Matematica finanziaria La matematica finanziaria studia le operazioni che riguardano scambi di somme di denaro nel tempo. Sono operazioni di questo tipo, ad esempio, l investimento di un capitale in un deposito con l obbiettivo di ritirare una somma maggiore in futuro, o il prestito di una somma che verrà restituita a rate. Le operazioni finanziarie fondamentali sono quelle di capitalizzazione e di sconto. Per capitalizzazione si intende che una certa somma di denaro iniziale, detta capitale C, dopo un certo tempo t matura un interesse I, aumentando quindi il suo valore finale, detto montante M: M = C + I Se si deve saldare un debito di importo C e si decide di pagare prima della scadenza, si ottiene uno sconto S, quindi la somma da pagare, detta valore attuale V, è minore del debito iniziale: V = C S 1 Regimi di capitalizzazione Per stabilire come varia il valore di una somma nel tempo, sia in un operazione di capitalizzazione sia di sconto, bisogna fissare un regime di capitalizzazione, cioè la modalità di calcolare l interesse o lo sconto. I due regimi principali sono il semplice e il composto. 1.1 Capitalizzazione semplice Nel caso della capitalizzazione semplice, l interesse viene calcolato ogni anno sul capitale iniziale. Di conseguenza, dato un capitale iniziale C depositato per un tempo t a un tasso annuo i, l interesse I è proporzionale al tempo e al tasso, cioè I = Cit quindi M = C + I = C (1 + it) dove il tempo deve essere espresso in anni e il tasso si intende annuo. Esempio Se investo 2000 a un tasso annuo del 3%, l interesse maturato ogni anno è I = 2000 0, 03 = 60, quindi dopo un anno si avranno 2060, dopo due anni 2120, dopo 3 anni 2180, e così via. In generale, l interesse maturato dopo t anni è I = 2000 0, 03 t e il montante M = 2000 (1 + 0, 03 t). Capitalizzazione frazionata Se la durata dell investimento non è un numero intero di anni, bisogna esprimerla come numero di anni più la frazione di anni residua. Per effettuare la conversione, bisogna esprimere un mese come 1 12 di anno e il giorno come 1 360 di anno. Esempio Investo 2000 a un tasso annuo del 3%, per 10 anni, 5 mesi e 14 giorni. Per calcolare il montante, si usa la formula M = 2000 (1 + 0, 03 t), dove t deve essere espresso in anni. Quindi t = 10 + 5 12 + 14 360 = 10, 45, si sostituisce nell espressione del montante ottenendo M = 2627, 33. NOTA BENE: nelle espressioni lineari, è sufficiente prendere 3 cifre dopo la virgola in tutti in calcoli intermedi e troncare a 2 nel risultato finale, per non commettere errori di approssimazione. 1
Tasso periodale Se il tasso non è annuo, ma riferito a un periodo (ad esempio un bimestre, un quadrimestre, un semestre...) l interesse viene riferito a quel periodo, quindi in un anno si matura un interesse pari al numero di periodi per l interesse periodale. Se in un anno ci sono k periodi, il montante dopo t anni è: M = C (1 + i k k t) dove il tasso periodale si indica con i k, cioè si esplicita a pedice il numero di periodi. Esempio Se investo 2000 a un tasso trimestrale i 4 del 3%, dopo un trimestre ottengo un interesse I = 2000 0, 03 = 60, cioè quello che nell esempio precedente si maturava in un anno. Siccome in un anno ci sono 4 quadrimetri, l interesse dopo un anno è I = 2000 0, 03 4 = 240. Quindi, in generale, il montante dopo t anni è M = 2000 (1 + 0, 03 4 t). 