Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1
Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni pallina venga assegnato un punteggio secondo quanto segue: rosso = 1; bianco = 2; nero = 3. Si costruisca la variabile casuale X, data dalla somma dei valori relativi alle biglie uscite in due estrazioni successive, senza reimmissione. Esercizio 2. Viene considerato un esperimento consistente nel lancio di una dado a quattro facce, non truccato, e nella successiva estrazione di una pallina da un urna che contiene 4 palline rosse, 5 palline blu e 2 palline gialle. Assegnato ad ogni pallina un valore pari a 4 punti se questa è rossa, 2 se blu e 1 se gialla e considerando X la variabile casuale pari alla differenza fra il risultato del dado (valori fra 1 e 4) e quello dell estrazione della pallina, si chiede di costruire la variabile casuale X. 2
Distribuzione binomiale Esercizio 1. Calcolare la probabilità che su 10 lanci di un dado non truccato esca 4 volte 6. Esercizio 2. In un urna sono contenute 2 biglie bianche, 3 nere, 5 rosse. Vengono estratte CON REIMMISSIONE 6 palline. Calcolare la probabilità di estrarne 3 rosse. Esercizio 3. Una ditta produce un certo componente con una difettosità del 5%. In un controllo statistico a campione viene estratto da un lotto di 1000 pezzi un campione di 100 pezzi. Qual è la probabilità che tale lotto venga accettato, se su tale campione non sono tollerati più di due pezzi difettosi? (Si considerino estrazioni con reimmissione). Esercizio 4. Si consideri un esperimento stocastico consistente nell estrazione con reimmissione di un campione di 4 biglie da un sacchetto contenente 4 biglie nere, 6 bianche, 20 rosse e 10 blu. Calcolare la probabilità di estrarre: a) 2 palline nere; b) al più 2 palline nere; c) almeno 3 palline nere. 3
Distribuzione ipergeometrica Esercizio 1. Si consideri un lotto di 800 pezzi di cui 40 sono difettosi. Si supponga che un lotto superi un controllo in accettazione se a fronte di un estrazione di 150 pezzi ve ne siano al più 2 difettosi. Il lotto in considerazione viene accettato? Esercizio 2. Calcolare la probabilità di fare 6 al superenalotto. Esercizio 3. Una partita di 150 libri ne contiene 30 difettosi. Se si estraggono 10 libri, qual è la probabilità di averne 3 difettosi? Esercizio 4. È dato un lotto di 100 pezzi dei quali 30 sono difettosi. Calcolare la probabilità di estrarre un campione di 3 pezzi, dei quali uno sia difettoso: a) con reimmissione (dopo ogni estrazione) b) senza reimmissione 4
Distribuzione di Poisson (o degli eventi rari) Esercizio 1. Il numero medio di chiamate ad un centralino di una ditta è di 60 all ora. a) Qual è la probabilità che non vi sia alcuna chiamata in 2 minuti? b) Qual è la probabilità che arrivino più di 5 chiamate in un intervallo di 5 minuti? Esercizio 2. È stato accertato che 4 persone ogni 2500 sono allergiche alle graminacee. Qual è la probabilità che in un campione di 1500 persone vi siano: a) 3 persone allergiche? b) meno di 2 persone allergiche? Esercizio 3. Su una produzione di 1000 pezzi si ha una difettosità dell 8%. Esaminando un campione di 20 pezzi, qual è la probabilità che 2 o meno non siano conformi? Esercizio 4. Una ditta che gestisce il trasporto in una grande città ha un parco di 1000 vetture e si è osservato che, in media, in un determinato giorno un autovettura ha probabilità dello 0.24% di subire un guasto. a) Se il servizio di manutenzione della ditta può far fronte al massimo a 6 guasti al giorno, trovare la probabilità che, in un determinato giorno, non riesca a far fronte alle necessità. b) Calcolare, assumendo che un anno abbia 365 giorni, la probabilità che almeno 4 giorni all anno non ci sia un adeguata possibilità di far fronte a guasti occorsi in quel giorno. 5
