Quesito. I segueti dati si riferiscoo ai tempi di reazioe motori a uo stimolo lumioso, espressi i decimi di secodo, di u gruppo di piloti: 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 3, 6 4, 4 5, 4 7, 2 Alla distribuzioe uitaria presetata si riferiscoo i quesiti che seguoo. a) Il carattere è quatitativo discreto qualitativo ordiabile quatitativo cotiuo b) La distribuzioe è uimodale bimodale la moda o è defiita c) Dividere i piloti i 4 gruppi di uguale umerosità, co tempi di reazioe brevi, medio-brevi, medio-lughi, lughi, ed idicare quali piloti fao parte di oguo dei gruppi brevi medio-brevi medio-lughi lughi 2, 6 3, 8 4, 8 5, 8 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 2, 8 4, 2 5, 2 7, 2 3, 6 4, 4 5, 4 7, 2 d) Determiare i ciascu gruppo i quartili I quartili soo quei valori tali che le osservazioi soo per u quarto, due quarti e tre quarti, rispettivamete, più piccole. I ciascu gruppo le osservazioi soo 6. La posizioi mediae soo due, la terza e la quarta, metre le posizioi relative al primo e terzo quartile soo la secoda e la quita. Ifatti 6 0.5 = 3 è u umero itero, quidi le osservazioi mediae soo la terza e la quarta; 6 0.25 =.5 o è u umero itero e va arrotodato all itero successivo per cui l osservazioe relativa al primo quartile è la secoda; 6 0.75 = 4.5 o è u umero itero e va arrotodato all itero successivo per cui l osservazioe relativa al terzo quartile è la quita. I u gruppo la terza e la quarta uità hao la stessa modalità. I quartili per ciascuo dei gruppi risultao i segueti: brevi medio-brevi medio-lughi lughi Q 2, 6 4, 0 5, 0 7, 2 Q 2 (med) Q 3 2, 7 2, 8 4, 4, 2 5, 5, 2 7, 2 7, 2 e) Rappresetare il boxplot per ciascu gruppo e commetare i grafici i termii di variabilità delle distribuzioi relative a ciascu gruppo, utilizzado ache il rage e lo scarto iterquartile brevi medio-brevi medio-lughi lughi rage Scarto Iterquartile 0, 2 0, 6 0, 2 0, 6 0, 2, 4 0 I gruppi co tempi di reazioe medio-brevi e medio-lughi hao stesso rage e stesso Scarto Iterquartile, il gruppo co tempi di reazioe brevi ha rage più grade e stesso Scarto Iterquartile il gruppo co tempi di reazioe lughi rage più grade e Scarto Iterquartile più piccolo, pari a zero. Il gruppo co tempi di reazioe lughi ha la maggiore variabilità cosiderado il rage, la miore cosiderado lo Scarto Iterquartile, che o risete delle osservazioi che si trovao alle estremità della distribuzioe. Ifatti el gruppo lughi la metà delle osservazioi, quelle comprese tra il primo e il terzo quartile, risulta di pari valore.
2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 3.9 4.0 4. 4.2 4.3 4.4 tempi di reazioe brevi tempi di reazioe medio brevi 4.8 4.9 5.0 5. 5.2 5.3 5.4 5.8 6.2 6.6 7.0 tempi di reazioe medio lughi tempi di reazioe lughi f) Rappresetare il grafico a barre per ciascu gruppo e commetare i grafici i termii di asimmetria, utilizzado ache il cofroto tra media aritmetica e mediaa brevi medio-brevi medio-lughi lughi media aritmetica 2, 84 4, 5, 6, 97 Q 2 (med) 2, 7 4, 5, 7, 2 frequeza assoluta 0.0.0 2.0 3.0 frequeza assoluta 0.0 0.5.0.5 2.0 2.6 2.8 3.6 tempi di reazioe brevi 3.8 4 4.2 4.4 tempi di reazioe medio brevi frequeza assoluta 0.0 0.5.0.5 2.0 frequeza assoluta 0 2 3 4 5 4.8 5 5.2 5.4 tempi di reazioe medio lughi 5.8 7.2 tempi di reazioe lughi tempi di reazioe brevi: coda a destra, media maggiore di mediaa tempi di reazioe medio-brevi: simmetrica, media = mediaa tempi di reazioe medio-lughi: simmetrica, media = mediaa tempi di reazioe lughi: coda a siistra, media miore di mediaa g) Se il valore 3,8 relativo ai tempi di reazioe medio-brevi fosse 3,9 la distribuzioe sarebbe simmetrica: si o valutabile o 2
Quesito 2. U ura cotiee 8 pallie, 6 ere e 2 biache. Si estraggoo due pallie seza reimmissioe. Si cosideri la variabile aleatoria X: umero di pallie ere. a) Determiare la fuzioe di probabilità di X e rappresetarla graficamete; Idicado co B e B 2 e N e N 2 l estrazioe di pallia biaca e era rispettivamete ella prima e secoda estrazioe risulta: P (N N 2 ) = P (N )P (N 2 N ) = 6 5 8 7 = 30 Aalogamete risulta: P (N B 2 ) = P (N )P (B 2 N ) = 6 2 8 7 = 2 P (B N 2 ) = P (B )P (N 2 B ) = 2 6 8 7 = 2 P (B B 2 ) = P (B )P (B 2 B ) = 2 8 7 = 2 La fuzioe di probabilità di X risulta: teedo coto che: X p(x = x) 0 2 24 2 30 P (zero pallie ere)=p (B B 2 ) P (ua pallia era)=p ((B N 2 ) (N B 2 )) = P (B N 2 ) + P (N B 2 ) P (due pallie ere)=p (N N 2 ) p 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.5.0.5 2.0 x 3
