è il modello di Herschel-Bulkley τ = K τ yx = τ & γ = ( γ ) n & + τ 0 dvx dy Fluido K n τ 0 Esempi Herschel-Bulkley >0 0<n< >0 Newtoniano >0 1 0 Acqua, succo di frutta, miele, latte, olio vegetale Pseudoplastico >0 0<n<1 0 Salsa di mele, puré di banane, succo di arancia concentrato Dilatante >0 1<n< 0 Alcuni di tipi di miele, soluzione al 40% di farina di granturco Bingham >0 1 >0 Succo di pomodoro 11 Ci sono molti altri modelli matematici che descrivono il comportamento di fluidi non-newtoniani L equazione di Casson è stata adottata dall International Office of Cocoa and Chocolate per descrivere il comportamento della cioccolata 0,5 0, 5 ( γ ) τ 0,5 τ K1 + = & 0 12

Esempi Dati reologici della cioccolata calda (40 C) γ (s) τ(pa) 250 0,099 28,6 0,140 35,7 0,199 42,8 200 0,390 52,4 0,790 61,9 1,600 71,4 150 2,400 80,9 3,900 100 6,400 123,8 100 7,900 133,3 11,500 164,2 13,100 178,5 50 15,900 201,1 17,900 221,3 19,900 235,6 0 0 5 10 15 20 25 γ (s) τ (Pa) Se consideriamo i punti compresi tra 1,6 e 19,9 le costanti sono: 0,5 Con il modello di Bingham τ 0,5 0, 5 (&) 32,3 = 2,14 γ + τ = 9,8& γ + 48,7 13 14 53% amido di mais e l'acqua Per bassi valori di γ l acqua ha un effetto lubrificante tra le particelle di amido per cui il flusso non è ostacolato All aumentare di γ aumenta la resistenza per effetto delle interazioni tra le particelle con conseguente aumento di τ Il modello che fitta i dati per i punti dopo 4,5s -1 è: τ = 0,131 & γ 1, ( ) 72 15 É un ottimo esempio di comportamento dilatante Se si mescola lentamente il comportamento è come un normale liquido Se invece si mescola velocemente la resistenza aumenta e il comportamento assomiglia ad un solido con formazione di fratture e separazioni 16

Il modello che interpola i dati è: È un fluido pseudoplastico τ = 0,66 γ (&) 0, 60 Carragenina in soluzione acquosa all1% pasta di soia τ = 23,3 γ (&) 0, 29 17 18 Kraft French Salad Dressing (salsa per insalata a base di olio aromi, ecc) Il modello che interpola i dati è: τ = 7,64 γ (&) 0, 303 Viscosità apparente Per fluidi newtoniani Per fluidi non-newtoniani τ η = & γ η = µ K η = (& γ ) + τ & γ (& γ ) 0 n 1 = K + Un fluido viscoelastico si comporta contemporaneamente come un fluido (viscoso) e un solido (elastico) Il comportamento elastico crea notevoli difficoltà nei processi di trasformazione in particolare per le paste contenenti elevate quantità di proteine n τ 0 & γ 19 20

Variazione della viscosità con la temperatura Per calcolare la viscosità ad una temperatura diversa si può utilizzare una correlazione del tipo Arrhenius: µ = f ( t) = Aexp E RT Tomato Ketchup fresco appena preparato ha un comportamento pseudo-plastico, ma con il tempo diventa come un gel che un comportamento tixotropico Il fluidi tixotropi diminuiscono la loro viscosità quando sottoposti a sforzi di taglio Nel caso del ketchup per renderlo fluido (meno viscoso) si agita il recipiente che lo contiene Per fluidi non-newtoniani il modello reologico è simile Ad esempio per succhi di arancia concentrati che seguono la legge delle potenze si può scrivere Ea τ = f ( t, & γ ) = KT exp RT (& γ ) n 21 22 Esercizio Determinare le costanti K T, E a ed n per un succo di arancia concentrato che ha le seguenti caratteristiche reologiche Nel grafico riportiamo ogni singola temperatura e passiamo ai logaritmi: τ = K ( & γ ) 7 lnτ = ln K + n ln n (& γ ) T=-18,8 C T=-5,4 C T=9,5 C T=29,2 C τ(pa) γ (s) τ(pa) γ (s) τ(pa) γ (s) τ(pa) γ (s) 14,4 0,5 4,3 0,6 2,6 1,1 3,6 8 24,3 1 6,5 1 10,3 8 7,6 20 141,9 10 38,4 10 17,1 15 13,1 40 240,4 20 65,4 20 29,5 30 17,5 80 327,2 30 88,7 30 50,3 60 31,2 160 408,0 40 111,1 40 69,4 90 54,5 240 483,9 50 131,9 50 103,3 150 94,4 480 555,9 60 151,7 60 153,8 250 141,7 800 653,2 70 171,3 70 199,8 350 170,0 1000 692,5 80 189,4 80 242,8 450 183,2 1100 23 ln τ 6 5 4 3 2 1 0-2 0 2 4 6 8 ln γ x y T=-18,8 C T=-5,4 C T=9,5 C T=29,2 C 24