Esercizi Esercizio 1. Una produzione industriale avviene con un livello di difettosità nota, pari a 3.65%. Esaminando un campione di 20 oggetti prodotti, si chiede qual è la probabilità che tre o più oggetti siano effettivamente difettosi. Esercizio 2. Una macchina produce pezzi con una difettosità pari al 5.3% e li inscatola in pacchi da 9 pezzi. Calcolare la probabilità che in una scatola vi sia più di un pezzo difettoso (X>1). Si effettua un controllo di accettazione di una fornitura esaminando 4 pacchi e, se nessuno di questi ha più di un pezzo difettoso l intero lotto viene accettato. Qual è la probabilità di rifiutare l intero lotto? Esercizio 3. Un urna contiene 100 palline di cui 12 sono contrassegnate con il numero 2 e 88 con il numero 1. Vengono estratte senza reimmissione 3 palline. Sia X la variabile casuale corrispondente alla somma dei valori delle palline estratte. Costruire la variabile casuale X con la relativa funzione densità di probabilità f x (X) e determinare il valore atteso per X, cioè la sua media E[X]. 6
Esercizio 4. Analizzando il numero di guasti alla settimana ad un centralino telefonico, in un anno si sono osservati i risultati in tabella. n guasti n settimane Determinare la probabilità che nelle prossime 4 0 29 settimane non si verifichino guasti. 1 15 2 6 3 2 Esercizio 5. Viene lanciata una coppia di dadi non truccati e considerata la somma dei risultati di ciascun dado. Qual è la probabilità che la variabile casuale somma sia maggiore di 7 almeno 2 volte? Esercizio 6. X è una variabile casuale distribuita secondo una distribuzione di Poisson in modo che sia P[X=2] = 3 P[X=4]. Qual è la probabilità che X sia compreso o uguale tra 1 e 4? 7
Distribuzione uniforme Esercizio 1. Data un distribuzione uniforme X[a = 2;b = 4], calcolarne media e varianza. Esercizio 2. Sia Y una variabile casuale distribuita uniformemente, con media pari a 16 e tale per cui la probabilità che Y sia compreso fra 14 e 16 sia 16.67%. Determinare la varianza di Y. Distribuzione esponenziale Esercizio 1. In un azienda un centralino riceve abitualmente 80 chiamate all ora. Qual è la probabilità che il tempo che intercorre fra due chiamate sia: a) inferiore o uguale a 3 minuti; b) compreso fra 1 e 2 minuti; c) superiore a 3 minuti. Esercizio 2. Un componente ha una vita utile data da una distribuzione esponenziale di parametro λ = 10-5 rotture/ora. Qual è la probabilità che il componente raggiunga la vita media attesa? Si intenda la vita attesa come E[x], cioè pari a 1/λ = 10 5 ore/rottura. Esercizio 3. Sia X una variabile casuale esponenziale con media pari a 3.5. Si calcoli la probabilità di estrarre da X un valore compreso fra 1 e 4. 8
Esercizi Esercizio 1. Una variabile casuale ha funzione densità di probabilità f x (X). x 3 a f X ( X ) = 0 a) Determinare il parametro a sapendo che la media µ x è pari a 3/7 b) Calcolare la varianza di X. 3 2 0 x a altrove Esercizio 2. Una variabile casuale assume i valori compresi fra 0 e 4 ed è definita dalla funzione di probabilità f x(x). 1 1 a) Calcolare a ax 0 x 4 2 f ( ) b) Trovare P[1 X 4] X X = 0 altrove c) Calcolare la media µ x d) Calcolare la varianza e la deviazione standard Esercizio 3. Una macchina ha una vita media prima di subire guasti di 6 anni (ipotizzare una distribuzione esponenziale). Un acquirente compera 10 macchine di questo tipo e vuole sapere qual è la probabilità che una di esse si rompa entro 3 anni 9