ESERCIZI A TEST SULLE SERIE (con soluzioni) N.B. delle 4 risposte elencate una sola è corretta
. E data la serie: dove a R. Allora: ( ) 3a n +a (a) se a = la serie converge a (b) se a = 3 la somma della serie vale 5 (c) se a = 5 la serie diverge a (d) se a 0 la serie converge.. La serie ( + 3 ) n 7 (a) converge a + 7 4 (b) è indeterminata (c) converge a (d) diverge. 3. La serie (dipendente dal parametro b R) (cos b ) n : (a) converge b π + kπ, (k Z ) (b) se b = 3π, non converge (c) converge b R + (d) se b = π 6, converge a. 4. La serie (dipendente dal parametro b R) (b +4b +3) n (a) converge se b ], [ ], + [ (b) se b = 3, diverge a (c) converge se b R + (d) se b = 4, converge.
5. La serie ( ) +3a n a : +5 (a) se a =0 è divergente (b) converge se <a< (c) converge a IR (d) non esiste nessun a per cui converga, perché a + ( ) +3a a 0. +5 6. La serie 5 n n : (a) è maggiorata dalla serie (b) è una maggiorante della serie 8 n (c) converge (per il criterio del rapporto) (d) diverge, perché è una minorante della serie divergente n n. 7. Di una serie a termini positivi a n si sa che la somma vale 8 3. Allora: (a) non si può affermare nulla sul comportamento della serie a n (b) n + a n = 8 3 (c) non è detto che la serie (d) c è una k maggiore di 8 3. n=3 a n converga a 8 3 8. Sia (a n ) n N una successione a termini positivi convergente a 0. Allora: (a) la serie (b) la serie (c) la serie (d) la serie ( ) n a n è convergente ( ) n a n converge se la successione (a n )è decrescente a n converge a n converge se la successione (a n ) n N è decrescente.
9. La serie ( ) n n n : (a) è assolutamente convergente (b) è convergente (c) è assolutamente divergente (d) è divergente. 0. La serie n n + n + : (a) converge (b) è indeterminata (c) è una maggiorante della serie armonica (d) è una minorante della serie 3n.. Si considerino la serie a n e la successione (a n ) n N. (a) Se la successione (a n )è convergente, allora la serie (b) Se (c) Se a n =0, allora n a n 0, allora n a n è convergente. a n non converge. (d) Se la successione (a n )è oscillante, allora la serie a n converge. a n è indeterminata.. La serie ( ) k + n dove k è un parametro reale: k (a) se k, converge (b) converge se k<0 (c) se k<0 è indeterminata (d) se k = ha per somma 3.
3. La serie ( n + n): (a) ha per somma 0 = n ( n + n) (b) è divergente (c) è indeterminata (d) è una maggiorante della serie n. 4. La serie 5 n n! : 5 n (a) non converge, perché n n! 0 (b) per il criterio del rapporto, converge (c) poiché 5 n >n!, si ha a n = 5n > e dunque la serie diverge n! (d) diverge, per il criterio della radice. 5. La serie (n + )(n +3) : (a) non converge, perché la successione a n = n + (b) ha per somma (c) è una serie telescopica (d) converge al valore del ite n (n + )(n +3) (n + )(n +3). è infinitesima di ordine, per 6. Si considerino le serie a n e a n. (a) Se a n converge, allora a n converge. (b) Se a n diverge, allora a n diverge. (c) Se a n 0 e a n converge, allora a n converge. (d) Se a n 0 e a n diverge, allora a n diverge.
. La serie (dipendente dal parametro b IR) (cos b) n : (a) converge b IR + (b) converge b kπ, (k Z ) (c) se b = π 3, converge a (d) se b = π, diverge a +. Sia a n = sin(πn) n ; si consideri la serie (a) la serie converge assolutamente a n. Allora : (b) la serie converge semplicemente ma non assolutamente (c) la successione (a n )è strettamente decrescente (d) la serie diverge, perché,per n,a n n e la serie n diverge 3. La serie ( ) n n + 3n +5 : (a) ha per somma 3 (b) converge semplicemente per il criterio di Leibniz (c) converge assolutamente (d) non converge 4. La somma della serie 8 n : (a) vale 8 (b) vale 7 (c) non si può calcolare (d) vale 8 7
RISPOSTE. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 3a e primo termine. Pertanto : +a (a) è falsa: infatti, se a =, q = e dunque la serie diverge (b) è vera: infatti, se a =3, q = 4 5 S = 4 5 =5 ; pertanto la serie converge e la sua somma vale (c) è falsa: infatti, se a = 5, q = 8 3 ; pertanto la serie converge (d) è falsa: ad esempio, se a =0, q = e quindi la serie oscilla.. RISPOSTA ESATTA: (d). La serie ( + 3 7) n è una serie geometrica di ragione q =+ 3 7. Poiché q>, la serie diverge. Pertanto le risposte (a), (b), (c) sono false, mentre (d) è vera. 3. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = cos b. Pertanto : (a) è falsa: infatti, ad esempio, se b = 3π,q=, e dunque la serie è oscillante. (b) è vera: per quanto detto in (a), se b = 3π la serie non converge. (c) è falsa: ad esempio, se b = 3π la serie non converge. (d) è falsa: se b = π 3 6, q = ; quindi la serie converge al valore S = ( 3 ) = 4 3.