1.2 Capitalizzazione composta Nel caso della capitalizzazione composta, l interesse viene calcolato ogni anno sul montante raggiunto l anno precedente. Di conseguenza, dato un capitale iniziale C depositato per un tempo t a un tasso annuo i, calcolando anno per anno: M(1) = C + I = C + Ci = C (1 + i) M(2) = M(1) (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) 2 M(3) = M(2) (1 + i) = C (1 + i) 2 (1 + i) = C (1 + i) 3 si può vedere che in generale il montante dopo un numero di anni t è: M(t) = C (1 + i) t dove il tempo deve essere espresso in anni e il tasso si intende annuo. Esempio Se investo 2000 a un tasso annuo del 3%, l interesse maturato il primo anno è I = 2000 0, 03 = 60, quindi dopo un anno si avranno 2060, come in capitalizzazione semplice. Il secondo anno l interesse viene calcolato su un capitale di 2060, non 2000, quindi il montante è maggiore di quello calcolato in capitalizzazione semplice: I = 2060 0, 03 = 61, 8. In generale, il montante maturato dopo t anni è M = 2000 1, 03 t. Capitalizzazione frazionata Si procede come in capitalizzazione semplice, convertendo la durata in frazioni di anno. Esempio Investo 2000 a un tasso annuo del 3%, per 10 anni, 5 mesi e 14 giorni. Essendo t = 10 + 5 12 + 14 360 = 10, 45, il montante è M = 2000 1, 0310,45 = 2724, 27. NOTA BENE: quando bisogna approssimare un numero a esponente, è meglio prendere almeno 4 o 5 cifre dopo la virgola per non commettere errori di approssimazione. Tasso periodale Come in capitalizzazione semplice, se il tasso è riferito a un periodo, bisogna calcolare il montante tenendo conto del numero di periodi trascorsi e non solo del numero di anni. Se in un anno ci sono k periodi, dopo t anni sono trascorsi k t periodi, quindi la formula del montante diventa: M = C (1 + i k ) k t 2
Esempio Se investo 2000 a un tasso semestrale i 2 del 3%, dopo t anni il montante è M = 2000 1, 03 2 t. Se lo stesso capitale viene investito a un tasso biennale i 1/2 del 3%, il montante è M = 2000 1, 03 t/2. Tassi equivalenti Se si ha un tasso periodale i k, può essere utile sapere qual è il tasso annuale equivalente, cioè a quale tasso annuale i, a parità di tempo t, si ha lo stesso montante. Per determinarlo, bisogna impostare un equazione che uguagli i montanti calcolati con i due tassi: C (1 + i k ) k t = C (1 + i) t da cui i = (1 + i k ) k 1 i k = k 1 + i 1 Tasso nominale convertibile Nel caso della capitalizzazione composta, si definisce anche il tasso annuo nominale convertibile j k, che si converte in tasso periodale i k = j k k e poi si usa come un normale tasso periodale. Si chiama nominale perché, come abbiamo visto nel paragrafo precedente, per convertire da un tasso annuo a uno periodale, non basta dividere per il numero di periodi; è quindi una conversione nominale, per definizione, ma quello che si ottiene non è un tasso equivalente. Esempio Se investo 2000 a un interesse annuo nominale convertibile quadrimestralmente j 3 del 3%, ( ) 3 t dopo t anni il montante è M = 2000 1 + 0,03 3 = 2000 1, 01 3 t. 2 Equivalenza finanziaria In molte situazioni economiche, come investimenti o pagamenti a rate, si hanno più importi da pagare o incassare in tempi diversi. Dato che un importo assume valori diversi in tempi diversi, a causa del tasso di interesse o di sconto, non si possono confrontare diverse somme a tempi diversi confrontando direttamente i loro valori. Due somme a tempi diversi sono equivalenti se portate allo stesso tempo hanno lo stesso valore. 2.1 Valore attuale Nei problemi di equivalenza finanziaria si usa abitualmente il regime di capitalizzazione composta. Quindi, fissato un certo tasso i, se si sposta una somma avanti nel tempo di una durata t se ne calcola il montante M = C (1 + i) t, se la si sposta indietro se ne calcola il valore attuale V = C (1 + i) t. Esempio Ho un debito di 5000 da pagare tra 6 anni e decido di pagare con qualche anno di anticipo. Fissato un tasso di sconto del 5%, il creditore concede di pagare 4319,19 tra 3 anni oppure 4535,15 tra 4 anni. Infatti, se calcoliamo i valori attuali di questi due importi, V 1 = 4319, 19 1, 05 3 = 3731, 08 e V 2 = 4535, 15 1, 05 4 = 3731, 08, quindi i due pagamenti sono equivalenti. Alla stessa conclusione si arriva portando entrambe le somme a t = 6 anni, infatti M 1 = 4319, 19 1, 05 3 = 5000 e M 2 = 4535, 15 1, 05 2 = 5000. 