Il rapporto y/ x=n viene calcolato per ogni curva, mentre lnk è dato dalle rispettive intercette 4 3 Ea K = KT exp RT Ea ln K = ln KT + RT T=-18,8 C T=-5,4 C T=9,5 C T=29,2 C n=0,764 n=0,772 n=0,762 n=0,773 lnk=3,2 lnk=1,9 lnk=0,81 lnk=-0,37 K=24,3 K=6,7 K=2,25 K=0,69 T C T K K n -18,8 254,35 24,3 0,764-5,4 267,75 6,7 0,772 9,5 282,65 2,25 0,762 29,2 302,35 0,69 0,773 lnk 2 1 0 0,00354; 0,811 0,00331; -0,371 0,58E-3 3,3 0,764 + 0,772 + 0,762 + 0,773 n = = 0,77 4-1 3,00E-03 3,20E-03 3,40E-03 3,60E-03 3,80E-03 4,00E-03 1/T 25 26 E a /R=3,3/0,58E-3=5690 La retta passa per il punto di coordinate (0,00331;- 0,371) y-y 0 =m(x-x 0 ) lnk+0,371=5690(1/t-0,00331) lnk=5690/t-18,834-0,371 lnk=-19,205+5690/t lnk T K T =exp (-19,205)=4,565 10-9 Comportamento viscoelastico (effetto di Weissenberg) http://wwwyoutubecom/watch?v=nx6gxoicney La relazione completa sarà: τ = K T Ea exp RT 5690 9 T n (& γ ) = 4,565 10 exp (& γ ) 0, 77 27 28

Moto laminare e turbolento: numero di Reynolds Nel moto laminare gli strati di un liquido che scorrono entro una tubazione si dispongono parallelamente tra di loro e paralleli all asse della tubazione stessa; ogni strato mantiene lungo la tubazione la sua individualità senza mescolarsi agli altri Nel moto turbolento si verificano invece rimescolamenti di masse di liquido, attraverso la formazione di vortici Lo spessore delle strato limite è stato definito come quella distanza dalla parete alla quale il valore di velocità raggiunge il 99% della velocità massima v max 29 30 Moto laminare Moto turbolento 31 32

Il moto laminare si verifica specialmente nel moto di liquidi molto viscosi, entro tubazioni di piccolo diametro Il moto turbolento è più frequente per il gas e liquidi poco viscosi, entro tubazioni di grande diametro dove ρ = densità del fluido ρ v D Re = µ µ = viscosità del fluido D = diametro del tubo v = velocità media del fluido (portata vol/sezione [m 3 /s/m 2 ]) Il regime laminare si verifica per valori del numero di Reynolds < 2000; il regime di transizione nell intervallo da 2100 a 4000 Esercizi Calcolare il numero di Reynolds sapendo che v=2480 m/h; ρ = 900 g/litro; µ = 5,4 kg/(m h) e D = 30 cm Calcolare il numero di Reynolds sapendo che v=1,5m/s; ρ = 0,8 g/cm 3 ; µ = 1,1 cp e D = 20 mm 33 34 Coefficiente di attrito Consideriamo i due sistemi: 1 Fluido che scorre in un condotto L R 2 Fluido che scorre intorno ad un oggetto sommerso 35 36

In entrambi i casi, il fluido eserciterà una forza sulle superfici solide che si chiama forza di attrito e che può essere espressa come: F k =Akf A = superficie bagnata nel sistema 1; area perpendicolare alla direzione del fluido nel sistema 2 v 2 k = ρ 2 f = coefficiente di attrito Sistema 1: fluido che scorre in un tubo A=2πRL F k =2πRL(1/2)ρv 2 f Talvolta f prende il nome di coefficiente di attrito di Fanning f=16/re per Re<2100 moto laminare f=0,0791/re 1/4 per 4000<Re<10 5 moto turbolento 37 38 Sistema 2: sfera immersa in un fluido f=24/re f=18,5/re 3/5 f=0,44 per Re<0,1 per 2<Re<500 500<Re<200000 F k =πr 2 (1/2)ρv 2 f 39 40

Misura della viscosità mediante caduta libera di una sfera Consideriamo una sfera di raggio R e di densità ρ s lasciata cadere in un liquido di densità ρ l Sulla sfera agiscono tre forze: la forza peso F p, la forza di galleggiamento o spinta di Archimede F A e la forza di attrito F k F k F A F p La sfera aumenta la sua velocità fino a raggiungere un valore costante (velocità terminale) Da questo momento la somma delle tre forze agenti sulla sfera è nulla (equilibrio delle forze) La forza di gravità F p agisce verso il basso, nella direzione della caduta, mentre quella di galleggiamento F A e quella d attrito F k verso l alto, nella direzione opposta a F p F = F + F p A 4 3 4 3 πr ρsg = πr ρl g + 6πRµ Vt 3 3 4 3 πr ( ρs ρl ) g = 6πRµ Vt 3 2 2 R µ = g( ρs ρl ) 9 V t k 41 42 Legge di Stokes La forza di attrito 6πµ πµrv t Questa legge è valida per valori del numero di Reynolds minori di 0,1 ρ l = densità del liquido µ = viscosità del liquido D = diametro della sfera V t = velocità terminale ρl Vt D Re = µ Esercizio Calcolare la viscosità del miele alla temperatura di 20 C sapendo che una sfera avente diametro di 7,92 mm e densità 7900kg/m 3 percorre 20 cm attraverso il miele in 9 secondi La densità del miele è 1400 kg/m 3 43 44

Esercizio Una sfera piena di acciaio, del diametro di 5 mmcon una massa 0,5g viene lasciata cadere in una colonna di liquido nel quale raggiunge una velocità terminale di 0,5 cm/s La densità del liquido è 0,98g/cm 3 Calcolare la viscosità del fluido Calcolare il coefficiente di attrito Calcolare la forza d attrito 45