b) Determiare la fuzioe di ripartizioe di X e rappresetarla graficamete; La fuzioe di ripartizioe di X risulta: 0 x < 0 2 F (x) = 0 x < 26 x < 2 x 2 F 0.2 0.4 0.6 0.8.0 0.0 0.5.0.5 2.0 x c) Utilizzado la fuzioe di ripartizioe determiare la probabilità che X assuma u valore miore o uguale a ; d) Determiare valore atteso e variaza di X Per il calcolo di E(X) e V ar(x) risulta: P (X ) = F () = 26 x p(x) xp(x) x 2 p(x) 0 0.04 0.00 0.00 0.43 0.43 0.43 2 0.53.06 2.2 tot.00.49 2.55 da cui si ricava E(X) =.49 e V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 2.55.49 2 = 0.33 e) Defiire la distribuzioe di probabilità di X el caso di estrazioe co reimmissioe X ha distribuzioe Biomiale di parametri = 2 e π = P (N) = 6 8 Quesito 3. Si è iteressati a studiare la difettosità dei pezzi prodotti i u processo produttivo. U campioe di 2400 pezzi è stato selezioato e per ciascuo si è rilevata la difettosità. Il 40% dei pezzi è risultato difettoso. a) Proporre uo stimatore putuale o distorto per π, il valore medio della variabile casuale Y di Beroulli che assume il valore se il pezzo è difettoso, 0 altrimeti, e giustificare la stima. b) Proporre u itervallo di cofideza al 99% per π, il valore medio della variabile casuale Y di Beroulli che assume il valore se il pezzo è difettoso, 0 altrimeti. 4
Soluzioe. Uo stimatore corretto, cosistete i probabilità e di massima verosimigliaza per la proporzioe π è la media campioaria X = X i, x = x i = 0.4 = ˆp. La Variaza di tale stimatore data da σ 2 /. Ora, poichè X ua variabile aleatoria di Beroulli, la sua variaza sarà σ 2 = π( π). Quidi ua stima della variaza di ˆp o è altro che ˆp( ˆp)/ = 0.000. 2. Utilizzado l approssimazioe alla Normale, per sufficietemete elevato, e cosiderado che α = 0.99 α = 0.0 α/2 = 0.005 Φ(z α/2 ) = α/2 = 0.995 z α/2 = 2.575, l itervallo di cofideza al livello ( α) = 0.99 è dato da: 99%IC [ ] ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp z α/2 ; ˆp + z α/2 = [0.4 2.575 0.0; 0.4 + 2.575 0.0] = [0.374; 0.426]. Ciò sigifica che la proporzioe di pezzi difettosi è compresa tra (0.374;0.426) al livello di cofideza di circa il 99%. Quesito 4. Si suppoga che il diametro dei tubi prodotti i u idustria meccaica sia ua variabile aleatoria ormale co valore atteso µ, e variaza σ 2. Si soo osservati 50 tubi e se e è rilevato il diametro. E risultato: 50 x i = 750 50 x 2 i = 740. a) Proporre uo stimatore per il valore medio µ di X ed idicare le proprietà Lo stimatore per µ è la media campioaria X = X i. La corrispodete stima risulta: x = 50 x i = 750/50 = 5 La media campioaria è uo stimatore o distorto e cosistete i probabilità. b) Proporre uo stimatore per la variaza di X ed idicare le proprietà Lo stimatore per σ 2 è la variaza campioaria ˆσ 2 = S 2. Esso risulta [ ] ˆσ 2 = Xi 2 X 2 5
La corrispodete stima risulta: ˆσ 2 = = 49 [ ] x 2 i x 2 = [ 740 50 5 2 ] = (490) = 0. 49 La variaza campioaria ˆσ 2 è uo stimatore o distorto e cosistete i probabilità. c) I resposabili del cotrollo di qualità ritegoo che il diametro medio sia 6 metre gli igegeri della produzioe ritegoo che sia iferiore. Impostare u test di ipotesi co livello di sigificatività α = 0.0. Le ipotesi risultao: La statistica test risulta: Quidi la regioe di rifiuto è data da: H 0 : µ = 6 H : µ < 6 X µ ˆσ/ t 49 R.C. : x µ 0 ˆσ/ < 2.403 Il valore della statistica test sotto l ipotesi ulla risulta: t = x µ 0 ˆσ/ = 5 6 0/ 50 = 2.22 Il valore osservato della statistica test o appartiee alla regioe critica, si può cocludere affermado che il campioe o offre ua sufficiete evideza per rigettare l ipotesi ulla H 0. Gli igegeri hao ragioe. Basterebbe però aumetare di poco il livello di sigificatività per rifiutare l ipotesi ulla. d) rappresetare graficamete la zoa di rifiuto del test. dt(x, 49) 0.0 0. 0.2 0.3 0.4 2.403 4 2 0 2 4 x 6