2.2 Problemi di equivalenza finanziaria Il concetto di equivalenza finanziaria si applica in alcune situazioni tipiche, in cui una soluzione di pagamento viene sostituita con un altra equivalente, cambiando gli importi, o le scadenze, o il tasso. Per risolvere questo tipo di problemi è utile rappresentare i pagamenti sulla retta dei tempi, e segnare con delle frecce di quanti anni vengono spostare le diverse somme, avanti o indietro nel tempo. 3
Capitale unico Se si hanno più pagamenti in tempi diversi, si possono sostituire con un unico pagamento in una data scadenza, calcolando i valori di tutti gli importi portati al tempo della nuova scadenza e sommandoli. Esempio Abbiamo un debito da saldare con una rata da 2000 da pagare tra 2 anni e una da 1500 tra 7 anni. Ci accordiamo per pagare in un unica soluzione un importo x tra 4 anni, fissando un tasso del 5%. La situazione si può schematizzare così: Per trovare l importo x da pagare, bisogna calcolare il valore M 1 della prima rata portata avanti di 2 anni, e il valore V 2 della seconda portata indietro di 3 anni: x = M 1 + V 2 = 2000 1, 05 2 + 1500 1, 05 3 = 3500, 76 Scadenza comune Se si hanno più pagamenti in tempi diversi, si possono sostituire con un unico pagamento, dove viene fissato l importo anziché la scadenza; il problema diventa quindi determinare la scadenza t, risolvendo l equazione che uguaglia il valore attuale del nuovo importo e la somma dei valori attuali dei precendenti importi. Esempio Abbiamo un debito da saldare con una rata da 2000 da pagare tra 2 anni e una da 1500 tra 7 anni. Ci accordiamo per pagare in un unica soluzione 4000, fissando un tasso del 5%. Bisogna trovare la scadenza t della nuova rata unica. La situazione si può schematizzare così: 0 1 2 3 4 t 5 6 7 8 9 10 tempo (anni) -2 2000 4000 1500 -t -7 importi Per trovare la scadenza, si imposta un equazione che uguagli i valori attuali delle due soluzioni di pagamento, portando tutte le somme a 0: da cui 2000 1, 05 2 + 1500 1, 05 7 = 4000 1, 05 t 1, 05 t = 2000 1, 05 2 + 1500 1, 05 7 = 0, 720020 4000 essendo l incognita un esponente, per determinarla si usano i logaritmi: t = log (0, 720020) log (1, 05) t = log (1, 05) = 6, 7324 log (0, 720020) Per convertire un tempo decimale in anni, mesi e giorni, bisogna convertire la parte decimale in mesi, 0, 7324 12 = 8, 789mesi, e la parte decimale dei mesi in giorni, 0, 789 30 = 24giorni. Quindi, la rata unica da 4000 deve essere pagata tra 6 anni, 8 mesi e 24 giorni. 4
Scadenza media E una situazione analoga alla precedente, dove la somma complessiva pagata in un unica soluzione è la somma delle rate iniziali. Il tempo che rende le due soluzioni equivalenti si dice scadenza media. Sostituzione dei pagamenti Si hanno più pagamenti in tempi diversi, che si vogliono sostituire con rate in scadenze diverse dalle predenti. Si fissa una relazione tra le diverse rate (ad esempio tutte uguali, o ognuna doppia della precedente...) e si cercano gli importi che rendono equivalenti le due soluzioni, impostando l equazione che uguaglia i valori attuali Tasso medio di impiego Si hanno più pagamenti allo stesso tempo t, ma ognuno a un tasso diverso. Si può cercare il tasso, detto tasso medio, che rende equivalente questa soluzione di pagamento con una di uguale scadenza e di importo pari alla somma degli importi iniziali. 5