4. RISPOSTA ESATTA: (a). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = b +4b + 3 e primo termine. Pertanto : (a) è vera: infatti la serie converge se e solo se: <b +4b +3< <b< + b b ], [ ], + [. (b) è falsa: infatti, se b = 3,q= 0 e dunque la serie converge a 0. (c) è falsa: ad esempio, se b =,q= 8 ; pertanto la serie diverge. (d) è falsa: se b = 4,q= 3 e quindi la serie diverge. 5. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = +3a a +5. Pertanto : (a) è falsa: infatti, se a =0,q= 5, e dunque la serie converge. (b) è vera; infatti, la serie converge se e solo se < +3a a +5 < a 5 < +3a < a +5 <a< (c) è falsa: ad esempio, se a =3,q= 8 3 (d) è falsa: si deve effettuare il calcolo non del n + a n = n + ( ) +3a n a. +5 ; pertanto la serie diverge +3a n + a +5, ma del 6. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: infatti, n, 5 n n<8 n e dunque (b) è falsa: infatti, n, 5 n n>n e dunque (c) è vera; infatti: a n+ n a n = n 5 n n 5 n+ (n +) = n 5 n n > 8 n 5 n n < n n 5(n +) = 5 < (d) è falsa: infatti, pur essendo vero che la serie data è una minorante della serie armonica (che è divergente), non è detto che sia divergente.
7. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: infatti, poiché la serie è a termini positivi, a n = a n. (b) è falsa: infatti, poiché la serie a n è convergente, necessariamente n a n =0 (c) è vera; infatti la serie a n converge al numero 8 3 a 0 a a n=3 (d) è falsa. Infatti, se esistesse un a k > 8 3 si avrebbe: a n = 8 3 a k +(a 0 + a + + a k + a k+ + + a n + )= 8 3. Questo è assurdo poiché a k > 8 3 e i IN,a i 0. 8. RISPOSTA ESATTA: (b). (a) è falsa: ad esempio, la successione (a n ) n = n a n = 0, ma la serie ( ) n a n diverge. (b) è vera, per quanto afferma il criterio di Leibniz ( ) n +( ) n n n è a termini positivi e (c) è falsa: ad esempio la serie n + diverge (d) è falsa: si consideri lo stesso controesempio di (c). 9. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: la serie n n non tende a 0. n n è divergente, in quanto serie a termini positivi il cui termine generale (b) è falsa: il termine generale ( ) n n n non tende a 0 (c) è vera, per quanto detto in (a) (d) è falsa: la serie ( ) n n n è oscillante.
0. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: infatti, come si vedrà in (c), la nostra serie è maggiorante di una serie divergente, e dunque diverge. (b) è falsa, in quanto si tratta di una serie a termini positivi. (c) è vera, perché, come si può facilmente verificare, n, (d) è falsa perché si verifica che, n, n n + n + > 3n n n + n + > n. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) e (b) sono false: si consideri come controesempio la serie n + (c) è vera: è la contronominale della condizione necessaria per la convergenza di una serie, che afferma: se la serie a n converge, allora n a n =0 (d) è falsa perché la serie a n è a termini positivi e dunque non può essere indeterminata.. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = k + k. Pertanto : (a) è falsa: ad esempio, se k =0,q=, e dunque la serie oscilla (b) è vera: infatti la serie converge se e solo se < k + < k<0 k (c) è falsa ( si veda (b) ) (d) è falsa: se k =,q= 3 e quindi la serie converge al valore S= 3 = 3. 3. RISPOSTA ESATTA: (b). (a) è falsa; infatti, posto a n = n + n, la somma della serie è (se esiste finito) S n = (a + a + + a n ) e non a n n n n (b) è vera, perché: S n = (a + a + + a n ) = ( n + ) = + n n n (c) è falsa, perché è una serie a termini positivi (d) è falsa, perché a n = n + n = n ++ n < n.
4. RISPOSTA ESATTA: (b). n 5 n+ (n + )! (a) è falsa, perché n! 5 n = n 5 n n n! =0 (c) è falsa, perché pern>0, 5 n <n! 5 =0<. Dunque (b) è vera e (d) è falsa. n + 5. RISPOSTA ESATTA: (c). Poiché a n = (n + )(n +3) = n +, si tratta di una serie telescopica e si può verificare n +3 che S n == a 0 + a + a + + a n =+ n + n +3. Pertanto: (a) è falsa: la successione a n = è infinitesima di ordine, per (n + )(n +3) dunque per il criterio di McLaurin la serie converge ( (b) è falsa perché S n = + n n n + ) = 3 n +3 (c) è vera, per quanto detto all inizio (d) è falsa perché la serie converge a 3 e non a 0. n + e 6. RISPOSTA ESATTA: (c). (a) è falsa: ad esempio la serie ( ) n n converge, mentre la serie n diverge. (b) e (d) sono false: convergente n. si consideri come controesempio la serie divergente n e la serie (c) è vera; infatti, essendo la serie a n convergente, necessariamente n = 0. Dunque, n essendo per ipotesi a n 0, si avrà, definitivamente, 0 a n < e quindi 0 (a n ) <a n <. Pertanto la serie (a n ) è una minorante di una serie convergente e quindi converge.
. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = cos b. Dunque: (a) è falsa: ad esempio, se b =π,q= e la serie diverge (b) è vera: la serie converge se e sole se cos b ± e dunque se e solen se b kπ, k Z (c) è falsa perché, se b = π 3,q= e la serie converge a S= = (d) è falsa perché, se b = π, q= e la serie oscilla.. RISPOSTA ESATTA: (a). Si osservi che sin(πn) n = 0 n = 0. Dunque (a) è vera e tutte le altre sono false. 3. RISPOSTA ESATTA: (d). n + Osserviamo che ( )n n 3n +5 né semplicemente). 0 ; dunque la serie non può convergere (né assolutamente Dunque (a), (b) e (c) sono false, mentre (d) è vera. 4. RISPOSTA ESATTA: (b). Si tratta di una serie geometrica di ragione q = 8 e primo termine 8 converge al valore S= = 7. 8 Pertanto (a), (c) e (d) sono false, mentre (b) è vera., anziché. Dunque